BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ - ĐÀO HOÀNG DŨNG

ĐÀO HOÀNG DŨNG BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ - 2016 - Đào Hoàng Dũng Bài tập Xác suất Thống kê Chương Biến cố xác suất Tính xác suất định nghĩa Mối quan hệ biến cố Một người gọi điện thoại cho bạn quyên ba chữ số cuối nhớ chúng khác Tìm xác suất để người quay lần số điện thoại bạn Một cơng ty cần tuyển ba nhân viên Có 30 người nộp đơn, có 18 nam 12 nữ Giả sử khả trúng tuyển 30 người a) Tính xác suất để người trúng tuyển nam b) Tính xác suất để người trúng tuyển nữ c) Tính xác suất để có nữ trúng tuyển Có 10 khách bước ngẫu nhiên vào cửa hàng có quầy Tính xác suất để có người vào quầy số Một đoàn tàu gồm toa đỗ sân ga Có hành khách bước lên tàu Mỗi hành khách độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có hành khách bước lên tàu Tìm xác suất để gặp ngẫu nhiên ba người khơng quen biết ngồi đường (giả thiết người không sinh vào năm nhuận) họ: a) Có ngày sinh nhật khác b) Có ngày sinh nhật trùng Một người bỏ ngẫu nhiên thư vào phong bì ghi sẵn địa Tính xác suất để: a) Chỉ có thư bỏ địa b) Cả thư bỏ không địa Một công ty tham gia đấu thầu dự án Gọi Ak biến cố cơng ty thắng thầu dự án k (k  1, 2) Hãy viết kí hiệu biến cố biểu thị rằng: a) Công ty thắng thầu dự án b) Công ty không thắng thầu dự án Ba người bắn vào mục tiêu Gọi Ak biến cố người thứ k bắn trúng mục tiêu (k  1, 2,3) Hãy viết kí hiệu biến cố biểu thị rằng: a) b) c) d) Chỉ có người thứ bắn trúng mục tiêu Chỉ có người bắn trúng mục tiêu Chỉ có hai người bắn trúng mục tiêu Có người bắn trúng mục tiêu Bài tập Xác suất Thống kê Đào Hoàng Dũng Công thức cộng, công thức nhân xác suất Một người mua ngẫu nhiên vé xổ số có chữ số a) Tính xác suất để vé khơng có số khơng có chữ số b) Tính xác suất để vé có chữ số có chữ số lẻ 10 Một sinh viên phải thi môn cách độc lập Xác suất nhận điểm số môn Xác suất để thu môn điểm 0,18, 0,65, xác suất môn điểm 10 0,000343 Tính xác suất để sinh viên thi mơn 28 điểm Điểm thi cho theo thang điểm 10, khơng có điểm lẻ 11 Một lơ hàng có 100 sản phẩm, có 10 phế phẩm Kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm Nếu có phế phẩm sản phẩm kiểm tra khơng mua lơ hàng Tính xác suất lơ hàng mua 12 Một máy có ba phận hoạt động độc lập với Xác suất để phận bị hỏng 0,1; 0,3 0,2 Tính xác suất biến cố sau: a) Có phận bị hỏng b) Có phận bị hỏng 13 Tỉ lệ phế phẩm lô hàng 3% Chọn ngẫu nhiên có hồn lại sản phẩm: a) Tính xác suất phải chọn đến lần thứ tư phế phẩm b) Phải chọn lần để xác suất chọn phế phẩm khơng nhỏ 0,9 14 Một sinh viên phải thi môn kết thúc học kì Khả thi điểm môn 0,8 độc lập Tính xác suất để học kì người đó: a) Được mơn điểm b) Được môn điểm 15 Một máy sản xuất sản phẩm Xác suất sản xuất phế phẩm máy 0,01 a) Cho máy xản suất 10 sản phẩm Tính xác suất có phế phẩm; có phế phẩm b) Máy cần sản xuất sản phẩm để xác suất có phẩm 0,99 16 A chơi cờ với B với xác suất thắng ván p Tìm giá trị p để A thắng chung bốn ván dễ sáu ván Biết để thắng chung phải thắng nửa tổng số ván Đào Hoàng Dũng Bài tập Xác suất Thống kê 17 Có xạ thủ, người bắn 10 viên đạn vào bia Xác suất bắn trúng đích lần xạ thủ tương ứng 0,7 0,8 Tính xác suất: a) Bia bị trúng đạn b) Bia bị trúng viên đạn 18 Có ba người A, B C vấn xin việc công ty Xác suất trúng tuyển người 0,8; 0,6 0,7 Việc trúng tuyển người độc lập a) Tính xác suất có hai người trúng tuyển b) Biết có hai người trúng tuyển Tính xác suất để hai người A B 19 Theo điều tra ngân hàng sử dụng thẻ tín dụng cơng ty, có 50% dùng thẻ A, 40% dùng thẻ B, 30% dùng thẻ C, 20% dùng thẻ A B, 15% dùng thẻ A C, 10% dùng thẻ B C, 5% dùng ba thẻ A, B, C Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên người cơng ty đó, thì: a) Người dùng ba loại thẻ nói b) Người dùng thẻ B, biết người dùng thẻ A 20 Một nhân viên bán hàng năm đến chào hàng công ty Phương Đông ba lần Xác suất để lần đầu bán hàng 0,8 Nếu lần trước bán hàng xác suất để lần sau bán hàng 0,9, lần trước khơng bán hàng xác suất để lần sau bán hàng 0,4 Tìm xác suất để: a) Cả ba lần bán hàng b) Có hai lần bán hàng Công thức xác suất đầy đủ Cơng thức Bayes 21 Có máy sản xuất loại sản phẩm Tỉ lệ phẩm máy thứ 0,9; máy thứ hai 0,85 Từ kho chứa sản phẩm máy thứ (còn lại máy thứ hai) lấy ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra a) Tính xác suất lấy phế phẩm b) Nếu sản phẩm lấy phẩm Tính xác suất sản phẩm máy thứ hai sản xuất 22 Trong 20 tờ tiền có tờ giả Một tờ bị rút không rõ thật hay giả Người ta rút ngẫu nhiên tờ lại tờ tờ tiền thật Tìm xác suất để tờ tiền bị rút trước tờ tiền thật 23 Một tờ tiền giả hai người A B kiểm tra Xác suất để người A phát tờ giả 0,7 Nếu người A cho tờ giả, xác suất để người B nhận Bài tập Xác suất Thống kê Đào Hoàng Dũng định 0,8 Ngược lại, người A cho tờ tiền thật xác suất để người B nhận định 0,4 a) Tính xác suất để hai người A B phát tờ giả b) Biết tờ tiền bị hai người phát giả, tính xác suất để A phát giả 24 Một cơng ty bảo hiểm chia dân cư (đối tượng bảo hiểm) làm loại: rủi ro, rủi ro trung bình, rủi ro cao Theo thống kê cho thấy tỉ lệ dân cư gặp rủi ro năm tương ứng với loại là: 5%, 10%, 25% toàn dân cư có 20% rủi ro; 50% rủi ro trung bình; 30% rủi ro cao a) Tính tỉ lệ dân gặp rủi ro năm b) Nếu người không gặp rủi ro năm xác suất người thuộc loại rủi ro bao nhiêu? 25 Một người có chỗ ưa thích để câu cá Xác suất để câu cá chỗ tương ứng là: 0,6; 0,8 0,7 Biết chỗ người thả câu lần câu cá Tìm xác suất để cá câu chỗ thứ 26 Xác suất bắn trúng mục tiêu người săn tương ứng 0,7; 0,6 0,5 Ba người bắn nai nai bị trúng viên đạn Tính xác suất bắn trúng người 27 Trong kho rượu số lượng chai rượu loại A loại B Người ta lấy ngẫu nhiên chai rượu kho đưa cho người sành rượu nếm thử để xác định xem loại rượu Giả sử người có khả đốn 0,8 Có người kết luận chai rượu thuộc loại A người kết luận chai rượu thuộc loại B Vậy chai rượu chọn thuộc loại A với xác suất bao nhiêu? 28 Trong hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tơm, tỉ lệ hộ làm ăn khơng có lãi 5% Trong hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tơm mà làm ăn khơng có lãi, tỉ lệ trả nợ ngân hàng không hạn 88% Trong hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm mà làm ăn có lãi, tỉ lệ trả nợ ngân hàng khơng hạn 2% a) Một hộ vay tiền ngân hàng để ni tơm, xác suất hộ không trả nợ ngân hàng hạn b) Một hộ nuôi tôm không trả nợ ngân hàng hạn, xác suất hộ làm ăn khơng có lãi 29 Tỷ lệ phế phẩm máy 5% Người ta dùng thiết bị kiểm tra tự động đạt độ xác cao song có sai sót Tỷ lệ sai sót phẩm 4% phế phẩm 1% Nếu sản phẩm bị kết luận phế phẩm bị loại a) Tìm tỷ lệ sản phẩm kết luận phẩm mà thực phế phẩm Đào Hoàng Dũng Bài tập Xác suất Thống kê b) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị kết luận phế phẩm mà thực phẩm 30 Sản phẩm sản xuất phải qua hai máy kiểm tra Nếu máy chấp nhận chọn để máy kiểm tra tiếp Sau máy chấp nhận sản phẩm đưa thị trường Xác suất máy chấp nhận 0,9 xác suất để máy chấp nhận 0,8 Biết việc kiểm tra máy độc lập a) Tính tỉ lệ sản phẩm sản xuất không đưa thị trường b) Chọn ngẫu nhiên sản phẩm khơng đưa thị trường Tính xác suất để sản phẩm bị loại máy 31 Một túi chứa nhẫn bạc nhẫn vàng Túi có nhẫn bạc nhẫn vàng Từ túi rút ngẫu nhiên nhẫn Những nhẫn lại dồn vào túi thứ ba Từ túi thứ ba lại rút ngẫu nhiên nhẫn Tính xác suất để ta rút nhẫn vàng túi thứ ba HƯỚNG DẪN, ĐÁP SỐ 150 243 a) b) a) Gọi A = “vé có chữ số 1”, B = “vé có chữ số 5” Xs cần tìm P  A  B   P( A)  P( B )  P( A.B )    10   8     10  b) Gọi C = “vé có chữ số 2”, D = “vé có chữ số lẻ” Cần tính 10 0,002415 P(CD)   P(C D) 13 a) ≈ 0,0274 b) P(“ít phế phẩm”) = - P(“khơng có phế phẩm nào”) < 0,9 Đ/s: 76 lần 16 Cần tìm p để P(“A thắng chung bốn ván”) > P(“A thắng chung sáu ván”)  C42 p2 (1  p)2  C43 p3 (1  p)1  C44 p (1  p)0  C63 p3 (1  p)3  C64 p (1  p)2  C65 p5 (1  p)1  C66 p (1  p)0 18 a) Gọi A, B, C biến cố người A, B C trún tuyển K= “có người trúng tuyển” Đào Hoàng Dũng Bài tập Xác suất Thống kê Xs cần tính P( K )  P  ABC  ABC  ABC  , đ/s: 0,452 b) Xs cần tính P( AB | K )  P( ABK ) P( ABC ) 36  , đ/s: P( K ) P( K ) 113 23 Gọi A, B biến cố người A, B phát tiền giả Từ giả thiết có: P(A) = 0,7, P(B|A) = 0,8, P( B | A)  0,4 a) Cần tính P( AB  AB ) b) Gọi K = “ít hai người phát tờ tiền giả”, cần tính P( A | K )  P( AK ) P( AB  AB )  ,tương tự ý b 18 P( K ) P( K ) 24 Chọn ngẫu nhiên người Gọi H1, H2, H3 biến cố người chọn thuộc loại rủi ro, rủi ro trung bình rủi ro cao Suy ra, H1, H2, H3 lập nên nhóm đầy đủ biến cố Gọi A = “chọn người gặp rủi ro” a) Tính P(A) cơng thức xs đầy đủ Tính P(A) = 0,135 Suy ra, tỉ lệ dân gặp rủi ro năm 13,5% b) Xác suất cần tính P(H1| ̅), sử dụng cơng thức Bayes để tính 25 Gọi H1, H2, H3 biến cố người chọn câu chỗ thứ nhất, thứ hai thứ tương ứng Suy ra, H1, H2, H3 lập nên nhóm đầy đủ biến cố Gọi A = “thả câu ba lần câu cá”, tính P(A) theo cơng thức xs đầy đủ, xs P(A|Hi) tính theo cơng thức Becnulli Xác suất cần tính là: P(H1|A), sử dụng cơng thức Bayes để tính xs 26 Gọi H1, H2, H3 biến cố người thứ nhất, người thứ hai người thứ ba bắn trúng mục tiêu A = “con nai bị trúng viên đạn” = H1H H3  H1H H3  H1H H3 Cần tính xác suất P(H1|A), P(H2|A) P(H3|A) 27 Gọi A = “chai rượu lấy thuộc loại A”, B = “chai rượu lấy thuộc loại B”, K = “3 người kết luận chai rượu loại A người kết luận loại B” XS cần tính P(A|K), tính xs theo cơng thức Bayes (nhóm đầy đủ biến cố A, B) Chú ý, biến cố (K|A) = “3 người kết luận người kết luận sai” (K|B) = “3 người kết luận sai người kết luận đúng” xs P(K|A) P(K|B) tính theo cơng thức Becnulli Đ/s: P( A | K )  16 17 Bài tập Xác suất Thống kê Đào Hoàng Dũng 31 Gọi H1 = “Hai nhẫn từ túi nhẫn vàng”, H1 = “Hai nhẫn rút từ túi nhẫn bạc”, H3 = “Hai nhẫn rút từ túi gồm vàng bạc” Suy ra,H1, H2, H3 lập nên nhóm đầy đủ biến cố Gọi A = “rút nhẫn vàng túi thứ ba” Tính P(A) theo cơng thức xs đầy đủ Đào Hoàng Dũng Bài tập Xác suất Thống kê Chương Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất Một thiết bị gồm phận hoạt động độc lập với nhau, xác suất thời gian t phận bị hỏng tương ứng 0,15; 0,1; 0,13 Gọi X số phận bị hỏng thời gian t a) Lập bảng phân phối xác suất X b) Viết biểu thức hàm phân phối X c) Tìm xác suất thời gian t thiết bị có khơng q phận bị hỏng d) Tìm E( X ),V ( X ), m m0 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có quy luật phân phối xác suất sau: X P x1 x2 p1 0,7 Tìm x1 , x2 p1 biết E (X)  2, V ( X )  0, 21 (x2  x1 ) Ba máy ATM 1, 2, có xác suất khơng cho giao dịch thời điểm 0,02; 0,03; 0,05 Tại thời điểm đó, máy người rút tiền Tính số máy không cho giao dịch tin ba máy vào thời điểm đó, biết ba máy ATM hoạt động độc lập Trong 100 000 vé xổ số phát hành có giải trị giá 100 triệu đồng, 20 giải trị giá 20 triệu đồng, 150 giải trị giá triệu đồng, 1500 giải trị giá triệu đồng Tìm số tiền lãi kì vọng người mua vé xổ số, biết giá vé 10 000 đồng Có hai hộp sản phẩm; hộp thứ có phẩm phế phẩm, hộp thứ hai có phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy ngẫu nhiên sản phẩm a) Lập bảng phân phối xác suất số phẩm lấy b) Tìm xác suất để sai lệch số phẩm lấy kỳ vọng tốn nhỏ Một hộp có 10 sản phẩm gồm phẩm phế phẩm Gọi X số phế phẩm có hộp X có bảng phân phối xác suất sau: X P 0,6 0,3 0,1 Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm Gọi Y số phế phẩm có sản phẩm lấy Tìm quy luật phân phối xác suất Y Đào Hoàng Dũng Bài tập Xác suất Thống kê Tại cửa hàng, lượng hàng bán ngày loại thực phẩm có bảng phân phối xác suất sau: Lượng bán (kg) Xác suất 30 0,05 31 0,1 32 0,2 33 0,3 34 0,15 35 0,12 36 0,08 Mỗi kg thực phẩm mua vào với giá 20 ngàn đồng, bán với giá 25 ngàn đồng song bị ế cuối ngày phải bán với giá 15 ngàn đồng bán hết Để lợi nhuận trung bình lớn ngày cửa hàng nên đặt mua kg thực phẩm Một công ty thuê luật sư vụ kiện với hai phương án trả công sau: Phương án 1: Trả triệu đồng thắng hay thua kiện Phương án 2: Trả triệu đồng thu kiện 15 triệu đồng thắng kiện Luật sư chọn phương án Vậy theo đánh giá luật sư khả thắng kiện cơng ty tối thiểu HD: Luật sư lựa chọn phương án 2, theo đánh giá luật thì: E(“lợi nhuận lựa chọn phương án 2”)  E(“lợi nhuận lựa chọn phương án 1”) Theo thống kê, người độ tuổi 40 sống thêm năm với xác suất 0,995 Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm năm cho người độ tuổi với giá 100 ngàn đồng Trong trường hợp người mua bảo hiểm bị chết số tiền bồi thường 10 triệu đồng Hỏi lợi nhuận trung bình cơng ty bán thẻ bảo hiểm loại 10 Trong thi, người ta có hai hình thức thi sau: Hình thức thứ nhất: Mỗi người phải trả lời hai câu hỏi, câu trả lời điểm Hình thức thứ hai: Nếu trả lời câu thứ trả lời câu thứ hai, khơng dừng Trả lời câu thứ điểm, trả lời câu thứ hai 10 điểm Trong hai hình thức thi, câu trả lời sai không điểm Giả sử xác suất trả lời câu 0,8; việc trả lời câu độc lập với Theo bạn, nên chọn hình thức để số điểm trung bình đạt nhiều 11 Biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất sau: P( X  k )  Cnk p k (1  p)nk , (k  0,1, 2, , n) Tìm m0 (mốt) X 12 Biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất sau: P( X  k )  e   k k! , (k  0,1, 2, ) Bài tập Xác suất Thống kê Đào Hoàng Dũng 21 Tuổi thọ loại bóng đèn (đơn vị: năm) biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 4,2 năm, phương sai 2,25 (năm)2 Khi bán bóng đèn lãi 100 ngàn đồng, song đèn phải bảo hành lỗ 300 ngàn đồng Vậy để tiền lãi trung bình bán bóng đèn 30 ngàn đồng phải quy định thời gian bảo hành bao nhiêu? 22 Độ dài chi tiết (cm) máy tự động sản xuất biến ngẫu nhiên phân phối (xấp xỉ) chuẩn với độ lệch chuẩn cm Nếu biết 84,13% chi tiết máy sản xuất có độ dài khơng vượt q 84 cm xác suất để lấy ngẫu nhiên chi tiết chi tiết có độ dài khơng 80 cm 23 Đầu tư vào hai thị trường A B, có lãi suất biến ngẫu nhiên độc lập phân phối chuẩn Lãi trung bình Độ lệch chuẩn 10% 4% Thị trường A 9% 3% Thị trường B a) Muốn có lãi 8%, ba phương án sau phương án tốt nhất: Phương án 1: Đầu tư toàn tiền vào thị trường A Phương án 2: Đầu tư toàn tiền vào thị trường B Phương án 3: Chia vốn vào hai thị trường b) Muốn rủi ro (phương sai) nhỏ phải đầu tư vào hai thị trường theo tỉ lệ 17 Bài tập Xác suất Thống kê Đào Hoàng Dũng HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO fx – 570VN PLUS 18 Bài tập Xác suất Thống kê Đào Hoàng Dũng 19 Bài tập Xác suất Thống kê Đào Hoàng Dũng 20 Đào Hoàng Dũng Bài tập Xác suất Thống kê Chương Cơ sở lý thuyết mẫu Tính trung bình mẫu độ lệch tiêu chuẩn từ mẫu số liệu sau: X ni 15 30 25 12 41 11 52 Tính trung bình mẫu độ lệch tiêu chuẩn từ mẫu số liệu sau: X 114 115 116 117 118 Tần số 22 67 54 73 45 10 33 119 18 11 23 120 13 Tính trung bình mẫu độ lệch chuẩn mẫu từ số liệu sau: a) Khoảng – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 70 – 80 80 – 90 Tần số 15 30 28 42 19 34 18 b) Khoảng Tần số 0,5 – 3,5 25 3,5 – 6,5 30 6,5 – 9,5 9,6 – 12,5 12,5 – 15,5 15,5 – 18,5 18,5 – 21,5 21 Bài tập Xác suất Thống kê Đào Hoàng Dũng HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO fx – 570VN PLUS 22 Bài tập Xác suất Thống kê Đào Hoàng Dũng 23 Đào Hoàng Dũng Bài tập Xác suất Thống kê Chương Ước lượng tham số Phương pháp ước lượng điểm Cho W  ( X1 , X , X ) mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể có phân phối chuẩn N(μ, σ2) 1 1 1 4 a) Chứng minh G1 , G2 ước lượng không chệch μ Lập thống kê G1  X1  X  X G2  X  X  X b) Trong hai ước lượng trên, ước lượng tốt cho μ? Cho W  ( X1 , X , X ) mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể có phân phối chuẩn N(μ, σ2) Lập thống kê G  X1  X  X a) Tính kì vọng phương sai G b) G có phải ước lượng hiệu μ khơng? Tại sao? Từ mẫu ngẫu nhiên kích thước 5, xét ba thống kê sau: G1  X  X  3X  X  X X1  X 1 , G2  G3  X1  X  X 15 Chứng minh ba thống kê ước lượng khơng chệch trung bình tổng thể m Ước lượng hiệu cả? Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy Trong khảo sát 64 khách hàng tiệm ăn nhanh, thời gian đợi trung bình phút độc lệch chuẩn 1,5 phút Với độ tin cậy , tìm khoảng tin cậy cho thời gian đợi phục vụ trung bình tiệm ăn Biết thời gian đợi phục vụ biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn Trong điều tra 150 người nghiện thuốc chọn ngẫu nhiên Người ta tính số điếu thuốc hút tuần họ có trung bình 97 độ lệch tiêu chuẩn 36 Tìm khoảng tin cậy 99% cho số điếu thuốc hút trung bình tuần người nghiện thuốc Biết số điếu thuốc hút tuần người nghiện thuốc biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn Tuổi thọ loại bóng đèn dây chuyền sản xuất có độ lệch chuẩn 95 Điều tra 50 bóng đèn loại tính tuổi thọ trung bình 350 Giả thiết tuổi thọ bóng đèn biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn a) Với độ tin cậy 95%, ước lượng tuổi thọ trung bình tối đa loại bóng đèn 24 Đào Hồng Dũng Bài tập Xác suất Thống kê b) Nếu muốn ước lượng tuổi thọ trung bình loại bóng đèn đạt độ xác 25 độ tin cậy 98% cần điều tra thêm bóng nữa? Chỉ tiêu A loại sản phẩm biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn Mẫu điều tra tiêu A (tính %) sản phẩm cho bảng Xi ni 0–5 – 10 12 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30 30 – 35 35 – 40 20 25 18 12 a) Hãy ước lượng trung bình tiêu A với độ tin cậy 95% b) Hãy ước lượng trung bình tối thiểu tiêu A với độ tin cậy 95% c) Nếu muốn ước lượng trung bình tiêu A đạt độ tin cậy 95% độ xác 1,2% cần điều tra thêm sản phẩm nữa? d) Nếu sử dụng mẫu để ước lượng trung bình sản phẩm đạt độ xác 1% đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu? e) Những sản phẩm có tiêu A khơng q 10% loại Hãy ước lượng trung bình tiêu A sản phẩm loại với độ tin cậy 95%, biết tiêu A sản phẩm loại biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn Cơ quan cảnh sát giao thông kiểm tra hệ thống phanh 100 xe tải đường quốc lộ Họ phát 35 có phanh chưa đảm bảo a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ xe tải có phanh chưa an tồn b) Tìm khoảng tin cậy 98% cho tỉ lệ xe tải có phanh tốt Điều tra ngẫu nhiên thu nhập/tháng 100 nhân viên công ty A thu kết sau: Thu nhập (triệu đồng) 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 Số nhân viên 15 25 30 20 a) Ước lượng mức thu nhập/tháng trung bình nhân viên công ty A với độ tin cậy 0,95 b) Hãy ước lượng tỉ lệ nhân viên công ty A có thu nhập khơng q 3,6 triệu đồng/tháng với độ tin cậy 0,95 Biết thu nhập/tháng nhân viên công ty biến ngẫu nhiên có phân phơi (xấpxỉ) chuẩn 10 Điều tra doanh thu tuần (triệu đồng) số cửa hàng bán tạp phẩm vùng A, người ta thu số liệu sau: Doanh thu tuần 21 22 23 24 25 26 Số cửa hàng 17 29 27 15 Với độ tin cậy 95% hãy: a) Tìm khoảng tin cậy cho doanh thu/tuần trung bình tối thiểu cửa hàng tạp phẩm vùng A 25 Đào Hoàng Dũng Bài tập Xác suất Thống kê b) Tìm khoảng tin cậy cho độ phân tán doanh thu/tuần c) Tìm khoảng tin cậy cho tỉ lệ số cửa hàng có doanh thu/tuần 23 triệu đồng 11 Để nghiên cứu nhu cầu loại hàng khu vực, người ta tiến hành khảo sát nhu cầu mặt hàng 400 hộ gia đình, kết cho bảng: Nhu cầu (kg/tháng) – Số hộ 10 1–2 2–3 35 86 3–4 132 4–5 78 5–6 31 6–7 18 7–8 10 Giả sử khu vực nghiên cứu có 4000 hộ nhu cầu loại hàng biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn a) Ước lượng nhu cầu trung bình mặt hàng khu vực năm với độ tin cậy 95% b) Khi ước lượng nhu cầu trung bình mặt hàng toàn khu vực năm, ta muốn độ tin cậy đạt 99% độ xác 4,8 cần khảo sát nhu cầu loại hàng thêm hộ gia đình vùng nữa? 12 Lãi suất cổ phiếu cơng ty biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn Giá trị 10 năm qua (đơn vị: %) là: 15, 12, 20, 8,10, 16, 14, 22, 18, 19 Với độ tin cậy 95%, ước lượng: a) Độ phân tán lãi suất cổ phiếu b) Độ phân tán tối đa lãi suất cổ phiếu c) Độ phân tán tối thiểu lãi suất cổ phiếu 13 Một nông dân muốn ước lượng tỉ lệ nảy mầm cho giống lúa Mẫu điều tra ông cho kết 1000 hạt đem gieo có 640 hạt nảy mầm a) Với độ tin cậy 95%, ước lượng tỉ lệ nảy mầm giống lúa b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ hạt nảy mầm có sai số khơng vượt 2% đạt độ tin cậy 95% cần gieo hạt? c) Với độ tin cậy 97% ước lượng số hạt giống nảy mầm tối thiểu gieo 10000 hạt 14 Kết quan sát hàm lượng vitamin C loại trái cho bảng sau: Hàm lượng vitamin C(%) Số trái 3–7 – 10 10 11 – 13 20 14 – 16 35 17 – 19 25 20 – 24 Biết hàm lượng vitamin C trái biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn a) Với độ tin cậy 95%, tìm khoảng tin cậy đối xứng hàm lượng vitamin C trung bình trái; b) Qui ước trái có hàm lượng vitamin C từ 17% trở lên loại Nếu muốn độ xác ước lượng hàm lượng vitamin C trung bình 1  0,5 độ 26 Bài tập Xác suất Thống kê Đào Hoàng Dũng xác ước lượng tỉ lệ trái loại   0, 05 với độ tin cậy 95% cần mẫu có kích thước tối thiểu bao nhiêu? 15 Để đánh giá trữ lượng cá hồ người ta đánh bắt 2000 cá, đánh dấu thả xuống hồ Sau bắt lại 400 thấy có 80 có dấu a) Với độ tin cậy 95%, ước lượng trữ lượng cá hồ b) Nếu muốn sai số ước lượng giảm nửa lần sau phải đánh bắt con? 16 Để ước lượng số tờ bạc giả loại giấy bạc người ta đánh dấu 200 tờ bạc giả loại tung vào lưu thông Sau thời gian ngắn kiểm tra 600 tờ bạc giả loại có 15 tờ đánh dấu Với độ tin cậy 95%, ước lượng số tờ bạc giả loại 27 Đào Hoàng Dũng Bài tập Xác suất Thống kê Chương Kiểm định giả thuyết thống kê Trọng lượng trung bình gói đường máy tự động đóng gói theo thiết kế 500 gam/gói Nghi ngờ máy đóng gói đường làm việc khơng bình thường làm cho trọng lượng gói đường có xu hướng giảm sút Người ta lấy ngẫu nhiên 30 gói cân thử lượng trung bình 495 gam độ lệch chuẩn s =10 gam Với mức ý nghĩa 5%, kết luận nghi ngờ Chỉ tiêu chất lượng A loại sản phẩm biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn Một mẫu điều tra kết cho bảng: xi (gam) 200 220 240 260 280 Số sản phẩm 16 17 a) Có tài liệu cho trung bình tiêu A sản phẩm loại 250 gam Cho nhận xét tài liệu với mức ý nghĩa 5% b) Những sản phẩm có tiêu A nhỏ 240 gam loại Có tài liệu cho trung bình tiêu A sản phẩm loại 220 gam Hãy cho nhận xét tài liệu với mức ý nghĩa 2% Giả thiết tiêu A sản phẩm loại có phân phối chuẩn Điều tra doanh số bán hàng X (đơn vị: triệu đồng/tháng) hộ kinh doanh loại hàng năm cho số liệu: Doanh số 11 11,5 12 12,5 13 13,5 (triệu đồng/tháng) Số hộ 10 15 20 30 15 10 a) Những hộ có doanh số 12,5 triệu đồng/tháng hộ có doanh số cao Có tài liệu cho tỉ lệ hộ có doanh số cao 35% Cho nhận xét tỉ lệ tài liệu với mức ý nghĩa 5%? b) Năm trước doanh số bán hàng trung bình hộ 120 triệu/1 năm Có thể cho doanh số bán hàng hộ năm tăng lên không, với mức ý nghĩa 1%? Nếu áp dụng phương pháp công nghệ thứ tỉ lệ phế phẩm 9%, áp dụng phương pháp cơng nghệ thứ hai 100 sản phẩm có phế phẩm Với mức ý nghĩa 5%, cho áp dụng phương pháp công nghệ thứ hai cho tỉ lệ phế phẩm thấp không? Lô hàng đủ tiêu chuẩn xuất tỉ lệ phế phẩm không vượt 3% Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm lô hàng thấy có 14 phế phẩm Với mức ý nghĩa 0,05 có cho phép lơ hàng xuất khơng? 28 Đào Hoàng Dũng Bài tập Xác suất Thống kê Tỉ lệ phế phẩm máy tự động sản xuất 5% Kiểm tra mẫu ngẫu nhiên 300 sản phẩm thấy có 24 sản phẩm phế phẩm Từ có ý kiến cho tỉ lệ phế phẩm máy sản xuất có chiều hướng tăng lên Hãy kết luận ý kiến nêu với mức ý nghĩa 0,05 Một nhà máy sản xuất bóng đèn cho chất lượng bóng đèn loại coi đồng tuổi thọ bóng đèn có độ lệch chuẩn 1000 Lấy ngẫu nhiên 10 bóng để kiểm tra tìm độ lệch chuẩn mẫu s = 1150 Vậy với mức ý nghĩa 5% coi chất lượng bóng đèn loại cơng ty sản xuất đồng hay khơng Biết tuổi thọ bóng đèn biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn Trong lượng gà lúc nở biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn Nghi ngờ độ đồng trọng lượng gà giảm sút người ta cân thử 12 tìm s2 = 11,41 (gam)2 Với mức ý nghĩa 0,05, kết luận điều nghi ngờ biết độ phân tán trọng lượng gà σ2 = 10 (gam)2 Chiều cao niên hai vùng A B biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn Ở vùng A, chiều cao trung bình niên 164 cm độ lệch chuẩn 5,63 cm Điều tra ngẫu nhiên 200 niên vùng B, tính 200  xBi  32900 , i 1 200 x i 1 Bi  541840 , xB chiều cao niên thứ i (i  1, 200) Có thể cho độ đồng chiều cao i niên vùng A vùng B hay không? Kết luận với mức ý nghĩa 5% Bài tập tổng hợp phần ước lượng kiểm định giả thuyết 10 Năng suất lúa vùng A biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn Thu hoạch ngẫu nhiên 100 vùng vụ tính suất trung bình x  37,9  x  x 100 (tạ/ha) i 1 i  1059 a) Hãy ước lượng suất lúa trung bình vùng với độ tin cậy 95% b) Nếu vụ trước suất lúa trung bình vùng 35 (tạ/ha), với mức ý nghĩa 5% cho suất lúa vụ cao không? 11 Năng suất giống lúa chất lượng cao vùng A biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn Thu hoạch ngẫu nhiên 256 lúa vùng số liệu: x  15, 027 (tạ/ha),  x  x 256 i 1 i  148,809 a) Hãy ước lượng suất trung bình tối thiểu giống lúa với độ tin cậy 0,95 29 Bài tập Xác suất Thống kê Đào Hoàng Dũng b) Khi đưa sản xuất, phương sai suất giống lúa vùng A (tạ/ha)2 Người ta nghi ngờ giống lúa bị thoái hóa nên khơng ổn định so với trước Dựa vào mẫu kết luận nghi ngờ với mức ý nghĩa 5% 12 Khảo sát thu nhập số người làm việc công ty, người ta thu bảng số liệu: Thu nhập 20 – 26 26 – 30 30 – 34 34 – 38 38 – 42 42 – 50 (triệu đồng/năm) Số người 20 50 130 110 60 30 a) Những người có thu nhập khơng q 30 triệu đồng/năm người có thu nhập thấp Với độ tin cậy 96%, tìm khoảng tin cậy đối xứng tỉ lệ người có thu nhập thấp cơng ty b) Nếu cơng ty báo cáo mức thu nhập bình qn người triệu đồng/tháng có tin cậy không (kết luận với mức ý nghĩa 5%)? c) Nếu muốn ước lượng thu nhập trung bình người cơng ty với độ xác 0,5 triệu đồng/năm độ tin cậy đạt bao nhiêu? 13 Thu nhập hàng tháng công nhân xí nghiệp N biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn Năm nay, điều tra ngẫu nhiên 100 công nhân thu số liệu sau: Thu nhập 5,5 6,5 7,5 (triệu đồng/tháng) Số công nhân 15 20 30 15 a) Biết xí nghiệp N có 1000 cơng nhân, ước tính thu nhập hàng tháng trung bình tồn cơng nhân xí nghiệp này; b) Với độ tin cậy 95%, ước lượng thu nhập hàng tháng trung bình tối thiểu cơng nhân xí nghiệp N c) Nếu trước năm tỉ lệ cơng nhân có thu nhập triệu đồng/tháng 10% với mức ý nghĩa 5% cho tỉ lệ năm tăng lên không? 14 Mẫu điều tra giá bán X (đơn vị: 1000 đồng) cổ phiếu A thị trường chứng khoán phiên giao dịch cho bảng sau: xi 11 – 13 13 – 15 15 – 17 17 – 19 19 – 21 21 – 23 23 – 25 Số phiên 17 23 33 25 16 Biết giá bán X biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn a) Với độ tin cậy 95%, tìm khoảng tin cậy đối xứng doanh thu trung bình bán 10000 cổ phiếu A thị trường với độ tin cậy 95% b) Nếu muốn ước lượng giá bán cổ phiếu A đạt độ xác 500 đồng với độ tin cậy 95% cần điều tra thêm phiên nữa? 30 Bài tập Xác suất Thống kê Đào Hoàng Dũng c) Với độ tin cậy 95%, ước lượng tỉ lệ tối thiểu cổ phiếu A có giá bán từ 17 nghìn đồng trở lên d) Với độ tin cậy 90%, tìm khoảng tin cậy phương sai giá bán cổ phiếu A e) Biết trước độ phân tán giá bán cổ phiếu A 11 nghìn đồng Với mức ý nghĩa 2%, cho độ phân tán giá bán loại cổ phiếu có xu hướng giảm xuống so với trước không? 15 Xét nghiệm 100 chai nước Luvia nhà kho, thấy tỉ lệ chất A chai sau: Tỉ lệ chất A (%) Số chai [0; 5) [5; 10) [10; 15) [15; 20) [20; 25) [25; 30) [30; 35) [35; 40) 12 20 25 18 12 Biết tỉ lệ chất A (%) chai nước Luvia biến ngẫu nhiên X có phân phối (xấp xỉ) chuẩn a) Với độ tin cậy 95%, trung bình tỉ lệ chất A chai nước Luvia không bé bao nhiêu? b) Nếu dùng mẫu để ước tính trung bình tỉ lệ chất A chai nước Luvia với độ xác 1% độ tin cậy bao nhiêu? (biết u0,11  1, 2393 ) c) Nếu muốn ước tính trung bình tỉ lệ chất A đạt độ tin cậy 96% độ xác 1,2% phải xét nghiệm thêm chai nước Luvia nữa? d) Những chai nước Luvia có lượng chất A nhỏ 10% khơng đạt u cầu Biết nhà kho có 1000 chai nước Luvia, ước tính số chai Luvia không đạt yêu cầu cảu kho với độ tin cậy 96% e) Với mức ý nghĩa 5%, cho biết tỉ lệ chai nước Louvia đạt yêu cầu kho có 80% khơng? 31