Bài tập giới hạn hàm số

Cách khử : +/ Phân tích tử và mẫu thành tích để giải ước nhân tử chung. +/ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp. Dạng : +/ Chia cả tử và mẫu cho ,với k là số mũ cao nhất của biến số x.(Hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử rồi giản ước). +/ Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn, thì đưa ra ngoài (k là bậc cao nhất của x trong căn) trước khi chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của x. Dạng và dạng : +/ Nhân và chia với biểu thức liên hợp,nếu có biểu thức chứa biến x dưới dấu căn hoặc quy đồng mẫu để đưa về cùng một phân thức.

CHỦ ĐỀ 15: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN

a.Giới hạn hữu hạn.

Giả sử (a;b)là một khoảng chứa điểm x và f là một hàm số xỏc định 0 trờn khoảng (a;b) \ x Khi đú 0 x xlimf(x ) L0 0

  nếu  dãy số (x )n trong tập

hợp (a;b) \ x0 mà limxn ,ta đều cú x0 limf(x ) Ln 

b.Giới hạn vụ cực

x xlimf(x)0 hay limf(x) x x 0 

     nếu  dóy x n (a;b) \ x0mà

n 0

limx  , ta đều cú x limf(x ) n hay limf(x )   n 

2.Giới hạn hàm số tại vụ cực.

+/ Giả sử ta cú hàm số f xỏc định trờn (a; ) Ta núi rằng hàm số f cú giới hạn là số thực L khi x dần đến  nếu với mọi dóy (x ) trong khoảngn (a; ) mà limx ,ta đều cú n limf(x ) Ln 

Ta viết xlim f(x) L  

+/ T ơng tự ta có lim f(x) , lim f(x) , lim f(x) L,

lim f(x) , lim f(x)

     

2.Một số định lý về giới hạn

Định lý 1: Giả sử xlimf(x) L và limg(x) M   x x 0  Khi đú:

0

x xlim f(x) g(x) L M

0

x xlim f(x) g(x) L M

x xlim f(x).g(x) L.M đặc biệt lim cf(x) cL.x x

d/

0

x x

f(x) L

g(x) M



Định lý 2: Giả sử x xlimf(x ) L0 0

  , khi đú:

a/

0

x xlim f(x) L

b/

0

3 3

0

x xlim f(x ) L

c/ Nếu f(x) 0 x J \ {x }   0 ,trong đú J là một khoảng nào đú chứa điểm x 0 thỡ

x x

L 0và lim f(x ) L



4 Giới hạn một bên.

+/ Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x ;b)0 .Ta nói hàm số f có

giới hạn bên phải là L khi x dần đến x (hoặc tại điểm 0 x ),nếu với mỗi dãy0 n

(x ) trong khoảng (x ;b)0 mà limxn  ,ta đều có x0 limf(x ) Ln 

Ta viết x xlimf(x) L 0 

+/ Định nghĩa tương tự cho x xlimf(x) L 0 

+/ Hàm số có giới hạn tại x và 0 x xlimf(x) L0

  tồn tại x xlimf(x)0

 , x xlimf(x) 0

và x xlimf(x) lim L 0 x x 0 

5 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

+/ Nếu

0

x xlim f(x)

0

x x

1

f(x)

+/ Quy tắc 1

Nếu x xlimf(x) 0  vµ limg(x) L 0x x 0   ,thì x xlim f(x).g(x)0 

 cho bởi bảng sau:

0

x xlimf(x)

0

x xlim f(x).g(x)



Quy tắc 2: x xlimf(x) L 0 0   và x xlimg(x) 0 vµ g(x) 0 hoÆc g(x) 00

0

x J \ {x } , trong đó J làmộy khoảng nào đó chứa điểm x ,thì 0

0

x x

f(x) lim g(x)

bởi bảng sau:

Dấu của L Dấu của f(x)

0

x x

f(x) lim g(x)



6 Một số dạng vô định

Dạng 0

0:

Cách khử :

+/ Phân tích tử và mẫu thành tích để giải ước nhân tử chung

+/ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân cả tử

và mẫu với biểu thức liên hợp

Dạng 

:

+/ Chia cả tử và mẫu cho xk,với k là số mũ cao nhất của biến số x.(Hay

phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước).

+/ Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn, thì đưa xk ra ngoài (k

là bậc cao nhất của x trong căn) trước khi chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của x

Dạng   và dạng 0.:

+/ Nhân và chia với biểu thức liên hợp,nếu có biểu thức chứa biến x dưới dấu căn hoặc quy đồng mẫu để đưa về cùng một phân thức

II Kĩ năng cơ bản

Vận dụng linh hoạt các định lý về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực để giải các bài toán về giới hạn hàm số

III Một số ví dụ:

A.Ví dụ tự luận:

Ví dụ 1: Áp dụng định nghĩa tính

2

x 2

3x x 1 lim

x 1



 

Giải :

+/ Hàm số f(x) 3x x 12

x 1

 



 xác định trên ¡ \ 1 . +/ Giả sử  x là dãy số tùy ý mà n xn 2

Khi đó

n

n

+/ Vậy 2

x 2

3x x 1

x 1

Ví dụ 2: Áp dụng định nghĩa tính

2 2

x 1

x 2x 3 lim

2x x 1



  . Giải :

+/ Hàm số f(x) x 2x 322

2x x 1



  xác định trên \ 1, 1

2

+/ Giả sử  x là dãy số tùy ý mà n xn 1

Khi đó

2

n n

n n

x 2x 3 f(x ) lim

2x x 1 (x 1)(x 3)

2(x 1)(x )

2

3

2







 +/ Vậy 22

x 1

x 2x 3 4 lim

3 2x x 1



Ví dụ 3: Tính

1/ 2

x 5

x 5 lim

x 25







 2/x 5 2

x 5 lim

x 25







 . Giải :

1/ Ta có :

x 5lim x 52 x 5lim x 5 x 5lim 1 1

x 25

2/ Ta có :

x 5lim  x 25x 52 x 5lim  (x 5)(x 5) 5 x  x 5lim  x 51  101

x 5 lim

x 25





Ví dụ 3: Cho hàm số

2

7x 4x 3 khi x 1 f(x)

4x 2 khi x 1

Tính limf(x)x 1

Giải :

+/ Ta có hàm số f(x) xác định trên tập ¡

+/ limf(x) lim(7x 4x 3) 6x 1 x 1 2  

+/ x 1limf(x) lim(4x 2) 6  x 1    .

+/ Do x 1limf(x) limf(x) 6  x 1   nên

x 1

limf(x) 6

Ví dụ 4: Tính

1/ xlim 3 12

3x x 2

     3/

2 2 x

x 7x

x 1

 



2/ 23

x

3x x 1 lim

x 3x 1

  

 

  Giải :

1/ Ta có x 3 2 x 3

3

1

x x

x 3

3 x

1 V× lim 0

x

1 2 lim 3 3

x x

  

 



3

2

2

2 3 x

2

x 3

3 1

x x

3

1

x x =

  

 

 

2 2

7 1

x

x





 

x

V× limx

7 1

x

 





Ví dụ 5: Tính

1/ 2

x 0

(x 3) 27

lim

x



  2/ 3

x 2

3 x 1 lim

x 2



 

 2/ 2

x 1

9 5x 2 lim

x 1



 4/

3 2 2

x 1

lim

x 1



Giải :

1/ Ta cã

2

x 0

lim(x x 27x) 27



2/ Ta có

x 1

x 1

5(1 x) lim

(x 1)(x 1)( 9 5x 2)

9 (x 1)( 9 5x 2)











3

2

3/ Tacã

1 lim

1 =

3







 4/ Ta có

Mặt khác

2

x 1

1 =lim

(x 1)( 5 x 2) 1

=

8







3

x 1 3

1 lim

1 =

12







Vậy 2 3 2

x 1

lim

x 1



Ví dụ 6: Tính

x

2 2 x

2 x

2 x

5x 3 1 x 1/ lim

1 x

x 2x 3x 2/ lim

4x 1 x 2 3/ lim x x x 4/ lim x x 1 x

  

 

 

  



  

 

Giải:

2 x

3 1 x 5

x

1 1

5 3

x x =lim

1 1 x = 5

  









2 2

x

x

2

1

x 2

x =lim

2

x =lim

 

 

 

 

  

 

   = 4

2

x

x

x 3/ lim x x x lim

x x x x =lim

1

x 1 =lim

1

x 1

=

2

 

 

 

 

 

2

x

2

x

2

x 4/ lim x x 1 x lim

x 1 x x =lim

1

x 1 =lim

1

x 1

=

2

 

 

 



B Ví dụ trắc nghiệm

Chọn phương án đúng cho mỗi ví dụ sau:

Ví dụ 7: limx 12x 1

x 2





 bằng:

A.0 B.1

3 C.

1

2 D.2

Ví dụ 8 : 2

x 0

x 3x 1 lim

x 1



 bằng:

A.1 B.0 C.1 D.3

Ví dụ 9: limx 0 1 12

x x



  bằng:

A.2 B.4 C. D. 

Ví dụ 10:

x 2

x 3 lim

x 1





 bằng:

A.1 B  2 C.1 D.2

Ví dụ 11:

Cho hàm số

2

x 2x khi x 1 f(x)

3x khi x<1



 Khi đó limf(x)x 1 bằng

A.1 B.2 C.không tồn tại D.3

Ví dụ 12: 2

x 1

x 1 lim

x 2





 bằng:

A.2 B.0 C.1 D.1

Ví dụ 13: 3 2

x 1

x 3x 4 lim

x 1



 bằng:

A.1 B.1,5 C.3 D.3,5

Ví dụ 14: 23

x 1

x 3x 2 lim

x 2x 3



  bằng:

A  B. C.1 D.03

Ví dụ 15: xlim 2x 32

x x 5

  



  bằng:

A.  B  C.1 D.2 Đáp án:

VD7 VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14 VD15

II.Bài tập

A.Bài tập tự luận

Bài1:Dùng định nghĩa tính giới hạn

1/ limx 3 x 52

x 4







x 2

x 3x 2 2/ lim

x 2



HD:

+/ Xem lại ví dụ 1

+/ Đ/S: 1/ 8

5 2/ 1

Bài 2 : Tính

2 2

x 1

2 2

x 2

x 1 1/ lim

x 3x 2

x 4x 12 2/ lim

x x 6











 

HD :

1/ Để ý: x 3x 2 x 3x 2 x>1 2   2  

2 2

x 1

x 1 x 2

x 3x 2

x 1 =lim 2

x 2





 

 2/ Để ý: x x 62  x x 6 x (-3;2)2   

2 2

x 1

x 3 x 2

x x 6

=lim





 

Bài 3: Tìm a để hàm số f(x) x 7x 2a 4 khi x>22

3ax 4 khi x 2



Có giới hạn khi x dần đến 2

HD:

2

+/ Ta cã limf(x) lim x 7x 2a 4 2a 14

limf(x) lim 3ax 4 6a 4

+/ Phải có

9 limf(x) limf(x) 2a 14 6a 4 a

2

+/ Vậy với a 9

2

 thì hàm số có giới hạn khi x dần đến 2

x 2

limf(x) 23

Bài 4: Tính

1/ lim 2/ lim

3/ lim 4/ lim



HD : Xem lại cách làm ở ví dụ 5

Đ/S: 1/ 4

15

 2/ 4

3

 3/ Lưu ý để cho gọn ta biến đổi

3x x 12  3x 13 3x x 1 12  3x 1 Nên giới hạn cần tính bằng:

 

2

1

1 =

3

4/ Để rút gọn ta biến đổi:

2

Như vậy giới hạn cần tính bằng

2

 

Bài 5:Tính

3

x

HD:

1/ Biến đổi giới hạn cần tính bằng

1 1 0

   2/ +/ Tương tự câu 1,thêm bớt 2 ở tử

+/ Đáp số 1

6. 3/ +/ Nhân liên hợp cả tử và mẫu

+/ Đáp số: 1

4/ +/ Biến đổi: x 2x 1 1 x 12 x 12

+/ Từ đó tính được giới hạn đã cho bằng 1

2. Bài 6 :Tính

 

2

2

2

3 3

3

x 1 4x 1 2 x

x 2x 3

x x 2

1 x 1 x



  

 

HD: Xem lại cách làm ở ví dụ 6

Đ/S: 1/ 5 2/ 1

3/ 1 4/ 0

5/ 1 6/ 1

2 7/ 1 8/ 2

Bài 7: Tính giới hạn sau theo a

2

2

x a

x a

(x 3x 2) x a

1/ lim

x 5x 4

x 2(a 1)x 2a 1 x a

2/ lim

x 5x 4x





 

HD:

1/ Ta có

2

2

(x 3x 2) x a (x 2)(x a)

x 4

x 5x 4



+/ Trường hợp 1: a 4

 I lim(x 2) 2.x 4   

+/ Trường hợp 2: a 4

 I 0.

+/ Vậy I 2 khi a=4

0 khi a 4



2/ Ta có: a 0

x a

x a

x 2(a 1)x 2a 1 x a

J lim

x 5x 4x (x 1)(x 2a 1)(x a)(x a) lim

x(x 1)(x 4)



 







+/ Trường hợp 1: a 1

 I limx 1 (x 1)(x 3)(x 4) x(x 4)  0

+/ Trường hợp 2: a 4

 I limx 4 (x 1)(x 9)(x 4) x(x 1)   103 

+/ Trường hợp 3:  a 1a 4  I 0

Vậy I 10 khi a 4

3

0 khi a 4







B.Bài tập trắc nghiệm.

Bài 1) Giới hạn lim1 2 1

1

x

x x





 bằng :

Bài 2) Giới hạn lim1 3 23 4

1

x

x



 bằng :

Bài 3) Giới hạn lim12 2 1 53 3

1

x

x



A) 19

12 B) 29

12 C) 19

12

 D) 29

12



Bài 4) Giới hạn lim1 32 3 2

x



  bằng : A) 3

Bài 5) Giới hạn lim2 2 2 4

x

x





  bằng : A) 8

Bài 6) Giới hạn lim1 3 1

3 1 2

x

x x





  bằng : A) 9

4 B) 4

9 C) 2

3 D) 4

3

Bài 7) Giới hạn lim3 1 2

6 3

x

x x



 

  bằng :

Bài 8) Giới hạn lim1 2 3 2

2

x

x



 

  bằng : A) 1

4

Bài 9) Giới hạn lim1 2 2 37 1

1

x

x



A) 13

12 B)  121 C) 13 D) 16 Bài 10) Giới hạn lim2 3 4. 2

2

x

x



 bằng :

Bài 11) Giới hạn lim2 2

2 2

x

x x





  bằng :

Bài 12) Giới hạn bằng :

Bài 13) Giới hạn lim1 4 5 3 1 5

1

x

x



A) 13

6 B) 17

12 C) 7

12 D) 1

12



Bài 14) Giới hạn lim2 22 2 8

2

x



  bằng :

Bài 15) Giới hạn lim0 1 2 231 3

x

x



   bằng : A)  B) 121 C) 32 D) 12 Bài 16) Giới hạn lim233 22 2

2

x



  bằng : A) 1

12 B) 7

12 C) 0 D) 16

Đáp án:

Bài 1 Bài 2 Bài 3 Bài 4 Bài 5 Bài 6 Bài 7 Bài 8

Bài 9 Bài 10 Bài 11 Bài 12 Bài 13 Bài 14 Bài 15 Bài 16