Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức P là số nguyên.. Hai người A và B tham gia trò chơi bốc sỏi như sau: Mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất 1 viên và nhiều nhất 30 viê
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
TỈNH THÁI NGUYÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN THI: TOÁN (Chuyên Tin học)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
.
P
a Rút gọn P
b Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức P là số nguyên
Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình:
2
a Chứng minh rằng với m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x x1, 2
b Tìm các giá trị của m để x12 x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 3 (3,0 điểm)
a Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2
3x 2x y y 5x 2 0
b Trong một hộp có 2012 viên sỏi Hai người A và B tham gia trò chơi bốc sỏi như sau: Mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất 1 viên và nhiều nhất 30 viên sỏi Người nào bốc được viên sỏi cuối cùng sẽ thắng cuộc Hỏi ai luôn thắng cuộc và chỉ ra thuật chơi
Câu 4 (1 điểm) Từ 1 đến 2013 có bao nhiêu số tự nhiên biểu diễn được dưới dạng hiệu
bình phương của hai số nguyên (dạng 2 2
a b )
Câu 5 (2 điểm) Cho tam giác ABC, lấy điểm M nằm trong tam giác ABC, các đường thẳng AM BM CM , , cắt các cạnh BC CA AB , , tương ứng tại A B C ', ', '.
a Chứng minh rằng: ' ' '
1.
b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
f
- Hết -
Họ và tên thí sinh:
SBD:
Trang 2ĐÁP ÁN MÔN TOÁN CHUYÊN TIN
Câu 1
a
(1 điểm)
Điều kiện: 0 4 *
9
x x x
0,25
P
1 2 1
b
(1 điểm) Với điều kiện (*) 1 4
3
P
x
Với x , để P thì x 3 1; 2; 4 0,25
4; 2; 5; 1; 7
x
1;4; 16; 25;49
x
Câu 2
a
(1 điểm)
=
2
b
(1 điểm)
1 2
3
x x x x x m m m m 0,25 =
2
m
Vậy x12 x22đạt giá trị nhỏ nhất là 15
4 khi
5 4
Câu 3
a
(1,5 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với
Vì x nên 2x 1 0 do đó
0,25
Do x y , nên 1
2x 1 là số nguyên, do đó 2x 1 1 hoặc 0,5
Trang 3A
M A'
B' C'
2x 1 1
Từ đó tìm được 2 nghiệm 1;0 , 0; 2 0,5
b
(1,5 điểm) Ta thấy 2012 1 30 64 28 0,5
Người A đi trước sẽ thắng cuộc bằng cách 0,5 Lần đầu bốc 28 viên sỏi Những lần sau bốc số viên sỏi cộng với số
viên sỏi người B vừa bốc bằng 31 viên
0,5
Câu 4
(1 điểm) + Ta có 2 2
x y x y x y Đây là tích của hai số nguyên có cùng tính chẵn, lẻ Suy ra x2 y2 hoặc là số lẻ hoặc khi là số chẵn thì sẽ chia hết cho 4
0,5
+ Ngược lại
- Nếu n lẻ thì 2 2
n k k k
- Nếu n chia hết cho 4 thì 2 2
n k k k Vậy điều kiện cần và đủ để một số biểu diễn dưới dạng hiệu bình phương của hai số nguyên là: Số đó là số lẻ hoặc chia hết cho 4
0,5
+ Trong các số tự nhiên từ 1 đến 2013 có 1007 số lẻ và 503 số chia hết cho 4 Vậy tổng số có 1510 số
0,5
Câu 5
a
(1 điểm)
Gọi
0,25
1
b
;
0,5
Do đó
6
f
0,25
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi S1 S2 S3 M là trọng tâm của tam giác ABC
0,25
Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác so với đáp án mà vẫn đúng thì vẫn cho điểm
tối đa