Một gợi ý về dạy học toán

A.Phần mở đầu I.Đặt vấn đề: 1/Cơ sở lý luận: Trong xã hội hiện đại với sự bùng nổ thông tin, khoa học và công nghệ phát triển nh vũ bão để đào tạo những con ngời lao động có khả năng thích ứng với xã hội học tập, trong đó mỗi ngời phải có năng lực học tập suốt đời thì việc bồi dỡng phơng pháp học đợc quan tâm đặc biệt và càng lên bậc học cao hơn càng đợc coi trọng. Một yếu tố quan trọng đảm bảo thành công trong học tập và nghiên cứu khoa học là khả năng phát hiện kịp thời và giải quyết hợp lí những vấn đề nảy sinh trong thực tiễn. Nếu rèn luyện cho học sinh có đợc phơng pháp, kỹ năng, thói quen tự học, biết linh hoạt vận dụng những điều đã học vào những tình huống mới, biết tự lực phát hiện, đặt ra và giải quyết vấn đề trong thực tiễn thì sẽ tạo cho học sinh lòng ham học, dễ dàng thích ứng với cuộc sống, công tác, lao động. Nhà trờng phổ thông không thể cung cấp cho học sinh một vốn liếng tri thức cho cả đời, tuy nhiên có thể cung cấp một nhân lõi nào đó của tri thức cơ bản. Nhà trờng phổ thông có thể và cần phải phát triển các hứng thú, năng lực nhận biết của học sinh, cung cấp cho họ những kỹ năng cần thiết của việc học tập. Nghị quyết TW khoá VIII đã nhấn mạnh: Cần phải phát triển mạnh phong trào tự học, tự đào tạo thờng xuyên và rộng khắp trong toàn dân nhất là thanh niên. Luật giáo dục nớc cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 ghi rõ: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú cho học sinh. 2/Thực trạng: Hiện nay có một bộ phận không nhỏ học sinh rất muốn học các môn học thuộc lĩnh vực tự nhiên nói chung và đặc biệt môn Toán nói riêng. Tuy nhiên, các em cha thực sự say sa, tích cực với việc giải bài tập toán và học môn toán hoặc cha có kết quả 1 cao khi đã rất cố gắng và thích toán. Trong quá trình giảng dạy môn toán tôi nhận thấy nguyên nhân là: +)Do đặc trng của bộ môn khó, kiến thức trừu tợng, rộng. +)Học sinh cha có nhận thức đúng đắn về giá trị của các bài tập sách giáo khoa, cha biết sâu chuỗi các bài toán. +)Giáo viên cha đề cao hoạt động giao việc cho học sinh. Với những lí do trên tôi đã chọn đề tài: Giúp học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo trong hoạt động giải bài tập toán. II - Mục đích của đề tài Trong khuôn khổ của sáng kiến này tôi trình bày một số nội dung cụ thể trên cơ sở mở rộng, phát triển những bài tập trong sách giáo khoa thành những bài toán mới nhằm phát huy tính tích cực, sáng tạo, sự vận dụng, giúp học sinh hiểu sâu hơn, chắc hơn về kiến thức mới học. III.Phơng pháp nghiên cứu: Để thực hiện nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành sử dụng đồng bộ các phơng pháp sau: - Nghiên cứu lý luận về phơng pháp dạy - Quan sát việc học và trò truyện với học sinh. - Thực tiễn giảng dạy và bồi dỡng kinh nghiệm. B. Nội dung I/Quá trình thực hiện: Dạy cho học sinh giải bài tập toán bao giờ cũng từ bài tập cơ bản của sách giáo khoa. Trên cơ sở đó củng cố, phát triển thành những đơn vị kiến thức mới giúp học sinh hiểu sâu hơn, chắc hơn và có khả năng vận dụng linh hoạt hơn. Trong sách giáo khoa Đại số và giải tích (Nâng cao) lớp 11 có bài tập: Bài 1 : ( Bài 32 - trang 42): Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) )0ba,sốngằhlàb,a(xsin.bxcos.a 22 ++ b) xcos3xcosxsinxsin 22 ++ c) xcos.CxcosxsinBxsin.A 22 ++ (A,B và c là hằng số) 2 Trớc hết ta nhắc lại kết quả sau: *Cho phơng trình cổ điển : a.cosx+b.sinx=c. Điều kiện có nghiệm của phơng trình là: 222 bac + *Cho hàm số y=f(x), miền giá trị của hàm số đã cho là tập hợp tất cả các giá trị của y để phơng trình ẩn x : f(x)=y có nghiệm. *Giả sử miền giá trị của hàm số y=f(x) là : bya khi đó ta nói: = = by ay max min áp dụng đối với hàm số : y= a.cosx + b.sinx ( 0ba 22 + ): Ta có miền giá trị của hàm số đã cho là tập hợp tất cả các giá trị của y để phơng trình ẩn x: a.cosx + b.sinx=y (1) có nghiệm. Điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm là: 222 bay + 2222 bayba ++ += += 22 max 22 min bay bay Hơn nữa, giả sử y= a.cosx + b.sinx + c ( 0ba 22 + ). Khi đó : ++= ++= cbay cbay 22 max 22 min Sau khi học sinh đã hiểu và giải đợc bài toán, giáo viên có thể gợi ý để học sinh có thể đa ra và giải đợc những bài mới hơn, phức tạp hơn. Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y= (3cosx+4sinx) 2 +2(3cosx+4sinx)+5 Giải: Đặt t= 3cosx+4sinx, áp dụng bài tập 1 -5 t 5 Vậy y= t 2 + 2t + 5 với -5 t 5 Từ đó suy ra = = 40y 4y max min Từ bài toán 1 có phát triển thành: 3 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số a) y= 2xcosxsin 1xcos2xsin ++ ++ b) y= 2x2sin 1x2cosx2sin + + Giải: Chú ý rằng sinx+cosx + 2 0 với mọi x. Tập giá trị của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị y sao cho phơng trình ẩn x: y= 2xcosxsin 1xcos2xsin ++ ++ có nghiệm nghiệmcó1xcos2xsin)2xcosx(siny ++=++ nghiệmcóy21xcos)2y(xsin)1y( =+ Rõ ràng (y-1) và (y-2) không đồng thời bằng 0 nên điều kiện để phơng trình có nghiệm là: 02yy )y2()y1()y21( 2 222 + + 1y2 Vậy max y= 1, min y = -2 Có thể yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi ở dạng khác nh bài tập 4, và bài tập 5 sau: Bài 4 : Tìm x sao cho y= xcos2 xsin1 + + là số nguyên. Giải: Tìm miền giá trị của hàm số ta đợc: 0 y 3 4 Do đó y nguyên khi và chi khi y=0 hoặc y=1 y=0 sin x=-1 + = 2k 2 x y=1 sinx-cosx=1 cos( 4 x + )= 2 2 x= + 2k 2 hoặc x= + 2k Kết luận: + = k 2 x hoặc x= + l2 (k,l Z ) Bài 5 : Cho 2xsinxcos 1kxcosk2 y k ++ ++ = Tìm k để giá trị lớn nhất của y k đạt giá trị nhỏ nhất. 4 Thông thờng, bằng cách đặt ẩn mới, một số bài toán tìm GTLN,GTNN có thể đa về dạng lợng giác để khảo sát. Khi đó, việc giải quyết sẽ thuận lợi hơn nhờ các công thức và bất đẳng thức lợng giác quen thuộc. Ta có những kinh nghiệm về việc đặt ẩn phụ (t) nh sau: tcosxhaytsinx1x == tcosayvàtsinaxayx 222 ===+ Từ nhận xét trên và bài tập 1, bài tập 3 có thể giải quyết lớp các bài toán đại số sau: Bài 6 : Tìm GTLN,GTNN của hàm số: u= xy2x21 )yxy(2 2 2 ++ + với điều kiện x 2 +y 2 =1 Giải: Nhận xét: x 2 +y 2 =1 x,y không đồng thời bằng 0, dẫn đến 01x)yx(xy2x21 222 >+++=++ Đặt = = ycos xsin u= 22cos2sin 12cos2sin + ++ Giải ta đợc: 2 6 1u 2 6 1u min max = += Bài 7: Cho x, y thoả mãn: x 2 +2y 2 =4.Tìm giá trị lớn nhất của: u= y 2 2 x Giải: Vì x 2 +2y 2 =4 ,1) 2 y () 2 x ( 22 =+ đặt: = = sin2y cos2x ta đợc: u= sincos2 Dẫn đến max u= 5 khi 5 54 x = ,y= 5 10 5 Bài 8 : Tìm nghiệm (x,y,z,t) của hệ phơng trình + =+ =+ )3(12yzxt )2(9tz )1(16yx 22 22 sao cho (x+z) đạt giá trị lớn nhất. Giải: Từ (1) 1) 4 y () 4 x ( 22 =+ = = 20 4 y sin 4 x cos : (4) Từ (2) 1) 3 t () 3 z ( 22 =+ = = 20 3 t sin 3 z cos : (5) Thay vào (3) ta đợc: 1)sin( + mà 1)sin( + nên 1)sin( =+ Khi đó: + =+ =+ 2k 2 2k 2 Dẫn đến: (x+z)= + cos3cos4 = )sin 5 3 cos 5 4 (5sin3cos4 +=+ Đặt = = 5 3 sin 5 4 cos Suy ra (x+z)= 5 5)cos( ===+ 2m1)cos(khi5max)zx( == == += 5 3 sinsin 5 4 coscos 2m Do + = 2k 2 nên == == 5 4 cossin 5 3 sincos 6 Vậy: == == == == 5 12 sin3t 5 9 cos3z 5 12 sin4y 5 16 cos4x Kết luận: (x+z)max = 5 khi (x,y,z,t) = ( 5 12 , 5 9 , 5 12 , 5 16 ) Chú ý rằng có thể giải bài toán trên sao cho (x+z)min. Với sự truyền đạt suy nghĩ trên học sinh đã phát hiện và giải quyết rất nhiều các bài toán cùng loại. Bài 9: Cho hàm số y= 1xsinm 1xsinxcosxcosm ++ a) Tìm m để hàm số không tồn tại GTLN,GTNN b) Tìm m để max 2 y+min 2 y= 27 10 Bài 10:Cho hàm số y= xcosxsin )xsin1(m2 m + (1) và 1y) x ( 22 =+ (2) a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm (x,y) với mọi y [ ] 1;2 b)Tìm m nhỏ nhất để hệ hai phơng trình (1) (2) có nghiệm. c. Kết luận Khi dạy học chúng ta cũng cần hớng cho học sinh khám phá các bài toán theo chiều hớng mở rộng, phát triển, ghép nối các bài toán để không những học sinh nắm chắc những bài toán đó mà còn hớng cho học sinh phơng pháp học, phơng pháp khám phá một bài toán, thậm chí tìm ra nguồn gốc xuất phát, nguồn gốc đó lại là bài tập ngay trong sách giáo khoa đang học. Bài viết trên tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh những điều: 1. Nắm chắc và giải tốt những bài tập ở sách giáo khoa. Từ đó mở rộng, phát triển và phát biểu những bài toán mới nhằm rèn luyện năng lực toán học. 7 2. Khi giải một bài toán hãy liên hệ đến những bài toán quen thuộc và tìm ra cội nguồn của bài toán, các cội nguồn đó nằm ngay trong sách giáo khoa. Nội dung đợc đề cập trong bài viết này là từ một số bài tập trong sách giáo khoa ta mở rộng, phát triển, phát biểu thành những bài tập mới để học sinh thấy đợc gốc của bài tập chủ yếu là bài tập ở sách giáo khoa. Cùng với suy nghĩ và suy diễn đó ta có thể áp dụng cho các nội dung khác của toán học, kích thích sự tìm tòi, phát hiện của học sinh giúp các em học tập tích cực và có kết quả hơn./. Cuối cùng tôi rất mong sự đóng góp trao đổi của đồng nghiệp và học sinh. Hoằng Hoá, tháng 5 năm 2008 Ngời viết Lê Minh Quý 8 . những bài toán mới nhằm rèn luyện năng lực toán học. 7 2. Khi giải một bài toán hãy liên hệ đến những bài toán quen thuộc và tìm ra cội nguồn của bài toán, . với việc giải bài tập toán và học môn toán hoặc cha có kết quả 1 cao khi đã rất cố gắng và thích toán. Trong quá trình giảng dạy môn toán tôi nhận thấy nguyên