Giới hạn vô hạn của hàm số

Định lý: Giả sử g(x) £ f(x) £ h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x0. Nếu Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định trong lân cận của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)]

Bài giảng toán kinh tế 2. Giới hạn vô hạn của hàm số: ∀N > 0 lớn tuỳ ý, δ∃ > 0: 0 < |x – x0| < δ ⇒ f(x) > N ∀N < 0 nhỏ tuỳ ý, δ∃ > 0: 0 < |x – x0|< δ ⇒ f(x) < N Ví dụ: chứng minh 3. Các tính chất của giới hạn hàm số: Định lý: nếu lim f(x) = L 1 và lim g(x) = L 2 thì • Lim [f(x) ± g(x)] = L 1 ± L 2 • Lim [f(x)g(x)] = L 1 L 2 • Lim [f(x)/g(x)] = L 1 /L 2 (L 2 ≠ 0) • Lim [f(x)]m = L 1 m (L 1 m ∈ R) • Lim C = C • Lim [Cf(x)] = CL 1 Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0.∞, ∞ - ∞, 1 ∞ thì phải biến đổi để khử chúng. Ví dụ: Tìm Định lý: Giả sử g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x 0 . Nếu Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định trong lân cận của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)] Ví dụ: Tìm 4. Một số giới hạn đặc biệt: Ví dụ: Chứng minh: Ví dụ: Tìm: Nguồn: www.nguyenngoclam.com 1lim 0 = → x tgx x 1 arcsin lim 0 = → x x x 1lim 0 = → x arctgx x 1 +∞= → )(lim 0 xf xx −∞= → )(lim 0 xf xx +∞= − → 2 )( 1 lim ax ax 13 sin lim ) 2 2 ++ → xx x a x π 1 1 lim ) 2 1 − − → x x b x 2 8 lim ) 3 2 − − → x x c x =>== →→ Lxhxg xxxx )(lim)(lim 00 Lxf xx = → )(lim 0         − + ∞→ xx x x 2 2 2 1 sinlim π 1 sin lim 0 = → x x x e x x x =       + ∞→ 1 1lim a x a x x ln 1 lim 0 = − → ( ) ex x x =+ → /1 0 1lim 1 )1ln( lim 0 = + → x x x x x x x       + ∞→ 3 lim 3 1 2 lim + ∞→       − + x x x x Bài giảng toán kinh tế 5. So sánh vô cùng bé Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu limf(x) = 0 Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình: • Nếu lim[f(x)/g(x)] = 0, f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) • Nếu lim[f(x)/g(x)] = ∞, f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x) • Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc • Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, f(x), g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu f(x)~g(x) • Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB không so sánh được Định lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB, Nếu f(x)~f 1 (x), g(x)~g 1 (x) thì lim[f(x)/g(x)] = lim[f 1 (x)/g 1 (x)] Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x) trong cùng quá trình thì f(x) + g(x) ~ f(x) Ví dụ: Chứng minh Khi x →0 6. So sánh vô cùng lớn: Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu lim F(x) = ∞ • Trong cùng quá trình, nếu f(x) là CVB thì 1/f(x) là VCL • Ngược lại, F(x) là VCL thì 1/F(x) là VCB Định nghĩa: Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình: • Nếu lim[F(x)/G(x)] = ∞, F(x) là VCL bậc cao hơn G(x) • Nếu lim[F(x)/G(x)] = 0, F(x) là VCL bậc thấp hơn G(x) • Nếu lim[F(x)/G(x)] = A (A ≠ 0, A ≠ ∞), ta nói F(x), G(x) là hai VCL cùng bậc. • Nếu lim[F(x)/G(x)] = 1, F(x), G(x) là hai VCL tương đương. Ký hiệu F(x)~G(x) Định lý: Nếu F(x), G(x) là hai VCL trong cùng quá trình, Nếu F(x)~F1(x) , G(x)~G 1 (x) thì lim[F(x)/G(x)] = lim[F 1 (x)/G 1 (x)] Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp): Nếu G(x) là VCL bậc thấp hơn F(x) trong cùng quá trình thì F(x) + G(x) ~ F(x) Ví dụ: Tìm Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x 0 nếu: Nếu chỉ có hoặc thì f được gọi là liên tục bên phải (bên trái) tại x 0 Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x 0 nếu nó không liên tục tại x 0 . Vậy x 0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu: - Hoặc f(x) không xác định tại x 0 Nguồn: www.nguyenngoclam.com 2 3 2 3 arcsin2sin lim 22 0 = −+ → x xarctgxx x 32 ~sin xxxx + xxx xxx x 612 67 lim 23 53 −+ +− ∞→ )()(lim 0 0 xfxf xx = → )()(lim 0 0 xfxf xx = +→ )()(lim 0 0 xfxf xx = −→ Bài giảng toán kinh tế - Hoặc f(x) xác định tại x 0 nhưng lim f(x) ≠ f(x 0 ) khi x → x 0 - Hoặc không tồn tại lim f(x) khi x → x 0 Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x 0 = 0 Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó, • f được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b] nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng mở (a,b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x 0 thì các hàm số sau cũng liên tục tại x 0 : kf (k hằng số), f+g, fg, g/f (g(x 0 )≠0). Định lý: Trong cùng một quá trình nếu limu(x) = u 0 và f liên tục tại u0 thì Lim f[u(x)] = f[lim u(x)] = f(u 0 ) Định lý: Nếu f liên tục trên (a,b) và f(a)f(b) < 0 thì ∃x0 ∈ (a,b): f(x 0 ) = 0 Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] thì f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [a,b] Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN ξ 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x 0 ∈ (a,b). Nếu tồn tại thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x 0 . Ký hiệu f’(x 0 ), y’(x 0 ) Đặt ∆x = x – x 0 , ta có x = x 0 + ∆x và đặt ∆y = f(x 0 + ∆x) – f(x 0 ) thì Ký hiệu dy/dx, df/dx Đạo hàm bên phải: Đạo hàm bên trái: - Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, - f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x 2 , y = sinx Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: • u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ • u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u Nguồn: www.nguyenngoclam.com 3    >− ≤+ = 0 x khi1 0 xkhi1 )( x x xf x xf 1 )( = 0 0 )()( lim 0 xx xfxf xx − − → x y y x ∆ ∆ = →∆ 0 lim' x y y x ∆ ∆ = +→∆ 0 lim' x y y x ∆ ∆ = −→∆ 0 lim' 2 ' '' v uvvu v u − =       Bài giảng toán kinh tế • u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)≠0 và Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f -1 (y) thì hàm số x = f -1 (y) có đạo hàm tại y = f(x): Ví dụ, tìm đạoA hàm của y = arcsinx Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: (c)’ = 0 (xα)’ = αxα-1 (ax)’ = axlna (ex)’ = ex (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x). Ví dụ: Cho y = x α (α ∈ R, x > 0), y = ke x , tìm y(n) Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) trong đó u(0) = u, v(0) = v ξ 2. VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f. Vi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv Nguồn: www.nguyenngoclam.com 4 )]([' 1 )(' 1 )()'( 1 1 yffxf yf − − == ax x a ln 1 )'(log = x x 1 )'(ln = 2 1 1 )'(arcsin x x − = 2 1 1 )'(arccos x x − −= x tgx 2 cos 1 )'( = x gx 2 sin 1 )'(cot −= 2 1 1 )'( x arctgx + = 2 1 1 )'cot( x gxarc + −= 2 2 2 2 , dx fd dx yd n n n n dx fd dx yd , ∑ = − = n k kknk n n vuCuv 0 )()( .)( 2 v udvvdu v u d − =       Bài giảng toán kinh tế Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f. ξ 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x. Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x 0 thì ∀x ∈ D, x ≠ x 0 thì tồn tại c nằm giữa x và x 0 sao cho: Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang • Đa thức Taylor: Khi x 0 =0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x ∈ (a,b) Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu: Nguồn: www.nguyenngoclam.com 5 )(' )()( cf ab afbf = − − )(' )(' )()( )()( cg cf agbg afbf = − − 1 0 )1( 0 0 )( 2 0 0 0 0 0 )( )!1( )( )( ! )( . .)( !2 )(" )( !1 )(' )()( + + − + +−+ +−+−+= n n n n xx n cf xx n xf xx xf xx xf xfxf 1 0 )1( )( )!1( )( )( + + − + = n n n xx n cf xR ∑ = −= n k k k n xx k xf xP 0 0 0 )( ! )( )( 1 )1()( 2 )!1( )( ! )0( . !2 )0(" !1 )0(' )0()( + + + +++++= n n n n x n cf x n f x f x f fxf 0)(lim)(lim == →→ xgxf axax L xg xf xg xf axax == →→ )(' )(' lim )(' )(' lim Bài giảng toán kinh tế • Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần. 1. Dạng 0/0, ∞/∞ Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0) Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng ∞/∞) 2. Dạng 0.∞, ∞ - ∞: Chuyển chúng về dạng 0/0, ∞/∞. Ví dụ: 3. Dạng vô định: 00, 1∞, ∞0: Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0) Ví dụ: CỰC TRỊ Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x 0 nếu tồn tại một lân cận của x 0 sao cho f(x) ≤ f(x 0 ) (f(x) ≥ f(x 0 )). Chiều biến thiên của hàm số: Định lý: Cho f khả vi trong (a,b): 1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f tăng. 2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f giảm. Điều kiện cần của cực trị: Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x 0 và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x 0 ) = 0. Ví dụ: Hàm số y = x 3 , f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị. Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại. Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f: a) Không tồn tại f’(x) b) f’(x) = 0 Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f. Điều kiện đủ của cực trị: Định lý: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0 a) Nếu x vượt qua x 0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x 0 . Nguồn: www.nguyenngoclam.com 6 0)(lim)(lim == ∞→∞→ xgxf xx ∞== →→ )(lim)(lim xgxf axax ∞== ∞→∞→ )(lim)(lim xgxf xx 34 27 lim 2 3 3 +− − → xx x x xx xtgx x sin lim 0 − − → 3 0 sin lim x xx x − → x arctgx x 1 2 lim − ∞→ π gx x x cot ln lim 0 +→ n x x xln lim +∞→ x n x e x +∞→ lim xx x lnlim 5 0 +→ )4/()4(lim 2 2 xtgx x π − → ) cos 1 (lim 2/ tgx x x − → π 2 0 lim x x x +→ x x x − → 1 2 1 lim x x gx ln 1 1 )(cotlim → Bài giảng toán kinh tế b) Nếu x vượt qua x 0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x 0 . c) Nếu x vượt qua x 0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x 0. Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x 0 và f’(x) = 0. a) Nếu f”(x 0 ) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu. b) Nếu f”(x 0 ) < 0 thì f(x) đạt cực đại. Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn: 1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút. 2. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính trên là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất cần tìm). Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số: f(x) = x 3 – 3x 2 +1 trên đoạn [-1/2, 4] Biến kinh tế: Q Quantity Sản lượng QS Quantity Supplied Lượng cung QD Quantity Demanded Lượng cầu P Price Giá cả C Cost Chi phí TC Total Cost Tổng chi phí R Revenue Doanh thu TR Total Revenue Tổng doanh thu Pr Profit Lợi nhuận K Capital Tư bản L Labour Lao động FC Fix Cost Định phí VC Variable Cost Biến phí Hàm số kinh tế: • Hàm sản xuất : Q = f(K,L) • Hàm doanh thu : TR = PQ • Hàm chi phí : TC = f(Q) • Hàm lợi nhuận : π = TR - TC Ví dụ: Một quán bún bình dân, hãy tính mỗi ngày bán bao nhiêu tô thì có lời với giá bán 5.000đ/tô và chi phí như sau: Thuê mặt bằng, điện nước 50.000đ/ngày Bún 300đ/tô Gia vị 200đ/tô Thịt bò, heo 2.000đ/tô Nguồn: www.nguyenngoclam.com 7 Bài giảng toán kinh tế Nhân viên 500đ/tô Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế: • Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay đổi của sản lượng khi tăng lao động hay vốn lên một đơn vị. • Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp và cho nhận xét khi L=100 cho bởi hàm sản xuất sau: • Chi phí biên MC: (Marginal Cost) Hàm chi phí: TC = TC(Q) MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một đơn vị. • Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét. TC = 0,0001Q 3 – 0,02Q 2 + 5Q + 100 • Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue) Hàm doanh thu: TR = PQ • Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định thì MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị. • Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường quyết định thì MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi giá tăng thêm 1 đơn vị. • Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là: Q = 1.000 – 14P Tìm MR khi p = 40 và p = 30 • Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit) Hàm lợi nhuận: π = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q)) Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi nhuận khi giá hay sản lượng tăng thêm 1 đơn vị • Tối đa hóa lợi nhuận: Hàm chi phí: TC = TC(x) Hàm cầu: x = QD = f(P) Giả sử thị trường độc quyền: Hàm lợi nhuận: π = TR – TC = Px – TC(x) • Ví dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung cấp thông tin: Định phí: FC = 600 Biến phí: VC = 1/8 x 2 + 6x Hàm cầu: x = -7/8 P + 100 Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tốt đa. Nguồn: www.nguyenngoclam.com 8 LQ 5 =        < − = − ⇔        < = 0 )( 0 )( 0 0 2 2 2 2 dx TCTRd dx TCTRd dx d dx d π π Bài giảng toán kinh tế Nguồn: www.nguyenngoclam.com 9 . 0 Nguồn: www.nguyenngoclam.com 2 3 2 3 arcsin2sin lim 22 0 = −+ → x xarctgxx x 32 ~sin xxxx + xxx xxx x 612 67 lim 23 53 −+ +− ∞→ )()(lim 0 0 xfxf xx =. )(lim)(lim xgxf axax ∞== ∞→∞→ )(lim)(lim xgxf xx 34 27 lim 2 3 3 +− − → xx x x xx xtgx x sin lim 0 − − → 3 0 sin lim x xx x − → x arctgx x 1 2 lim − ∞→ π