Thông tin tài liệu
Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn điệu hàm Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT ðịnh nghĩa : Giả sử K khoảng , ñoạn nửa khoảng Hàm số f xác ñịnh K ñược gọi ( ) ( ) ⇒ f ( x ) > f (x ) • ðồng biến K với x 1, x ∈ K , x < x ⇒ f x < f x • Nghịch biến K với x 1, x ∈ K , x < x 2 ðiều kiện cần ñể hàm số ñơn ñiệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I ( ) I f ' ( x ) ≤ với x ∈ I • Nếu hàm số f đồng biến khoảng I f ' x ≥ với x ∈ I • Nếu hàm số f nghịch biến khoảng ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñơn ñiệu : ðịnh lý : ðịnh lý giá trị trung bình phép vi phân (ðịnh lý Lagrange): Nếu hàm số f liên tục a;b có đạo hàm khoảng a;b tồn điểm c ∈ a;b ( ) () () ( )( cho f b − f a = f ' c b − a ( ) ) ðịnh lý : Giả sử I khoảng nửa khoảng ñoạn , f hàm số liên tục I có ñạo hàm ñiểm I ( tức điểm thuộc I khơng phải đầu mút I ) Khi : ( ) Nếu f ' ( x ) < với x ∈ I hàm số f Nếu f ' ( x ) = với x ∈ I hàm số f • Nếu f ' x > với x ∈ I hàm số f đồng biến khoảng I • • nghịch biến khoảng I khơng ñổi khoảng I Chú ý : ( ) ( ) ( ) ( ) • Nếu hàm số f liên tục a;b có đạo hàm f ' x > khoảng a;b hàm số f đồng biến a;b • Nếu hàm số f liên tục a;b có đạo hàm f ' x < khoảng a;b hàm số f nghịch biến a;b Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn điệu hàm Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên hàm số : a ) f x = x − 3x + 8x − x − 2x b) f x = x −1 c) f x = x + 3x + 3x + ( ) ( ) ( ) ( ) d) f x = x − x − 2x + Giải : x − 3x + 8x − Hàm số ñã cho xác ñịnh ℝ ( ) a) f x = ( ) Ta có f ' x = x − 6x + ( ) f ' x = ⇔ x = 2, x = Chiều biến thiên hàm số ñược nêu bảng sau : x −∞ +∞ f' x + − + ( ) f (x ) +∞ −∞ ( ) ( ) ( ) Vậy hàm số ñồng biến khoảng −∞;2 4; +∞ , nghịch biến khoảng 2; x − 2x b) f x = x −1 Hàm số ñã cho xác ñịnh tập hợp ℝ \ ( ) {} ( ) Ta có f ' x = (x − 1) + > 0, x ≠ = ( x − 1) ( x − 1) x − 2x + 2 2 Chiều biến thiên hàm số ñược nêu bảng sau : x −∞ +∞ f' x + + ( ) +∞ ( ) +∞ f x −∞ −∞ Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn điệu hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 ( ) ( Vậy hàm số ñồng biến khoảng −∞;1 1; +∞ ) ( ) c) f x = x + 3x + 3x + Hàm số ñã cho xác ñịnh ℝ ( ) ( Ta có f ' x = 3x = 6x + = x + ( ) ) ( ) f ' x = ⇔ x = −1 f ' x > với x ≠ −1 ( ) Vì hàm số ñồng biến nửa khoảng −∞; −1 −1; +∞ nên hàm số ñồng biến ℝ Hoặc ta dùng bảng biến thiên hàm số : x −∞ −1 +∞ f' x + + ( ) f (x ) +∞ −∞ Vì hàm số đồng biến nửa khoảng −∞; −1 −1; +∞ nên hàm số ñồng biến ℝ 1 d ) f x = x − x − 2x + Tương tự a ) ( ) ( ) Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên hàm số : a ) f x = 2x + 3x + ( ) f (x ) = x b) − 2x − c) f x = − x + 6x − 9x − 3 d) ( ) f (x ) = 2x − x Giải : ( ) a ) f x = 2x + 3x + Hàm số ñã cho xác ñịnh ℝ Ta có f ' x = 6x + 6x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −1; ) ⇒ f ( x ) nghịch biến khoảng ( −1; ) Ngồi : Học sinh giải f ' ( x ) = , tìm hai nghiệm x = −1, x = , kẻ bảng biến thiên kết f ' x > 0, x ∈ −∞; −1 , 0; +∞ ⇒ f x ñồng biến khoảng −∞; −1 0; +∞ luận Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn điệu hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 ( ) b ) f x = x − 2x − Hàm số ñã cho xác ñịnh ℝ Ta có f ' x = 4x − 4x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −∞; −1) , ( 0;1) ⇒ f ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; −1) ( 0;1) Ngoài : Học sinh giải f ' ( x ) = , tìm hai nghiệm x = −1, x = 0, x = , kẻ bảng biến thiên f ' x > 0, x ∈ −1; , 1; +∞ ⇒ f x ñồng biến khoảng −1; 1; +∞ kết luận c) f x = − x + 6x − 9x − 3 Hàm số ñã cho xác ñịnh ℝ ( ) ( ) ( Ta có f ' x = −4x + 12x − = − 2x − ) 3 f ' x < với x ≠ 2 3 Vì hàm số nghịch biến nửa khoảng −∞; 2 ( ) f' x =0⇔x = ( ) 3 ; +∞ nên hàm số nghịch biến ℝ 2 ( ) d ) f x = 2x − x Hàm số ñã cho xác định 0;2 1−x Ta có f ' x = , x ∈ 0;2 2x − x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) nghịch ( 0;1) biến khoảng (1;2 ) f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ñồng biến khoảng Hoặc trình bày : ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) nghịch f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ñồng biến ñoạn 0;1 biến ñoạn 1;2 Ví dụ 3: ( ) Chứng minh hàm số f x = − x nghịch biến ñoạn 0;2 Giải : ( ) Dễ thấy hàm số ñã cho liên tục ñoạn 0;2 có đạo hàm f ' x = ( ) x ∈ 0;2 Do hàm số nghịch biến ñoạn 0;2 −x − x2 < với Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn ñiệu hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Ví dụ 4: ( ) Chứng minh hàm số f ( x ) = cos 2x − 2x + nghịch biến ℝ Chứng minh hàm số f x = x + x − cos x − ñồng biến ℝ Giải : Hàm số ñã cho xác định ℝ ( ) Ta có f ' x = 3x + + sin x ( ) Vì 3x ≥ 0, x ∈ ℝ + sin x ≥ 0, x ∈ ℝ nên f ' x ≥ 0, x ∈ ℝ Do ñó hàm số ñồng biến ℝ Hàm số ñã cho xác ñịnh ℝ ( ) ( ) ( ) Ta có f ' x = −2 sin 2x + ≤ 0, ∀x ∈ ℝ f ' x = ⇔ sin 2x = −1 ⇔ x = − π + kπ , k ∈ ℤ π π Hàm số nghịch biến ñoạn − + k π ; − + k + π , k ∈ ℤ Do hàm số nghịch biến ℝ ( ) Ví dụ 5: ( ) ( Tìm khoảng đơn điệu hàm số f x = sin x khoảng 0;2π ) Giải : ( ) ( ) ( ) Hàm số ñã cho xác định khoảng 0;2π có đạo hàm f ' x = cos x , x ∈ 0;2π 3π 2 Chiều biến thiên hàm số ñược nêu bảng sau : π 3π x 2π 2 f' x + − + ( ) ( ) f ' x = 0, x ∈ 0;2π ⇔ x = ( ) f (x ) π ,x = −1 π 3π π 3π Hàm số ñồng biến khoảng 0; ;2π , nghịch biến khoảng ; 2 2 Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn điệu hàm Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 Ví dụ 6: π Chứng minh : sin x + tan x > 2x , ∀x ∈ 0; 2 Giải : π Xét hàm số f x = sin x + tan x − 2x liên tục nửa khoảng 0; Ta có : 2 π 1 2 cos 0, − > + − > ∀ ∈ f ' x = cos x + x x 0; ⇒ f x hàm số ñồng biến cos2 x cos2 x 2 ( ) ( ) ( ) π π π 0; f x > f , ∀x ∈ 0; hay sin x + tan x > 2x , ∀x ∈ 0; 2 2 2 ( ) () ỨNG DỤNG ðẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TỐN ðẠI SỐ Ví dụ 1: Giải phương trình : 81sin x + cos x = 10 10 81 * 256 () Giải : ðặt t = sin x ; ≤ t ≤ 81 , t ∈ 0;1 256 5 Xét hàm số f (t ) = 81t + (1 − t ) liên tục đoạn 0;1 , ta có: () Khi phương trình * ⇔ 81t + (1 − t ) = 5 f '(t ) = 5[81t − (1 − t )4 ],t ∈ 0;1 81t = (1 − t )4 f '(t ) = ⇔ ⇔t = t ∈ 0;1 81 256 1 π ⇔ sin x = ⇔ cos 2x = ⇔ x = + k π (k ∈ Z ) Vậy phương trình có nghiệm t = 4 Lập bảng biến thiên từ bảng biến thiên ta có: f (t ) ≥ f ( ) = 10 Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn điệu hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Ví dụ 2: Giải phương trình : 3x (2 + 9x + 3) + (4x + 2)( + x + x + 1) = e tan x π π + cosx=2 ,x ∈ - ; 2 2003x + 2005x = 4006x + 3x = + x + log 3(1 + 2x ) Giải : 3x (2 + 9x + 3) + (4x + 2)( + x + x + 1) = (1) ( ) Phương trình (1) ⇔ −3x (2 + (−3x )2 + 3) = (2x + 1)(2 + (2x + 1)2 + 3) (2) ðặt u = −3x , v = 2x + 1, u, v > Phương trình (1) ⇔ u(2 + Xét hàm số f (t ) = 2t + Ta có f '(t ) = + u + 3) = v(2 + v + 3) (3) t + 3t , t > 2t + 3t t + 3t ( () ) > 0, ∀t > ⇒ f t ñồng biến khoảng 0; +∞ Khi phương trình (3) ⇔ f (u ) = f (v ) ⇔ u = v ⇔ −3x = 2x + ⇔ x = − Vậy x = − Chú ý : nghiệm phương trình ( ) Nếu hàm số y = f x ln đơn điệu nghiêm ngoặc ( ln đồng biến ln nghịch biến ) ( ) ( ) () số nghiệm phương trình : f x = k không nhiều f x = f y x =y e tan x π π + cosx =2 ,x ∈ - ; 2 Xét hàm số : f (x ) = e tan2 x π π + cosx liên tục khoảng x ∈ - ; Ta có 2 11 Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu hàm f '(x ) = tan x e tan Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 x cos x tan2 x tan2x 2e − cos3x − sin x = sin x cos3x ≥ > cos x > Vì 2e Nên dấu f '(x ) dấu sin x Từ ta có f (x ) ≥ f (0) = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 3 2003x + 2005x = 4006x + x x Xét hàm số : f (x ) = 2003 + 2005 − 4006x − x x Ta có: f '(x ) = 2003 ln 2003 + 2005 ln 2005 − 4006 f ''(x ) = 2003x ln2 2003 + 2005x ln2 2005 > ∀x ⇒ f "(x ) = vô nghiệm ( ) ( ) f ( ) = f (1) = nên phương trình cho có hai nghiệm x = 0, x = f ' x = có nhiều nghiệm Do phương trình f x = có nhiều hai nghiệm Chú ý : ( ) • Nếu hàm số y = f x ln ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( ñồng biến nghịch biến ) ( ) hàm số y = g x ln đơn điệu nghiêm ngoặc ( ln đồng biến ln nghịch biến ) ( ) ( ) D , số nghiệm D phương trình f x = g x khơng nhiều ( ) • Nếu hàm số y = f x ) có đạo hàm đến cấp n phương trình f phương trình f (k ) (x ) = có m nghiệm, (k −1) (x ) = có nhiều m + nghiệm 3x = + x + log 3(1 + 2x ) x >− Phương trình cho () > 0, t > ⇒ f (t ) hàm ñồng biến Xét hàm số: f (t ) = t + log t, t > ta có f ' (t ) = + t ln khoảng ( 0; +∞ ) nên phương trình (*) ⇔ f (3x ) = f (1 + 2x ) ⇔ 3x = 2x + ⇔ 3x − 2x − = (* *) ⇔ 3x + x = + 2x + log3 (1 + 2x ) ⇔ 3x + log3 3x = + 2x + log3 (1 + 2x ) * x x x Xét hàm số: f (x ) = − 2x − ⇒ f '(x ) = ln − ⇒ f "(x ) = ln > 12 Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn ñiệu hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 () ⇒ f (x ) = có nhiều hai nghiệm, f (0) = f = nên phương trình cho có hai nghiệm x = 0, x = Ví dụ 3: Giải phương trình : log ( ) 1 x − 3x + + + 5 x −x −1 () =2 * Giải : ðiều kiện x − 3x + ≥ ⇔ x ≤ ∨ x ≥ ðặt u = x − 3x + 2, u ≥ 1−u 1 Phương trình * ⇔ log u + + 5 () ( ) 1 = ⇔ log u + + 5u = 2, u ≥ * * 5 ( ) ( ) 1 Xét hàm số : f u = log u + + 5u liên tục nửa khoảng 0; +∞ , ta có : 5 ( ) f ' (u ) = ( ) ) 1 + 5u ln 5.2u > 0, ∀u ≥ ⇒ f u ñồng biến nửa khoảng 0; +∞ (u + 2)ln ( ) () ( ) f = ⇒ u = nghiệm phương trình * * Khi 3− x = thoả ñiều kiện x − 3x + = ⇔ x − 3x + = ⇔ 3+ x = Ví dụ 4: Giải hệ phương trình : 2x y (1) 2y x (2) x + 2x = y ( ) y + 2y = x ( ) x − 3x = y − 3y (1) 6 (2) x + y = 13 ) Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn điệu hàm Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 Giải : 2x y (1) 2y x (2) − ≤ x ≤ ðiều kiện: − ≤ x ≤ Cách 1: Trừ (1) (2) ta ñược: 2x + − − x = 2y + − − y (3) 2t + − − t , t ∈ − ; , ta có: 1 f / (x ) = + > 0, ∀t ∈ − ; ⇒ (3) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y 2t + − t Thay x = y vào (1) ,ta ñược: Xét hàm số f (t ) = 2x + + − x = ⇔ x + + (2x + 3)(4 − x ) = 16 x = − x ≥ ⇔ −2x + 5x + 12 = − x ⇔ ⇔ 9x − 38x + 33 = x = 11 11 x = x = Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt , y = 11 y = Cách 2: Trừ (1) (2) ta ñược: ( ) ( 2x + − 2y + + ⇔ (x − y ) + 2x + + 2y + Thay x = y vào (1) ,ta ñược: 2x + + ) −y − −x = ⇔ −y + (2x + 3) − (2y + 3) 2x + + 2y + = ⇔ x = y − x − x = ⇔ x + + (2x + 3)(4 − x ) = 16 x = − x ≥ ⇔ −2x + 5x + 12 = − x ⇔ ⇔ 9x − 38x + 33 = x = 11 14 + (4 − y ) − (4 − x ) −y + 4−x =0 ... -ðàsốLạt Tính đơn điệu hàm Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 Ví dụ 4: ( ) Chứng minh hàm số f ( x ) = cos 2x − 2x + nghịch biến ℝ Chứng minh hàm số f x = x + x − cos x − ñồng biến ℝ Giải : Hàm. .. Chiều biến thiên hàm số ñược nêu bảng sau : x −∞ +∞ f' x + + ( ) +∞ ( ) +∞ f x −∞ −∞ Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính đơn ñiệu hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 ( ) ( Vậy hàm số ñồng biến khoảng... π π Hàm số nghịch biến ñoạn − + k π ; − + k + π , k ∈ ℤ Do hàm số nghịch biến ℝ ( ) Ví dụ 5: ( ) ( Tìm khoảng đơn điệu hàm số f x = sin x khoảng 0;2π ) Giải : ( ) ( ) ( ) Hàm số cho
Ngày đăng: 22/09/2021, 11:12
Xem thêm:
