Tuyển tập đề thi chọn đội tuyển VMO các tỉnh, thành phố năm 2018 2019

Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường Nguyễn Thế Út - Phạm Hữu Hiệp by Mr C uong T A oM THE ART OF MATHEMATICS ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2018 - 2019 Ho Chi Minh City - 2018 Đại số giải tích Problem Cho số thực x, y, z không âm thay đổi thỏa mãn x y z + + = x+1 y+1 z+1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ √ √ √ P = xy + yz + zx + x yz + y zx + z xy Chuyên KHTN Hà Nội 2018 Problem Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức ( a + b + c) 1 + + a b c √ +4 √ ≥ + ab + bc + ca a2 + b2 + c2 Ninh Bình 2018 Problem Cho x, y, z > thỏa x + y + z ≤ 1, tìm giá trị nhỏ √ x y2 + y2 z2 + z2 z2 + T= + + y z x Sóc Trăng 2018 Problem Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b c + + b c a ≥ ( a + b + c) 1 + + a b c Lạng Sơn 2018 Problem Cho n số nguyên lớn { x1 , x2 , , xn } hoán vị {1, 2, , n},(tập hợp gồm n số nguyên dương đầu tiên) Chứng minh n2 ( n + 1)2 ∑ kxk (k + xk ) ≤ k =1 n Chuyên ĐHSP Hà Nội 2018 Problem Tìm tất hàng số C, cho tồn đa thức P( x ) thỏa mãn P2 ( x ) − P x2 = Cx2018 Chuyên KHTN Hà Nội 2018 Problem Cho tam thức bậc hai f ( x ) = x2 + ax + b, với a, b ∈ R Biết tồn số thực x0 cho f ( f ( x0 )) = Chúng minh a, b số không âm Chuyên ĐHSP Hà Nội 2018 Problem Cho đa thức p( x ) có hệ số nguyên, bậc hệ số bậc thỏa mãn tồn đa thức Q( x ) có hệ số nguyên cho P( x ), Q( x ) đa thức có tất hệ số 1, −1 a) Chứng mimh P( x ) có nghiệm thực x0 | x0 | < 2, b) Tìm tất đa thức P( x ) Lạng Sơn 2018 Problem Cho đa thức P( x ) có hệ số nguyên a, b, c số nguyên thỏa mãn P( a) = 1, P(b) = 2, P(c) = Chứng minh rằng: a + c = 2b Ninh Bình 2018 Problem 10 Giải phương trình sau với 2018 dấu phân số 1+ = x 1+ 1+ 1+ x Hải Phòng 2018 Problem 11 Giải hệ phương trình:  √ ( x − y)( x2 + xy + y2 − 2) = 2ln y+ √ y2 +1 x + x +1  3x 2x = 3y + 2y + Ninh Bình 2018 Problem 12 Xét hội tụ dãy số ( xn ) biết x0 = 2, xn+1 √ = + xn xn Ninh Bình 2018 Problem 13 Cho ba số dương a1 , b1 , c1 thỏa a1 + b1 + c1 = dãy số ( an ) , (bn ) , (cn ) thỏa mãn: an+1 = a2n + 2bn cn , bn+1 = bn2 + 2an cn , cn+1 = c2n + 2an bn , ∀n ∈ N∗ Xét dãy ( xn ) xác định xn = a2n + bn2 + c2n , ∀n ∈ Z+ Chứng minh: a) x n +1 2xn2 + ( xn − 1)2 = , ∀ n ∈ N∗ b) ( xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ tìm giới hạn Chun ĐHSP Hà Nội 2018 Problem 14 Cho P ( x ) = x n + an−1 x n−1 + an−2 x n−2 + + a1 x + a0 đa thức hệ số thực có n nghiệm thực (n chẵn nghiệm không thiết phân biệt) Giả sử y số thực dương thỏa mãn với số thực t bé y P( x ) > Chứng minh n P (0) − n P (y) ≥ y Quảng Bình 2018 Problem 15 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn hệ thức f ( x − y) + f ( xy) = f ( x ) − f (y) + f ( x ) f (y), ∀ x, y ∈ R Quảng Bình 2018 Problem 16 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f ( f ( x ) − y2 ) = f ( x2 ) + y2 f (y) − f ( xy) ∀ x, y ∈ R Phú Thọ 2018 Problem 17 a) cho dãy số ( xn )n>=1 xác định sau: x1 = 1, xn+1 = + n ,n ∈ N∗ xn xn Đặt yn = √ , n ∈ N∗ Chứng minh dãy (yn )n≥1 có giới hạn hữu hạn tính giới hạn n b) Cho dãy số thực dương ( an )n≥1 có a1 = 1, a2 = với số nguyên dương m, n thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau: i) amn = am an ; ii) an ≤ 2018n; iii) am+n ≤ 2019( am + an ) Chứng minh an = n với số nguyên dương n Đà Nẵng 2018 Problem 18 a) Cho P( x ) đa thức hệ số thực, bậc n (n ≥ 2) Giả sử P( x ) có hệ số bậc cao 1, có n nghiệm thực phân biệt x1 , x2 , , xn đồng thời đạo hàm P ( x ) có n-1 nghiệm thực phân biệt y1 , y2 , , yn−1 Chứng minh rằng: y2 + + y2n−1 x12 + + xn2 > n n−1 b) Tìm tất hàm số f : R → R liên tục R thỏa mãn điều kiện: f ( x + y) f ( x − y) = ( f ( x ) f (y))2 Đà Nẵng 2018 Problem 19 Cho dãy số thực ( an )n≥1 xác định bởi: a1 = a2 = 1, a3 = an+3 = a n +1 a n +2 + an với số nguyên dương n a) Chứng minh an số nguyên, với số nguyên dương n b) Tìm giới hạn: lim n→+∞ a2n+2 a2n + a22n+1 a2n a2n+1 Phú Thọ 2018 Problem 20 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn: f ( f ( x ) − y2 ) = f ( x2 ) + y2 f (y) − f ( xy)∀ x, y ∈ R Phú Thọ 2018 Problem 21 Cho số thức a khác dãy (un ) thỏa u1 = 0, un+1 (un + a) = a + với n nguyên dương Tìm giới hạn dãy (un ) Phổ thông khiếu TP HCM 2018 Problem 22 Tìm tất hàm f R+ → R+ thỏa f ( x f (y2 ) − y f ( x2 )) = (y − x )( f ( xy)∀ x, y ∈ R+ Phổ thông khiếu TP HCM 2018 Số học - Tổ hợp Problem 23 Ghi lên bảng 2018 số nguyên dương 1, 2, 3, , 2018 Thực thuật tốn sau: lần cho phép xóa hai số a, b mà khơng có số bội số thay chúng hai số ước số chung lớn bội số chung nhỏ a, b Hỏi ta thực thuật tốn vơ hạn lần khơng? Tại sao? Chuyên ĐHSP Hà Nội 2018 Problem 24 Cho số nguyên m, n lớn thỏa mãn n số x2 − x với x = 1, n khơng có hai số có số dư chia cho m Chứng minh rằng: a) m ≥ 2n − b) m = 2n − m số nguyên tố lẻ Chuyên ĐHSP Hà Nội 2018 Problem 25 Với số nguyên n > 1, ta gọi hoán vị ( a1 , a2 , , an ) tập hợp {1, 2, , n} (tập hợp gồm n số nguyên dương đầu tiên) tốt nếu: | a1 − 1| = | a2 − 2| = = | an − n| = Chứng minh rằng: a) Không tồn hoán vị tốt n lẻ b) Nếu n chẵn số hốn vị tốt số ước dương n2 Chuyên ĐHSP Hà Nội 2018 Problem 26 Bạn Thanh viết lên bảng số 1, 2, 3, , 2019 Mỗi bước Thanh xóa số a ab Chứng minh dù xóa sau b bảng viết thêm số a+b+1 thực 2018 bước bảng ln cịn lại số 2019 Ninh Bình 2018 Problem 27 Với số n nguyên dương đặt f (n) số ước nguyên dương n Xét tập hợp G = {n ∈ N∗ : f (m) < f (n), ∀m ∈ N, < m < n} goij pi số nguyên tố thứ i ( i ∈ N∗ ) a) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G pm ước nguyên tố n ( p1 p2 pm ) ước n b) Với số nguyên tố pm , gọi k, M số nguyên dương thỏa mãn 2k > pm M = ( p1 p2 pm−1 )2k Chứng minh rằng: Nếu n > M n thuộc G n chia hết cho pm Ninh Bình 2018 Problem 28 Cho dãy số thực ( xn )n≥0 thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: a) xn = n = b) xn+1 = x2n + + (−1)n x2n với n ≥ [ ] ] [ 2 (Kí hiệu [ x ] số nguyên lớn không vượt x) Chứng minh với số nguyên dương n, xn số nguyên tố n số ngun tố n khơng có ước ngun tố lẻ Phú Thọ 2018 Problem 29 Chứng minh rằng: a) Tồn 2018 số nguyên dương liên tiếp hợp số b) Tồn 2018 số nguyên dương liên tiếp chứa số nguyên tố Phú Thọ 2018 Problem 30 Một bảng vng ABCD kích thước 2018x2018 gồm 20182 ô vuông đơn vị, ô vuông đơn vị điền ba số −1, 0, Một cách điền số gọi đối xứng có tâm đường chéo AC điển số −1 cặp ô đối xứng qua AC điền số Chứng minh với cách điền số đối xứng bất kì, ln tồn hai hàng có số ô vuông đơn vị theo thứ tự từ trái sang phải a1 , a2 , , a2018 hàng thứ nhất, b1 , b2 , , b2018 hàng thứ hai cho S = a1 b1 + a2 b2 + + a2018 b2018 số chẵn Phú Thọ 2018 Problem 31 Cho p số nguyên tố lẻ, số nguyên dương n gọi "tốt" tồn đa thức P( x ) với hệ số nguyên, có bậc p hệ số bậc cao cho n ước số P(k ) với số nguyên k Một số nguyên dương mà số tốt gọi số "xấu" Chứng minh rằng: a) p số tốt b) p2 số xấu Đà Nẵng 2018 Problem 32 Dãy ( an )n∈Z gọi "cấp số cộng hai phía" với số nguyên n an+1 − an = d số (d gọi công sai dãy) Kí hiệu M tập tất cấp số cộng hai phía với số hạng nguyên công sai lớn a) Chứng minh tồn cấp số cộng thuộc M có cơng sai đôi khác cho số nguyên phần tử cấp số cộng b) Cho m (m ∈ N, m ≥ 2) cấp số cộng thuộc M cho công sai chúng đôi nguyên tố Chứng minh tồn số nguyên phần tử cấp số cộng m cấp số cộng Đà Nẵng 2018 Problem 33 Cho dãy ghế xếp đối diện nhau, dãy có 10 ghế, ghế dãy đối diện với ghế dãy cịn lại Có 19 học sinh tham gia trò chơi Ban đầu học sinh ngồi ghế ghế để trống Cứ sau 10 giây, học sinh ngồi dãy khơng có ghế trống chuyển sang ngồi ghế trống dãy đối diện Hỏi có tồn hay khơng thời điểm mà tồn học sinh chuyển dãy cặp học sinh đối diện không thay đổi so với ban đầu? Đà Nẵng 2018 Problem 34 Cho n = 2018.2019 Gọi A tập hợp ( a1 ; a2 ; ; an ) có thứ tự thỏa k k ∑in=n−k+1 ≤ ∀k ∈ 1; 2; 3; ; n? 2 ∈ [0; 1]∀i ∈ 1; 2; 3; ; n ∑ik=1 ≤ Phổ thơng khiếu TP HCM 2018 Hình học Problem 35 Cho đường trịn có bán kính khác (O1 ), (O2 ) cắt X, Y cho ∠O1 XO2 = 90o Gọi AB tiếp tuyến chung (O1 ), (O2 )( A ∈ (O1 ), B ∈ (O2 )) Đường thẳng O2 A cắt (O1 ) lần thứ C, đường thẳng O1 B cắt (O2 ) lần thứ D AC ∩ BD = E, AD ∩ BC = F Tiếp tuyến C (O1 ) cắt AB M a) Chứng minh M trung điểm đoạn AB b) Chứng minh tồn đường tròn ( J ) tiếp xúc (O1 ), (O2 ) C, D bán kính ( J ) khoảng cách từ J đến đường thẳng AB Đà Nẵng 2018 Problem 36 Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân, nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H a) Tia OA cắt lại đường tròn ( BOC ) điểm thứ hai khác O A1 Gọi A2 điểm đối xứng A qua đường thẳng BC Chứng minh ba đường thẳng A2O, H A1 , BC đồng quy b) Tia BO cắt lại đường tròn (COA) B1 , tia CO cắt lại đường tròn ( BOA) C1 Chứng minh ba đường tròn ngoại tiếp tam giác AH A1 , BHB1 , CHC1 có điểm chung thứ hai khác H Đà Nẵng 2018 Problem 37 Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân, nội tiếp đường trịn (O) P, Q theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB, OAC R điểm đối xứng O qua BC Gọi X giao điểm RP CP, Y giao điểm RC BQ Chứng minh BAX = YAC Chuyên ĐHSP Hà Nội 2018 Problem 38 Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn O, I tâm đường tròn nội tiếp Gọi E giao điểm BI AC, F giao điểm CI AB; M, N giao điểm thứ hai BI CI đường tròn O Đường thẳng BI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BNF điểm thứ hai P, đường thẳng CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CME điểm thứ hai Q a) Chứng minh tứ giác EFBQ nội tiếp đường tròn b) Qua I kẻ đường thẳng ∆ vng góc với BC Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFBQ nằm ∆ Chuyên ĐHSP Hà Nội 2018 Problem 39 Cho hình chữ nhật ABCD, nội tiếp đường tròn O Gọi M, N trung điểm cung nhỏ BC, AD Gọi I, J trung điểm OM, ON Gọi K điểm dối xứng với O qua M a) Chứng minh tứ giác BJDK nội tiếp đường tròn b) Gọi P, Q hình chiếu vng góc I lên AB, AC Chứng minh AK ⊥ PQ Lạng Sơn 2018 Problem 40 Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Gọi D, E, F tiếp điểm đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC với cạnh AB, BC, AC, đường thẳng EF cắt đường thẳng CI, BI, AM X, Y, N Chứng minh a) Giả sử BC cố định A thay đổi mặt phẳng cho BAC = α, < α < 180o Chứng minh độ dài đoạn XY không đổi b) Giả sử tam giác ABC không cân, chứng minh ba điểm N, I, D thẳng hàng AC NX = NY AB Quảng Bình 2018 Problem 41 Cho tam giác ABC nhọn khơng cân, (AB < AC) có H trực tâm, nội tiếp đường tròn (O) BE, CF đường cao tam giác ABC ( E ∈ AC, F ∈ AB) Đường thẳng EF cắt BC G, đường thẳng AG cắt đường tròn (O) M a) Gọi T trung điểm BC, chứng minh GH ⊥ AT b) Lấy điểm P tia BC (P nằm ngồi đoạn PC) Đường trịn (O) cắt AP I cắt đường trịn đường kính AP Q (I, Q khác A) AQ cắt BC J Chứng minh đường thẳng I J ln qua điểm cố định Quảng Bình 2018 Problem 42 Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp ( I ) tiếp xúc với BC, CA, AB điểm D, E, F Gọi M, N giao điểm AD, CF với ( I ) Chứng minh rằng: MN.FD = MF.ND Phú Thọ 2018 Problem 43 Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo cắt P Đường tròn ngoại tiếp tam giác APB, CPD cắt cạnh BC theo thứ tự E, F Gọi I, J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABE, CDF; hai đoạn thẳng BJ CI cắt Q Đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB cắt đoan thẳng BD M Đường tròn ngoại tiếp tam giác DJC cắt đoạn thẳng AC N a) Chứng minh: BI JC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh ba đường thẳng I M, JN, PQ đồng quy Phú Thọ 2018 Problem 44 Đường tròn C ( tâm I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC E, F.AM, AN phân giác trong, phân giác BAC ( M, N ∈ BC) GỌi d M , d N (d M , d N khác BC) tiếp tuyến C qua M, N a) Chứng minh d M , d N , EF đồng quy (tại điểm D) b) Trên AB, AC lấy cá điểm P, Q thỏa DP|| AC, DQ|| AB Gọi R, S trung điểm DE, DF CHứng minh I thuộc đường thẳng qua trực tâm tam giác DPS DQR Phổ thông khiếu TP HCM 2018 Problem 45 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Dựng phía ngồi tam giác ABC hình bình hành ABMN ACPQ cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác 10 CAP Gọi G giao điểm AQ BM, H giao điểm AN CP Đường tròn ngoại tiếp tam giác GMQ, HNP cắt E F (E nằm đường tròn (O)) a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng b) Chứng minh bốn điểm B, C, O, E thuộc đường trịn Ninh Bình 2018 Problem 46 Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O), đường tròn tâm I tiếp xúc với tia AB, AD E F, đồng thời tiếp xúc với đường tròn (O) điểm T Hai tiếp tuyến A T đường tròn (O) cắt K Các đường thẳng TE, TF cắt đường tròn (O) thứ tự điểm M, N ( M, N khác T ) a) Chứng minh ba điểm K, M, N thẳng hàng b) Đường phân giác góc BAC cắt đường thẳng MC P, đường thẳng KP cắt đường thẳng CN Q Chứng minh rằng: Nếu N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC ACD Ninh Bình 2018 Nguồn tham khảo [1 ] diendantoanhoc.net [2 ] Mathscope.org 11 ... Nội 2018 Problem 26 Bạn Thanh viết lên bảng số 1, 2, 3, , 2019 Mỗi bước Thanh xóa số a ab Chứng minh dù xóa sau b bảng viết thêm số a+b+1 thực 2018 bước bảng ln cịn lại số 2019 Ninh Bình 2018. .. Thọ 2018 Problem 29 Chứng minh rằng: a) Tồn 2018 số nguyên dương liên tiếp hợp số b) Tồn 2018 số nguyên dương liên tiếp chứa số nguyên tố Phú Thọ 2018 Problem 30 Một bảng vng ABCD kích thước 2018x2018... theo thứ tự từ trái sang phải a1 , a2 , , a2018 hàng thứ nhất, b1 , b2 , , b2018 hàng thứ hai cho S = a1 b1 + a2 b2 + + a2018 b2018 số chẵn Phú Thọ 2018 Problem 31 Cho p số nguyên tố lẻ, số nguyên