T02. Tuyet chieu Ham so ( du dang)

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Chương ŀ Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa : Giả sử K khoảng , đoạn nửa khoảng Hàm số f xác định K gọi • Đồng biến K với x 1, x ∈ K , x < x ⇒ f x < f x ; • Nghịch biến K với x 1, x ∈ K , x < x ( ) ( ) ⇒ f ( x ) > f (x ) 2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I ( ) biến khoảng I f ' ( x ) ≤ với x ∈ I • Nếu hàm số f đồng biến khoảng I f ' x ≥ với x ∈ I ; • Nếu hàm số f nghịch Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Giả sử I khoảng nửa khoảng đoạn , f hàm số liên tục I có đạo hàm điểm I ( tức điểm thuộc I đầu mút I ) Khi : • Nếu f ' x > với x ∈ I hàm số f đồng biến khoảng I ; • • ( ) Nếu f ' ( x ) < với x ∈ I hàm số f Nếu f ' ( x ) = với x ∈ I hàm số f nghịch biến khoảng I ; không đổi khoảng I Chú ý : • Nếu hàm số f liên tục a;b  có đạo hàm f ' x > khoảng ( ) (a;b ) hàm số f đồng biến a;b  ( ) • Nếu hàm số f liên tục a;b  có đạo hàm f ' x < khoảng (a;b ) hàm số f nghịch biến a;b  • Giả sử hàm số f liên tục đoạn a;b  ( ) * Nếu hàm số f đồng biến khoảng a;b đồng biến đoạn a;b  Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( ) * Nếu hàm số f nghịch biến khoảng a;b nghịch biến đoạn a;b  ( ) * Nếu hàm số f không đổi khoảng a;b không đổi đoạn a;b  Định lý mở rộng Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I • Nếu f '(x ) ≥ với ∀x ∈ I f '(x ) = số hữu hạn điểm thuộc I hàm số f đồng biến khoảng I ; • Nếu f '(x ) ≤ với ∀x ∈ I f '(x ) = số hữu hạn điểm thuộc I hàm số f nghịch biến khoảng I 1.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng : Xét chiều biến thiên hàm số ( ) Xét chiều biến thiên hàm số y = f x ta thực bước sau: • Tìm tập xác định D hàm số ( ) • Tính đạo hàm y ' = f ' x ( ) ( ) • Tìm giá trị x thuộc D để f ' x = f ' x không xác định ( ta gọi điểm tới hạn hàm số ) • Xét dấu y ' = f ' x khoảng x thuộc D ( ) • Dựa vào bảng xét dấu điều kiện đủ suy khoảng đơn điệu hàm số Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên hàm số sau: x +2 −x + 2x − 1 y = y = x −1 x +2 Giải: x +2 x −1 * Hàm số cho xác định khoảng −∞;1 ∪ 1; +∞ y = ( * Ta có: y ' = - ( x −1 * Bảng biến thiên: x −∞ y' y ) ) ( ) < 0, ∀x ≠ 1 − +∞ − +∞ −∞ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( ) ( ) Vậy hàm số đồng biến khoảng −∞;1 1; +∞ −x + 2x − x +2 * Hàm số cho xác định khoảng −∞; −2 ∪ −2; +∞ y = ( * Ta có: y ' = −x − 4x + ( x +2 ) x = −5 y' = ⇔  x = * Bảng biến thiên : x −∞ −5 y' − +∞ y ) ( ) , ∀x ≠ −2 −2 +∞ + + − +∞ −∞ −∞ Vậy, hàm số đồng biến khoảng −5; −2 −2;1 , nghịch biến ( ( ) ( ) ( ) ) khoảng −∞; −5 1; +∞ Nhận xét: ax + b (a.c ≠ 0) đồng biến nghịch cx + d biến khoảng xác định * Đối với hàm số y = ax + bx + c * Đối với hàm số y = có hai khoảng đơn điệu a 'x + b ' * Cả hai dạng hàm số đơn điệu ℝ Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên hàm số sau: 2x − 3x y = y = x +1 x +1 x + 4x + x − 4x + y = y = x +2 2x − 2x − x +1 x + 2x + y = y = x 2x + x + Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên hàm số sau: y = − x − 3x + 24x + 26 y = x − 6x + 8x + Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD Giải: y = − x − 3x + 24x + 26 * Hàm số cho xác định ℝ * Ta có : y ' = −3x − 6x + 24 x = −4 y ' = ⇔ −3x − 6x + 24 = ⇔  x = * Bảng xét dấu y ' : x −∞ −4 y' − + +∞ ( − ) ( ) + Trên khoảng ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) : y ' < ⇒ y nghịch biến khoảng ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) + Trên khoảng −4;2 : y ' > ⇒ y đồng biến khoảng −4;2 , Hoặc ta trình bày : * Hàm số cho xác định ℝ * Ta có : y ' = −3x − 6x + 24 x = −4 y ' = ⇔ −3x − 6x + 24 = ⇔  x = * Bảng biến thiên : x −∞ −4 y' − + +∞ y +∞ − −∞ Vậy, hàm số đồng biến khoảng −4;2 , nghịch biến khoảng ( ) ( −∞; −4 ) (2; +∞ ) y = x − 6x + 8x + * Hàm số cho xác định ℝ * Ta có: y ' = 4x − 12x + = 4(x − 1)2 (x + 2) x = −2 y ' = ⇔ 4(x − 1)2 (x + 2) = ⇔  x = * Bảng xét dấu: x −∞ −2 y' − + +∞ + Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD Vậy,hàm số đồng biến khoảng (−2; +∞) nghịch biến khoảng (−∞; −2) Nhận xét: * Ta thấy x = y = , qua y ' không đổi dấu * Đối với hàm bậc bốn y = ax + bx + cx + dx + e có khoảng đồng biến khoảng nghịch biến Do với hàm bậc bốn đơn điệu ℝ Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên hàm số sau: y = − x + x + 3 y = x − 2x + x − 2x 7 y = 9x − 7x + x + 12 y = x − 3x + 2 y = x + 3x + 3x + x + 2x − 4 y = x + 2x − 3 y = − Ví dụ : Xét chiều biến thiên hàm số sau: y = x − 2x y = x − x 2 y = 3x − x y = x + − x + 3x + Giải: y = x − 2x ( ) * Hàm số cho xác định nửa khoảng −∞;  ∪ 2; +∞ x −1 * Ta có: y ' = , ∀x ∈ −∞; ∪ 2; +∞ x − 2x Hàm số đạo hàm điểm x = 0, x = Cách : ( ) ( ) ( ) ( ) + Trên khoảng ( 2; +∞ ) : y ' > ⇒ hàm số đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) + Trên khoảng −∞; : y ' < ⇒ hàm số nghịch biến khoảng −∞; , Cách : Bảng biến thiên : x −∞ y' − || || + +∞ y Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( ) ( Vậy , hàm số nghịch biến khoảng −∞; đồng biến khoảng 2; +∞ ) y = 3x − x * Hàm số cho xác định nửa khoảng (−∞; 3] 3(2x − x ) * Ta có: y ' = ( ) ( ) , ∀x ∈ −∞; ∪ 0; 3x − x Hàm số đạo hàm điểm x = 0, x = ( ) ( ) Suy ra, khoảng −∞; 0; : y ' = ⇔ x = Bảng biến thiên: x −∞ y' − || + − +∞ || y Hàm số đồng biến khoảng (0;2) , nghịch biến khoảng (−∞; 0) (2; 3) y = x − x * Hàm số cho xác định đoạn  −1;1 * Ta có: y ' = − 2x ( ) , ∀x ∈ −1;1 − x2 Hàm số đạo hàm điểm x = −1, x = ( ) Trên khoảng −1;1 : y ' = ⇔ x = ± Bảng biến thiên: x −∞ y' −1 || − − 2 2 + 2 − +∞ || y  2  , nghịch biến khoảng Hàm số đồng biến khoảng  − ;  2       2  −1; −   ;1          10 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD y = x + − x + 3x + * Hàm số cho xác định ℝ 2x + * Ta có: y ' = − x + 3x +  x ≥ −  y ' = ⇔ x + 3x + = 2x + ⇔  x + 3x + = 2x +  Bảng biến thiên : x −∞ −1 y' + − ( ) ⇔ x = −1 +∞ y Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) , nghịch biến khoảng (−1; +∞) Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên hàm số sau: y = 2x − x 2 y = x + − x − 4x + 3 y = 3x − y = x − 2x ( y = − 3x y = y = ) 6x + 2x − x + 3x + x +2 x2 − x + Ví dụ :Xét chiều biến thiên hàm số sau: y =| x − 2x − | Giải: x − 2x − x ≤ −1 ∨ x ≥  y =| x − 2x − | =  −x + 2x + − < x < * Hàm số cho xác định ℝ 2x − x < −1 ∨ x > * Ta có: y ' =  −2x + − < x < Hàm số đạo hàm x = −1 x = ( ) + Trên khoảng ( −∞; −1) : y ' < ; + Trên khoảng ( 3; +∞ ) : y ' > + Trên khoảng −1; : y ' = ⇔ x = ; 11 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Bảng biến thiên: x −∞ y' Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD −1 || − + − || + +∞ y Hàm số đồng biến khoảng (−1;1) (3; +∞) , nghịch biến khoảng (−∞; −1) (1; 3) Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên hàm số sau: y = x − 5x + y = −x + − 2x + 5x − y = −3x + + x − 6x + y = x + x − 7x + 10 Ví dụ : Xét chiều biến thiên hàm số sau: y = sin x + cos 2x đoạn 0; π  Giải : * Hàm số cho xác định đoạn 0; π  ( ) * Ta có: y ' = cos x − sin x , x ∈ 0; π  x ∈ 0; π     π π 5π  cos x = Trên đoạn 0; π  : y ' = ⇔   ⇔x = ∨x = ∨x = 6    sin x = Bảng biến thiên: x π π 5π π 6 + − + − y' y  π Dựa vào bảng biến thiên suy : hàm số đồng biến khoảng  0;   6  π 5π  π π   5π   ;  , nghịch biến khoảng  ;   ; π  2  6 2   Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên hàm số sau: 12 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD  π y = sin 3x khoảng  0;   3 cot x y = khoảng 0; π x  π 1 − cos 2x khoảng  0;  y = sin 4x −  2   π π y = sin  x −  + cos  x +  đoạn 0; π  6 3   ( ) ( ) Ví dụ 6: Chứng minh hàm số y = sin2 x + cos x đồng biến đoạn  π π  0;  nghịch biến đoạn  ; π   3 3  Giải : * Hàm số cho xác định đoạn 0; π  ( ) ( ) * Ta có: y ' = sin x cos x − , x ∈ 0; π π ⇔x =  π  π + Trên khoảng  0;  : y ' > nên hàm số đồng biến đoạn 0;  ;  3  3 π  π  + Trên khoảng  ; π  : y ' < nên hàm số nghịch biến đoạn  ; π  3  3  ( ) ( ) Vì x ∈ 0; π ⇒ sin x > nên 0; π : y ' = ⇔ cos x = Bài tập tương tự : Chứng minh hàm số f x = x − sin x π − x − sin x đồng biến ( ) ( )( )  π đoạn 0;   2 Chứng minh hàm số y = cos 2x − 2x + nghịch biến ℝ Chứng minh hàm số y = t a n (π ;2π ) ( ) x đồng biến khoảng 0; π Chứng minh hàm số y = cos 3x + 3x đồng biến khoảng  π   0;   18  π π nghịch biến khoảng  ;   18  13 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD Dạng : Tùy theo tham số m khảo sát tính đơn điệu hàm số Ví dụ : Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu hàm số: 1 y = x − m m + x + m 3x + m + Giải: * Hàm số cho xác định ℝ ( ) ( ) ( * Ta có y ' = x − m m + x + m ∆ = m m − ) + m = y ' = x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ y ' = điểm x = Hàm số đồng ( ) biến nửa khoảng −∞;  0; +∞ Do hàm số đồng biến ℝ ( + m = y ' = x − ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ y ' = điểm x = Hàm số ( ) đồng biến nửa khoảng −∞;1 1; +∞ Do hàm số đồng biến ℝ x = m + m ≠ 0, m ≠ y ' = ⇔  x = m ⋅ Nếu m < m > m < m Bảng xét dấu y ' : x −∞ m m2 +∞ y' + − + ( ) Dựa vào bảng xét dấu, suy hàm số đồng biến khoảng −∞;m (m ; +∞ ) , giảm khoảng (m; m ) 2 ⋅ Nếu < m < m > m Bảng xét dấu y ' : x −∞ m2 y' + − m +∞ + ( ) Dựa vào bảng xét dấu, suy hàm số đồng biến khoảng −∞;m (m; +∞ ) , giảm khoảng (m ; m ) Bài tập tự luyện: Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu hàm số: 1 y = x − mx + m 3x + m − 3 1 y = m − x − m − x + x + 2m + 3 ( ) ( ) 14 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ( Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( ) ) tọa độ tiếp điểm cần tìm • Gọi M x ; f x k = (x −1 ) ,x0 ≠ • Vì (t ) (d ) tạo góc 450 t a n 450 = * k =− ⇔ x0 − * k =3⇔ hệ số góc tiếp tuyến (t ) ( ) (x −1 ) 2 =−  k +2 k =−  ⇔  − 2k k =  điều không xảy ( ) ( ) x = ⇒ y = ⇒ M 0; = ⇔ x 02 − 2x = ⇔  x = ⇒ y = −2 ⇒ M 2; −2 2x + , có đồ thị (C ) Tìm tất tham số x −2 m để đường thẳng (t ) : y = 2x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến song song với Giải : Đường thẳng (t ) : y = 2x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến Ví dụ : Cho hàm số y = song song với phương trình ( ) nghiệm phân biệt x 1, x thỏa mãn điều kiện y ' x ( ) ( 2x + = 2x + m có hai x −2 = y ' x Khi phương ( ) ) trình g x = 2x + m − x − 2m − = có nghiệm phân biệt x 1, x khác thỏa mãn điều kiện − (x −2 ) =− (x −2 ) ⇔ x1 + x =  ∆ = m − + 2m + >  ⇔ g = 2.22 + m − − 2m − ≠ ⇔ m =  m −6 − =4  2x Ví dụ 3: Cho hàm số y = có đồ thị (C ) Tìm đồ thị (C ) x +1 điểm M , cho tiếp tuyến M cắt hai trục tọa độ Ox ,Oy hai điểm ( () ) ( ( ) ) phân biệt A, B cho diện tích tam giác AOB có diện tích Giải : 167 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ( ) ( ) Gọi M x ; y ∈ C ⇒ y = Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD 2x x0 + ⇒ y '0 = (x +1 Phương trình tiếp tuyến (t ) (C ) M : y = ) 2 ( x0 + 2x 02 x+ ) ( x0 + ) ( ) Tiếp tuyến (t ) cắt hai trục tọa độ Ox ,Oy hai điểm phân biệt A −x 02 ; ,  2x 02  B 0;   x0 +  (   cho diện tích tam giác AOB có diện tích    ) 2x 1 OAOB = ⇔ OAOB = ⇔ x 02 x0 + ( ) = ( ⇔ 4x 02 − x + ) =0    2x 02 + x + = x = − ⇒ M  − ; −2  ⇔    2x − x − = x = ⇒ M 1;1    Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu toán M  − ; −2  , M 1;1   ( ) ( ) () Ví dụ : Chứng minh tiếp tuyến (d ), t đồ thị (C ) : y = x − 6x + 9x song song với hai tiếp điểm A, B đối xứng qua M (2;2) Giải : ( ) ( ( ) ) tiếp điểm (d ), (t ) đồ thị (C ) (d ) (t ) song song với y ' ( x ) = y ' ( x ) ⇔ 3x − 12x + = 3x − 12x + ⇔ x + x = x = − t ⇒ y ( x ) = t − 3t + Với x + x = tồn t > :  x = + t ⇒ y ( x ) = −t + 3t + ( ) Gọi A x 1, y x = x 13 − 6x 12 + 9x , B x , y x = x 23 − 6x 22 + 9x tọa độ 2 2 2 1 2  x + x2 =2 x =  Dễ thấy trung điểm đoạn AB có tọa độ  y x1 + y x  =2 y = Do hai tiếp điểm A, B đối xứng qua M (2;2) ( ) ( ) 168 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD 2x π Tìm α ∈  0;  cho điểm x −1  2 M (1 + sin α ; ) nằm đồ thị (C ) Chứng minh rằng, tiếp tuyến (C ) điểm M cắt hai tiệm cận (C ) hai điểm A, B đối xứng qua điểm M Giải : Vì M (1 + sin α ; ) nằm đồ thị (C ) nên: Ví dụ : Cho hàm số y = sin α = 2 (1 + sin α )  = ⇔ sin α − sin α + = ⇔ sin α = + sin α −  π π Vì α ∈  0;  nên sin α = ⇒ α = ⇒ M  ;9   2 2  3 Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M là: y = y '    x −  + 2   hay (d ) : y = −6x + 18 Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận đứng x = tại: A (1;12 ) Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận xiên tai điểm B có tọa độ nghiệm y = −6x + 18 ( x ; y ) hệ phương trình:  y = 2x +  xA  Dễ thấy:  y  A  x = ⇔ ⇒ B ( 2; ) y =6  + xB = = xM 2 + yB = = yM Suy ra, A, B đối xứng qua điểm M (đpcm) 2x − M cắt đường x −2 tiệm cận hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ , với I giao điểm hai tiệm cận Giải : 2x − Gọi M x ; y ∈ C ⇒ y = , y '0 = − x0 − x −2 () Ví dụ 6: Gọi d tiếp tuyến đồ thị (C ) : y = ( ) ( ) ( ) 169 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD () Phương trình tiếp tuyến d (C ) M : y = −1 (x −2 ) (x − x ) + 2x − x0 −  2x −   , B 2x − 2;2 −   (d ) cắt hai đường tiệm cận hai điểm phân biệt A  2; x ( ) ( ) Dễ thấy M trung điểm AB I 2;2 giao điểm hai đường tiệm cận Tam giác IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích     2x −   2 S = π IM = π (x − 2) +  −   = π (x − 2)2 +  ≥ 2π  x −2    ( x − 2)         x = ⇒ y = 1 Dấu đẳng thức xảy (x − 2)2 = ⇔  (x − 2)2 x = ⇒ y = ( ) ( ) Vậy M 1;1 M 3; thỏa mãn toán Bài toán : Phương trình tiếp tuyến đồ thị C : y = f x qua điểm M x 1; y1 ( ) Cách : ( ) ( ) () • Phương trình đường thẳng d qua điểm M có hệ số góc k có dạng : ( ) y = k x − x + y1 ( ) ( ( ) )  f x = k x − x + y1 d tiếp xúc với đồ thị C hệ sau  có nghiệm f ' x = k  Cách : • () ( ) ( ) ( ) () • Gọi N x ; y tọa độ tiếp điểm đồ thị C tiếp tuyến d qua điểm () ( ) M , nên d có dạng y = y '0 x − x + y (d ) qua điểm M nên có phương trình : y = y ' (x − x ) + y (*) • Từ phương trình ( * ) ta tìm tọa độ điểm N ( x ; y ) , từ ta tìm phương trình đường thẳng (d ) • 0 0 x4 − 3x + Ví dụ 2: Cho hàm số : y = có đồ thị (C ) Giả sử 2 M ∈ (C ) có hoành độ a Với giá trị a tiếp tuyến (C ) M cắt (C ) điểm phân biệt khác M Giải : 170 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD  a4 Vì M ∈ (C ) nên M  a ; yM = − 3a +  Tiếp tuyến M có hệ số góc yM' = 2a Tiếp tuyến M có dạng : 5  2 − 6a a4 − 3a + M 2 Tiếp tuyến d (C ) M cắt (C ) điểm phân biệt khác M () y = yx' (x − x M ) + yM ⇒ d : y = (2a − 6a )(x − a ) + () phương trình sau có nghiệm phân biệt : x4 a4 − 3x + = (2a − 6a )(x − a ) + − 3a + hay phương trình 2 2 2 (x − a ) (x + 2ax + 3a − 6) = có nghiệm phân biệt , nghĩa phương trình ( ) g x = x + 2ax + 3a − = có hai nghiệm phân biệt khác a ∆g' (x ) = a − (3a − 6) > a − <  a < ⇔ ⇔ ⇔   2 g(a ) = 6a − ≠ a ≠ a ≠ ±1  a < Vậy giá trị a cần tìm  a ≠ ±1 Bài tập tương tự : Tìm m để tiếp tuyến qua điểm M 2; m + đồ thị hàm số ( ) y = x − 3x + m phải qua gốc tọa độ O Bài :SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG Bài toán : Hai đường cong C : y = f x C ' : y = g x tiếp xúc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  f x = g x hệ phương trình sau:   f ' x = g ' x ( ) có nghiệm () ( ) Ví dụ : Tìm tham số thực m để đường thẳng d : y = m x − tiếp xúc với đồ thị C : y = − x + 3x ( ) Giải : 171 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD   − x + 3x = m x − d tiếp xúc với C hệ sau :  * có nghiệm  −x + = m   x = x = ⇒ m = −6 2x − 9x + 27 =    ⇔  2x − 3x − = ⇔ * ⇔ x = − ⇒ m = m = −x + m = −x +   Ví dụ : Tìm trục hoành điểm mà từ kẻ đến đồ thị x2 hàm số : y = hai tiếp tuyến tạo với góc 450 x −1 () ( ( ) )() () Giải : Gọi M ∈ Ox ⇒ M x ; , đường thẳng qua M có hệ số góc k , phương ( ) () ( ) trình có dạng : d : y = k x − x  x2 = k x − x0   x 2− d tiếp tuyến đồ thị hệ sau có nghiệm :  x − 2x =k   x −1  ( () ( ) ) x2 x − 2x = x − x ⇔ x  x + x − 2x  =   x −1 x −1 ( ) ( ) ( ) x =  ⇔ 2x x = , x ≠ −1  x0 +  • x =0⇒k = • x = 2x x0 + x − 2x ( x −1 ⇒k = ) = −4x (x +1 ) • Tiếp tuyến qua M tạo với đồ thị hàm số : y = x2 hai tiếp tuyến tạo x −1 với góc 450 k − k2 4x tan 450 = ⇒ = ⇒ x0 = ± 2 + k1k2 x0 + ( ) 172 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt )( ( Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD Vậy M − 2; , + 2; ) Ví dụ :Tìm tất điểm trục hoành điểm M mà qua vẽ tiếp tuyến đến đồ thị (C ) : y = x + 3x mà có tiếp tuyến vuông góc với ( ) k ⇒ (t ) : y = k ( x − a ) Giải : Gọi M a; ∈ Ox , đường thẳng (t ) qua M có hệ số góc x + 3x = k (x − a ) (1)  (t ) tiếp xúc với (C ) hệ sau có nghiệm :  (2) 3x + 6x = k Từ (1) , (2) suy : x + 3x = 3x + 6x (x − a ) ⇔ 2x + 3(a − 1)x − 6ax = x = ⇔ x 2x − 3(a − 1)x − 6a  = ⇔  2x − 3(a − 1)x − 6a = (3) • x = ⇒ k = ⇒ tiếp tuyến Qua M kẻ tiếp tuyến đến đến đồ thị (C ) mà có tiếp tuyến vuông góc với Khi (3) có nghiệm phân biệt x 1, x ≠ k1k2 = −1  a ≠  ⇔ ∆ > ⇔     3x + 6x   3x + 6x  = −1    a ≠   9 a − + 48a >  9 x 1x + 18x 1x x + x + 36x 1x = −1  ( ( ) ) ( )  a < −3 ∨ a > − vaø a ≠  ⇔ 81a − 81a a − − 108a + =  3(a -1)   x 1x = - 3a ; x + x =     vaø a ≠ a < −3 ∨ a > − ⇔ ⇔a = 27 −27a + =    Vậy M  ,  ∈ Ox thỏa toán  27  ( ) 173 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD Bài toán : ( ) ( ) ( ( ) ) có Phương trình tiếp tuyến đồ thị C : y = f x điểm M x ; f x ( )( ) ( ) dạng : y = f ' x x − x + f x x −4 với tiếp tuyến (t ) , x −1 biết tiếp tuyến (t ) tạo với đường thẳng (d ) : y = −2x + 2010 góc 450 Ví dụ :Tìm tọa độ tiếp điểm đồ thị (C ) : y = Giải : {} • D = ℝ\ • Ta có : y ' = • ,x ≠ (x − 1) Gọi M ( x ; f ( x ) ) tọa độ tiếp điểm cần tìm k = ( x0 − ) hệ số góc tiếp tuyến (t ) ,x0 ≠  k +2 k =−  • Vì (t ) (d ) tạo góc 45 t a n 45 = ⇔  − 2k = k  * k =− ⇔ = − điều không xảy 3 x −1 ( * k =3⇔ ) (x −1 ) ( ) ( ) x = ⇒ y = ⇒ M 0; = ⇔ x 02 − 2x = ⇔  x = ⇒ y = −2 ⇒ M 2; −2  0 2x + , có đồ thị (C ) Tìm tất tham số x −2 m để đường thẳng (t ) : y = 2x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến song song với Giải : Đường thẳng (t ) : y = 2x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến Ví dụ : Cho hàm số y = song song với phương trình 2x + = 2x + m có hai x −2 174 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( ) ( ) nghiệm phân biệt x 1, x thỏa mãn điều kiện y ' x = y ' x Khi phương ( ) ( ) trình g x = 2x + m − x − 2m − = có nghiệm phân biệt x 1, x khác thỏa mãn điều kiện − (x −2 ) =− (x −2 ) ⇔ x1 + x =  ∆ = m − + 2m + >  ⇔ g = 2.22 + m − − 2m − ≠ ⇔ m =  m −6 − =4  2x Ví dụ 3: Cho hàm số y = có đồ thị (C ) Tìm đồ thị (C ) x +1 điểm M , cho tiếp tuyến M cắt hai trục tọa độ Ox ,Oy hai điểm ( () ) ( ( ) ) phân biệt A, B cho diện tích tam giác AOB có diện tích Giải : ( ) ( ) Gọi M x ; y ∈ C ⇒ y = 2x x0 + ⇒ y '0 = (x +1 Phương trình tiếp tuyến (t ) (C ) M : y = ) 2 (x +1 ) 2x 02 x+ (x +1 ( ) ) Tiếp tuyến (t ) cắt hai trục tọa độ Ox ,Oy hai điểm phân biệt A −x 02 ; ,  2x 02  B 0;   x0 +  (   cho diện tích tam giác AOB có diện tích    ) 2x 1 OAOB = ⇔ OAOB = ⇔ x 02 x0 + ( ) = ⇔ 4x 02 − x + ( ) =0    2x 02 + x + = x = − ⇒ M  − ; −2  ⇔    2x − x − = x = ⇒ M 1;1    Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu toán M  − ; −2  , M 1;1   ( ) ( ) 175 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD () Ví dụ : Chứng minh tiếp tuyến (d ), t đồ thị (C ) : y = x − 6x + 9x song song với hai tiếp điểm A, B đối xứng qua M (2;2) Giải : ( ) ( ( ) ) tiếp điểm (d ), (t ) đồ thị (C ) (d ) (t ) song song với y ' ( x ) = y ' ( x ) ⇔ 3x − 12x + = 3x − 12x + ⇔ x + x = x = − t ⇒ y ( x ) = t − 3t + Với x + x = tồn t > :  x = + t ⇒ y ( x ) = −t + 3t + ( ) Gọi A x 1, y x = x 13 − 6x 12 + 9x , B x , y x = x 23 − 6x 22 + 9x tọa độ 2 2 2 1 2  x + x2 =2 x =  Dễ thấy trung điểm đoạn AB có tọa độ  y x y x +  =2 y = Do hai tiếp điểm A, B đối xứng qua M (2;2) ( ) ( ) 2x π Tìm α ∈  0;  cho điểm x −1  2 M (1 + sin α ; ) nằm đồ thị (C ) Chứng minh rằng, tiếp tuyến (C ) điểm M cắt hai tiệm cận (C ) hai điểm A, B đối xứng qua điểm M Ví dụ : Cho hàm số y = Giải : Vì M (1 + sin α ; ) nằm đồ thị (C ) nên: sin α = 2 (1 + sin α )  = ⇔ sin α − sin α + = ⇔ sin α = + sin α −  π π Vì α ∈  0;  nên sin α = ⇒ α = ⇒ M  ;9   2 2  3 Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M là: y = y '    x −  + 2   hay (d ) : y = −6x + 18 Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận đứng x = tại: A (1;12 ) Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận xiên tai điểm B có tọa độ nghiệm 176 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD y = −6x + 18 x = ⇔ ⇒ B ( 2; ) y =6  ( x ; y ) hệ phương trình:  y = 2x +  xA  Dễ thấy:  y  A  + xB = = xM 2 + yB = = yM Suy ra, A, B đối xứng qua điểm M (đpcm) 2x − M cắt đường x −2 tiệm cận hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ , với I giao điểm hai tiệm cận Giải : () Ví dụ 6: Gọi d tiếp tuyến đồ thị (C ) : y = ( ) ( ) Gọi M x ; y ∈ C ⇒ y = 2x − x0 − , y '0 = − () (x Phương trình tiếp tuyến d (C ) M : y = −2 ) −1 (x −2 (x − x ) + ) 2x − x0 −  2x −   , B 2x − 2;2 −   (d ) cắt hai đường tiệm cận hai điểm phân biệt A  2; x ( ) ( ) Dễ thấy M trung điểm AB I 2;2 giao điểm hai đường tiệm cận Tam giác IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích     2x −   2 S = π IM = π (x − 2) +  −   = π (x − 2)2 +  ≥ 2π  x −2    (x − 2)2        x = ⇒ y = 1 Dấu đẳng thức xảy (x − 2)2 = ⇔  (x − 2)2 x = ⇒ y = ( ) ( ) Vậy M 1;1 M 3; thỏa mãn toán Bài toán : Phương trình tiếp tuyến đồ thị C : y = f x qua điểm M x 1; y1 ( ) ( ) ( ) Cách : 177 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD () • Phương trình đường thẳng d qua điểm M có hệ số góc k có dạng : ( ) y = k x − x + y1 • f x = k x − x ) + y (d ) tiếp xúc với đồ thị (C ) hệ sau  f (' (x)) = k( 1  Cách : ( ) ( ) có nghiệm () • Gọi N x ; y tọa độ tiếp điểm đồ thị C tiếp tuyến d qua điểm () ( ) M , nên d có dạng y = y '0 x − x + y (d ) qua điểm M nên có phương trình : y = y ' (x − x ) + y (*) • Từ phương trình ( * ) ta tìm tọa độ điểm N ( x ; y ) , từ ta tìm phương trình đường thẳng (d ) • 0 0 x4 − 3x + Ví dụ 2: Cho hàm số : y = có đồ thị (C ) Giả sử 2 M ∈ (C ) có hoành độ a Với giá trị a tiếp tuyến (C ) M cắt (C ) điểm phân biệt khác M Giải :  a4 5 Vì M ∈ (C ) nên M  a ; yM = − 3a +  2  Tiếp tuyến M có hệ số góc yM' = 2a − 6a Tiếp tuyến M có dạng : a4 − 3a + M 2 Tiếp tuyến d (C ) M cắt (C ) điểm phân biệt khác M () y = yx' (x − x M ) + yM ⇒ d : y = (2a − 6a )(x − a ) + () phương trình sau có nghiệm phân biệt : x4 a4 − 3x + = (2a − 6a )(x − a ) + − 3a + hay phương trình 2 2 2 (x − a ) (x + 2ax + 3a − 6) = có nghiệm phân biệt , nghĩa phương trình ( ) g x = x + 2ax + 3a − = có hai nghiệm phân biệt khác a ∆ ' = a − (3a − 6) > a − <  a < ⇔  g (x ) ⇔ ⇔   g(a ) = 6a − ≠ a ≠ a ≠ ±1  178 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD  a < Vậy giá trị a cần tìm  a ≠ ±1 Bài tập tương tự : Tìm m để tiếp tuyến qua điểm M 2; m + đồ thị hàm số ( ) y = x − 3x + m phải qua gốc tọa độ O BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( ) a ) Tìm a, b biết đồ thị hàm số f x = ( )  5 ax − bx qua điểm A  −1;  x −1 2  tiếp tuyến O 0; có hệ số góc −3 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ứng với giá trị a, b vừa tìm ( ) b ) Tìm a, b biết đồ thị hàm số f x = 2x + ax + b tiếp xúc với hypebol a ) Tìm a, b biết đồ thị hàm số y = 1  điểm M  ;2  x 2  a ) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A 1; −2 tiếp xúc với ( ) parabol y = x − 2x x − 2, y = x + x − tiếp xúc M , viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong c) Chứng minh rằg đồ thị ba hàm số b ) Chứng minh hai đường cong y = x + ( ) ( ) ( ) f x = −x + 3x + 6, g x = x − x + 4, h x = x + 7x + tiếp xúc ( ) điểm A −1;2 d ) Chứng minh đồ thị hàm số x2 3x + x, g x = tiếp xúc Xác định tiếp điểm viết 2 x +2 phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong điểm ( ) f x = ( ) ( ) ( ) e ) Chứng minh đồ thị hàm số f x = x − x , g x = x − tiếp xúc Xác định tiếp điểm viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong điểm 179 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( ) Cho họ đường cong C m : y = x − 3x + mx + − m ( m tham số) () ( ) ( ) Đường thẳng d : y = − x cắt đường cong C họ C m điểm phân biệt A, B,C (theo thứ tự), tiếp tuyến A tiếp tuyến B (C ) cắt đường cong điểm thứ hai M N Tìm m để tứ giác AMBN hình thoi (C ) : y = −x + 4x − Tìm m n để đường thẳng (d ) : y = mx + n cắt đường cong (C ) điểm phân biệt A, B,C , D ( theo thứ 4 Cho đường cong BC tự ) cho AB = CD = Hướng dẫn : a −1 − −1   = ⇔ a = −2 a)   −1 − b = −3  f ' = −3  b ) a = −6, b = 2 a ) d : y = m x − − ⇒ m = y = 2x − , m = −2 ( ) ( ) () () ( ) ( ) (y = −2x ) 1 5 b ) M  ; −  , y = 2x − 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A ( −1;2 ) đồ thị ba hàm số có tiếp tuyến chung , nói khác đồ thị ba hàm số tiếp xúc điểm A ( −1;2 ) c) f −1 = g −1 = h −1 = 2, f ' −1 = g ' −1 = h ' −1 = , chứng tỏ ( ) d ) O 0; , y = x Cám ơn bạn đọc tài liệu góp ý để tài liệu hoàn chỉnh Tài liệu dài 500 trang, phần rút gọn dạng toán phù hợp học sinh miền Tài liệu miễn phí hoàn toàn , mục đích thương mại Thư từ góp ý gởi Email: phukhanh@moet.edu.vn cám ơn 180 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD 181