Định lý: Giả sử g(x) £ f(x) £ h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x0. Nếu Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định trong lân cận của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)]
Trang 12 Giới hạn vô hạn của hàm số:
∀N > 0 lớn tuỳ ý, δ∃ > 0: 0 < |x – x0| < δ⇒ f(x) > N
∀N < 0 nhỏ tuỳ ý, δ∃ > 0: 0 < |x – x0|< δ⇒ f(x) < N
Ví dụ: chứng minh
3 Các tính chất của giới hạn hàm số:
Định lý: nếu lim f(x) = L1 và lim g(x) = L2 thì
• Lim [f(x) ± g(x)] = L1 ± L2
• Lim [f(x)g(x)] = L1L2
• Lim [f(x)/g(x)] = L1/L2 (L2 ≠ 0)
• Lim [f(x)]m = L1m (L1m∈ R)
• Lim C = C
• Lim [Cf(x)] = CL1
Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0.∞, ∞ - ∞, 1∞ thì phải biến đổi để khử chúng
Ví dụ: Tìm
Định lý: Giả sử g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x0 Nếu
Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định trong lân cận
của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)]
Ví dụ: Tìm
4 Một số giới hạn đặc biệt:
Ví dụ: Chứng minh:
Ví dụ: Tìm:
1
lim
tgx
x x
1 lim
arctgx x
+∞
=
→ ( )
lim
0
x
f
x
x
−∞
=
→ ( )
lim
0
x
f
x
x
+∞
=
−
→ ( )2
1
lim
a
x
a
x
1 3
sin
lim
) 2
→ x x
x a
1 lim
1 −
−
→ x
x b
8 lim
2 −
−
→ x
x c x
=>
=
=
→
→ g x h x L
x x
x
x ( ) lim ( )
lim
0 0
L x f
x
→ ( )
lim 0
−
+
∞
x
2
2
1 sin
lim π
1
sin
lim
0 =
→ x
x
x
e x
x
+
∞
→
1 1
x
a x
x 1 ln
lim
0 − =
→
/ 1
0 1
x x
x
x
+
∞
→
3
lim
3
1
2 lim
+
∞
−
x x x
Trang 25 So sánh vô cùng bé
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu limf(x) = 0 Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình:
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = 0, f(x) là VCB bậc cao hơn g(x)
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = ∞, f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x)
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, f(x), g(x) là hai VCB tương đương Ký hiệu f(x)~g(x)
• Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB không so sánh được
Định lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB, Nếu f(x)~f1(x), g(x)~g1(x) thì lim[f(x)/g(x)] = lim[f1(x)/g1(x)]
Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x) trong cùng quá
trình thì
f(x) + g(x) ~ f(x)
Ví dụ: Chứng minh
Khi x →0
6 So sánh vô cùng lớn:
Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu lim F(x) = ∞
• Trong cùng quá trình, nếu f(x) là CVB thì 1/f(x) là VCL
• Ngược lại, F(x) là VCL thì 1/F(x) là VCB
Định nghĩa: Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình:
• Nếu lim[F(x)/G(x)] = ∞, F(x) là VCL bậc cao hơn G(x)
• Nếu lim[F(x)/G(x)] = 0, F(x) là VCL bậc thấp hơn G(x)
• Nếu lim[F(x)/G(x)] = A (A ≠ 0, A ≠ ∞), ta nói F(x), G(x) là hai VCL cùng bậc
• Nếu lim[F(x)/G(x)] = 1, F(x), G(x) là hai VCL tương đương Ký hiệu F(x)~G(x)
Định lý: Nếu F(x), G(x) là hai VCL trong cùng quá trình, Nếu F(x)~F1(x) , G(x)~G1(x) thì
lim[F(x)/G(x)] = lim[F1(x)/G1(x)]
Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp): Nếu G(x) là VCL bậc thấp hơn F(x) trong cùng
quá trình thì F(x) + G(x) ~ F(x)
Ví dụ: Tìm
Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu:
Nếu chỉ có hoặc
thì f được gọi là liên tục bên phải (bên trái) tại x0
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại x0 Vậy x0
là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu:
- Hoặc f(x) không xác định tại x0
Nguồn:
3
2 3
arcsin 2
sin
0 + − =
x arctg x
x
x
3 2
~
sin x x x + x
x x
x
x x
x
6 7
lim 3 2
5 3
− +
+
−
∞
→
) ( )
(
0
x f x
f
x
→
) ( ) (
0
x f x f
x
+
0
x f x f
x
−
→
Trang 3- Hoặc f(x) xác định tại x0 nhưng lim f(x) ≠ f(x0) khi x → x0
- Hoặc không tồn tại lim f(x) khi x → x0
Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x0 = 0
Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm
thuộc khoảng đó,
• f được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b] nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng mở (a,b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b
Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x0 thì các hàm số sau cũng liên tục tại x0: kf (k hằng số), f+g, fg, g/f (g(x0)≠0)
Định lý: Trong cùng một quá trình nếu limu(x) = u0 và f liên tục tại u0 thì Lim f[u(x)] = f[lim u(x)] = f(u0)
Định lý: Nếu f liên tục trên (a,b) và f(a)f(b) < 0 thì ∃x0 ∈ (a,b): f(x0) = 0
Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] thì f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [a,b]
Chương 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
ξ1 ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x0 ∈ (a,b) Nếu tồn tại
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0 Ký hiệu f’(x0), y’(x0)
Đặt ∆x = x – x0, ta có x = x0 + ∆x và
đặt ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0) thì
Ký hiệu dy/dx, df/dx
Đạo hàm bên phải:
Đạo hàm bên trái:
- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó,
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
• u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
• u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u
>
−
≤ +
=
0
x khi 1
0 x khi 1
)
(
x
x
x
f
x x
f( ) =1
0
0 )
(
)
(
lim
x
f
x
f
x
−
→
x
y y
x ∆
∆
=
→
∆ lim 0
'
x
y y
x ∆
∆
=
+
→
∆ lim 0
'
x
y y
∆
=
−
→
∆ lim 0
'
'
' 'v v u u
u −
Trang 4• u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)≠0 và
Đạo hàm của hàm số hợp:
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x)
Đạo hàm của hàm số ngược:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f-1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x):
Ví dụ, tìm đạoA hàm của y = arcsinx
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
(c)’ = 0
(xα)’ = αxα-1
(ax)’ = axlna
(ex)’ = ex
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
Đạo hàm cấp cao :
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1 Đạo hàm, nếu
có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2 Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x)
Ví dụ: Cho y = xα (α∈ R, x > 0), y = kex, tìm y(n)
Công thức Leibniz:
Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n Khi đó ta có:
(u + v)(n) = u(n) + v(n)
trong đó u(0) = u, v(0) = v
ξ 2 VI PHÂN
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi là vi
phân cấp 1 của hàm số f
Vi phân của tổng, tích, thương:
d(u + v) = du + dv
d(u.v) = vdu + udv
Nguồn:
)]
( [ '
1 )
( '
1 )
(
)'
y f f x f
y
a x
x a
ln
1 )' (log =
x
x)' 1 (ln =
2
1
1 )'
(arcsin
x
x
−
=
2
1
1 )'
(arccos
x
x
−
−
=
x
tgx 2
cos
1
)'
x
sin
1 )'
1
1 )' (
x
arctgx
+
=
2
1
1 )'
cot (
x gx
arc
+
−
=
2
2
2
2
,
dx
f d dx
y d
n
n
n
n
dx
f d dx
y d
,
∑
=
−
= n
k
k k n k n
uv
0
) ( )
)
(
2
v
udv vdu v
u
Trang 5Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f =
f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f
ξ3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM
Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại
c ∈ (a,b) sao cho f’(c) = 0
Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c ∈
(a,b) sao cho
Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp
f(b) = f(a)
Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0,
∀x ∈ (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho
Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường
hợp g(x) = x
Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x0 thì ∀x ∈ D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho:
Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang
• Đa thức Taylor:
Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin
L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x ∈ (a,b)
Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:
) ( ' ) ( )
a b
a f b
−
−
) ( '
) ( ' ) ( ) (
) ( ) (
c g
c f a g b g
a f b f
=
−
−
1 0
) 1 (
0 0
) (
2 0
0 0
0 0
) (
)!
1 (
) (
) (
!
) (
) (
! 2
) (
"
) (
! 1
) (
' )
( )
(
+
+
− +
+
− +
+
− +
− +
=
n
n n
n
x x
n
c f
x x
n
x f
x x
x f
x x
x f
x f
x f
1 0
) 1 (
) (
)!
1 (
) ( )
+
n
c f x R
∑
=
−
= n
k
k k
k
x f x
P
0
0
!
) ( )
(
1
) 1 (
)
( 2
)!
1 (
)
(
!
) 0 (
! 2
) 0 (
"
! 1
) 0 ( ' )
0 ( )
+
+ +
+ +
+
= n n n xn
n
c f
x n
f x
f x
f f
x
f
0 ) ( lim ) (
→
a x a
x
L x g
x f x
g
x f
a x a
→
) ( ' lim ) ( '
) ( ' lim
Trang 6• Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.
1 Dạng 0/0, ∞/∞
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)
Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng ∞/∞)
2 Dạng 0.∞, ∞ - ∞: Chuyển chúng về dạng 0/0, ∞/∞
Ví dụ:
3 Dạng vô định: 00, 1∞, ∞0:
Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0)
Ví dụ:
CỰC TRỊ
Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0))
Chiều biến thiên của hàm số:
Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):
1 Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f tăng
2 Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f giảm
Điều kiện cần của cực trị:
Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0 và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0
Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị
Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại
Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là điểm tới hạn
của f:
a) Không tồn tại f’(x)
b) f’(x) = 0
Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f.
Điều kiện đủ của cực trị:
Định lý: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0
a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0
Nguồn:
0 ) ( lim
)
(
∞
→
∞
x
→
lim f x g x
a x a
x
∞
=
=
∞
→
∞
lim f x g x
x
x
3
4
27
3
−
x
x tgx
x sin
lim
0 −
−
sin lim
x
x x
x
−
→
x
arctgx
x 2 1
∞
→
π
gx
x
x cot
ln
lim
0 +
x
ln lim
+∞
n
x e
x
+∞
→
lim
x
x
xlim 5ln
0 +
→
) cos
1 ( lim
2 / tgx x
→ π
2
0
lim x
x x
+
→
x
x x −
→
1 2 1
1
lim
→
Trang 7b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0 c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x0
Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x0 và f’(x) = 0.
a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu
b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại
Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn:
1 Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút
2 Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính trên là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất cần tìm)
Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
f(x) = x3 – 3x2 +1 trên đoạn [-1/2, 4]
Biến kinh tế:
QS Quantity Supplied Lượng cung
QD Quantity Demanded Lượng cầu
TC Total Cost Tổng chi phí
TR Total Revenue Tổng doanh thu
Hàm số kinh tế:
• Hàm sản xuất : Q = f(K,L)
• Hàm doanh thu : TR = PQ
• Hàm chi phí : TC = f(Q)
• Hàm lợi nhuận : π = TR - TC
Ví dụ: Một quán bún bình dân, hãy tính mỗi ngày bán bao nhiêu tô thì có lời với giá bán
5.000đ/tô và chi phí như sau:
Thuê mặt bằng, điện
nước
50.000đ/ngày
Gia vị 200đ/tô
Thịt bò, heo 2.000đ/tô
Trang 8Nhân viên 500đ/tô
Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế:
• Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay đổi của sản lượng khi
tăng lao động hay vốn lên một đơn vị
• Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp và cho nhận xét khi L=100
cho bởi hàm sản xuất sau:
• Chi phí biên MC: (Marginal Cost)
Hàm chi phí: TC = TC(Q)
MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một đơn vị
• Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét.
TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100
• Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue)
Hàm doanh thu: TR = PQ
• Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định thì MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị
• Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường quyết định thì MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi giá tăng thêm 1 đơn vị
• Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:
Q = 1.000 – 14P
Tìm MR khi p = 40 và p = 30
• Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit)
Hàm lợi nhuận: π = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q))
Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi nhuận khi giá hay sản lượng tăng thêm 1 đơn vị
• Tối đa hóa lợi nhuận:
Hàm chi phí: TC = TC(x)
Hàm cầu: x = QD = f(P)
Giả sử thị trường độc quyền:
Hàm lợi nhuận: π = TR – TC = Px – TC(x)
• Ví dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung cấp thông tin:
Định phí: FC = 600
Biến phí: VC = 1/8 x2 + 6x
Hàm cầu: x = -7/8 P + 100
Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tốt đa
Nguồn:
L
Q= 5
<−
=−
⇔
<
=
0
) (
0
) ( 0
0
2
2 2
2
dx
TC TRd dx
TC TRd
dx
d
dx
d
π
π