ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN THI: TOÁN SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỈNH THÁI NGUYÊN

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỈNH THÁI NGUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN THI: TOÁN (Chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức: 2 9 3 2 1 . 5 6 2 3 x x x P x x x x           a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức P là số nguyên. Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình:     2 2 1 3 0. 1x m x m     a. Chứng minh rằng với m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 12 ,xx . b. Tìm các giá trị của m để 22 12 xx đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3 (3,0 điểm) a. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 3x 2x 5x 2 0yy     . b. Trong một hộp có 2012 viên sỏi. Hai người A và B tham gia trò chơi bốc sỏi như sau: Mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất 1 viên và nhiều nhất 30 viên sỏi. Người nào bốc được viên sỏi cuối cùng sẽ thắng cuộc. Hỏi ai luôn thắng cuộc và chỉ ra thuật chơi. Câu 4 (1 điểm) Từ 1 đến 2013 có bao nhiêu số tự nhiên biểu diễn được dưới dạng hiệu bình phương của hai số nguyên (dạng 22 ab ). Câu 5 (2 điểm) Cho tam giác ABC , lấy điểm M nằm trong tam giác ABC , các đường thẳng ,,AM BM CM cắt các cạnh ,,BC CA AB tương ứng tại ', ', '.A B C a. Chứng minh rằng: ' ' ' 1. AA' ' ' MA MB MC BB CC    b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . MA' ' ' MA MB MC f MB MC    --- Hết --- Họ và tên thí sinh: SBD: . ĐÁP ÁN MÔN TOÁN CHUYÊN TIN. Câu Nội dung Điểm Câu 1 a (1 điểm) Điều kiện:   0 4* 9 x x x         0,25    2 9 3 2 1 23 23 x x x P xx xx         0,25             2 9 3 3 2 1 2 2 2 3 2 3 x x x x x xx x x x x                        1 2 1 . 2 3 3 x x x x x x        0,5 b (1 điểm) Với điều kiện (*) 4 1 3 P x   0,25 Với x , để P thì   3 1; 2; 4x      0,25   4; 2; 5;1; 7x 0,25   1;4;16; 25;49x 0,25 Câu 2 a (1 điểm) Ta có     2 2 ' 1 3 3 4m m m m        0,5 = 2 37 0, . 24 mm         0,5 b (1 điểm) Ta có   12 12 21 3 x x m x x m          0,25       22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2x 4 1 2 3 4 10 10x x x x x m m m m           0,25 = 2 5 15 15 2. 2 4 4 m       0,25 Vậy 22 12 xx đạt giá trị nhỏ nhất là 15 4 khi 5 . 4 m  0,25 Câu 3 a (1,5 điểm) Phương trình đã cho tương đương với   2 2x 1 3x 5x 2y    0,25 Vì x nên 2x 1 0 do đó 22 3x 5x 2 12x 20x 8 1 4 4 6x 7 2x 1 2x 1 2x 1 y y y               0,25 Do ,xy nên 1 2x 1 là số nguyên, do đó 2x 1 1 hoặc 0,5 A B C M A' B' C' 2x 1 1   Từ đó tìm được 2 nghiệm     1;0 , 0; 2 . 0,5 b (1,5 điểm) Ta thấy   2012 1 30 .64 28   0,5 Người A đi trước sẽ thắng cuộc bằng cách 0,5 Lần đầu bốc 28 viên sỏi. Những lần sau bốc số viên sỏi cộng với số viên sỏi người B vừa bốc bằng 31 viên. 0,5 Câu 4 (1 điểm) + Ta có    22 x y x y x y    . Đây là tích của hai số nguyên có cùng tính chẵn, lẻ. Suy ra 22 xy hoặc là số lẻ hoặc khi là số chẵn thì sẽ chia hết cho 4. 0,5 + Ngược lại - Nếu n lẻ thì   2 2 2 1 1n k k k     . - Nếu n chia hết cho 4 thì     22 4 1 1n k k k     . Vậy điều kiện cần và đủ để một số biểu diễn dưới dạng hiệu bình phương của hai số nguyên là: Số đó là số lẻ hoặc chia hết cho 4. 0,5 + Trong các số tự nhiên từ 1 đến 2013 có 1007 số lẻ và 503 số chia hết cho 4. Vậy tổng số có 1510 số 0,5 Câu 5 a (1 điểm) Gọi 1 2 3 ; ; ; ABC MBC MCA MAB S S S S S S S S    0,25 1 2 3 1 2 3 ' ' ' 1 AA' ' ' MA MB MC S S S S S S BB CC S S S S         0,75 b (1 điểm) Ta có 1 2 3 1 1 1 AA' ' AA' 11 ' ' ' MA MA S S S S S MA MA MA S S S           Tương tự ta có 3 1 1 2 23 ; '' MB S S MC S S MB S MC S   0,5 Do đó 2 3 3 1 1 2 2 1 3 2 1 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 6 S S S S S S S S S S S S f S S S S S S S S S                             0,25 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 2 3 S S S M   là trọng tâm của tam giác ABC . 0,25 Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác so với đáp án mà vẫn đúng thì vẫn cho điểm tối đa. . 1. AA' ' ' MA MB MC BB CC    b. T m giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . MA' ' ' MA MB MC f MB MC    --- Hết --- Họ và. đi m) Ta có     2 2 ' 1 3 3 4m m m m        0,5 = 2 37 0, . 24 mm         0,5 b (1 đi m) Ta có   12 12 21 3 x x m x x m 