Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG CUỐN SÁCH Phương pháp giải toán Hàm số PHẦN IV: ĐẠO HÀM Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 C¸c Em häc sinh h·y tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới hỗ trợ Nhóm Cự Môn Ths Lê Hồng Đức Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách Phần IV: Đạo hàm chủ đề tính đạo hàm định nghĩa I Kiến thức Bài toán Tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm xO, định nghĩa phơng pháp chung Chúng ta lựa chọn trọng hai cách trình bày sau: Cách 1: Thực theo bớc sau: Bớc 1: Tại x0 cho x số gia x, ta lần lợt cã: • ∆y = f(x + ∆x) − f(xO); ∆y • ∆x ∆y Bíc 2: T×m lim ∆x →0 ∆x C¸ch 2: Ta cã: f'(xO) = lim x →x f( x ) − f ( x ) x x0 điểm x00 x Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f(x) = Giải Hàm số y = xác định mét l©n cËn cđa x0≠0 Ta cã: x f( x ) − f ( x ) f'(xO) = lim = x →x x − x0 1 − x x0 = lim x→ x0 x − x0 lim ( − x →x ) = − x.x x0 VÝ dô 2: Dïng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số : − cos x x ≠ f(x) = x x = t¹i điểm x0 = Giải Hàm số f(x) xác định mét l©n cËn cđa x0 = Ta cã: f'(0) = lim x →0 f( x ) − f( ) − cos x lim = lim = x →0 x →0 x −0 x sin x 4 2 x 2 = Chủ đề 1: Tình đạo hàm định nghĩa Ví dụ 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hµm cđa hµm sè : x sin x ≠ f(x) = x x = điểm x0 = Giải Hàm số f(x) xác định lân cận cña x0 = Ta cã: f( x ) − f( ) f'(0) = lim = lim x sin x→0 x x →0 x −0 Ta cã: Với x0 thuộc lân cận điểm lu«n cã: |xsin 1 | ≤ |x| ⇔ − |x|≤ xsin ≤ |x| x x lim lim MỈt kh¸c x →0 ( − |x|) = x →0 |x| = = x Suy ra: lim x sin x→0 VËy: f'(0) = VÝ dô 4: Cho hµm sè : 1− 1− x x ≠ f(x) = x /2 x = CMR f(x) liên tục x = Tính đạo hàm, có, f(x) ®iĨm x = a b Gi¶i a Ta cã: lim f(x) = lim − − x x →0 x →0 x = lim x →0 − (1 − x ) x( + − x ) = lim x →0 = f(0) 1+ 1x Vậy hàm số f(x) liên tục x = b Ta cã: = f'(0) lim x →0 = f( x ) − f( ) x →0 x −0 lim = 1− 1−x − x lim x →0 x = −x −2 1−x 2x2 Phần IV: Đạo hàm lim = x 2( − x + − x ) = Bài toán Cho hàm số f1(x ) x < x0 f(x) = f2 (x ) x ≥ x Tính đạo hàm xác định giá trị tham số để hàm số có đạo hàm điểm x0 phơng pháp chung Chúng ta thực theo bớc sau: Bớc 1: Xét tính liên tục hàm số điểm x0 Bớc 2: (Đạo hàm bên trái) Tính − f'( x ) = lim− x→x f( x ) − f( x ) x − x0 Bớc 3: (Đạo hàm bên phải) Tính + f'( x ) = lim+ x→x f( x ) − f( x ) x − x0 − + Bớc 4: Đánh giá giải f'( x ) = f'( x ), tõ ®ã ®a lời kết luận Ví dụ 5: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số: ex x y = f(x) = x + x + x < điểm x0 = Giải Đạo hàm bên trái hàm số điểm x0 = f'(0 ) = lim x →0 − f ( x ) − f( ) x + x + − e0 = lim− = x →0 x x −0 Đạo hàm bên phải hàm số điểm x0 = f'(0 + ) = lim x →0 + f( x ) − f( ) e x − e0 = lim+ = x→ x x −0 NhËn xÐt r»ng f'(0 − ) = f'(0 + ) = Vậy hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x0 = f'(0) = VÝ dơ 6: Cho hµm sè : (1) Chđ đề 1: Tình đạo hàm định nghĩa x x ≤ f(x) = ax + b x > T×m a, b để f(x) có đạo hàm điểm x = Giải Để hàm số f(x) có đạo hàm điểm x = 1, trớc hết f(x) phải liên tục x = 1, ®ã: lim f(x) = lim+ f(x) = f(1) ⇔ a + b = ⇔ b = − a x →1 x →1 − (1) Đạo hàm bên trái hàm số y = f(x) điểm x = f'(1 ) = lim x →1 − f ( x ) − f( ) x2 − = lim− = x x x Đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) điểm x = f( x ) − f( ) ax + b − f'(1 + ) = lim = lim+ = lim+ + x→ x→ x −1 x −1 x →1 ax + − a − = a x −1 Hµm sè y = f(x) cã đạo hàm điểm x = f'(1 ) = f'(1 + ) ⇔ a = (2) Thay (2) vào (1), ta đợc b = Vậy hàm số y = f(x) có đạo hàm ®iĨm x = 1, nÕu vµ chØ nÕu a = 2, b = Bài toán Tính đạo hàm hàm số y = f(x) khoảng (a, b), định nghĩa phơng pháp chung Chúng ta thực hiƯn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: TÝnh ∆y = f(x + ∆x) − f(x), ∆y LËp tû sè ∆x ∆y Bíc 2: T×m lim ∆x →0 ∆x Cần lu ý phép tính này, điểm x coi nh cố định x tiến tới Phần IV: Đạo hàm Ví dụ 7: Tính đạo hàm hàm số y = f(x) = x (0, + ) Giải Hàm số y = x xác định lân cận điểm x>0 Ta lần lợt có: y = f(x + x) f(x) = x + ∆x − x x + ∆x − x ∆y x + ∆x − x ⇒ = = = ∆x( x + ∆x + x ) x + ∆x + x ∆x ∆x 1 ∆y lim Do ®ã: lim = ∆x →0 = ∆x →0 ∆x x + ∆x + x x VËy hµm sè y = x cã f'(x) = x Bài toán Tính đạo hàm hàm số y = f(x) đoạn [a, b], định nghĩa phơng pháp chung Chúng ta thực theo bớc sau: Bớc 1: Tính đạo hàm hàm số y = f(x) khoảng (a, b) Bớc 2: Đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) điểm a Bớc 3: Đạo hàm bên trái hàm số y = f(x) điểm b II.Các toán chọn lọc Bài (ĐHGT 1994): Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số : sin x x ≠ f(x) = x 0 x = t¹i x0 = giải Nhận xét hàm số f(x) liên tục x0 = 0, bëi: lim f(x) = lim sin x = lim ( sin x sinx) = = f(0) x →0 x →0 x →0 x x f( x ) − f( ) lim sin x = = x →0 x →0 x −0 x2 Ta có: f'(0) = lim Bài (ĐH Huế 2000): Cho hµm sè : x sin x ≠ f(x) = x x = a Tính đạo hàm f xR b Chứng tỏ đạo hàm f' không liên tục x = Chủ đề 1: Tình đạo hàm định nghĩa giải a Tính đạo hàm f xR 1 Víi x≠0, ta cã f' = 2xsin − cos x x Víi x = 0, ta cã : f( x ) − f( ) lim = x →0 x.sin = (lêi gi¶i vÝ dô 3) x x →0 x −0 f'(0) = lim VËy: f'(x) = 1 x sin − cos x ≠ x x 0 x = b Chøng tỏ đạo hàm f' không liên tục x0 = Nhận xét hàm số cos giới hạn x0 (lời giải tơng tự x ví dụ chủ đề phần I) f'(x) giới hạn x0 f' không liên tục x = Bài (Đề 111): Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số : f(x) = x điểm x0 = 1+|x| giải Viết lại hàm số dới dạng: x + x x ≥ f(x) = x x < x Hàm số f(x) xác định lân cận x0 = Ta có: Đạo hàm bên trái hàm số điểm x0 = x f ( x ) − f( ) lim− f'(0 ) = lim = = lim− = − x →0 − x x →0 − x x x x Đạo hàm bên phải hàm số điểm x0 = x f( x ) − f( ) lim+ f'(0 ) = lim = = lim+ = + x→ + x x→ + x x −0 x →0 x + NhËn xÐt r»ng f'(0 − ) = f'(0 + ) = VËy hµm số y = f(x) có đạo hàm điểm x0 = vµ f'(0) = Chó ý Chóng ta cã thĨ tÝnh mét c¸ch trùc tiÕp, nh sau: Phần IV: Đạo hàm x f( x ) f( ) lim 1+ | x | = lim f'(0) = lim = x →0 x →0 1+| x | = x →0 x −0 x Bµi (ĐHHH 97): CMR hàm số y = x 2|x + 3| liên tục x = đạo 3x hàm điểm giải Viết lại hàm số dới dạng: x2 − 2x − − ≤ x ≠ 3x − f(x) = x + 2x + 3x − x < − x − 2|x + 3| Ta cã: xlim3 f( x ) = xlim3 = − = f( − 3) →− 10 3x Do hàm số liên tục x = Chủ đề 1: Tình đạo hàm định nghĩa Mặt khác: Đạo hàm bên trái hàm số điểm x0 = − f'( − − ) = lim − x →−3 f( x ) − f( −3 ) 13 = 100 x +3 Đạo hàm bên phải hàm số điểm x0 = f( x ) − f( −3 ) 53 f'( − + ) = lim = + 100 x +3 x →−3 NhËn xÐt r»ng f'( − − )≠f'( − + ) Vậy, hàm số đạo hàm x = Bài (Đề 67): Cho hµm sè : (x + a)e − bx x < f(x) = ax + bx + x ≥ Xác định a, b để f(x) có đạo hàm điểm x = giải Để hàm số có đạo hàm x = 0, trớc hết f(x) phải liên tục x = 0, đó: lim f(x) = lim+ f(x) = f(0) ⇔ a = x x (1) Đạo hàm bên trái hàm số điểm x0 = f'(0 ) = e −bx − lim− x →0 = −bx −1 lim− ( x + 1)e x →0 x = lim ( x →0 − e −bx − b ) = b bx Đạo hàm bên phải hàm số điểm x0 = f'(0 + ) = lim x →0 + b f( x ) − f ( ) x −0 f( x ) − f( ) x + bx + − = lim+ = lim+ (x + b) = x→ x→ x x −0 Hµm số y = f(x) có đạo hàm điểm x = 0, nÕu vµ chØ nÕu: f'(0 − ) = f'(0 + ) ⇔ − b = b ⇔ b = 1/2 VËy hµm sè y = f(x) cã đạo hàm điểm x = 0, nÕu a = 1, b = Bµi (Đề 87): Cho hàm số f(x) = p cos x + q sin x x ≤ x > px + q + Chøng tá r»ng víi mäi c¸ch chän p, q hàm f(x) có đạo hàm điểm x = Phần IV: Đạo hàm giải đó: Để hàm số f(x) có đạo hàm điểm x = f(x) phải liên tục x = 0, lim f(x) = lim+ f(x) = f(0) ⇔ p = q + ⇔ q = p − x →0 x →0 − (1) Khi hàm số f(x) có dạng: f(x) = p cos x + (p − 1) sin x x ≤ x > px + p Đạo hàm bên trái hàm số ®iÓm x0 = f ( x ) − f( ) p cos x + ( p − 1) sin x − p f'(0 − ) = lim = lim− x →0 x x −0 x →0 − ( p − 1) sin x ( p − 1) sin x − p( − cos x ) = lim− = lim− [ − x →0 x →0 x x px sin x ] = p − 4.( x / ) Đạo hàm bên phải hàm số điểm x0 = f( x ) − f( ) px + p − p lim f'(0 + ) = lim = lim+ = ∆x → + p = p + x→ x x −0 x →0 Hµm sè y = f(x) có đạo hàm điểm x = 0, chØ nÕu: f'(0 − ) = f'(0 + ) ⇔ p = p vô nghiệm Vậy cách chọn p, q hàm f(x) có đạo hàm điểm x = Bài (ĐHY 98): Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số : y = log20x giải Cho x số gia ∆x, ta cã: x + ∆x = x ∆x ∆y log 20 x + ∆x ∆y = f(x + ∆x) − f(x) = log20 ⇒ = x ∆x x ln 20 ∆x ) x ∆x x ln( + Do ®ã: ∆y 1 = ⇒ y' = ∆x →0 ∆x x ln 20 x ln 20 lim Bài (ĐHY 2000): Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số : y = 2000x 10 Chủ đề 1: Tình đạo hàm định nghĩa gi¶i Cho x mét sè gia ∆x, ta cã: ∆y = f(x + ∆x) − f(x) = 2000x + ∆x − 2000x ∆y 2000 x +∆x − 2000 x 2000 ∆x − ⇒ = = 2000x = 2000x.ln2000 ∆x ∆x ∆x e ∆x ln 2000 − ∆x ln 2000 Do ®ã: ∆y lim = 2000x.ln2000 ⇒ y' = 2000x.ln2000 x x III Bài tập đề nghị Bài tập Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số sau điểm x0: a f(x) = x2 − 4x + víi x0 = 2x − c f(x) = víi x0 = x −1 b f(x) = víi x0 = x −1 d f(x) = x + víi x0 = Bài tập Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số sau đây: c f(x) = xsinx b f(x) = x + a f(x) = x +1 Bµi tËp vµ x>0 Bài tập a b Tính đạo hàm hàm số y = n x n số nguyên dơng Dùng định nghĩa tính đạo hàm x cos(1 /x ) x ≠ y = f(x) = t¹i x = x = − cos 2x x ≠ (§HGT − 1997): f(x) = t¹i x = x x = 0 Bµi tËp Cho hµm sè y = |x 1| CMR hàm số liên tục x = nhng đạo hàm điểm Bài tập Cho hàm f xác định bởi: f(x) = x+ − x ≠ x 1/4 x = a CMR hàm số f(x) liên tục x = 11 Phần IV: Đạo hàm b Tìm đạo hàm, có, f x = Bài tập Cho hàm số f xác định bởi: f(x) = tgx x ≠ x x = a CMR f liên tục x = b Tìm đạo hàm, có, f x = Bài tập Tìm a, b để hàm số sau có đạo hàm điểm x = x x ≤ f(x) = − x + ax + b x > Bài tập (ĐHGT 2000): Tìm a để hàm số sau có đạo hàm x0 = (x + 1)e − x x > f(x) = − x − ax + x Bài tập 10 (HVKTMM 1999): Tìm a để hàm số sau có đạo hàm x0 = ex x ≥ f(x) = x + ax + x < Bµi tËp 11 Cho hµm sè y = sinx a Tính đạo hàm hàm số điểm x0 = b Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm x0 = Bµi tËp 12 Cho hµm sè y = |x2 + 4x + 3| a Tính đạo hàm hàm số điểm x0 = b Tính đạo hàm hàm số điểm x0 = 12 ...Phần IV: Đạo hàm chủ đề tính đạo hàm định nghĩa I Kiến thức Bài toán Tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm xO, định nghĩa phơng pháp chung Chúng ta lựa chọn trọng... x sin x 4 2 x 2 = Chủ đề 1: Tình đạo hàm định nghĩa Ví dụ 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số : x sin x ≠ f(x) = x x = điểm x0 = Giải Hàm số f(x) xác định lân cËn cña x0 = Ta... Bài toán Tính đạo hàm hàm số y = f(x) đoạn [a, b], định nghĩa phơng pháp chung Chúng ta thực theo bớc sau: Bớc 1: Tính đạo hàm hàm sè y = f(x) kho¶ng (a, b) Bíc 2: Đạo hàm bên phải hàm số y =