Tuyệt chiêu hàm số

Tuyệt Chiêu Hàm Số Trong các đề thi Đại học chủ đề về hàm số rất được quan tâm vì phần này khá hay và cũng khó, đa phần học sinh thường bỏ qua câu này, nhưng với phần tài liệu này sẽ cung cấp những bài tập điển hình giúp các em đạt được điểm trọn vẹn trong phần này.Mời các bạn tham khảo nhé

Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn điệu hàm Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT ðịnh nghĩa : Giả sử K khoảng , ñoạn nửa khoảng Hàm số f xác ñịnh K ñược gọi ( ) ( ) ⇒ f ( x ) > f (x ) • ðồng biến K với x 1, x ∈ K , x < x ⇒ f x < f x • Nghịch biến K với x 1, x ∈ K , x < x 2 ðiều kiện cần ñể hàm số ñơn ñiệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I ( ) I f ' ( x ) ≤ với x ∈ I • Nếu hàm số f đồng biến khoảng I f ' x ≥ với x ∈ I • Nếu hàm số f nghịch biến khoảng ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñơn ñiệu : ðịnh lý : ðịnh lý giá trị trung bình phép vi phân (ðịnh lý Lagrange): Nếu hàm số f liên tục a;b  có đạo hàm khoảng a;b tồn điểm c ∈ a;b ( ) () () ( )( cho f b − f a = f ' c b − a ( ) ) ðịnh lý : Giả sử I khoảng nửa khoảng ñoạn , f hàm số liên tục I có ñạo hàm ñiểm I ( tức điểm thuộc I khơng phải đầu mút I ) Khi : ( ) Nếu f ' ( x ) < với x ∈ I hàm số f Nếu f ' ( x ) = với x ∈ I hàm số f • Nếu f ' x > với x ∈ I hàm số f đồng biến khoảng I • • nghịch biến khoảng I khơng ñổi khoảng I Chú ý : ( ) ( ) ( ) ( ) • Nếu hàm số f liên tục a;b  có đạo hàm f ' x > khoảng a;b hàm số f đồng biến a;b  • Nếu hàm số f liên tục a;b  có đạo hàm f ' x < khoảng a;b hàm số f nghịch biến a;b  Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn điệu hàm Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên hàm số : a ) f x = x − 3x + 8x − x − 2x b) f x = x −1 c) f x = x + 3x + 3x + ( ) ( ) ( ) ( ) d) f x = x − x − 2x + Giải : x − 3x + 8x − Hàm số ñã cho xác ñịnh ℝ ( ) a) f x = ( ) Ta có f ' x = x − 6x + ( ) f ' x = ⇔ x = 2, x = Chiều biến thiên hàm số ñược nêu bảng sau : x −∞ +∞ f' x + − + ( ) f (x ) +∞ −∞ ( ) ( ) ( ) Vậy hàm số ñồng biến khoảng −∞;2 4; +∞ , nghịch biến khoảng 2; x − 2x b) f x = x −1 Hàm số ñã cho xác ñịnh tập hợp ℝ \ ( ) {} ( ) Ta có f ' x = (x − 1) + > 0, x ≠ = ( x − 1) ( x − 1) x − 2x + 2 2 Chiều biến thiên hàm số ñược nêu bảng sau : x −∞ +∞ f' x + + ( ) +∞ ( ) +∞ f x −∞ −∞ Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn điệu hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 ( ) ( Vậy hàm số ñồng biến khoảng −∞;1 1; +∞ ) ( ) c) f x = x + 3x + 3x + Hàm số ñã cho xác ñịnh ℝ ( ) ( Ta có f ' x = 3x = 6x + = x + ( ) ) ( ) f ' x = ⇔ x = −1 f ' x > với x ≠ −1 ( ) Vì hàm số ñồng biến nửa khoảng −∞; −1  −1; +∞ nên hàm số ñồng biến ℝ Hoặc ta dùng bảng biến thiên hàm số : x −∞ −1 +∞ f' x + + ( ) f (x ) +∞ −∞ Vì hàm số đồng biến nửa khoảng −∞; −1  −1; +∞ nên hàm số ñồng biến ℝ 1 d ) f x = x − x − 2x + Tương tự a ) ( ) ( ) Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên hàm số : a ) f x = 2x + 3x + ( ) f (x ) = x b) − 2x − c) f x = − x + 6x − 9x − 3 d) ( ) f (x ) = 2x − x Giải : ( ) a ) f x = 2x + 3x + Hàm số ñã cho xác ñịnh ℝ Ta có f ' x = 6x + 6x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −1; ) ⇒ f ( x ) nghịch biến khoảng ( −1; ) Ngồi : Học sinh giải f ' ( x ) = , tìm hai nghiệm x = −1, x = , kẻ bảng biến thiên kết f ' x > 0, x ∈ −∞; −1 , 0; +∞ ⇒ f x ñồng biến khoảng −∞; −1 0; +∞ luận Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn điệu hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 ( ) b ) f x = x − 2x − Hàm số ñã cho xác ñịnh ℝ Ta có f ' x = 4x − 4x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −∞; −1) , ( 0;1) ⇒ f ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; −1) ( 0;1) Ngoài : Học sinh giải f ' ( x ) = , tìm hai nghiệm x = −1, x = 0, x = , kẻ bảng biến thiên f ' x > 0, x ∈ −1; , 1; +∞ ⇒ f x ñồng biến khoảng −1; 1; +∞ kết luận c) f x = − x + 6x − 9x − 3 Hàm số ñã cho xác ñịnh ℝ ( ) ( ) ( Ta có f ' x = −4x + 12x − = − 2x − ) 3 f ' x < với x ≠ 2  3 Vì hàm số nghịch biến nửa khoảng  −∞;  2  ( ) f' x =0⇔x = ( ) 3   ; +∞  nên hàm số nghịch biến ℝ 2  ( ) d ) f x = 2x − x Hàm số ñã cho xác định 0;2  1−x Ta có f ' x = , x ∈ 0;2 2x − x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) nghịch ( 0;1) biến khoảng (1;2 ) f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ñồng biến khoảng Hoặc trình bày : ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) nghịch f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ñồng biến ñoạn 0;1 biến ñoạn 1;2  Ví dụ 3: ( ) Chứng minh hàm số f x = − x nghịch biến ñoạn 0;2  Giải : ( ) Dễ thấy hàm số ñã cho liên tục ñoạn 0;2  có đạo hàm f ' x = ( ) x ∈ 0;2 Do hàm số nghịch biến ñoạn 0;2  −x − x2 < với Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn ñiệu hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Ví dụ 4: ( ) Chứng minh hàm số f ( x ) = cos 2x − 2x + nghịch biến ℝ Chứng minh hàm số f x = x + x − cos x − ñồng biến ℝ Giải : Hàm số ñã cho xác định ℝ ( ) Ta có f ' x = 3x + + sin x ( ) Vì 3x ≥ 0, x ∈ ℝ + sin x ≥ 0, x ∈ ℝ nên f ' x ≥ 0, x ∈ ℝ Do ñó hàm số ñồng biến ℝ Hàm số ñã cho xác ñịnh ℝ ( ) ( ) ( ) Ta có f ' x = −2 sin 2x + ≤ 0, ∀x ∈ ℝ f ' x = ⇔ sin 2x = −1 ⇔ x = − π + kπ , k ∈ ℤ  π  π Hàm số nghịch biến ñoạn  − + k π ; − + k + π  , k ∈ ℤ Do hàm số nghịch biến   ℝ ( ) Ví dụ 5: ( ) ( Tìm khoảng đơn điệu hàm số f x = sin x khoảng 0;2π ) Giải : ( ) ( ) ( ) Hàm số ñã cho xác định khoảng 0;2π có đạo hàm f ' x = cos x , x ∈ 0;2π 3π 2 Chiều biến thiên hàm số ñược nêu bảng sau : π 3π x 2π 2 f' x + − + ( ) ( ) f ' x = 0, x ∈ 0;2π ⇔ x = ( ) f (x ) π ,x = −1  π   3π   π 3π Hàm số ñồng biến khoảng  0;   ;2π  , nghịch biến khoảng  ;  2   2    Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn điệu hàm Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 Ví dụ 6:  π Chứng minh : sin x + tan x > 2x , ∀x ∈  0;   2 Giải :  π Xét hàm số f x = sin x + tan x − 2x liên tục nửa khoảng 0;  Ta có :  2  π 1 2 cos 0, − > + − > ∀ ∈ f ' x = cos x + x x  0;  ⇒ f x hàm số ñồng biến cos2 x cos2 x  2 ( ) ( ) ( )  π  π  π 0;  f x > f , ∀x ∈  0;  hay sin x + tan x > 2x , ∀x ∈  0;   2  2  2 ( ) () ỨNG DỤNG ðẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TỐN ðẠI SỐ Ví dụ 1: Giải phương trình : 81sin x + cos x = 10 10 81 * 256 () Giải : ðặt t = sin x ; ≤ t ≤ 81 , t ∈ 0;1 256 5 Xét hàm số f (t ) = 81t + (1 − t ) liên tục đoạn  0;1 , ta có: () Khi phương trình * ⇔ 81t + (1 − t ) = 5 f '(t ) = 5[81t − (1 − t )4 ],t ∈ 0;1 81t = (1 − t )4  f '(t ) = ⇔  ⇔t = t ∈ 0;1  81 256 1 π ⇔ sin x = ⇔ cos 2x = ⇔ x = + k π (k ∈ Z ) Vậy phương trình có nghiệm t = 4 Lập bảng biến thiên từ bảng biến thiên ta có: f (t ) ≥ f ( ) = 10 Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn điệu hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Ví dụ 2: Giải phương trình : 3x (2 + 9x + 3) + (4x + 2)( + x + x + 1) = e tan x  π π + cosx=2 ,x ∈  - ;   2 2003x + 2005x = 4006x + 3x = + x + log 3(1 + 2x ) Giải : 3x (2 + 9x + 3) + (4x + 2)( + x + x + 1) = (1) ( ) Phương trình (1) ⇔ −3x (2 + (−3x )2 + 3) = (2x + 1)(2 + (2x + 1)2 + 3) (2) ðặt u = −3x , v = 2x + 1, u, v > Phương trình (1) ⇔ u(2 + Xét hàm số f (t ) = 2t + Ta có f '(t ) = + u + 3) = v(2 + v + 3) (3) t + 3t , t > 2t + 3t t + 3t ( () ) > 0, ∀t > ⇒ f t ñồng biến khoảng 0; +∞ Khi phương trình (3) ⇔ f (u ) = f (v ) ⇔ u = v ⇔ −3x = 2x + ⇔ x = − Vậy x = − Chú ý : nghiệm phương trình ( ) Nếu hàm số y = f x ln đơn điệu nghiêm ngoặc ( ln đồng biến ln nghịch biến ) ( ) ( ) () số nghiệm phương trình : f x = k không nhiều f x = f y x =y e tan x  π π + cosx =2 ,x ∈  - ;   2 Xét hàm số : f (x ) = e tan2 x  π π + cosx liên tục khoảng x ∈  - ;  Ta có  2 11 Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu hàm f '(x ) = tan x e tan Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 x cos x tan2 x  tan2x  2e − cos3x   − sin x = sin x   cos3x   ≥ > cos x > Vì 2e Nên dấu f '(x ) dấu sin x Từ ta có f (x ) ≥ f (0) = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 3 2003x + 2005x = 4006x + x x Xét hàm số : f (x ) = 2003 + 2005 − 4006x − x x Ta có: f '(x ) = 2003 ln 2003 + 2005 ln 2005 − 4006 f ''(x ) = 2003x ln2 2003 + 2005x ln2 2005 > ∀x ⇒ f "(x ) = vô nghiệm ( ) ( ) f ( ) = f (1) = nên phương trình cho có hai nghiệm x = 0, x = f ' x = có nhiều nghiệm Do phương trình f x = có nhiều hai nghiệm Chú ý : ( ) • Nếu hàm số y = f x ln ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( ñồng biến nghịch biến ) ( ) hàm số y = g x ln đơn điệu nghiêm ngoặc ( ln đồng biến ln nghịch biến ) ( ) ( ) D , số nghiệm D phương trình f x = g x khơng nhiều ( ) • Nếu hàm số y = f x ) có đạo hàm đến cấp n phương trình f phương trình f (k ) (x ) = có m nghiệm, (k −1) (x ) = có nhiều m + nghiệm 3x = + x + log 3(1 + 2x ) x >− Phương trình cho () > 0, t > ⇒ f (t ) hàm ñồng biến Xét hàm số: f (t ) = t + log t, t > ta có f ' (t ) = + t ln khoảng ( 0; +∞ ) nên phương trình (*) ⇔ f (3x ) = f (1 + 2x ) ⇔ 3x = 2x + ⇔ 3x − 2x − = (* *) ⇔ 3x + x = + 2x + log3 (1 + 2x ) ⇔ 3x + log3 3x = + 2x + log3 (1 + 2x ) * x x x Xét hàm số: f (x ) = − 2x − ⇒ f '(x ) = ln − ⇒ f "(x ) = ln > 12 Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn ñiệu hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 () ⇒ f (x ) = có nhiều hai nghiệm, f (0) = f = nên phương trình cho có hai nghiệm x = 0, x = Ví dụ 3: Giải phương trình : log ( ) 1 x − 3x + + +   5 x −x −1 () =2 * Giải : ðiều kiện x − 3x + ≥ ⇔ x ≤ ∨ x ≥ ðặt u = x − 3x + 2, u ≥ 1−u 1 Phương trình * ⇔ log u + +   5 () ( ) 1 = ⇔ log u + +   5u = 2, u ≥ * * 5 ( ) ( ) 1 Xét hàm số : f u = log u + +   5u liên tục nửa khoảng 0; +∞ , ta có : 5 ( ) f ' (u ) = ( ) ) 1 + 5u ln 5.2u > 0, ∀u ≥ ⇒ f u ñồng biến nửa khoảng 0; +∞ (u + 2)ln ( ) () ( ) f = ⇒ u = nghiệm phương trình * * Khi  3− x = thoả ñiều kiện x − 3x + = ⇔ x − 3x + = ⇔   3+ x =  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình : 2x y (1) 2y x (2)  x + 2x = y ( )   y + 2y = x ( ) x − 3x = y − 3y (1)  6 (2) x + y = 13 ) Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn điệu hàm Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 Giải : 2x y (1) 2y x (2)   − ≤ x ≤ ðiều kiện:    − ≤ x ≤  Cách 1: Trừ (1) (2) ta ñược: 2x + − − x = 2y + − − y (3)   2t + − − t , t ∈  − ;  , ta có:     1 f / (x ) = + > 0, ∀t ∈  − ;  ⇒ (3) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y   2t + − t Thay x = y vào (1) ,ta ñược: Xét hàm số f (t ) = 2x + + − x = ⇔ x + + (2x + 3)(4 − x ) = 16 x =  − x ≥   ⇔ −2x + 5x + 12 = − x ⇔  ⇔   9x − 38x + 33 =  x = 11    11  x =  x = Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt  ,   y =  11   y =  Cách 2: Trừ (1) (2) ta ñược: ( ) ( 2x + − 2y + +  ⇔ (x − y )  +  2x + + 2y + Thay x = y vào (1) ,ta ñược: 2x + + ) −y − −x = ⇔ −y + (2x + 3) − (2y + 3) 2x + + 2y +  = ⇔ x = y  − x  − x = ⇔ x + + (2x + 3)(4 − x ) = 16 x =  − x ≥   ⇔ −2x + 5x + 12 = − x ⇔  ⇔   9x − 38x + 33 =  x = 11   14 + (4 − y ) − (4 − x ) −y + 4−x =0 ... -ðàsốLạt Tính đơn điệu hàm Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 Ví dụ 4: ( ) Chứng minh hàm số f ( x ) = cos 2x − 2x + nghịch biến ℝ Chứng minh hàm số f x = x + x − cos x − ñồng biến ℝ Giải : Hàm. .. Chiều biến thiên hàm số ñược nêu bảng sau : x −∞ +∞ f'' x + + ( ) +∞ ( ) +∞ f x −∞ −∞ Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn ñiệu hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 ( ) ( Vậy hàm số ñồng biến khoảng... π  π Hàm số nghịch biến ñoạn  − + k π ; − + k + π  , k ∈ ℤ Do hàm số nghịch biến   ℝ ( ) Ví dụ 5: ( ) ( Tìm khoảng đơn điệu hàm số f x = sin x khoảng 0;2π ) Giải : ( ) ( ) ( ) Hàm số cho