Đang tải... (xem toàn văn)
Hai phép tính này liên quan chặt chẽ với nhau bởi định lí cơ bản của giải tích ( the fundamental theorem of calculus) và sử dụng các khái niệm cơ bản về sự hội tụ của dãy và chuỗi vô hạn[r]
(1)TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN-TIN
TÀI LIỆU MƠN HỌC CALCULUS
(Nhóm ngành KHTN-CN K69)
(2)Mục lục
1 Giới hạn hàm hàm liên tục
1.1 Dãy số giới hạn dãy số
1.2 Giới hạn hàm số
1.3 Hàm số liên tục
2 Phép tính vi phân hàm biến 15 2.1 Đạo hàm vi phân cấp 15
2.2 Các định lý hàm khả vi 18
2.3 Đạo hàm vi phân cấp cao 19
2.4 Công thức Taylor 20
(3)Chương
Giới hạn hàm hàm liên tục
Calculus học phần lĩnh vực giải tích tốn học, bao gồm hai nhánh làphép tính vi phân vàphép tính tích phân Phép tính vi phân liên quan đến tốc độ biến đổi tức thời (instantaneous rates of change) đại lượng (vật lí, hóa học, sinh học v.v), độ dốc (tiếp tuyến) đường cong v.v, phép tính tích phân sử dụng tính tổng (dạng tích lũy) đại lượng, diện tích giới hạn đường cong Hai phép tính liên quan chặt chẽ với định lí giải tích ( the fundamental theorem of calculus) sử dụng khái niệm hội tụ dãy chuỗi vô hạn
Calculus phát triển từ nửa cuối kỉ 17th Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz Ngày nay, calculus sử dụng hầu khắp lĩnh vực khoa học tự nhiên, kĩ thuật, kinh tế môi trường khoa học xã hội
1.1 Dãy số giới hạn dãy số
Khái niệm dãy số làm quen với khía cạnh dãy số dùng để mô tả dáng điệu phần tử dãy “điểm xa vô tận”
1.1.1 Định nghĩa dãy số: Dãy số qui tắc ứng số tự nhiên với số thực Nếu viết xác dãy số tậ hợp có dạng
a1, a2, , an, , hay viết {an}n≥1
Khái niệm quan trọng gắn liền với dãy số giới hạn dãy số
1.1.2 Định nghĩa giới hạn Dãy số a1, a2, , an, gọi hội tụ tới
giới hạn l với mọiε >0 tồn tạiN cho |an−l|< ε với mọin > N
Điều có nghĩa với đoạn thẳng cho trước chứaa đến lúc đó, tồn dãy số rơi vào đoạn thẳng
Trong trường hợp ta viết an →a hay đầy đủ lim
(4)Đương nhiên có dãy số khơng hội tụ chẳng hạnan = n lẻ
vàan =−1khi nchẵn Hoặc đơn giản ta thấy dãy số tự nhiên an =n
cũng không hôi tụ
1.1.3 Hai ví dụ quan trọng dãy số hội tụ: (a) an =
n.Khi {1,1/2,1/3,· · · } hội tụ 0khi n → ∞
(b) an =
2 +· · ·+
2n Khi đóan= 1−
2n hội tụ 1n → ∞
Một vấn đề nảy sinh dãy hội tụ? Nếu dãy hội tụ tính giới hạn nào? Ta có câu trả lời cho câu hỏ dễ là: Khi dãy sốkhơng hội tụ
Điều kiện cần cho dãy hội tụ (i) Dãy số {an}khơng hội tụ khơng
bị chặn, tức với số tự nhiên N ta tìm phần tử am cho
|am|> N
(ii) Dãy số {an} không hội tụ dãy chứa hai dãy {ank} {amk}
hội tụ đến hai giới hạn khác
Ta thường áp dụng mệnh đề để dãy khơng hội tụ Ngồi dãy số hội tụ, ta quan tâm tới khái niệm sau:
Giới hạn vơ Ta nói dãy số an có giới hạn vô (viết
lim
n→∞an =∞) với số nguyên N có số M để an > N với
n>M
Tương tự thế, ta nói dãy sốancó giới hạn âm vô (viết lim
n→∞an=
−∞) với số tự nhiênN có số M đểan<−N với mọin≥M
Để tính giới hạn dãy số, sử dụng công thức sau đây:
1.1.4 Phép tính dãy hội tụ: Giả sử lim
n→∞an=a nlim→∞bn =b Khi ta có:
(a) lim
n→∞(an+bn) = a+b;
(b) lim
n→∞(an−bn) =a−b;
(c) lim
n→∞(anbn) =ab
(d) lim
n→∞an/bn =a/b, b6=
Để hiểu khái niệm giới hạn chứng minh khẳng định nói Chẳng hạn với (a), lấy ε > số tùy ý (ln hình
(5)ta tìm N M cho
|an−a|< ε/2∀n > N,|bn−b| < ε/2 ∀n > M
Vậy n >max(N, M)
|(an+bn)−(a+b)|6|an−a|+|bn−b|6ε
Bằng cách quan niệm max(N, M) N định nghĩa 1.2 ta có điều
phải chứng minh (a)
Một phương pháp khác hay sử dụng để tính giới hạn dãy số phương pháp kẹp
1.1.5 Phương pháp kẹp Cho an, bn cn dãy số thỏa mãn
an ≤bn≤cn Giả sử lim
n→∞an = limn→∞cn=l Khi nlim→∞bn =l
Chứng minh kết dựa vào định nghĩa giới hạn bất đẳng thức
|bn−l| ≤ |an−l|+|cn−l| ∀n >1
Ví dụ áp dụng: lim
n→∞
n+1
n2+1 =
1.1.6 Hội tụ dãy đơn điệu
Một dãy số nói chung đơn điệu tănghay đơn điệugiảm Tuy nhiên dãy số đơn điệu ta nói dãy số đa "hầu như" hội tụ Điều thể qua kết sâu sắc sau mà chứng minh ta bỏ qua động chạm đến chất số thực
1.1.7 Định lý hội tụ dãy đơn điệu
(i) Cho{an} dãy đơn điệu tăng (tức a1 ≤a2 ≤ · · ·) bị chặn
(tức có số tự nhiênN thỏa mãnan ≤N với mọin) Khi tồn giới
hạn l := lim
n→∞an Ta viếtan ↑l
(ii) Cho{an}là dãy đơn điệu giảm (tức làa1 ≥a2 ≥ · · ·) bị chặn
(tức có số tự nhiên N thỏa mãn an ≥ −N với n) Khi tồn
giới hạn l := lim
n→∞an Ta viết an ↓l
Sử dụng định lý ta chứng minh kết kinh điển sau mà nhờ ta định nghĩa số logarit tự nhiên
Định nghĩa số e Xét hai dãy số an :=1 +
n
n
, bn :=1 +
n
n+1
(6)Khi đóan dãy đơn điệu tăng vàbn đơn điểu giảm Hơn nữaanvàbn bị chặn
trên (tương ứng chặn dưới) bởi3 Theo định lý trên, dãy số hội tụ
về giới hạn ta ký hiệu giới hạn làe
Người ta chứng minh e = 2,718281828· · · số vô tỷ Cùng với
số π hai số quan trọng toán học Tuy nhiên khác
với sốπ định nghĩa cách hình học nửa chu vi đường trịn bán
kính1thì ta định nghĩa đượce nhờgiới hạn dãy số Điều phần nói lên tầm quan trọng khái niệm giới hạn
1.2 Giới hạn hàm số
Đối tượng quan trọng chương khái niệm "hàm số" Để hiểu hàm số ta lấy hai ví dụ bản:
1 Diện tích hình trịn bán kínhr πr2 Như diện tích hàm số của biến sốbán kính theo nghĩa cho trước bán kính ta tính diện tích Dân số thành phố hàm số theo biến số thời gian Ta có định nghĩa xác sau
1.2.1 Định nghĩa hàm số ChoA tập hợp số thực (ví dụ
là số thực khoảng mở (0,1)hay đoạn đóng [0,1]) Một
hàm số f xác định A qui tắc cho ứng x ∈A với số f(x) Ta
gọif hàm số biến sốx
Khái niệm quan trọng gắn liền hàm số làgiới hạn hàm số
1.2.2 Định nghĩa giới hạn hàm sốChof hàm số xác định tập A
(i) Ta nói hàm số f có giới hạn bằngl biến số xtiến tới giá trị a
điều sau đúng: Với ε >0ta tìm δ >0 cho
|x−a|< δ, x∈A⇒ |f(x)−l|< ε
Trong trường hợp này, ta viết f(x)→l khix→a lim
x→af(x) =l
(ii) Ta nói hàm số f cógiới hạn trái bằngl biến sốx tiến tới giá trịa
điều sau đúng: Với ε >0ta tìm δ >0 cho
a−δ < x < a, x∈A⇒ |f(x)−l|< ε
Trong trường hợp này, ta viết f(x)→l x→a−0 lim
(7)(iii) Ta nói hàm số f có giới hạn phải l biến số x tiến tới giá trị a
nếu điều sau đúng: Với ε >0 ta tìm δ >0sao cho
a < x < a+δ, x∈A⇒ |f(x)−l|< ε
Trong trường hợp này, ta viết f(x)→l khix→a+ lim
x→a+0f(x) =l
(iv) Ta nói hàm f có giới hạn tại∞ l biến số x tiến tới ∞ điều
sau đúng: Với ε >0ta tìm số M >0 cho
x > M, x∈A⇒ |f(x)−l|< ε
(v) Ta nói hàmf có giới hạn ∞bằng l biến sốxtiến tới −∞nếu điều
sau đúng: Với ε >0ta tìm số M >0 cho
x <−M, x∈A⇒ |f(x)−l|< ε
Ta có ý đơn giản quan trọng sau
lim
x→af(x) =l ⇔x→lima−0f(x) = limx→a+0f(x) =l
Để liên hệ với hội tụ dãy số, đưa vào định nghĩa tương đương sau giới hạn hàm:
lim
x→af(x) = l với dãy số xn → a, xn ∈ A có f(xn)→l
Ta có ví dụ đơn giản sau giới hạn hàm Ví dụ
(i) lim
x→ax
2 = a2. Điều chứng minh cách sử dụng định nghĩa
giới hạn qua ngôn ngữ dãy (ii) lim
x→∞1/x=
Các ví dụ kiểm chứng cách sử dụng định nghĩa giới hạn qua ngôn ngữ dãy
1.2.3 Các phép toán giới hạn hàmCho hàmf, g xác định tập
hợpA (ta nghĩ vềAnhư khoảng mở hay đoạn thẳng đóng) Giả
sửf, g có giới hạn khix→a∈A Khi ta có:
(i) lim
x→a(f+g)(x) = limx→af(x) + limx→ag(x);
(ii) lim
x→a(f.g)(x) = limx→af(x).xlim→ag(x);
(ii) lim
x→a( f
g)(x) =
lim
x→af(x)
lim
x→ag(x)
(8)1.3 Hàm số liên tục
Một loại hàm quan trọng mà hay gặp thực tế cáchàm liên tục Ta cần hàm để mô tả chuyển động vật thể (xe máy, người bộ, ) hay đường cong ta vẽ giấy Định nghĩa xác được đưa sau:
Định nghĩa hàm liên tục Ta nói hàm số f xác định tập A liên tục
tạia∈A
lim
x→af(x) =f(a)
Hay nói cách khác, giới hạn trái giới hạn phải f x = a
nhau bằngf(a)
Khi f liên tục điểm A ta nói f liên tục trênA
Ví dụ f(x) = x < f(x) = x x ≥0 hàm liên tục toàn
bộ tập xác định R
Điều khiến hàm liên tục trở nên quan trọng? Thứ hàm liên tục có tính phổ qt (nó bao hàm tất loại hàm mà ta học từ trước đến giờ) ngồi cịn có hàm xác định ví dụ Thứ hai hàm liên tục có nhiều tính chất quan trọng nhà toán học khám phá từ kỷ 19 Chúng ta điểm qua ba định lý quan trọng loại hàm Do cách chứng minh phải sử dụng só kiến thức sâu tồn dãy hội tụ dãy bị chặn sử dụng tính đày R nên khơng sâu vào chi tiết
Định lý Weierstrass tồn cực trị hàm liên tục Cho f
hàm số liên tục [a, b] Khi hàm f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ
nhất [a, b]
Định lý Cantor tính liên tục hàm liên tục Cho f hàm
số liên tục [a, b] Khi hàm f liên tục theo nghĩa sau đây:
∀ε >0,∃δ >0sao cho |x−y|< δ ⇒ |f(x)−f(y)|< ε
Định lý Bolzano giá trị trung gian hàm liên tục.Cho f hàm
số liên tục [a, b]
i) Nếu f(a)f(b)<0thì tồn điểm c∈(a, b) cho f(c) =
ii) Với λ nằm f(a) f(b), tồn tạic∈[a, b] cho f(c) =λ
Ta có số ý liên quan tới định lý kinh điển nói trên:
(9)cực đại, cực tiểu (0,1) không liên tục trên(0,1)
2 Sử dụng định lý Bolzano ta chứng minh đa thức bậc3(hay
tổng qt bậc lẻ) có nghiệm thực
3 Định lý Cantor sử dụng sau để chứng minh kết tính
khả tích hàm liên tục đoạn thẳng đóng
(10)Bài tập Chương 1
1 Tính giới hạn dãy sau
a)xn = n
2+n−3
2n2+ 2n+ 2 b)xn =
n+√n
2n+ 3√3
n c)xn=√n2+ 3n−n d)xn=n−√3
n3−3n2
e)xn= 2.3
n
−4n
22n+1−2n f)xn=
1 + + 22+· · ·+ 2n
1 + + 32+· · ·+ 3n
2 Tính giới hạn sau (bằng cách dùng nguyên lý kẹp)
a) lim
n→∞
sinn+ cosn
n b) limn→∞
n+ cosn2
n+ sinn c) lim
n→∞
√
n2+ 1 +
1
√
n2+ 2 +· · ·+
1
√
n2+n
3 * a) Dùng đẳng thức (x+ 1)n = xn +C1
nxn
−1 +· · ·+Cn−1
n x+Cnn để
chứng tỏ
(x+ 1)n> n(n−1)
2 x
2, ∀n>2, x > 0.
b) Dùng (a) nguyên lý kẹp để chứng minh rằng, với a >1, ta có lim
n→∞
n
an = nlim→∞ n2
an =
4 Chứng minh dãy sau đơn điệu tăng bị chặn (từ suy dãy hội tụ)
a)xn = 12 +
1 22 +
1
32 +· · ·+
1
n2;
b)xn= 1!+
1 2!+ +
1
3! +· · ·+
n!
5 * Cho dãy {xn} cho công thức quy nạp x1 =
√
2, xn+1 =√2 +xn, n >1
a) Chứng minh dãy {xn} bị chặn 2;
b) Chứng minh dãy {xn} đơn điệu tăng;
(11)6 Chứng minh dãy số sau không hội tụ hai dãy hội tụ chúng
a)xn= (−1)n3 +
n
b)xn = + n
n+ 1cos
nπ
2
7 * a) Chứng minh limn→∞xn=ℓ limn→∞(xn+2−xn) = 0;
b) Chứng minh dãy {sinn} không hội tụ
8 Tính giới hạn sau
a) lim
x→2
x2+ 2x−8
x2−4 b) limx→3
(x2−x−6)2
x2 −2x−3
c) lim
x→1
x2 −1−
3
x3−1
d) lim
x→1
x3−2x2+x
x3−3x+ 2
9 Tính giới hạn sau
a) lim
x→0
√
1 + 3x−1
x b) limx→0
3
√
1−x−1
x c) limx→0
√
1 +x−√3
1 + 2x x
d) lim
x→4
√
1 + 2x−3
√
x−2 e) limx→3
√
x−√3 +√x−3
√
x2−9 f) limx→0
x2
√
1 + 2x−x−1
10 Tìm giới hạn sau
a) lim
x→∞ p
x2+√x
√
4x2+ 1 b) limx→∞ q
x+√x−√x c) lim
x→∞ √
x2+ 3x−√x2−x−1
d) lim
x→∞
ln(x2+x+ 1)
ln(x8+ 2x2 +x+ 2) e) limx→∞
x+
2x−1
x2
11 Tìm giới hạn sau cách sử dụng nguyên lý kẹp
a) lim
x→0x 3cos
x b) limx→∞
x+ sin 2x
2x+ cosx+
12 Trong Vật lý, dao động tắt dần mô tả hàm số
f(t) =e−αt(acosωt+bsinωt),
với α >0 vàa, b∈R Tìm lim
(12)13 Đặt f(x) = sinπ
x với x6= Chứng minh không tồn tạixlim→0f(x)
14 Trong Thuyết tương đối, khối lượng vật chuyển động với vận tốc v
cho công thức
m= p m0
1−v2/c2,
ở đóm0 khối lượng vật đứng yên, clà vận tốc ánh sáng
Chuyện xảy với khối lượng vật v →c−?
15 Trong Thuyết tương đối, độ dài vật chuyển động với vận tốc v cho
bởi công thức
L=L0
r
1−v
2
c2,
ở đóL0 độ dài vật đứng yên,clà vận tốc ánh sáng Tìm
lim
v→c−L
16 Xét tính liên tục hàm số sau miền xác định R chúng a)f(x) =
xsin
x x6=
0 x=
b)g(x) =
(
e−x12 x6=
0 x=
c)h(x) =
sinx
x x6=
1 x=
17 Xét tính liên tục hàm Heaviside (xác định R) H(x) =
(
0 x <0 x>0
18 Cho hàm sốf(x) = [x],x∈R, đó[x]là số ngun lớn khơng vượt
quáx (gọi phần nguyên x) Ví dụ [2] = 2, [3.6] = 3, [−1.1] = −2
a) Vẽ đồ thị hàm số f(x) x∈[−3,3];
b) Chứng minh f(x) liên tục x /∈ Z, không liên tục
(13)19 Tìm số thực a cho hàm sau liên tục R a)f(x) =
3
√
x−1
√
x−1 x >1
x+a x61
b)g(x) =
x2 −x+a
x−2 khix6= khix=
20 Lực hấp dẫn trái đất vật có khối lượng 1kg cách tâm
trái đất khoảng r cho công thức
F(r) =
GMr
R3 r < R
GM
r2 r>R,
ở đóM khối lượng trái đất,R bán kính trái đất,Glà
số hấp dẫn
a) Hàm F(r)có liên tục theo r [0,+∞)khơng?
b) Tìm lim
r→∞F(r)
21 Xét tính liên tục hàm sau tập a) Hàm f(x) = cosπ
x (0,1);
b) Hàm f(x) =x2 trên R.
22 Chứng minh
a) Phương trình x2−1 = sinx có nghiệm trên (0,π
6);
b) Đa thức p(x) =x4−2x−2 có nghiệm trên(1,2);
c) Mọi đa thức bậc lẻ có nghiệm thực
23 Cho hàm liên tụcf : [0,1]→[0,1] Chứng minh tồn tạic∈[0,1]sao cho
f(c) =c
24 Cho hàm liên tục f : [0,1]→[0,1] thỏa mãn f(0) = 0, f(1) = Chứng
minh tồn c∈(0,1) thỏa mãn f(c) = 1−c
25 Cho f(x) làm tuần hoàn liên tục R Chứng minh f(x) đạt
được giá trị lớn giá trị nhỏ R
26 * Tìm tồn ánh f : R → R cho f(1) = 2, f(2) = −1,
(14)27 * Cho hàm f(x) g(x) liên tục [a, b] Chứng minh
a) Hàm h(x) := |f(x)| liên tục [a, b];
b) Hai hàm M(x) := max
f(x), g(x) m(x) :=
f(x), g(x)
cũng liên tục [a, b]
28 * Cho hàm f : (a, b)→(0,+∞) hàm liên tục thỏa mãn lim
x→a+f(x) = limx→b−f(x) =
a) Chứng minh hàm g(x)cho
g(x) =
(
f(x) x6=a vàx6=b
0 x=a x=b
liên tục trên[a, b];
b) Hàm f đạt giá trị lớn (a, b)
29 * Cho hàm f :R→(0,+∞)là hàm liên tục thỏa mãn lim
x→+∞f(x) = limx→−∞f(x) =
(15)Lời giải số toán
7 a) Hiển nhiên; b) Giả sử lim
n→∞sinx = ℓ Khi nlim→∞(sin(n + 1)− sin(n − 1)) =
Kéo theo lim
n→∞cosn = Suy nlim→∞(cos(n+ 1)−cos(n−1)) = Nên
lim
n→∞sinn = Điều khơng xảy sin
2n+ cos2n= 1.
25 Giả sử hàmf tuần hoàn chu ỳ T > Ta thấyf đạt max
min [0, T] Do tính tuần hồn, max tồn
cục f(x)
26 Ta chọn hàm f(x) sau
f(x) =
2x x61
5−3x 1< x < 2, x6= 32 10 x=
2
x−3 x62
27 (b) Dùng (a) đẳng thức sau
max(α, β) = α+β+|α−β|
2 , min(α, β) =
α+β− |α−β|
2
28 a) Dễ dành chứng minh hàm liên tục hai đầu mút nên g(x) liên
tục [a, b];
b) Hàm g(x) đạt giá trị lớn điểm x0 ∈ [a, b] Nhưng giả thiết
cho ta x0 6=a, b Nên x0 ∈(a, b) Suy f(x) đạt giá trị lớn x0
29 Ta thấy f(0) > Từ giả thiết suy tồn R > cho < f(x) < f(0) với |x| > R Hàm f đạt giá trị lớn [−R, R]
tạix0 Suy
f(x0)>f(x), ∀x∈ [−R, R]
và
f(x0)>f(0)> f(x), ∀|x|> R