CÁCPHƯƠNGPHÁPTÍNHTÍCHPHÂN A Tíchphân hàm hữu tỉ Hàm hữu tỉ đơn giản dx a I � ln ax b C ax b a dx 1 b I � � (ax b) k dx C k (ax b) k a (ax b) k 1 2 � b � b 4ac Đặt: Biến đổi: x bx c � x � � 2� Adx c I �2 x bx c Ax B A � 2x b � d I �2 �2 � x bx c �x bx c � Sau đưa tíchphân dạng: dt �t b => dx=dt Ab 2 x bx c B tíchphân dạng giống câu c P( x ) Hàm hữu tỉ tổng quát: I � dx Q( x ) a Nếu Bậc P(x) > Bậc Q(x) => Ta chia P(x) cho Q(x) � t= x P( x ) Q( x ) ( x) R( x ) Trong đó: Q( x ) ( x) R( x ) thương số dư có bậc R( x ) < Bậc Q(x) b Nếu Bậc P(x) < Bậc Q(x) Ta có trường hợp Q(x) - Nếu Q(x) có dạng: Q(x)= (ax+b)n + Đồng hệ số: � P( x ) Q( x ) An A1 A2 n n 1 (ax b) (ax b) ax b + Sau chuyển tíchphân đơn giản - Nếu Q(x) có dạng: Q(x)= (a1x+b1)n(a2x+b2)m + Đồng hệ số: � P( x ) Q( x ) An Bm A1 A2 B1 B2 (a1x b1 ) n (a1x b1 ) n1 a1x b1 (a x b2 ) m (a x b2 ) m1 a x b2 + Sau chuyển tíchphân đơn giản - Nếu Q(x) có dạng: Q(x)= (ax2+bx+c)n + Đồng hệ số: � P( x ) Q( x ) A x Bn A1 x B1 A2 x B2 2n n n 1 (ax bx c ) (ax bx c ) ax bx c + Sau chuyển tíchphân đơn giản - Nếu Q(x) có dạng: Q(x)= (a1x2+b1x+c1)n(a2x2+b2x+c2)m + Đồng hệ số: Trần Văn Hùng – GV THCS Lương Thế Vinh � P( x ) Q( x ) An x Bn A1 x B1 A2 x B2 n n 1 (a1x b1 x c1 ) (a1x b1 x c1 ) a1x b1 x c1 Cm x Dm C1 x D1 C2 x D2 m m 1 (a x b2 x c2 ) (a x b2 x c2 ) a x b2 x c2 + Sau chuyển tíchphân đơn giản - Nếu Q(x) có dạng: Q(x)= (a1x+b1)n(a2x2+b2x+c2)m + Đồng hệ số: P An Bm x Cm A1 A2 B1 x C1 B2 x C2 � ( x) n n 1 m m 1 Q( x ) (a1x b1 ) (a1x b1 ) a1x b1 (a x b2 x c2 ) (a x b2 x c2 ) a x b2 x c2 + Sau chuyển tíchphân đơn giản B Tíchphân hàm lượng giác R ( S in x, Cosx)dx Dạng: I � Phươngpháp chung: Ta đặt x� � tg � � x 1 t2 � 2 dx � t tg � dt dx dx � dx dt Mặt khác ta có: � � � � 2 2.Co s x 1 t2 �2 � � � � � 2t � S in x � � 1 t2 � 1 t2 � C os x � 1 t2 Cuối ta chuyển tíchphân hữu tỉ với biến t Chú ý: Nếu R(Sinx, Cosx) có dạng dặc biệt như: + R(-Sinx, - Cosx) = R(Sinx, Cosx) tức hàm chẵn Sin Cos ta đặt: t = tgx t=Cotgx + R(-Sinx, Cosx) = - R(Sinx, Cosx) tức hàm chẵn Sin ta đặt: t = Cosx + R(Sinx, - Cosx) = - R(Sinx, Cosx) tức hàm chẵn Cosx ta đặt: t = Sinx � m n Dạng: I R(sin x, cos x) dx - Nếu m lẻ (n chẵn) => Ta đặt t= Sinx - Nếu m chẵn (n lẻ) => Ta đặt t= Cosx - Nếu m, n lẻ => Ta đặt t= Cosx (hoặc t= Sinx) - Nếu m, n chẵn (m, n nhỏ) => Ta sử dụng công thức hạ bậc ta đặt t = tgx Còn trường hợp m, n lớn ta sử dụng cơng thức truy hồi để tính Dạng: I � Cosax.Cosbx.dx I � Sinax.Sinbx.dx => Phươngpháp chung ta biến đổi tích thành tổng biểu thức dấu I � Sinax.Cosbx.dx tíchphân Trần Văn Hùng – GV THCS Lương Thế Vinh Một số tập tổng quát dạng tíchphân lượng giác: a Sinx b1Cosx dx Bài 1: I �1 aSinx bCosx Đồng hệ số: a1Sinx b1Cosx A aSinx bCosx B (aCosx bSinx) � a1Sinx b1Cosx ( Aa-Bb) Sinx ( Ab Ba )Cosx Từ ta thu được: �Aa-Bb a1 �� �Ab Ba b1 � aa1 bb1 A � � a b2 �� Cuối cùng: I= Ax+Bln|aSinx+bCosx|+C �B ab1 ba1 a2 b2 � (Với A, B số tính trên) a1Sinx b1Cosx dx Bài 2: I � aSinx bCosx Đồng hệ số: a1Sinx b1Cosx A aSinx bCosx B (aCosx bSinx) � a1Sinx b1Cosx ( Aa-Bb) Sinx ( Ab Ba)Cosx � A � �Aa-Bb a1 � �� �� �Ab Ba b1 �B � Sau chuyển tíchphân dạng: aa1 bb1 a b2 ab1 ba1 a b2 dx B L A� 1aS inx 24bC4os3x aSinx bCosx Với tíchphân I1 ta đặt: I1 x� � tg � � x 1 t2 dx � t tg � dt dx � � � 2.Co s x �2 � � � � sau chuyển dạng hữu tỉ biến t 2t � S in x � � � 1 t2 dx � dx dt Mặt khác: � � 1 t2 1 t2 � � C os x 1 t2 � a1Sinx b1Cosx c1 dx Bài 3: I � aSinx bCosx c Giải Đồng hệ số: a1Sinx b1Cosx A aSinx bCosx c B( aCosx bSinx) C � a1Sinx b1Cosx c1 ( Aa-Bb) Sinx ( Ab Ba )Cosx Aa+C Trần Văn Hùng – GV THCS Lương Thế Vinh � aa1 bb1 �A a b �Aa-Bb a1 � � � ab1 ba1 � �Ab Ba b1 � �B a b2 �Aa+C=c � � � c1 (a b ) c(aa1 bb1 ) C � a b2 � Sau chuyển tíchphân dạng: d (aSinx bCosx c) dx I Ax+B� C � Ax+B.ln aSinx bCosx c C.I1 aSinx bCosx c aSinx bCosx c 4 42 4 43 I1 x� � tg � � x 1 t 2 dx � dx Với tíchphân I1 ta đặt: t tg � dt � � � 2.Co s x �2 � � � � 2t � S in x � � 1 t2 Mặt khác: � sau chuyển dạng hữu tỉ biến t t � C os x � 1 t2 C Tíchphân hàm vơ tỉ: Dạng: I m n p q u v � R ( x, x , x , ,x )dx Phương pháp: Đặt Dạng: tx k � dx � dx dt � 1 t2 � với m, n, p, q, …,u, v số nguyên (Z) với k= BSCNN(n, q, … ,v) (BSCNN mẫu số) m p u � � n q v ax b ax b ax b � � � � � � I � R� x, � , , , � � � ��dx � �cx d � � �cx d � �cx d �� � � k ax b � Phương pháp: Đặt t � � � với k= BSCNN(n, q, … ,v) (BSCNN mẫu số) �cx d � � � ax b � n dx Dạng: I R � �x, cx d � � � � Ta đặt: ax b ax b � tn � t n cx d ax b cx d cx d b t nd n n � t a x b t d � x n f (t ) � dx f '(t )dt t a Cuối chuyển I dạng hữu tỉ với biến t t n � Dạng: I R x, ax bx c dx Trần Văn Hùng – GV THCS Lương Thế Vinh 2 � � b � b 4ac � b Ta biến đổi: ax bx c a � �=> Đặt u x � dx du �x � � � 2� � Sau biến đổi tíchphân dạng sau: a b I � R u, �t � ) c u du I � R u , u du 2 I � R u , u du => Đặt: u tgt Với: t 2 => Đặt: u Sint với: => Đặt: u �t � (Hoặc u Cost với 2 u Cost với �t � t � Cost Chú ý: Các trường hợp đặc biệt Xét f(x)=ax2+bx+c có =b2-4ac - Nếu: f(x) vơ nghiệm, f(x) dấu với a => f(x) >0 với giá trị x Khi ta đặt: ax bx c t �x a � ax bx c t �2 a t.x ax � bx c t �2 a t.x � b m2 a t x t � t2 c a t c � ax bx c t � � x f t � dx f '(t )dt � � b m2 a t b m2 a t � dx f '(t )dt � Cuối chuyển I dạng hữu tỉ với biến t b � ax bx c 2a Lúc thức bị triệt tiêu, ta tính bình thường dạng hữu tỉ - Nếu >0 => f(x) có nghiệm phân biệt x1, x2 - Nếu =0 => f(x) có nghiệm kép: x1 x2 ax bx c a x x1 x x2 => Ta đặt: � b � a� x � � 2a � a x ax bx c t ( x x1 ) ax bx c t ( x x2 ) - Nếu c>0 => Ta đặt ax bx c tx � c � ax bx c t x �2tx c c � x (ax b) x(t x �2t c ) � ax b t x �2t c � (t a) x b m2t c � x b m2t c f (t ) � dx f '(t )dt t2 a � �b m2t c � � ax bx c t � � t2 a � � c �� � � � dx f '(t )dt � Cuối ta chuyển tíchphân hữu tỉ với biến t D Tíchphânphần Giả sử u=u(x), v=v(x) hàm số có đạo hàm liên tục với a Tìm số A, B, C ,D, E Sau tính tiếp x x 1 x x 1 x x 1 x dx x 3dx x3 dx Cách 2: Ta có I � x ( x 1) � x ( x 1) � x ( x 1) Đặt t x � dt x dx Khi x 3dx dt �1 � t 1 x4 I �4 � � dt ln C ln C � � x ( x 1) t (t 1) �t t � t x4 1 A B(2 x 2) C (2 x 2) Chú ý: => Tìm số A, B, C Sau tính tiếp Đây x( x 1) x x x x x cách tính thứ tốn trên: Áp dụng tính: a dx I �x 1 e 1 x Trần Văn Hùng – GV THCS Lương Thế Vinh b 2019Cosx 2018Sinx I � dx Sinx Cosx ... c2 ) (a x b2 x c2 ) a x b2 x c2 + Sau chuyển tích phân đơn giản B Tích phân hàm lượng giác R ( S in x, Cosx)dx Dạng: I � Phương pháp chung: Ta đặt x� � tg � � x 1 t2 � 2 dx � t... dụng cơng thức truy hồi để tính Dạng: I � Cosax.Cosbx.dx I � Sinax.Sinbx.dx => Phương pháp chung ta biến đổi tích thành tổng biểu thức dấu I � Sinax.Cosbx.dx tích phân Trần Văn Hùng – GV THCS... a1 � �� �� �Ab Ba b1 �B � Sau chuyển tích phân dạng: aa1 bb1 a b2 ab1 ba1 a b2 dx B L A� 1aS inx 24bC4os3x aSinx bCosx Với tích phân I1 ta đặt: I1 x� � tg � � x 1 t2 dx