BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ - TS. PHẠM QUANG KHOÁI

Không gian mẫu Khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên, ta không thể dự báo trước được kết quả tuy vậy ta có thể liệt kê được cụ thể hoặc biểu diễn được tất cả các kết quả có thể xảy ra c

TS PHẠM QUANG KHOÁI (chủ biên) THS VŨ NGỌC TRÌU, THS NGUYỄN THỊ VÂN HÕA

THS ĐẶNG THỊ NGỌC ÁNH

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2017

LỜI NÓI ĐẦU

Xác suất thống kê là môn học được giảng dạy cho các lớp hầu hết ngành

học ở Trường Đại học Lâm nghiệp Đặc biệt là hệ đào tạo Tín chỉ với thời lượng

3 tín chỉ Do vậy cần có tài liệu học tập phù hợp với chương trình của môn học

để cho sinh viên có thể tự học

Chúng tôi biên soạn bài giảng này dựa trên chương trình môn học nhằm đáp ứng nhu cầu học tập của sinh viên Bài giảng do các giảng viên thuộc Bộ môn Toán, Khoa Cơ điện và Công trình biên soạn theo trình tự khoa học, chặt trẽ Mỗi phần đều có ví dụ minh họa liên quan đến thực tế để tạo hứng thú cho người học Cuối mỗi chương đều có bài tập để củng cố và nâng cao kiến thức môn học

Sau đây là nội dung chính của bài giảng:

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác suất

Chương 2 Biến ngẫu nhiên

Chương 3 Mẫu thống kê và thống kê mô tả

Chương 4 Ước lượng tham số

Chương 5 Kiểm định giả thuyết thống kê

Chương 6 Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính

Chương 7 Phân tích phương sai

Mặc dù đã cố gắng nhưng cuốn sách khó tránh khỏi những khiếm khuyết Chúng tôi mong nhận được những góp ý quý báu của độc giả

Hà Nội, tháng 11 năm 2017

Các tác giả

Chương 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT

1.1 Các khái niệm mở đầu

1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên (hay gọi tắt là phép thử) là một hành động hay một thí

nghiệm hoặc một quan sát mà kết quả của nó không thể dự báo trước được

Ví dụ 1:

 Một vật được thả từ trên cao chắc chắn sẽ rơi xuống đất;

 Mặt trời mọc ở hướng Đông và lặn ở hướng Tây;

 Nước đóng băng ở điều kiện nhiệt độ dưới 00C và áp suất 1 atm…

Đó là hiện tượng diễn ra có tính quy luật, tất định

=> Những hành động này không phải là phép thử ngẫu nhiên

Ví dụ 2:

 Gieo 1 đồng xu cân đối và đồng chất;

 Gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất;

 Rút 1 quân bài từ bộ bài tú lơ khơ

=> Những hành động này là các phép thử ngẫu nhiên

1.1.2 Không gian mẫu

Khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên, ta không thể dự báo trước được kết quả tuy vậy ta có thể liệt kê được cụ thể hoặc biểu diễn được tất cả các kết quả

có thể xảy ra của phép thử ngẫu nhiên

Tập hợp tất cả các kết quả của một phép thử ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu của phép thử đó Kí hiệu là 

Mỗi phần tử của không gian mẫu  cũng tức là mỗi kết quả của phép thử

ngẫu nhiên được gọi là một phần tử mẫu

 Ta có dạng bài tập tìm không gian mẫu của một phép thử

Ví dụ 3:

Tìm không gian mẫu cho phép thử gieo 1 lần một con xúc xắc cân đối và đồng chất

Các trường hợp có thể xảy ra: Xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm,

4 chấm, 5 chấm, 6 chấm Hay ta viết dưới dạng tập hợp:  1, 2, 3, 4, 5, 6

Ví dụ 4: Tìm không gian mẫu cho phép thử gieo liên tiếp 1 con xúc xắc cân

đối và đồng chất cho tới khi xuất hiện mặt 6 chấm thì dừng lại

Các kết quả có thể có của phép thử này là 1 lần, 2 lần, 3 lần…

Hay ta viết dưới dạng tập hợp số lần gieo là các số nguyên dương {1, 2, 3…}

Ví dụ 5: Tìm không gian mẫu cho phép thử đo thời gian sống của một con

chip điện tử

Các kết quả có thể của phép thử là số thực không âm

 Có 2 loại không gian mẫu:

- Không gian mẫu rời rạc: Gồm một số hữu hạn (ví dụ 1) hay vô hạn đếm

“xuất hiện mặt sấp” hay “xuất hiện mặt ngửa” là một sự kiện gắn với phép thử phép thử Ta có khái niệm biến cố:

Một sự kiện có thể xảy ra hay không tùy thuộc vào kết quả của phép thử

được gọi là một biến cố của phép thử đó

Kí hiệu biến cố bằng các chữ cái in hoa A, B, C…

Những kết quả làm cho biến cố xảy ra được gọi là kết quả thuận lợi của

biến cố đó

Như vậy, ta cũng có thể nói biến cố A là một tập con của không gian mẫu bao gồm các kết quả thuận lợi cho A

Ví dụ 6: Xét phép thử tung một con xúc xắc cân đối và đồng chất Gọi A là

biến cố “Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm lẻ”

=> Các kết quả thuận lợi của biến cố A là 1 chấm, 3 chấm, 5 chấm và các kết quả này nằm trong không gian mẫu của phép thử

* Cách cho biến cố:

Người ta có thể cho biến cố dưới dạng 1 mệnh đề hoặc 1 tập hợp

Lưu ý: Một mệnh đề phải có đầy đủ chủ ngữ và vị ngữ

Mọi biến cố đều có thể biểu diễn dưới dạng các tập hợp, thường ở dưới dạng liệt kê và có thể dùng sơ đồ Venn để minh họa

Hình 1: Sơ đồ Venn của một biến cố A trong không gian mẫu Ω

(Tính theo tỉ lệ diện tích, xác suất của A xấp xỉ bằng 0,2)

* Phân loại biến cố:

- Biến cố sơ cấp: Là biến cố không thể phân tích được nữa

Ví dụ 7: Tung một đồng tiền, biến cố đồng tiền xuất hiện mặt sấp hoặc mặt

ngửa là các biến cố sơ cấp

Vì vậy không gian mẫu còn được gọi là không gian các biến cố sơ cấp

- Biến cố không thể: Là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiệp phép

thử Biến cố không thể đồng nhất với tập rỗng của không gian mẫu

Ví dụ 8: Tung 1 con xúc xắc, gọi U là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt có

7 chấm”

Khi đó U là biến cố không thể

- Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử Biến cố

chắc chắn đồng nhất với tập không gian mẫu Ω

Ví dụ 9: Tung 1 con xúc xắc, gọi S là biến cố “Xúc xắc xuất hiện số chấm

nhỏ hơn hoặc bằng 6” => S là biến cố chắc chắn

- Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực

hiện phép thử

Ví dụ 10: Gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất Gọi A là biến cố con

xúc xắc xuất hiện chấm chẵn

=> Các kết quả thuận lợi có thể xảy ra là A = {2,4,6}

1.1.4 Quan hệ giữa các biến cố

Trong lý thuyết xác suất, người ta xét các quan hệ sau đây của các biến cố:

 Quan hệ kéo theo: Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu khi A xảy ra

thì B cũng xảy ra Kí hiệuAB

 Quan hệ tương đương: Hai biến cố A và B được gọi là tương đương nếu

AB và B A Kí hiệu A = B

 Phép hợp: Hợp của 2 biến cố A và B là một biến cố xảy ra nếu ít nhất

một trong hai biến cố trên xảy ra Kí hiệu là AB

Hợp của một dãy hữu hạn biến cố A A1, 2, ,A n là biến cố

1

n i i

A

 Biến cố

này xảy ra khi có ít nhất một trong các biến cố A i xảy ra

 Phép giao: Giao của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi cả hai

biến cố trên xảy ra Kí hiệu:AB hay AB

Giao của một dãy hữu hạn n biến cố A A1 , 2 , ,A n là biến cố

1

n i i

A

 Biến cố

này xảy ra khi tất cả các biến cố A i cùng xảy ra

 Quan hệ đối lập: Biến cố đối của biến cố A là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra Kí hiệu là A

 Quan hệ xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau

nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử Kí hiệuAB 

 Hiệu của hai biến cố: Hiệu của biến cố A và biến cố B là một biến cố

xảy ra khi A xảy ra nhưng B không xảy ra Kí hiệu A\B

Ta có bảng so sánh giữa lý thuyết tập hợp và lý thuyết xác suất như sau:

Lý thuyết tập hợp Lý thuyết xác suất Mô tả bằng hình vẽ

Tập 

-  là không gian các biến cố

sơ cấp (không gian mẫu)

AB (hoặc kí hiệu là AB) là

biến cố cả hai biến cố A và B cùng xảy ra

\

A  A

\

A  A là biến cố đối của

biến cố A, tức là A xảy ra nếu

A không xảy ra

 Nguyên lý xác suất lớn, xác suất nhỏ:

Qua thực nghiệm và quan sát thực tế, người ta thấy rằng các biến cố có xác suất nhỏ sẽ không xảy ra khi ta chỉ thực hiện một phép thử hay một vài phép

thử Từ đó ta thừa nhận nguyên lý sau đây, gọi là “Nguyên lý xác suất nhỏ”: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ không

xảy ra trong một lần thực hiện phép thử

Ví dụ: Mỗi chiếc máy bay đều có một xác suất rất nhỏ bị xảy ra tai nạn

Nhưng trên thực tế ta vẫn không từ chối đi máy bay vì tin tưởng rằng trong chuyến bay ta đi biến cố máy bay bị rơi không xảy ra

Việc quy định một mức xác suất thế nào được gọi là nhỏ sẽ phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể Chẳng hạn nếu xác suất để máy bay rơi là 0,01 thì xác suất

đó chưa thể được coi là nhỏ Nhưng nếu xác suất một chuyến tàu khởi hành chậm là 0,01 thì có thể chấp nhận là nhỏ Mức xác suất nhỏ này được gọi là mức

ý nghĩa Nếu  là mức ý nghĩa thì số    1  được gọi là độ tin cậy

Khi dựa trên nguyên lý xác suất nhỏ ta có thể phát biểu “Biến cố A có xác suất nhỏ (tức là (A)P ) sẽ không xảy ra trên thực tế” thì độ tin cậy của phát biểu trên là 

Tương tự như vậy, ta có thể đưa ra “Nguyên lý xác suất lớn”: Nếu biến cố

A có xác suất gần bằng 1 thì trên thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử

BÀI TẬP

Bài 1: Cho 3 biến cố A, B, C Hãy biểu diễn các biến cố sau theo A, B, C

a) Cả 3 biến cố trên đều xảy ra

b) Cả 3 biến cố trên đều không xảy ra

c) Chỉ có A xảy ra

d) A, B xảy ra nhưng C không xảy ra

e) Có ít nhất 2 biến cố xảy ra

f) Có đúng 2 biến cố xảy ra

g) Có ít nhất một biến cố xảy ra

Bài 2: Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất

a) Xây dựng không gian mẫu

b) Xác định các biến cố sau:

A: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc là một số chẵn”

B: “Ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt một chấm”

C: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 5”

c) Miêu tả các biến cố AB B, C AB, và ABC

Bài 3: Gieo một đồng xu hai lần Hãy mô tả không gian mẫu (Không gian

các biến cố sơ cấp) Mô tả biến cố:

A: Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần

B: Lần gieo thứ hai xuất hiện mặt sấp

Bài 4: Gieo một lần một con xúc xắc cân đối và đồng chất Mô tả không

gian các biến cố sơ cấp Mô tả biến cố A: Mặt trên con xúc xắc xuất hiện số chấm chia hết cho 3

Bài 5: Gieo một đồng xu sau đó gieo một con xúc xắc Mô tả không gian

các biến cố sơ cấp

Bài 6: Gieo liên tiếp 1 đồng xu đến khi xuất hiện mặt ngửa thì dừng Mô tả

không gian các biến cố sơ cấp

Bài 7: Một xạ thủ bắn ba lần, mỗi lần một viên đạn vào cùng một mục tiêu

Gọi Ai là biến cố viên đạn thứ i trúng mục tiêu, i = 1, 2, 3 Hãy biểu diễn các biến cố sau theo Ai

a) Cả ba viên đạn đều trúng mục tiêu

b) Không có viên đạn nào trúng mục tiêu

c) Có đúng 1 viên đạn trúng mục tiêu

d) Có ít nhất hai viên đạn trúng mục tiêu

Bài 8: Hãy mô tả biến cố đối của các biến cố sau đây:

A: Xuất hiện hai mặt ngửa khi gieo một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần B: Cả ba viên đạn đều trúng đích khi bắn độc lập ba lần, mỗi lần một viên đạn vào một mục tiêu

C: Có ít nhất một viên đạn trúng đích khi bắn độc lập ba lần, mỗi lần một viên đạn vào một mục tiêu

Bài 9: Bắn độc lập bốn viên đạn vào mục tiêu Gọi Ai là biến cố viên đạn thứ i trúng mục tiêu (i = 1, 2, 3, 4) Hãy biểu diễn các biến cố sau theo Ai và A i : a) Có đúng một viên trúng mục tiêu

b) Có ít nhất hai viên trúng mục tiêu

c) Có ít nhất một viên trúng mục tiêu

Bài 10: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần Mô tả không

gian các biến cố sơ cấp Mô tả biến cố:

A: Tổng số chấm xuất hiện ở mặt trên con xúc xắc là 8

B: Mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất một lần

1.2 Các định nghĩa về xác suất

1.2.1 Định nghĩa xác suất cổ điển

Xét một phép thử Giả sử không gian mẫu của phép thử đó gồm n (hữu hạn) trường hợp đồng khả năng Nếu biến cố A liên quan đến phép thử gồm có

m trường hợp thuận lợi thì tỷ số m

n được gọi là xác suất của biến cố A

Kí hiệu: P(A) = m

n Các bước để tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển nếu xem biến cố A như là tập con của không gian mẫu  thì:

+ Xác định không gian mẫu , rồi tính số phần tử n() của ;

+ Xác định các trường hợp thuận lợi của biến cố A, rồi tính số trường hợp thuận lợi để xảy ra biến cố A là n(A);

+ Tính P(A) theo công thức (A) ( )

( )

n A P

n



 Phương pháp tính số phần tử của không gian mẫu và số trường hợp thuận lợi của biến cố A

1.2.1.1 Phương pháp liệt kê các phần tử

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất Tìm xác suất để:

a) Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện một chấm

b) Mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn

c) Mặt trên của con xúc xắc có số chấm nhỏ hơn 7

d) Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện 7 chấm

b) Gọi B là biến cố mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn

Khi đó:

- Không gian mẫu  gồm 6 trường hợp;

- Các kết quả thuận lợi của biến cố B là 3 trường hợp {2, 4, 6}

 P(A) = 3

6 c) Gọi C là biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm nhỏ hơn 7 Khi đó:

- Không gian mẫu  gồm 6 trường hợp;

- Các kết quả thuận lợi của biến cố C là 6 trường hợp (bằng số trường hợp thuận lợi của không gian mẫu)

 P(A) = 6 1

6  d) Gọi D là biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện 7 chấm

Khi đó:

- Không gian mẫu  gồm 6 trường hợp;

- Các kết quả thuận lợi của biến cố D là 0 (không có mặt 7 chấm)

- Giai đoạn 1 có n1 cách hoàn thành;

- Giai đoạn 2 có n2 cách hoàn thành;

…

- Giai đoạn k có nk cách hoàn thành

Khi đó số cách thực hiện công việc A là n1.n2…nk

Nhận xét:

 Điều quan trọng ở đây là làm sao khi đọc đề bài chúng ta biết được phải

sử dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân Thông thường, nếu một bài toán mà công việc có thể giải quyết theo nhiều phương án hay có nhiều trường hợp xảy

ra thì ta thường dùng quy tắc cộng, còn nếu bài toán mà công việc được thực hiện bằng những công việc nhỏ liên tiếp, nhiều công đoạn hay là trường hợp nhỏ này liên kết với trường hợp nhỏ kia thì ta thường dùng quy tắc nhân

 Trong nhiều trường hợp chúng ta cần kết hợp cả hai quy tắc để giải bài toán

Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên 3 quân bài trong một bộ bài tú lơ khơ gồm 52

quân Tính xác suất để trong 3 quân chọn ra đó:

a) Có đúng một quân bài mầu đỏ

a) Gọi A là biến cố trong 3 quân bài chọn ra có đúng một quân bài mầu đỏ

Để A xảy ra ta phải thực hiện 2 giai đoạn:

- Giai đoạn 1: Lấy ra 2 quân bài khác màu đỏ trong số 26 quân bài khác màu đỏ của bộ bài => Có 2

b) Gọi B là biến cố trong 3 quân bài chọn ra có ít nhất một quân át

Để B xảy ra ta có các phương án (cách) thực hiện:

Phương án 1: Có 1 quân át và 2 quân khác át => Số cách chọn ra 1 quân át trong 4 quân át của bộ bài là 1

1 ta có số cách thực hiện phương án 2 là 2 1

4 48

C C Phương án 3: Có 3 quân át Lập luận tương tự như trên ta có số cách thực hiện phương án 3 là 3 0

Tính chất của xác suất:

1 Nếu A là biến cố bất kỳ thì 0P A( ) 1;

2 Xác suất của biến cố chắc chắn là ( ) 1;P  

3 Xác suất của biến cố không thể là P( ) 0;

4 Nếu A là biến cố đối của biến cố A thì P( )A   1 P A( );

- Các kết quả của phép thử phải đồng khả năng;

- Số trường hợp đồng khả năng phải hữu hạn

1.2.2 Định nghĩa xác suất thống kê

Trong các phép thử ngẫu nhiên, khi số kết quả có thể là vô hạn hoặc kết quả có thể là hữu hạn nhưng không đồng khả năng thì cách tính xác suất theo cổ điển không áp dụng được, người ta định nghĩa xác suất theo tần suất Chẳng hạn khi gieo một con xúc xắc không cân đối thì các trường hợp của phép thử không đồng khả năng Vì vậy, không thể dùng định nghĩa xác suất cổ điển ở trên

Khái niệm tần suất: Giả sử trong thực tế ta đã lặp đi lặp lại nhiều lần một

phép thử trong những điều kiện giống hệt nhau Nếu trong n lần thực hiện phép thử đó biến cố A xuất hiện k lần thì tỷ số f n(A) k

n

 được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A

Định nghĩa thống kê của xác suất: Người ta nhận thấy khi số phép thử tăng

lên vô hạn thì fn(A) luôn dần tới một giới hạn xác định Giới hạn đó gọi là xác suất của biến cố A

Như vậy: ( ) lim n(A)

n



Trong thực tế ta không thể tiến hành phép thử vô hạn lần, do đó với n đủ lớn ta có thể dùng tần suất thay cho xác suất

Ví dụ 3: Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu,

người ta tiến hành tung một đồng xu nhiều lần (đồng xu không cần cân đối đồng chất nhưng các lần tung phải giống nhau) và thu được kết quả sau đây:

Ng-êi lµm

thÝ nghiÖm Sè lÇn tung (n)

Sè lÇn xuÊt hiÖn mÆt sÊp (k) TÇn suÊt

k n

Chú ý: Từ định nghĩa này trong thống kê người ta hay dùng khái niệm tỷ lệ

thay cho xác suất Chẳng hạn tỷ lệ hạt thóc nảy mầm trong cùng một điều kiện

về môi trường là 60% nghĩa là khi chọn một hạt thóc ngẫu nhiên thì xác suất của biến cố A hạt thóc nảy mầm là 0,6 hay P(A) = 0,6

1.2.3 Định nghĩa xác suất theo hệ tiên đề (Đọc thêm)

Các định nghĩa cổ điển và thống kê của xác suất có nhiều hạn chế để xây

dựng được một lý thuyết tổng quát Khái niệm cổ điển không dùng được trong trường hợp không xây dựng được một hệ thống đầy đủ các sự kiện đồng khả năng Khái niệm tần suất của định nghĩa theo thống kê chỉ là một giá trị xấp xỉ

để đánh giá xác suất, số quan sát đòi hỏi lớn

Vì vậy, người ta đã xây dựng định nghĩa xác suất theo hệ tiên đề Cách xác định xác suất theo tiên đề sẽ chứa trong nó các định nghĩa cổ điển và thống kê của xác suất như là các trường hợp riêng

Bản chất tiên đề khi xây dựng một lý thuyết toán học nào đó là không quan tâm với việc định nghĩa các đối tượng của lý thuyết đó, mà chỉ quan tâm tới mối quan hệ giữa các đối tượng đó Các đối tượng đó có thể có bản chất khác nhau, miễn là cùng tuân theo bộ các quy tắc xác định, được gọi là hệ tiên đề

Xét một phép thử ngẫu nhiên và  là tập hợp tất cả các kết quả của phép thử Một tập con của  được gọi là một biến cố Một họ  nào đó các tập con của  được gọi là một  - đại số các biến cố nếu:

- Số chấm xuất hiện hơn kém nhau 2

Bài 2: Trong một lô N sản phẩm có n sản phẩm đạt tiêu chuẩn Lấy ngẫu

nhiên từ lô đó m sản phẩm Tìm xác suất để trong m sản phẩm lấy ra đó có k sản phẩm đạt tiêu chuẩn (nN m, N k, min(m, n))

Bài 3: Một công ty cần tuyển hai nhân viên Có 6 người nộp đơn trong đó

có 4 nữ và 2 nam Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau a) Tính xác suất để hai người trúng tuyển đều là nam

b) Tính xác suất để hai người trúng tuyển đều là nữ

c) Tính xác suất để có ít nhất một nữ trúng tuyển

Bài 4: Trên một giá sách có 15 quyển sách, trong đó có 5 quyển văn nghệ Lấy

ngẫu nhiên từ đó ba quyển Tìm xác suất sao cho có ít nhất một quyển văn nghệ

Bài 5: Một lô sản phẩm có 16 sản phẩm loại I, 4 sản phẩm loại II Lấy ngẫu

nhiên từ lô đó 2 sản phẩm Tính xác suất để được ít nhất một sản phẩm loại I

Bài 6: Để kiểm tra một lô hàng gồm 100 sản phẩm người ta lấy ngẫu nhiên

từ đó 10 sản phẩm để kiểm tra Nếu cả 10 sản phẩm đều tốt thì sẽ nhận cả lô Trong trường hợp ngược lại thì sẽ kiểm tra toàn bộ Tính xác suất sao cho trong

lô sản phẩm chứa 10 sản phẩm xấu nhưng lại được nhận

Bài 7: Một lô sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu Lấy

ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại từ lô hàng hai sản phẩm để kiểm tra Tính xác suất để:

a) Cả hai sản phẩm được kiểm tra đều tốt

b) Có ít nhất một sản phẩm tốt trong hai sản phẩm đó

1.3 Các công thức tính xác suất

1.3.1 Công thức cộng xác suất

Công thức cộng xác suất cho 2 biến cố:

Cho A và B là hai biến cố bất kỳ, khi đó:

P AB P A P B P AB

- Nếu A và B là hai biến cố xung khắc (AB ) thì:

( ) ( ) ( )

P AB P A P B

- Nếu B A ta có: 1 P A( A) P A( ) P A( )

Ví dụ 1: Một lớp học có 20 học sinh trong đó có 10 học sinh giỏi toán, 8 học

sinh giỏi văn và 6 học sinh giỏi cả toán và văn Chọn ngẫu nhiên một học sinh a) Tính xác suất để học sinh này giỏi ít nhất một môn

b) Tính xác suất để học sinh này không giỏi môn nào cả

Giải:

Gọi A là biến cố chọn được học sinh giỏi toán => ( ) 10 0,5

20

P A  

A là biến cố chọn được học sinh không giỏi toán

Gọi B là biến cố chọn được học sinh giỏi văn => ( ) 8 0, 4

20

P B  

B là biến cố chọn được học sinh không giỏi văn

Khi đó AB là biến cố học sinh giỏi cả hai môn => ( ) 6 0,3

20

P AB   a) Biến cố học sinh được chọn giỏi ít nhất một môn là C  A B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,5 0,4 0,3 0,6

P C P AB P A P B P AB    

b) Biến cố học sinh chọn được không giỏi môn nào là D A B

=> Biến cố đối của biến cố D là biến cố C chọn được học sinh giỏi ít nhất một môn toán hoặc văn

( ) 1 ( ) 1 0,6 0,4

P D  P C   

Nhận thấy P(AB) = 0,3  0 => A, B không xung khắc

Tương tự với P(BC), P(AC) cũng khác 0 nên kết luận các biến cố A, B, C không xung khắc với nhau từng đôi một

Mở rộng công thức cộng xác suất:

Cho A, B, C là 3 biến cố bất kỳ, khi đó:

(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)

Ví dụ 2: Khảo sát về mức độ quan tâm của người dân trong một khu phố

đối với 3 tờ báo A, B, C, người ta thu được số liệu sau:

Có 20% người dân xem báo A; 15% người dân xem báo B; 10% người dân xem báo C;

Có 5% người dân xem A và B; 3% người dân xem B và C; 4% người dân xem A và C;

Có 2% người dân xem cả A, B và C

a) Tính xác suất để người dân xem ít nhất một tờ báo nào đó

b) Tính xác suất để người dân không xem bất kỳ tờ báo nào

Giải:

Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố người dân xem báo A, B, C

Từ đó ta có:

P(A) = 0,2; P(B) = 0,15; P(C) = 0,1;

P(AB) = 0,05; P(BC) = 0,03; P(AC) = 0,04; P(ABC) = 0,02

a) Gọi D là biến cố “người dân xem ít nhất một tờ báo” => D =A B C

b) Gọi E là biến cố “người dân không xem tờ báo nào” => E ABC

Từ giả thiết bài toán ta không thể trực tiếp được E, vì vậy ta phải sử dụng biến cố đối của E chính là biến cố D

1.3.2 Công thức nhân xác suất

a Khái niệm về xác suất có điều kiện

Cho A và B là hai biến cố bất kỳ thỏa mãn P(A) > 0 Xác suất có điều kiện của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra (gọi là xác suất của B với điều kiện A), kí hiệu là P(B|A) được định nghĩa như sau:

(AB)(B | A)

(A)

P P

P

Tương tự nếu P(B) > 0, ta có xác suất của A với điều kiện B:

(AB)(A | B)

(B)

P P

P



* Nhận xét: P B( | A)   1 P(B | A)

Ví dụ 3: Lớp Toán có 96 sinh viên, trong đó có 46 nam và 50 nữ Trong

một kỳ thi có 22 sinh viên đạt điểm giỏi (trong đó có 12 nam và 10 nữ) Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp

a) Tính xác suất để chọn được sinh viên đạt điểm giỏi

b) Tính lại xác suất để chọn được sinh viên đạt điểm giỏi biết rằng sinh viên đó là nữ

Giải:

Gọi A là biến cố “chọn được sinh viên đạt điểm giỏi”

a) P(A) = 22 0, 229

96 b) B là biến cố “sinh viên được chọn là nữ”, ta cần tính P(A|B)

Ta có: P(AB) = 10

96; P(B) = 50

96( ) 10 96

(A | B) 0, 2

(B) 96 50

P AB P

P

b Công thức nhân xác suất cho 2 biến cố

Từ công thức xác suất có điều kiện ta suy ra công thức nhân xác suất của hai biến cố là:

(AB) (A | B) P(B) P(B | A) P(A)

Ví dụ 4: Trong một hộp kín có 20 nắp bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi

“Chúc mừng bạn đã trúng thưởng xe BMW” Bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp bia (rút không hoàn lại) Tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng

Giải:

Gọi A là biến cố “nắp bia rút được lần đầu là nắp có thưởng”

Gọi B là biến cố “nắp bia rút được lần hai là nắp có thưởng”

 Khái niệm sự độc lập của hai biến cố:

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau trong một phép thử nếu biến cố A có xảy ra hay không cũng không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố B và ngược lại

Các phát biểu sau là tương đương:

i) Hai biến cố A và B là độc lập với nhau  P(AB) = P(A)P(B)

ii) Hai biến cố A và B là độc lập với nhau P(A|B) = P(A) hoặc P(B|A)

= P(B)

Ví dụ 5: Trong bình có 4 quả cầu trắng và 5 quả cầu xanh

Lấy ngẫu nhiên từ trong bình ra 1 quả cầu Gọi A là biến cố “lấy được quả cầu xanh” Hiển nhiên P(A) = 5/9

Quả cầu lấy ra được bỏ lại vào bình và tiếp tục lấy 1 quả cầu Gọi B là biến

cố “lần thứ 2 lấy được quả cầu xanh”, khi đó P(B) = 5/9

Rõ ràng xác suất của biến cố B không thay đổi khi biến cố A xảy ra hay không xảy ra và ngược lại Vậy hai biến cố A và B độc lập nhau

* Chú ý:

Nếu A và B độc lập với nhau thì A và B, A và B , A và B cũng độc lập

với nhau

* Mở rộng công thức nhân xác suất cho nhiều biến cố:

Cho 3 biến cố A, B, C, khi đó: (ABC)P P(A) P(B | A) P(C | AB)

 Khái niệm về một dãy biến cố độc lập:

Một dãy n biến cố A1, A2,…, An được gọi là độc lập với nhau (hay độc lập trong toàn bộ) nếu mỗi biến cố độc lập với tích bất kỳ của các biến cố còn lại Khi đó: P(A A A )1 2 n P(A ) P(A ) P(A )1 2 n

Ví dụ 6: Một xí nghiệp có 3 ô tô hoạt động độc lập Xác suất để trong một

ngày các ô tô bị hỏng lần lượt là 0,1; 0,15 và 0,2 Tìm xác suất để trong một ngày có:

a) Gọi D là biến cố có đúng một ô tô bị hỏng, ta sẽ biểu diễn biến cố D thông qua các biến cố A, B, C nhƣ sau: D ABC

Vì các biến cố A B C, , độc lập nên áp dụng công thức nhân xác suất ta đƣợc:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,1.0,15.0,2 0,003

P D P A P B P C  b) Gọi E là biến cố có ít nhất một ô tô bị hỏng trong ngày, ta sẽ biểu diễn biến cố E thông qua các biến cố A, B, C:

E  A B Ckhi đó E A B C Cách 1: Vì các biến cố A B C, , độc lập, áp dụng công thức nhân xác suất:

B xung khắc với nhau

Ví dụ 7: Tung 2 đồng xu cân đối và đồng chất lên một mặt phẳng

Gọi A là biến cố “Có đúng một đồng xu xuất hiện mặt sấp” => P(A) = 2/4

B là biến cố “Cả hai đồng xu xuất hiện mặt sấp” => P(B) = 1/4

Ta thấy A và B là hai biến cố xung khắc nhƣng không độc lập vì P(AB)P(A)P(B)

BÀI TẬP Bài 1: Cho A và B là các biến cố sao cho:

Theo công thức cộng xác suất:

Bài 4: Hệ thống báo cháy gồm một chuông và một đèn tín hiệu Xác suất

để khi có cháy chuông hỏng là 0,1; đèn hỏng là 0,05; cả hai thiết bị đều hỏng là 0,01 Tính xác suất để khi có cháy cả hai thiết bị đều hoạt động

Bài 5: Một lớp sinh viên có 50% học tiếng Anh, 40% học tiếng Pháp, 30%

học tiếng Đức, 10% học tiếng Anh và tiếng Pháp, 15% học tiếng Anh và tiếng Đức, 10% học Pháp và tiếng Đức, 5% học cả ba thứ tiếng Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp đó thì người đó học ít nhất một trong ba ngoại ngữ kể trên

Bài 6: Cho A, B là hai biến cố bất kỳ, chứng minh:

Bài 7: Một người chuẩn bị đấu thầu hai dự án A và B (A đấu thầu trước B)

Người đó có khả năng trúng thầu dự án A là 70% Nếu trúng thầu dự án A thì khả năng trúng thầu dự án B là 90% Nếu không trúng thầu dự án A thì khả năng trúng thầu dự án B còn 50% Tìm khả năng của người đó:

a) Trúng thầu cả hai dự án

b) Chỉ trúng thầu một dự án

Giải:

Gọi A là biến cố người đó trúng thầu dự án A

B là biến cố người đó trúng thầu dự án B

Từ giả thiết: P(A) = 0,7; P(B|A) = 0,9; P(B | A)  0,5.

a) Biến cố trúng thầu cả hai dự án là AB:

Bài 8: Một người chuẩn bị tham dự lấy phiếu tín nhiệm vào một chức vụ,

bắt buộc phải qua hai vùng, ở vùng I khả năng đủ tín nhiệm là 60% Nếu đủ ở vùng I thì khả năng đủ tín nhiệm ở vùng II là 85%, nếu không đủ ở vùng I thì khả năng đủ tín nhiệm ở vùng II là 30% Tìm khả năng của người đó:

a) Đủ tín nhiệm ở cả hai vùng

b) Chỉ đủ tín nhiệm ở một vùng

Bài 9: Một người có nguyện vọng thi vào hai trường đại học Đợt I thi vào

trường A, khả năng đỗ là 90% Nếu đợt I người đó thi đỗ thì khả năng thi đỗ đợt

hai vào trường B là 99%, ngược lại nếu đợt I thi trượt thì khả năng thi đỗ lần hai chỉ còn là 50% Tính xác suất người đó chỉ thi đỗ một trường

Bài 10: Một người đi mua hàng với xác suất chọn được hàng tốt là 0,9

Nếu lần trước chọn được hàng xấu thì xác suất chọn được hàng tốt lần sau là 95%, còn nếu lần trước người đó chọn được hàng tốt thì không có kinh nghiệm

gì khi mua lần sau Người đó mua hàng hai lần, mỗi lần một sản phẩm Tìm xác suất để có một lần mua phải hàng xấu

Bài 11: Cho A và B là các biến cố độc lập Chứng minh rằng:

Bài 12: Chứng minh rằng nếu A, B, C là ba biến cố độc lập thì A và BC

P(AB) P(AC) P(AB.AC)

P(A) P(B) P(A) P(C) P(ABC)

P(A) P(B) P(A) P(C) P(A) P(BC)

Bài 13: Hai xạ thủ mỗi người bắn một viên đạn vào cùng một bia Xác suất

trúng đích của người thứ nhất là 0,9 và của người thứ hai là 0,7 Tính các xác suất của biến cố:

a) Có đúng một phát trúng

b) Cả hai phát đều trúng

c) Có ít nhất một phát trúng

Giải:

Gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trúng bia

B là biến cố người thứ hai bắn trúng bia

Theo giả thiết: P(A) = 0,9; P(B) = 0,7

( ) ( ) ( ) ( )

0,9 0,7 0,63 0,97

Bài 14: Ba người mỗi người độc lập bắn một viên vào mục tiêu với xác

suất trúng tương ứng là 0,6; 0,8; 0,7 Tính xác suất:

g) Có không quá hai người bắn trúng

Bài 15: Bắn ba viên đạn vào bia một cách độc lập Xác suất để có ít nhất

một lần trúng đích là 0,875 Tìm xác suất bắn trúng bia trong một lần bắn

Bài 16: Bắn độc lập ba viên đạn vào cùng một bia Xác suất trúng đích của

viên thứ nhất, viên thứ hai, viên thứ ba lần lượt là 0,4; 0,5; 0,7

a) Tìm xác suất sao cho trong ba viên có đúng một viên trúng đích

b) Tìm xác suất để có ít nhất một viên trúng đích

Bài 17: Bắn ba viên đạn vào bia một cách độc lập Xác suất để có ít nhất

một lần trúng đích là 0,936 Tìm xác suất bắn trúng bia trong một lần bắn

Bài 18: Một máy tính điện tử gồm n bộ phận hoạt động độc lập Xác suất

hỏng trong khoảng thời gian t của bộ phận thứ k bằng pk (k = 1, 2 n) Nếu ít nhất một bộ phận hỏng thì máy sẽ ngừng làm việc Tính xác suất để máy ngừng làm việc trong khoảng thời gian t

i i

Bài 19: Ở một cơ quan có ba chiếc xe ô tô hoạt động độc lập Khả năng có

sự cố của mỗi ô tô tương ứng là 0,15; 0,2; 0,1

a) Tìm khả năng cả ba ô tô cùng bị hỏng

b) Tìm khả năng có ít nhất một chiếc hoạt động được

c) Tìm khả năng cả ba ô tô cùng hoạt động được

d) Tìm khả năng có không quá hai ô tô bị hỏng

Bài 20: Một chi tiết được gia công một cách độc lập qua ba công đoạn nối

tiếp với nhau và chất lượng chi tiết chỉ được kiểm tra sau khi đã được gia công xong Xác suất gây ra khiếm khuyết cho chi tiết ở các công đoạn tương ứng là 0,2; 0,15; 0,1 Tìm xác suất để sau khi gia công chi tiết

a) Có khiếm khuyết

b) Bị ít nhất hai khiếm khuyết

c) Bị cả ba khiếm khuyết

d) Không bị khiếm khuyết nào

e) Bị không quá một khiếm khuyết

1.4 Công thức Bernoulli

1.4.1 Dãy phép thử Bernoulli

Khái niệm dãy phép thử Bernoulli: Xét một dãy các phép thử độc lập

Các phép thử này được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu thỏa mãn:

- Mỗi phép thử chỉ có hai kết quả: A và A;

- Xác suất P(A) = p(0 < p < 1) không đổi cho mọi phép thử

Giá trị p được gọi là xác suất thành công trong mỗi lần thử

Chú ý: Dãy phép thử độc lập là dãy các phép thử mà kết quả của phép thử

này không làm ảnh hưởng tới kết quả của phép thử khác

Công thức này mang tên nhà toán học người Thụy Sĩ Jacob Bernoulli (còn được biết đến với tên James hoặc Jacques) (1654 – 1705)

Ví dụ 1: Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất 5 lần => Đó là dãy 5 phép

P n (k,p) và cho bởi công thức sau:

P (k, p) = C p (1- p)

Công thức trên đƣợc gọi là công thức Bernoulli

Chứng minh công thức Bernoulli:

Gọi B là biến cố trong n lần thực hiện phép thử biến cố A xảy ra đúng k

lần Ta biểu diễn biến cố B là tích của các biến cố A và A nhƣ sau:

Ví dụ 3: Xác suất để một cây con sống sót sau khi mắc một loại sâu bệnh

hiếm thấy là 0,4 Nếu biết rằng có 8 cây con mắc loại sâu bệnh này, tìm xác suất

iii) Tìm số lần biến cố A xảy ra có khả năng nhất

iv) Tìm số lần thực hiện phép thử tối thiểu để thỏa mãn điều kiện nào đó

Giải quyết bài toán:

Sử dụng công thức Bernoulli đã xây dựng ở trên và các quy tắc đếm, ta dễ dàng chứng minh được các công thức sau:

i) Xác suất để biến cố A xảy ra từ k1 đến k2 lần là:

iv) Phương pháp giải sẽ được xét trong từng bài toán cụ thể

Ví dụ 3: Một xạ thủ bắn lần lượt 6 viên đạn vào một mục tiêu với xác suất

trúng trong mỗi lần bắn là 0,8 Tìm xác suất sao cho:

a) Có đúng 2 viên trúng mục tiêu

b) Có không quá 2 viên trúng mục tiêu

c) Có ít nhất 1 viên trúng mục tiêu

d) Tìm số viên trúng mục tiêu có khả năng nhất

e) Phải bắn bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất 1 viên trúng mục tiêu là 90%?

0 0 0

7.0,8 1 k 7.0,84,6k 5,6k 5e) Gọi n0 là số lần bắn để xác suất có ít nhất 1 viên trúng mục tiêu là 0,9 Vậy 1 (1  p)n0  0,9   (1 p)n0  0,1

Với p = 0,8 thay vào trên ta được 0

0

log 0,1(1 0,8) 0,1

a) Tìm xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đúng 2 lần

b) Tìm xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đó

c) Nếu muốn xác suất thu được tin 0,9 thì phải phát đi ít nhất bao nhiêu lần?

Giải:

Có thể xem mỗi lần phát tin là một phép thử Bernoulli với mục đích thành công của phép thử là nguồn thu nhận được tin Theo giả thiết xác suất thành công p của mỗi lần thử là 0,4

a) Xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đúng 2 lần là:

Bài 1: Xác suất nảy mầm của mỗi hạt giống là 0,4 Người ta gieo các hạt

giống vào các hốc, mỗi hốc 4 hạt Tính xác suất để mỗi hốc có ít nhất một hạt nảy mầm

Giải:

Phép thử này thỏa mãn là phép thử Bernoulli

Xác suất để mỗi hốc có ít nhất một hạt nảy mầm là:

Cần phải lấy một mẫu với cỡ mẫu bằng bao nhiêu sao cho xác suất để có ít nhất một phế phẩm trong mẫu đó không bé hơn 0,95?

Giải:

Phép thử này thỏa mãn là phép thử Bernoulli

Gọi n là số sản phẩm cần lấy A là biến cố có ít nhất một phế phẩm trong n sản phẩm lấy ra

Vậy số hạt giống cần lấy là n = 148

Bài 3: Tỷ lệ học sinh trong trường bị cận thị là 1% Hỏi cần lấy một mẫu

cỡ bao nhiêu (chọn bao nhiêu học sinh) để trong mẫu đó có ít nhất một học sinh

bị cận thị với xác suất không bé hơn 0,95?

Bài 4: Bắn độc lập 14 viên đạn vào một mục tiêu Xác suất trúng đích của

mỗi viên đạn bằng 0,2 Mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn nếu có ít nhất hai viên đạn trúng mục tiêu Tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn

Bài 5: Một nữ công nhân quản lý 12 máy dệt Xác suất để mỗi máy dệt

trong khoảng thời gian T cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân bằng 1/3 Tính xác suất để:

a) Trong khoảng thời gian T có 4 máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân b) Trong khoảng thời gian T số máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân không bé hơn 3, không lớn hơn 6

Bài 6: Phải gieo 2 đồng xu bao nhiêu lần để với xác suất không nhỏ hơn

0,99 có thể tin rằng có ít nhất một lần được cả hai mặt sấp

1.5 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

1.5.1 Giới thiệu khái niệm nhóm đầy đủ

Dãy n biến cố B 1 , B 2, …, B n lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:

- Hợp của chúng là biến cố chắc chắn, tức là:

- Các biến cố đó đôi một xung khắc, tức là:

1

n i i

B S





Một số ví dụ về nhóm đầy đủ:

Ví dụ 1: Trong 1 thùng thóc chỉ có 2 loại thóc là thóc đã nảy mầm và thóc

chưa nảy mầm Lấy ngẫu nhiên 1 hạt thóc trong thùng

Gọi A là biến cố “Hạt thóc lấy ra là thóc đã nảy mầm”

Gọi B là biến cố “Hạt thóc lấy ra là thóc chưa nảy mầm”

Nhóm các biến cố A, B tạo thành nhóm đầy đủ các biến cố

Ví dụ 2: Một người bắn 3 viên đạn vào bia B i là biến cố “Sau 3 lần bắn có

đúng i viên trúng vào bia”, i = 0, 1, 2, 3

Nhóm các biến cố B 1 , B 2 , B 3 không tạo thành nhóm đầy đủ các biến cố Nhóm các biến cố B0, B1, B2, B3 tạo thành nhóm đầy đủ các biến cố

1.5.2 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

Giả sử B 1 , B 2, …, B n là một nhóm đầy đủ các biến cố Xét biến cố A sao cho

A xảy ra khi và chỉ khi một trong các biến cố B 1 , B 2, …, B n xảy ra

Đặt:

Ta có:

Vì các B i xung khắc từng đôi nên các AB i cũng xung khắc từng đôi (i = 1,…, n):

Công thức xác suất đầy đủ:

Tiếp tục áp dụng công thức nhân xác suất:

Thay công thức tính P(A) ở trên ta được công thức Bayes:

Công thức Bayes (mang tên Thomas Bayes, 1702 - 1761, một linh mục

đồng thời là người có những nghiên cứu về xác suất)

Ví dụ 3: Có 2 hộp đựng sản phẩm, hộp thứ nhất có 10 sản phẩm trong đó

có 9 sản phẩm màu trắng và 1 sản phẩm màu đen, hộp thứ 2 có 20 sản phẩm trong đó có 18 sản phẩm màu trắng và 2 sản phẩm màu đen Từ hộp thứ nhất lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm bỏ sang hộp thứ 2 Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ hộp thứ 2 được sản phẩm màu trắng

Giải:

Gọi A là biến cố “Sản phẩm lấy từ hộp thứ 2 là sản phẩm màu trắng”

Biến cố A xảy ra đồng thời với một trong hai biến cố sau:

B1: “Sản phẩm bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 là sản phẩm màu trắng”

B2: “Sản phẩm bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 là sản phẩm màu đen”

Khi đó (B 1 , B 2 ) tạo thành nhóm biến cố đầy đủ

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

Ví dụ 4: Tỷ lệ người dân nghiện thuốc lá là 30%, biết rằng tỷ lệ người viêm

phổi trong số người nghiện thuốc lá là 60%, còn tỷ lệ người viêm phổi trong số người không hút thuốc là 40%

a Chọn ngẫu nhiên 1 người Tính xác suất để người đó bị viêm phổi

b Chọn ngẫu nhiên 1 người, biết rằng người đó viêm phổi Tính xác suất người đó nghiện thuốc lá

Giải:

Gọi A là biến cố “Chọn ra một người bị viêm phổi”

Gọi B1 là biến cố “Người được chọn ra là người nghiện thuốc”

Gọi B2 là biến cố “Người được chọn ra là người không nghiện thuốc” Nhóm biến cố đầy đủ ở đây là {B1, B2}

Ta có: P(B1) = 0,3; P(B2) = 0,7

P(A|B1) = 0,6, P(A|B2) = 0,4

a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:

P(A) = 0,3.0,6 + 0,7.0,4 = 0,46 b) Áp dụng công thức Bayes:

Nhóm biến cố đầy đủ không duy nhất, để tính xác suất của biến cố A có thể dựa vào nhóm đầy đủ này hoặc nhóm đầy đủ khác, miễn là quan hệ giữa A và nhóm đầy đủ phải thỏa mãn: A xảy ra khi và chỉ khi 1 trong các biến cố của

nhóm đầy đủ phải xảy ra

Khi nào dùng công thức xác suất đầy đủ và khi nào dùng công thức Bayes? Công thức xác suất đầy đủ giúp ta tính xác suất của 1 biến cố A thông qua 1

nhóm các giả thiết đầy đủ B 1, B 2 , …, B n Công thức Bayes thì ngược lại, giúp ta

tính xác suất xảy ra của các giả thiết B 1, B 2 , …, B n khi biến cố A xảy ra

Ý nghĩa của công thức Bayes:

- B 1 , B 2 , …, B n thường được gọi là các giả thuyết;

- Các P(B 1 ), P(B 2 ), …, P(B n ) được xác định trước khi phép thử được tiến

hành gọi là các xác suất tiên nghiệm;

- Các xác suất P(B 1 |A), P(B 2 |A), …, P(B n |A) gọi là các xác suất hậu nghiệm (được xác định sau khi phép thử đã tiến hành và biến cố A đã xảy ra)

Công thức Bayes cho phép đánh giá lại xác suất xảy ra các giả thuyết sau khi đã biết kết quả của phép thử Vì vậy, công thức Bayes còn được gọi là công thức xác suất hậu nghiệm

 Mô tả một áp dụng bằng sơ đồ chẩn đoán bệnh:

Giả sử tại 1 bệnh viện nào đó các bệnh nhân mắc một trong n bệnh B 1, B 2 , …, B n

Ta kí hiệu A là tập các triệu chứng có ở bệnh nhân Khi đó các xác suất P(B 1 ), P(B 2 ), …, P(B n ) và P(A|B 1 ), P(A|B 2 ), …, P(A|B n ) có thể được tính dựa

trên số liệu thống kê của các năm trước Cụ thể:

P(B i ) bằng tần suất bệnh B i trong số những bệnh nhân của bệnh viện đó

P(A|B i ) bằng tần suất thấy tập hợp dấu hiệu A ở những bệnh nhân bị bệnh

BÀI TẬP

Bài 1: Tại một phòng khám bệnh chuyên khoa, trong số những người đến

khám có 80% mắc bệnh Phòng khám dùng một dụng cụ chuyên dụng để chuẩn đoán bệnh Nếu có bệnh thì thiết bị cho kết quả dương tính với xác suất 0,8 Nếu không có bệnh thì cho kết quả dương tính với xác suất 0,3

a) Tính xác suất để một người đến khám bệnh cho kết quả dương tính b) Giả sử một người đến khám bệnh và máy cho kết quả dương tính Tính xác suất để người đó có bệnh; không có bệnh

Giải:

a) Gọi B1 là biến cố người đến khám có bệnh

B2 là biến cố người đến khám không có bệnh

A là biến cố thiết bị cho kết quả dương tính

Khi đó B1, B2 lập thành một hệ đầy đủ các biến cố Theo giả thiết:

P(B1) = 0,8; P(B2) = 0,2; P(A|B1) = 0,8; P(A|B2) = 0,3 Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) = 0,8.0,8 + 0,2.0,3 = 0,7

b) Theo công thức Bayes:

Bài 2: Tiến hành thử phản ứng thuốc trên 100 người trong đó có 50 người

khỏe và 50 người yếu Tỷ lệ phản ứng dương tính trong số người khỏe là 0,05 còn trong số người yếu là 0,8 Chọn ngẫu nhiên một người trong số đó:

a) Tính xác suất để người đó có phản ứng dương tính

b) Giả sử người đó có phản ứng dương tính Tìm xác suất để người đó là người khỏe; người yếu

Bài 3: Đem kiểm tra một lô hàng gồm các sản phẩm do hai xí nghiệp I và

II sản xuất Sản phẩm của xí nghiệp I chiếm 45%, xí nghiệp II chiếm 55% Tỷ lệ sản xuất ra phế phẩm của xí nghiệp I là 2%, xí nghiệp II là 2,5% Biết rằng sản phẩm đem kiểm tra là phế phẩm Khả năng sản phẩm đó do xí nghiệp nào sản xuất ra nhiều nhất?

Bài 4: Hai nhà máy cùng sản xuất một loại sản phẩm Tỷ lệ phế phẩm của

nhà máy I là 0,03; của nhà máy II là 0,02 Từ một kho gồm 2/3 sản phẩm của nhà máy I và 1/3 của nhà máy II ta lấy ra một sản phẩm

a) Tính xác suất để sản phẩm lấy ra đó là tốt

b) Giả sử sản phẩm lấy ra là tốt Tính xác suất để sản phẩm đó thuộc ô I, lô II

Bài 5: Có 14 xạ thủ: 5 người bắn trúng đích với xác suất 0,8, 7 người bắn

trúng đích với xác suất 0,6 và 2 người bắn trúng đích với xác suất 0,5 Chọn ngẫu nhiên một người cho bắn một phát nhưng không trúng Người đó có khả năng thuộc nhóm nào nhất?

Bài 6: Có 10 hộp bi trong đó có 4 hộp loại I mỗi hộp chứa 3 bi trắng 5 bi

đỏ; 3 hộp loại II mỗi hộp chứa 4 bi trắng và 6 bi đỏ; 3 hộp loại III mỗi hộp chứa

Bài 7 * : Một xạ thủ bắn vào một mục tiêu ba viên đạn độc lập với nhau Xác

suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0,4 Mục tiêu bị phá hủy với xác suất 0,2 nếu

có 1 viên trúng đích; với xác suất 0,5 nếu có hai viên trúng đích và 0,8 nếu có ba viên trúng đích Tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy

Bài 8: Một lô hạt giống được thu gom từ ba nguồn khác nhau Nguồn I

chiếm ½ số hạt của lô; nguồn II chiếm 1/3 số hạt của lô; còn lại là nguồn III Tỷ

lệ hạt nảy mầm đối với các hạt thuộc các nguồn tương ứng là 90%; 80%; 70% a) Tính tỷ lệ nảy mầm chung của cả lô hạt giống

b) Lấy ngẫu nhiên từ lô ra một hạt gặp hạt không nảy mầm Thử đoán xem hạt đó từ nguồn nào? Vì sao?

Bài 9: Có hai hộp đựng các mẫu hàng xuất khẩu Hộp thứ nhất đựng 10

mẫu trong đó có 6 mẫu loại A và 4 mẫu loại B Hộp thứ hai đựng 10 mẫu trong

đó có 3 mẫu loại A và 7 mẫu loại B

a) Giả sử xác suất lựa chọn các hộp lần lượt là 0,55 và 0,45 Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một mẫu Tính xác suất để mẫu lấy ra là loại A

b) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một mẫu thì được mẫu loại A Hỏi mẫu đó có khả năng thuộc loại nào?

Bài 10: Trong một thùng kín thứ nhất có 10 viên bi gồm 8 bi trắng và 2 bi

đen; trong thùng kín thứ hai có 20 viên bi trong đó có 4 trắng và 16 đen Lấy ngẫu nhiên từ mỗi thùng một viên bi và sau đó lại lấy ngẫu nhiên một trong hai viên đó Tính xác suất để lấy được bi trắng

TÓM TẮT CHƯƠNG I

1 Định nghĩa cổ điển về xác suất:

Xác suất của biến cố A là P(A) = m.

n

Trong đó:

+ m là số trường hợp thuận lợi đối với A;

+ n là số trường hợp đồng khả năng (số các trường hợp có thể xảy ra)

2 Định nghĩa thống kê về xác suất:

3 “Nguyên lý xác suất nhỏ”: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực

tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử

4 “Nguyên lý xác suất lớn”: Nếu biến cố A có xác suất gần bằng 1 thì trên thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử

5 Quan hệ của các biến cố:

Lý thuyết tập hợp Lý thuyết xác suất

AS A AS A\ là biến cố đối của biến cố A,

tức là A xảy ra nếu A không xảy ra

Công thức nhân trong trường hợp tổng quát:

(AB) (A | B) P(B) P(B | A) P(A)

Nếu A và B độc lập thì P(AB) = P(A)P(B)

Nếu A và B độc lập với nhau thì A và B, A và B , A và B cũng độc lập

với nhau

8 Công thức xác suất đầy đủ:

9 Công thức Bayes (CT hậu nghiệm):

10 Công thức Bernoulli:

Các phép thử được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu thỏa mãn:

- Mỗi phép thử có hai kết quả: A và A ;

- Xác suất P(A) = p không đổi cho mọi phép thử

i) Xác suất để biến cố A xảy ra đúng k lần trong n phép thử là: