Tuyển tập các bài hình học vào lớp 10

1 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội TUYỂN TẬP CÁC BÀI HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TP.HÀ NỘI Bài 1: ( Hà Nội 2006 – 2007) Cho  O  đường kính AB  R , C trung điểm OA , dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM , H giao điểm AK MN a) Chứng minh tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b) Tính AH AK theo R c) Xác định vị trí điểm K để tổng KM  KN  KB đạt giá trị lớn tìm giá trị lớn Hướng dẫn giải: M K H O A B C N a) Vì K   O  đường kính AB  AK  KB Suy ra: AKB  90 Xét tứ giác BCHK : HCK  HKB  90  90  180 Suy BHCK nội tiếp b) Theo phương tích ta có: AH AK  AB AC  R R  R2 Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội N I M B K c) Ta chứng minh tam giác BMN thật vậy: Ta có: BM  BN  BC.BA  R.2 R  3R 2  BM  BN  3R Lại có: MC  OM  OC  R  R2  R  MN  2MC  3R Suy BMN Khi ta ln có: KM  KB  KN ( Chứng minh cách dựng hình phụ hình vẽ ) Suy ra: KM  KB  KN  KN  R  KN  2R    KM  KB  KN max  4R Dấu “=” xảy K , O, N thẳng hàng Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Bài 2: ( Hà Nội 2007 – 2008 ) Cho  O; R  tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với A cho AH  R Qua H kẻ đường thẳng vng góc với d , đường thẳng cắt đường tròn hai điểm E B ( E nằm B H ) a) Chứng ABE  EAH ABH ~ EAH b) Lấy điểm C d cho H trung điểm đoạn thẳng AC , đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh tứ giác AHEK tứ giác nội tiếp c) Xác định vị trí điểm H để AB  R Hướng dẫn giải: A H K E C I O B a) Ta có ABE  EAH  sđ AE Khi dễ dàng chứng minh: ABH ~ EAH ( g.g ) b) Xét ACE có đường cao EH đồng thời đường trung tuyến nên ACE cân E Khi ACE  CAE  ABE  ACK ~ ABH (g.g) AKC  90 Xét tứ giác AHEK có: AHE  AKE  90  90  180 Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Suy AHEK nội tiếp c) Từ C hạ CI  AB  I  AB  Khi IA  IB  AIO : cos OAI  R AI  OA  OAI  30 Mà OAI  ABH ( góc so le )  ABH  30  AH  AB R  2  R 3 Khi H giao điểm d  A;     Bài 3: ( Hà Nội 2008 – 2009 ) Cho  O  có đường kính AB  R điểm E đường tròn ( E khác A, B ) Đường phần giác AEB cắt cạnh AB F cắt đường tròn  O  điểm thứ hai K a) Chứng minh rằng: KAF ~ KEA b) Gọi I giao điểm đường trung trực đoạn thẳng EF với OE , chứng minh đường tròn tâm I bán kính IE tiếp xúc với  O  E tiếp xúc với đường thẳng AB F c) Chứng minh MN / / AB , M , N lần lươt giao điểm thứ hai AE , BE với đường tròn  I  d) Tìm giá trị nhỏ chu vi tam giác KPQ theo R E chuyển động đường tròn  O  , với P giao điểm NF AK ; Q giao điểm MF BK Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội E M A N I F B O P Q K  AK  KB a) Do EK phân giác AEB   AEK  BEK  KAB  45 Khi dễ dàng chứng minh KAF ~ KAE ( g.g ) b) Ta có điểm E , I , O thẳng hàng mà OI  OE  IE suy  I  tiếp xúc với  O  E Ta có: IE  IF  IEF  IFE EFA  FEB  FBE ( Tính chất góc ngồi ) EFA  FEB  FBE  FEI  IEB  FBE  FEI  2.IEB  EFA  IFE  IFA  FEI  2.IEB  IFE   FEI  IEB   2.FEB  2.45  90 Hay IF  AB Suy  I  tiếp xúc với AB F c) Ta có: IM  IF  IME cân I  IEM  IME Lại OE  OA  OAE cân O  OAE  OEA Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội  EMI  EAO mà chúng vị trí đồng vị  MN / / AB d) Ta chứng minh tứ giác: KPFQ hình chữ nhật  KQ  FP Mặt khác APF vuông cân P  FP  PA  KQ  PA  KQ  PK  PA  PK  AK  AB  2R Lại có: PQ  KF  OK  R   Suy ra: CVKPQ   R   CVKPQ   R Dấu “=” xảy E điểm cung AB Bài 4: ( Hà Nội 2009 – 2010 ) Cho  O; R  điểm A nằm bên ngồi đường tròn, kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm ) a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp b) Gọi E  BC  OA Chứng minh BE  OA OE.OA  R c) Trên cung nhỏ BC đường tròn  O; R  lấy điểm K ( K khác B, C ) Tiếp tuyến K đường tròn  O; R  cắt AB, AC theo thứ tự P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi điểm K chuyển động cung nhỏ BC d) Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự M , N Chứng minh rằng: PM  QN  MN Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội M B P K O E A Q C N a) Do AB, AC tiếp tuyến  ABO  ACO  90  ABO  ACO  180 Tứ giác ABOC nội tiếp b) Theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có: AB  AC Lại có OA  OB Suy OA đường trung trực đoạn thẳng BC  OB  AC Áp dụng hệ thức lượng tam giác ABO ta có: OE.OA  OB  R c) Theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có: PK  PB; QK  QC  CVAPQ  AP  AQ  PQ   AP  PB    AQ  QC   AB  AC ( không đổi ) d) Ta có AMN cân A  AMN  ANM (1) Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Ta có: POQ  BOC 180  BAC BAC   90  2 Lại có: AOB  90  BAO  90  BAC  POQ  AOB  AOQ  POB  AOQ  BAC BAC  POB  2  OQN  POM (2) Từ (1), (2) ta chứng minh được: POM ~ OQN (g.g) PM OM MN 2    PM QN  OM ON  OM  ON QN Ta có: PM  QN  PM QN  MN  MN ( đccm ) Bài 5: ( Hà Nội 2010 – 2011 ) Cho đường tròn  O  đường kính AB  R điểm C thuộc đường tròn ( C khác A, B ) Lấy điểm D thuộc dây BC ( D khác B, C ) Tia AC cắt cung nhỏ BC điểm E , tia AC cắt BE F a) Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: DA.DE  DB.DC c) Chứng minh CFD  OCB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE , chứng minh IC tiếp tuyến  O  d) Biết DF  R Chứng minh tgAFB  Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội F I E C D A O B a) Vì C   O  đường kính AB  ACB  90  FCD  90 Tương tự:  FED  90 Xét tứ giác FCDE có: FCD  FED  180  tứ giác FCDE nội tiếp b) Dễ dàng chứng minh: ADC ~ BDE ( g.g )  DA DC   DA.DE  DB.DC ( đccm ) DB DE c) Theo câu a) tứ giác FCDE nội tiếp nên: CFD  CED mà OBC  CED ( Tứ giác ACEB nội tiếp  O  Lại OCB cân O  OCB  OBC Suy ra:  CFD  OCB Xét tứ giác FCDE nội tiếp có: FCD  FED  90 Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội  tâm I trung điểm FD Khi đó: IC  ID  IF  ICF cân I  CFI  ICF  OCB  OCI  OCB  ICD  ICF  ICD  FCD  90 Suy ra: IC  OC mà C   O   IC tiếp tuyến  O  d) Chứng minh tương tự câu c) ta có: IE tiếp tuyến  O  Suy ra: ID  IE  ED R  2 Mặt khác theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có IO tia phân giác CIE CIO  OIE  tan AFB  CIE  AFB CI R  OC Bài 6: ( Hà Nội 2011 – 2012 ) Cho đường tròn  O  đường kính AB  R Gọi d1 , d hai tiếp tuyến đường tròn A, B Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường tròn ( E khơng trùng A, B ) Đường thẳng d qua E vng góc với EI cắt hai đường thẳng d1 , d M , N a) Chứng minh tứ giác AMEI tứ giác nội tiếp b) Chứng minh ENI  EBI MIN  90 c) Chứng minh: AM BN  AI BI d) Gọi F điểm cung AB không chứa điểm E  O  Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R điểm E , I , F thẳng hàng Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 10 11 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội d2 N d1 E M O A B I F a) Vì d1 tiếp tuyến  O  A nên d1  BA  MAI  90 Lại có: MN  EI  MEI  90 Xét tứ giác AMEI ta có: MAI  MEI  90 Suy tứ giác AMEI nội tiếp b) Chứng minh tương tự ta có tứ giác: MNEI nội tiếp Khi đó: ENI  EBI Ta có: EMI  EAI  EMI  ENI  EAI  EBI  90 Suy ra: MIN  90 c) Ta có: AIM  BNI   90  BIN  Suy ra: AMI ~ BIN ( g.g ) Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 12 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội  AM AI   AM BN  AI BI BI BN d) Khi  E , I , F thẳng hàng Vì F điểm cung AB  EF phân giác AEB  AEI  BEI  45 Ta có:  AEI  AMI  45  AMI vuông cân A  MI  AI  Tương tự: NI  IB  Suy ra: SMIN  R R 2 2 3R R  2 1 R 3R 3R MI NI   2 2 Bài 7: ( Hà Nội 2012 – 2013 ) Cho đường tròn  O; R  đường kính AB Bán kính OC vng góc với AB , M điểm cung nhỏ AC , ( M khác A, C ) BM  AC  H  K hình chiếu H AB a) Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp b) Chứng minh ACM  ACK c) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho AM  BE Chứng minh tam giác ECM vuông cân C d) Gọi d tiếp tuyến  O  A Gọi A điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB AP.MB  R Chứng minh MA PB qua trung điểm HK Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 13 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội d C I M H P E N A K O B a) Vì C   O  đường kính AB  ACB  90 Lại có: HK  AB  HKB  90 Xét tứ giác BCHK : HKB  HCB  180 Suy tứ giác BCHK nội tiếp b) Theo câu a) BCHK nội tiếp  ACK  ABM mà ABCM nội tiếp  O   ABM  ACM Suy ra: ACM  ACK c) Vì C điểm cung AB nên AC  AB Lại có: MAC  EBC ; MA  EB Khi ta có: MAC  EBC  c.g.c  Suy ra: CM  CE (1) Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Mặt khác: MCE  ECB mà HCE  ECB  90  HCE  MCA  MCE  90 (2) Từ (1),(2) ta có MCE vuông cân C d) Theo giả thiết: AP.MB AP R OB R   MA MA MB MB Mặt khác: PMA  MBO ( góc tạo tia tiếp tuyến dây cung )  APM ~ BOM  c.g.c   APM cân P  PA  PM Gọi I   MB  d ta có: APM vuông M , P  AI mà PM  PA Suy P trung điểm AI Lại do: AI / / HK   AB  Suy BP qua trung điểm HK ( Hệ đinh lí Ta – lét ) Bài 8: ( Hà Nội 2013 – 2014 ) Cho đường tròn  O  điểm A nằm bên ngồi đường tròn Kẻ hai tiếp tuyến AM , AN với đường tròn ( M , N tiếp điểm ) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn hai điểm B, C ( AB  AC , d không qua O ) a) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp b) Chứng minh rẳng: AN  AB AC Tính độ dài đoạn BC AB  4; AN  c) Gọi I trung điểm BC Đường thẳng NI cắt đường tròn  O  điểm thứ hai T Chứng minh MT / / AC d) Hai tiếp tuyến  O  B, C cắt K Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định đường thẳng d thay đổi thỏa mãn đề Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 14 15 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội K T M C I B O A N a) Do AM , AN tiếp tuyến  O   AMO  ANO  90 Xét tứ giác AMON : AMO  ANO  180  AMON nội tiếp b) Dễ dàng chứng minh: ABN ~ ANC ( g.g )  AB AN   AB AC  AN AN AC c) Vì I trung điểm BC  OI  BC  AIO  90 Khi tứ giác AION nội tiếp  AIN  AON  MON Mặt khác: MTN  MON Suy ra: MTN  AIN ( mà chúng vị trí đồng vị )  MT / / AC d) Dễ dàng chứng minh K , I , O thẳng hàng ( nằm đường trung trực BC ) Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 16 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Vì KB tiếp tuyến  O   KBO  90 Xét KBO vuông B, áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: OB  OI OK  OM Khi đó: MIO ~ KMO ( c.g.c )  KMO  MIO (1) Mặt khác ta chứng minh điểm A, M , I , O, N nằm đường tròn Suy ra: MNO  NMO  180 MIO (2) Từ (1),(2) ta có: NMO  180 KMO  NMO  KMO  180 Suy điểm K , M , N thẳng hàng Do M , N cố định nên K chuyển động đường thẳng cố định Bài 9: ( Hà Nội 2014 – 2015 ) Cho  O; R  đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường  O; R  ( M khác A, B ) Tiếp tuyến  O; R  B cắt đường thẳng AM , AN Q, P a) Chứng minh AMBN hình chữ nhật b) Chứng minh điểm M , N , P, Q nằm đường tròn c) Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắt PQ F Chứng minh F trung điểm BP ME / / NF d) Khi đường kính MN quay quanh O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Q E M A B O F N P a) Do M   O  đường kính AB nên: AMB  90 Tương tự: ANB  MAN  90 Suy ra: AMBN hình chữ nhật b) Do QB tiếp tuyến  O   QB  AB Khi đó: ABM  AQB   90  MBQ  Mặt khác AMBN hình chữ nhật  ABM  ANM Suy ra: ANM  MQB  tứ giác MNPQ nội tiếp, hay điểm M , N , P, Q thuộc đường tròn c) Xét ABQ có OE đường trung bình  OE / / AQ Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 17 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội OF  OE  OF / / AP mà   AP  AQ Xét APB có O trung điểm AB , OF / / AP nên F trung điểm BP Ta có E trung điểm BQ  ME  EQ  EB ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ) MEB cân E  MEB  180  2EBM Tương tự: NFB  180  2.NBF Suy ra: NFB  MEB  180  2NBF  180  2MBE  360   NBF  MBE   360  2.90  180 Mà góc vị trí phía nên: ME / / NF d) Áp dụng hệ thức lượng tam giác APQ ta có: 1    2 AP AQ AB AP AQ    AP AQ  8R  2S APQ  8R  S APQ  R 2 4R AP AQ Lại có: AM  AN R   2R2 2  R  S AMN  R AM AN   2S AMN Ta có:  S APQ  R  S MNPQ  S APQ  S AMN  R  R  3R   S AMN  R   S MNPQ   3R Dấu “=” xảy khi:  AP  AQ   AM  AN  MN  AB Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 18 19 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Bài 10: ( Hà Nội 2015 – 2016 ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm C đoạn thẳng AO ( C khác A, O ) Đường thẳng qua C vng góc với AB cắt nửa đường tròn K Gọi M điểm cung KB ( M khác K , B ) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM , BM H , D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn điểm thứ hai N a) Chứng minh tứ giác ACMD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CACB  CH.CD c) Chứng minh điểm A, D, N thẳng hàng tiếp tuyến N đường tròn qua trung điểm đoạn thẳng DH d) Khi M di động cung KB Chứng minh MN qua điểm cố định Hướng dẫn giải: D E K≡I M N F A C O Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! B 20 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội a) Vì M   O  đường kính AB  AM  MB  AMB  90 Xét tứ giác ACMD : ACD  AMB  90 Suy tứ giác ACMD nội tiếp b) Tương tự ta có: BCHM tứ giá nội tiếp  ADC  AMC  CBH  ACD ~ HCB ( g.g ) CA CD   CA.CB  CD.CH ( đccm ) CH CB c) Vì N   O  đường kính AB  AN  HB (1) Mặt khác xét: ABD có AH  DB; DH  AB  H trực tâm ABD  BH  AD (2) Từ (1),(2) suy ra: A, N , D thẳng hàng Giả sử NE tiếp tuyến N  O   E  DH   ENO  90 mà ANB  90  ENH  ANO Do: ANO  NAO  CHB  NHE Suy ra: ENH  EHN  ENH cân E  EN  EH Khi dễ dàng chứng minh: EN  ED Suy ra: E trung điểm ND d) Gọi F   MN  AB Từ F dựng tiếp tuyến FI với  O  Ta có: MCN  MCH  NCH  NAH  MBH  180  2ADB Lại có: MON  180 NOA MOB NOA  180  2DAB  NOA  MOB  360  180  ADB   2ADB  MOB  180  2DBA Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! (3) Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Suy ra: MON  180  2ADB (4) Từ (3),(4) ta có: MON  MCN Suy ra: MOCN nội tiếp  FN.FM  FC.FO Lại có: FM FN  FI  FI  FC.FO  FIC ~ FOI ( c.g.c )  FCI  FIO  90  IC  AB Suy ra: I  K Suy F giao điểm đường thẳng AB tiếp tuyến  O  K Bài 11: ( Hà Nội 2016 – 2017 ) Cho đường tròn  O  điểm A nằm ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn O  ( B tiếp điểm ) đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I khác C , O ) Đường thẳng AI cắt đường tròn hai điểm D, E ( D nằm A, E ) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, H nằm đường tròn b) Chứng minh AB BD  AE BE c) Đường thẳng d qua E song song với AO , d cắt BC K Chứng minh HK / / DC d) Tia CD cắt AO P , tia EO cắt BP F Chứng minh tứ giác BECF hình chữ nhật Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 21 22 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội B F P M O A I D H E K C a) Vì H trung điểm DB  OH  DB hay  OH  DB Lại có AB tiêó tuyến  O   ABO  90 Xét tứ giác ABOH : ABO  AHO  180 Suy tứ giác ABHO nội tiếp b) Ta có: ABD  AED ( góc tạo tia tiếp tuyến dây cung ) Khi dễ dàng chứng minh: ABD ~ AEB ( g.g )  AB BD  AE BE c) Ta có: HK / / AO  OAH  HEK ( góc so le ) mà OAH  HBO  HEK  HBO  BHCE nội tiếp  IHK  IBE  IDC  HK / / DC ( góc vị trí đồng vị ) d) Gọi M   HK  AO Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 23 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Theo định lí Ta – lét ta có: Lại có: OC R OP   KC KC PM (1) AP AD AD   PM DH HE Dễ dàng chứng minh: APD ~ EKH ( g.g )  (2) AP AD  EK HE (3) Từ (2), (3) ta có: PM  EK Suy ra: R OP OB   KC EK KC Lại có: BOP  AHB  180 AHE  180 BKE  EKC Suy ra: PBO ~ ECK PBO ~ ECK  PBO  KCE  OEC Suy tứ giác BECF nội tiếp mà B, E, C   O   F   O  Lại do: BC , EF đường kính nên BECF hình chữ nhật Bài 12: ( Hà Nội 2017 – 2018 ) Cho đường tròn  O  ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M , N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN , CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB, BC H , K a) Chứng minh bốn điểm C , N , K , I đường tròn b) Chứng minh: NB  NK NM c) Chứng minh BHIK hình thoi d) Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK E trung điểm đoạn thẳng PQ Vẽ đường kính ND đường tròn  O  Chứng minh điểm D, E , K thẳng hàng Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 24 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội D A Q E M F H I O P J K B C N a) Do M , N điểm cung nhỏ AB, BC nên ta có: sđ MA = sđ MB ; sđ NB = sđ NC ta có: NIC     1 sđ MA  sđ NC ; NKC  sđ MB  sđ NA 2  Suy ra: NKC  NIC  CNKI tứ giác nội tiếp hay C , N , K , I thuộc đường tròn b) Do sđ NB = sđ NC  BMN  KBN Dễ dàng chứng minh: BMN ~ KBN ( g.g )  BN NK   NB  NK NM NM NB c) Chứng minh tương tự câu a) ta có: AMHI tứ giác nội tiếp Khi ta có: AHI  AMI mà AMI  ABI Suy ra: AHI  ABI mà chúng vị trí đồng vị  HI / / BK Tương tự ta có: IK / / HB Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 25 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Suy ra: BHIK hình bình hành (1) Nhận thấy I giao điểm đường phân giác ABC  BI phân giác ABC ABC  IBK  Gọi  J   BI  HK Lại có: BKJ  1 ACB ABC sđ BM  sđ CN   2 2 Xét BJK có: IBK  BKP  ABC  ACB  BAC 180   90 2 Suy ra: BJK vuông J hay HK  BI Từ (1), (2) suy tứ giác BHIK hình thoi d) Ta có N điểm BC  BMN  NBC Khi xét  P  ta có PB tiếp tuyến  P   PB  BN Mặt khác xét  O  có ND đường kính nên BD  BN Ta có:  BD  BN   BP  BN  B, P, D thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có: C , Q, D thẳng hàng Ta có: BHK ;CKQ tam giác cân P, Q Mặt khác: HBK  QCK BDC cân C Suy ra: HKB  QCK ( mà góc vị trí so le )  HK / / DQ Tương tự: QK / / HD Suy ra: DHKQ hình bình hành Do E trung điểm HQ nên D, E , K thẳng hàng Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! (2) ... 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 18 19 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Bài 10: ( Hà Nội 2015 – 2016 ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy... mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội  EMI  EAO mà chúng vị trí đồng vị  MN / / AB d) Ta chứng minh tứ giác: KPFQ hình chữ nhật  KQ  FP Mặt khác... Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 10 11 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội d2 N d1 E M O A B I F a) Vì d1 tiếp tuyến  O  A nên d1  BA