Tuyển tập đề thi chọn đội tuyển VMO các tỉnh, thành phố năm 2018 2019

a Chứng minh rằng tồn tại 5 cấp số cộng thuộc M có công sai đôi một khác nhau sao cho mỗi số nguyên bất kì đều là phần tử của một trong các cấp số cộng đó.. Chứng minh rằng tồn tại một s

Trang 1

Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường Nguyễn Thế Út - Phạm Hữu Hiệp

by Mr Cuong

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2018 - 2019

Ho Chi Minh City - 2018

Trang 2

1 Đại số và giải tích.

Problem 1 Cho các số thực x, y, z không âm thay đổi và thỏa mãn

x

x+1+

y

y+1 +

z

z+1 =1.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

P=xy+yz+zx+x√yz+y√zx+z√xy

Chuyên KHTN Hà Nội 2018

Problem 2 Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức

(a+b+c) 1

a +

1

b +

1 c

+4√2 ab+bc+ca

a2+b2+c2

≥9+4√2

Ninh Bình 2018

Problem 3 Cho x, y, z>0 thỏa x+y+z≤1, tìm giá trị nhỏ nhất của

T = px2y2+1

y +

py2z2+1

z +

√

z2z2+1

x .

Sóc Trăng 2018

Problem 4 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng

a

b +

b

c +

c a

2

≥ (a+b+c) 1

a+

1

b +

1 c

Lạng Sơn 2018

Problem 5 Cho n là số nguyên lớn hơn 1 và{x1, x2, , xn}là một hoán vị của{1, 2, , n},(tập hợp gồm n số nguyên dương đầu tiên) Chứng minh rằng

n

∑ k=1

kxk(k+xk) ≤ n2(n+1)2

2 .

Chuyên ĐHSP Hà Nội 2018

Problem 6 Tìm tất cả các hàng số C, sao cho tồn tại đa thức P(x)thỏa mãn

P2(x) −Px2 =Cx2018

Trang 3

Chuyên KHTN Hà Nội 2018

Problem 7 Cho tam thức bậc hai f(x) = x2+ax+b, với a, b ∈ R Biết rằng tồn tại duy

nhất số thực x0sao cho f(f(x0)) =0 Chúng minh rằng a, b là các số không âm.

Problem 8 Cho đa thức p(x)có hệ số nguyên, bậc là 2 và hệ số bậc 2 bằng 1 thỏa mãn tồn tại

đa thức Q(x)có hệ số nguyên sao cho P(x), Q(x)là đa thức có tất cả các hệ số đều là 1, −1 a) Chứng mimh rằng nếu P(x)có nghiệm thực x0thì|x0| <2,

b) Tìm tất cả các đa thức P(x).

Lạng Sơn 2018

Problem 9 Cho đa thức P(x) có hệ số nguyên và a, b, c là các số nguyên thỏa mãn P(a) =

1, P(b) = 2, P(c) =3 Chứng minh rằng: a+c =2b.

Ninh Bình 2018

Problem 10 Giải phương trình sau với 2018 dấu phân số

1+ 1

1+

1+ 1

x

=x

Hải Phòng 2018

Problem 11 Giải hệ phương trình:







(x−y)(x2+xy+y2−2) = 2lny+

√

y 2 +1 x+√x 2 +1

3x.2x =3y+2y+1

Ninh Bình 2018

Problem 12 Xét sự hội tụ của dãy số(xn)biết

x0 =2, xn+1= 2

xn +

√

3

x2 n

Ninh Bình 2018

Trang 4

Problem 13 Cho ba số dương a1, b1, c1thỏa a1+b1+c1 =1 và các dãy số(an),(bn),(cn)

thỏa mãn:

an+1 =a2n+2bncn, bn+1 =b2n+2ancn, cn+1 =c2n+2anbn,∀n∈ N∗

Xét dãy(xn)xác định bởi xn = a2n+b2n+c2n,∀n ∈Z+ Chứng minh:

a)

xn+ 1= 2x2n+ (xn−1)2

2 ,∀n ∈N∗

b) (xn)có giới hạn hữu hạn khi n→ +∞ và tìm giới hạn đó.

Problem 14 Cho P(x) = xn +an−1xn−1+an−2xn−2+ .+a1x+a0 là đa thức hệ số thực có n nghiệm thực (n chẵn và các nghiệm không nhất thiết phân biệt) Giả sử y là số thực dương thỏa mãn với mọi số thực t bé hơn y thì P(x) > 0 Chứng minh rằng

n

q

P(0) −qn

P(y) ≥y

Quảng Bình 2018

Problem 15 Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn hệ thức

f(x−y) + f(xy) = f(x) − f(y) + f(x)f(y), ∀x, y∈ R.

Problem 16 Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn

f(f(x) −y2) = f(x2) +y2f(y) −2 f(xy) ∀x, y∈ R.

Phú Thọ 2018

Problem 17.

a) cho dãy số(xn)n>=1được xác định như sau:

x1 =1, xn+1 =1+ n

xn

, n∈ N∗

Đặt yn = √xn

n, n∈N∗ Chứng minh dãy(yn)n≥1có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Trang 5

b) Cho dãy số thực dương(an)n≥1có a1=1, a2 =2 và với mọi số nguyên dương m, n đều thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:

i) amn = aman;

ii) an ≤2018n;

iii) am+n ≤2019(am+an).

Chứng minh an =n với mọi số nguyên dương n.

Đà Nẵng 2018

Problem 18.

a) Cho P(x) là đa thức hệ số thực, bậc n (n ≥ 2) Giả sử P(x) có hệ số của bậc cao nhất bằng 1, có n nghiệm thực phân biệt là x1, x2, , xn và đồng thời đạo hàm P0(x) có n-1 nghiệm thực phân biệt y1, y2, , yn−1 Chứng minh rằng:

x21+ +x2n

n >

y21+ +y2n−1

n−1 .

b) Tìm tất cả các hàm số f : R→R liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện:

f(x+y)f(x−y) = (f(x)f(y))2

Đà Nẵng 2018

Problem 19 Cho dãy số thực(an)n≥1xác định bởi:

a1= a2=1, a3 =2 và an+3 = an+1an+2+7

an

với mọi số nguyên dương n.

a) Chứng minh rằng an là số nguyên, với mọi số nguyên dương n.

b) Tìm giới hạn: lim

n→+ ∞

a2n+2a2n+a22n+1

a2na2n+1

.

Phú Thọ 2018

Problem 20 Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn:

f(f(x) −y2) = f(x2) +y2f(y) −2 f(xy)∀x, y∈ R.

Trang 6

Phú Thọ 2018

Problem 21 Cho số thức a khác 0 và dãy(un)thỏa u1 = 0, un+1(un +a) = a+1 với mọi

n nguyên dương Tìm giới hạn của dãy(un).

Phổ thông năng khiếu TP HCM 2018

Problem 22 Tìm tất cả các hàm fR+ →R+

thỏa

f(x f(y2) −y f(x2)) = (y−x)(f(xy)∀x, y∈ R+

Problem 23 Ghi lên bảng 2018 số nguyên dương đầu tiên 1, 2, 3, , 2018 Thực hiện thuật

toán sau: mỗi lần cho phép xóa đi hai số a, b mà không có số nào là bội của số kia và thay thế chúng bởi hai số là ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của a, b Hỏi rằng ta có thể thực hiện thuật toán trên vô hạn lần không? Tại sao?

Problem 24 Cho các số nguyên m, n lớn hơn 1 thỏa mãn trong n số x2−x với x = 1, n

không có hai số nào có cùng số dư khi chia cho m Chứng minh rằng:

a) m≥2n−1.

b) m =2n−1 khi và chỉ khi m là số nguyên tố lẻ.

Problem 25. Với mỗi số nguyên n > 1, ta gọi một hoán vị (a1, a2, , an) của tập hợp

{1, 2, , n}(tập hợp gồm n số nguyên dương đầu tiên) là tốt nếu:

|a1−1| = |a2−2| = =|an−n| 6=0

Chứng minh rằng:

a) Không tồn tại hoán vị tốt nếu n lẻ.

Trang 7

b) Nếu n chẵn thì số hoán vị tốt bằng số các ước dương của n2.

Problem 26 Bạn Thanh viết lên bảng các số 1, 2, 3, , 2019 Mỗi một bước Thanh xóa 2 số a

và b bất kì trên bảng và viết thêm số ab

a+b+1 Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau

khi thực hiện 2018 bước trên bảng luôn còn lại số 1

2019.

Ninh Bình 2018

Problem 27. Với số n nguyên dương đặt f(n) là số ước nguyên dương của n Xét tập hợp G = {n∈ N∗ : f(m) < f(n),∀m∈ N, 0<m<n} và goij pi là số nguyên tố thứ i

(i ∈ N∗).

a) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G và pm là ước nguyên tố của n thì(p1p2 pm) là ước của n.

b) Với số nguyên tố pm, gọi k, M là các số nguyên dương thỏa mãn 2k > pm và M = (p1p2 pm−1)2k Chứng minh rằng: Nếu n> M và n thuộc G thì n chia hết cho pm.

Ninh Bình 2018

Problem 28 Cho dãy số thực(xn)n≥0thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

a) xn =0 khi và chỉ khi n=0.

b) xn+1 =x2

[n+3

2 ]

+ (−1)n.x2

[n

2]

với mọi n ≥0.

(Kí hiệu[x]là số nguyên lớn nhất không vượt quá x).

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, nếu xn là số nguyên tố thì n là số nguyên tố hoặc n không có ước nguyên tố lẻ.

Phú Thọ 2018

Problem 29 Chứng minh rằng:

a) Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp là hợp số.

b) Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp chứa đúng 2 số nguyên tố.

Phú Thọ 2018

Trang 8

Problem 30 Một bảng ô vuông ABCD kích thước 2018x2018 gồm 20182ô vuông đơn vị, mỗi

ô vuông đơn vị được điền bởi một trong ba số−1, 0, 1 Một cách điền số được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo AC được điển số−1 và mỗi cặp ô đối xứng qua AC được điền

cùng một số 0 hoặc 1 Chứng minh rằng với mỗi cách điền số đối xứng bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là a1, a2, , a2018

ở hàng thứ nhất, b1, b2, , b2018 ở hàng thứ hai sao cho S = a1b1+a2b2+ +a2018b2018 là một số chẵn.

Phú Thọ 2018

Problem 31 Cho p là một số nguyên tố lẻ, số nguyên dương n được gọi là "tốt" nếu tồn tại đa

thức P(x)với hệ số nguyên, có bậc bằng p và hệ số bậc cao nhất bằng 1 sao cho n là ước số của

P(k)với mọi số nguyên k Một số nguyên dương mà không phải là số tốt được gọi là số "xấu" Chứng minh rằng:

a) p là số tốt.

b) p2là số xấu.

Đà Nẵng 2018

Problem 32 Dãy(an)n∈Z được gọi là một "cấp số cộng hai phía" nếu với mọi số nguyên n thì an+1−an =d là hằng số (d được gọi là công sai của dãy).

Kí hiệu M là tập tất cả các cấp số cộng hai phía với các số hạng nguyên và công sai lớn hơn 1 a) Chứng minh rằng tồn tại 5 cấp số cộng thuộc M có công sai đôi một khác nhau sao cho mỗi số nguyên bất kì đều là phần tử của một trong các cấp số cộng đó.

b) Cho m (m ∈ N, m ≥ 2) cấp số cộng thuộc M sao cho các công sai của chúng đôi một nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên không phải là phần tử của bất kì cấp số cộng nào trong m cấp số cộng đó.

Đà Nẵng 2018

Problem 33 Cho 2 dãy ghế được xếp đối diện nhau, mỗi dãy có 10 ghế, mỗi ghế trong một

dãy đối diện với một ghế của dãy còn lại Có 19 học sinh tham gia một trò chơi Ban đầu mỗi học sinh ngồi một ghế và còn một ghế để trống Cứ sau 10 giây, một học sinh nào đó ngồi ở dãy không có ghế trống chuyển sang ngồi ghế trống của dãy đối diện Hỏi có tồn tại hay không một thời điểm mà toàn bộ các học sinh đều được chuyển dãy và các cặp học sinh đối diện nhau

Trang 9

không thay đổi so với ban đầu?

Đà Nẵng 2018

Problem 34 Cho n=2018.2019 Gọi A là tập hợp các bộ(a1; a2; ; an)có thứ tự thỏa

ai ∈ [0; 1]∀i∈ 1; 2; 3; ; n và∑k

i=1ai ≤ k

2 và∑n

i=n−k+1ai ≤ k

2∀k ∈1; 2; 3; ; n?

Problem 35 Cho 2 đường tròn có bán kính khác nhau(O1),(O2)cắt nhau tại X, Y sao cho

∠O1XO2 = 90o Gọi AB là tiếp tuyến chung ngoài của (O1),(O2)(A ∈ (O1), B ∈ (O2)) Đường thẳng O2A cắt (O1) lần thứ 2 tại C, đường thẳng O1B cắt (O2) lần thứ 2 tại D.

AC∩BD=E, AD∩BC =F Tiếp tuyến tại C của(O1)cắt AB tại M.

a) Chứng minh M là trung điểm đoạn AB.

b) Chứng minh tồn tại một đường tròn (J) tiếp xúc (O1),(O2) lần lượt tại C, D và bán kính của(J)bằng 13 khoảng cách từ J đến đường thẳng AB.

Đà Nẵng 2018

Problem 36 Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn(O)và có trực tâm H a) Tia OA cắt lại đường tròn (BOC) tại điểm thứ hai khác O là A1 Gọi A2 là điểm đối xứng của A qua đường thẳng BC Chứng minh ba đường thẳng A2O, H A1, BC đồng quy.

b) Tia BO cắt lại đường tròn (COA) tại B1, tia CO cắt lại đường tròn (BOA) tại C1 Chứng minh ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác AH A1, BHB1, CHC1 có một điểm chung thứ hai khác H.

Đà Nẵng 2018

Problem 37 Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn(O)P, Q theo thứ tự

là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác OAB, OAC R là điểm đối xứng của O qua BC Gọi

X là giao điểm của RP và CP, Y là giao điểm của RC và BQ Chứng minh rằngBAX[ = [YAC.

Trang 10

Problem 38 Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn O, I là tâm đường tròn nội

tiếp Gọi E là giao điểm của BI và AC, F là giao điểm của CI và AB; M, N lần lượt là giao điểm thứ hai của BI và CI và đường tròn O Đường thẳng BI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BNF tại điểm thứ hai P, đường thẳng CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CME tại điểm thứ hai Q.

a) Chứng minh rằng tứ giác EFBQ nội tiếp một đường tròn.

b) Qua I kẻ đường thẳng ∆ vuông góc với BC Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFBQ nằm trên ∆.

Problem 39 Cho hình chữ nhật ABCD, nội tiếp đường tròn O Gọi M, N lần lượt là trung

điểm các cung nhỏ BC, AD Gọi I, J lần lượt là trung điểm OM, ON Gọi K là điểm dối xứng với O qua M.

a) Chứng minh răng tứ giác BJDK nội tiếp đường tròn.

b) Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên AB, AC Chứng minh rằng AK⊥PQ.

Lạng Sơn 2018

Problem 40 Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm

của đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AB, BC, AC, đường thẳng EF cắt đường thẳng CI, BI, AM lần lượt tại X, Y, N Chứng minh rằng

a) Giả sử BC cố định và A thay đổi trong mặt phẳng sao choBAC[ = α, 0 < α < 180o Chứng minh độ dài đoạn XY không đổi.

b) Giả sử tam giác ABC không cân, chứng minh rằng ba điểm N, I, D thẳng hàng và

NX

NY =

AC

AB.

Problem 41 Cho tam giác ABC nhọn không cân, (AB < AC) có H là trực tâm, nội tiếp đường tròn (O) BE, CF là các đường cao của tam giác ABC (E ∈ AC, F ∈ AB) Đường thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG cắt đường tròn(O)tại M.

Trang 11

a) Gọi T trung điểm BC, chứng minh rằng GH⊥AT.

b) Lấy điểm P nào đó trên tia BC (P nằm ngoài đoạn PC) Đường tròn(O)cắt AP tại I và cắt đường tròn đường kính AP tại Q (I, Q đều khác A) AQ cắt BC tại J Chứng minh rằng đường thẳng I J luôn đi qua một điểm cố định.

Problem 42 Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp(I)tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại các điểm D, E, F Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AD, CF với(I) Chứng minh rằng:

MN.FD MF.ND =3.

Phú Thọ 2018

Problem 43 Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại P Đường tròn ngoại

tiếp các tam giác APB, CPD cắt cạnh BC theo thứ tự tại E, F Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABE, CDF; hai đoạn thẳng BJ và CI cắt nhau tại Q Đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB cắt đoan thẳng BD tại M Đường tròn ngoại tiếp tam giác DJC cắt đoạn thẳng AC tại N.

a) Chứng minh: BI JC là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh ba đường thẳng I M, JN, PQ đồng quy.

Phú Thọ 2018

Problem 44 Đường tròn C ( tâm I) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC

tại E, F.AM, AN là các phân giác trong, phân giác ngoài của BAC ( M, N[ ∈ BC) GỌi

dM, dN(dM, dN khác BC) lần lượt là các tiếp tuyến của C qua M, N

a) Chứng minh dM, dN, EF đồng quy (tại điểm D).

b) Trên AB, AC lấy cá điểm P, Q thỏa DP||AC, DQ||AB Gọi R, S là trung điểm DE, DF CHứng minh I thuộc đường thẳng qua các trực tâm của ha tam giác DPS và DQR.

Problem 45 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Dựng ra phía ngoài tam giác

ABC các hình bình hành ABMN và ACPQ sao cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác

Trang 12

CAP Gọi G là giao điểm của AQ và BM, H là giao điểm của AN và CP Đường tròn ngoại tiếp các tam giác GMQ, HNP cắt nhau tại E và F (E nằm trong đường tròn(O)).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, E, F thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, O, E cùng thuộc một đường tròn.

Ninh Bình 2018

Problem 46 Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn(O), đường tròn tâm I tiếp xúc với các tia AB, AD lần lượt tại E và F, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn(O)tại điểm T Hai tiếp tuyến tại A và T của đường tròn (O) cắt nhau tại K Các đường thẳng TE, TF lần lượt cắt đường tròn(O)thứ tự tại các điểm M, N(M, N khác T)

a) Chứng minh rằng ba điểm K, M, N thẳng hàng.

b) Đường phân giác góc BAC cắt đường thẳng MC tại P, đường thẳng KP cắt đường thẳng

CN tại Q Chứng minh rằng: Nếu N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ thì bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ACD bằng nhau.

Ninh Bình 2018

[1 ] diendantoanhoc.net

[2 ] Mathscope.org

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	241,59 KB