Các khái niệm mở đầu về đạo hàm

Đạo hàm và các khái niệm mở đầu. Tài liệu dùng cho HS 11 và 12.

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

PHẦN I: ĐẠO HÀM

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

Mục lụcChủ đề 1 Điịnh nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm.

Tóm tắt lý thuyết

Vấn đề 1: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm - Dạng I

Vấn đề 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm - Dạng II

Vấn đề 3: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm - Dạng III

Vấn đề 4: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có đạo hàm

Vấn đề 2: Tính đạo hàm của hàm số y=f(x)

Vấn đề 3: Tính đạo hàm của hàm số y=loga(x)b(x)

Vấn đề 4: Tính đạo hàm của hàm số y=[u(x)]v(x)

Chủ đề 3 Đạo hàm cấp cao

Tóm tắt lý thuyết

Vấn đề 1: Tính đạo hàm cấp k của hàm số

Vấn đề 2: Tìm công thức đạo hàm cấp n

Phần I - đạo hàm

A Tóm tắt lí thuyết

1 Số gia đối số và số gia hàm số

Cho hàm số y  f(x) xác định trên khoảng (a, b) Giả sử x0 và x(x  x0) làhai phần tử của (a, b)

Khi đó:

 x x x0, đọc là đenta x, đợc gọi là số gia của đối số tại điểm x0

 yf(x)f(x0)f(x0 + x)f(x0), đợc gọi là số gia tơng ứng

của hàm số tại điểm x 0

2 Đạo hàm tại một điểm

Định nghĩa 1: Ta có:

x

ylim0

)x()x(lim

x )

x

ylim

)x()x(lim

f '(  0

x )

x

ylim

)x()x(lim

Định nghĩa 2 : Hàm số y  f(x) đợc gọi là có đạo hàm trên khoảng (a, b) ,

nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó Kí hiệu là f '(x) hay y'

Ta gọi f '(x) là đạo hàm của f(x) trong khoảng (a, b).

Định nghĩa 3 : Hàm số y f(x) đợc gọi là có đạo hàm trên đoạn a, b, nếu

nó có đạo hàm trên khoảng (a, b), và có đạo hàm bên phải tại a, bên trái tại b

Chú ý : Về sau này khi ta nói hàm số y f(x) có đạo hàm, mà không nói rõ

trên khoảng nào, thì điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộctập xác định của hàm số đã cho

5 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí 2 : Hàm số y  f(x), xác định trên khoảng (a, b), là liên tục tại

điểm x O (a, b) nếu và chỉ nếu :

ylim

0 x

lim

 [f(x)  f(xO)] 0  lim y

0 x





0

Nhận xét: Nh vậy, tới đây chúng ta ghi nhận thêm đợc một cách khác để

chứng minh hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0

Định lí 3 : Nếu hàm số y f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại

0 x 0

Vậy, hàm số yf(x) liên tục tại điểm x0

Chú ý:

1 Kết quả của định lí 3 đợc sử dụng nhiều trong bài toán " Tìm điều kiện của

tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm xx 0 "

2 Mệnh đề đảo của định lí 3 không đúng, nghĩa là một hàm số liên tục tại

điểm x 0 có thể không có đạo hàm tại điểm đó Để minh hoạ ta xét hàm số :

1

0 x



x

ylim

 hàm số yx không có đạo hàm tại x00

3 Nh vậy, hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm đó

6 ý nghĩa hình học của đạo hàm

6.1 ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí 4 : Nếu hàm số yf(x)

có đạo hàm tại x0 và đồ thị (C) của

hàm số có tiếp tuyến tại điểm

M0 (x0, f(x0)) thì hệ số góc của tiếp

tuyến với (C) tại M0 bằng f '(x0)

6.2 Phơng trình của tiếp tuyến tại điểm M 0

Định lí 5 : Phơng trình của tiếp tuyến tại điểm M0(x0, y0) của đờng cong

)x()x(lim

)1()x(lim

)12()1x2(lim

2 1

Chú ý: Nh vậy, việc tìm đạo hàm bằng định nghĩa liên quan mật thiết với bài

toán tính giới hạn của hàm số Do đo, các em học sinh cần ôn lại các ph ớngpháp tính giới hạn cùng với các dạng giới hạn cơ bản

Ví dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x0:

0

M(C)

y

f '(0)

0x

)1()x(lim

)2()x(lim

14xsinxlim

2 2

)2x(lim 

x

2x

xsin1lim

1lim

0 t







2 2 0

t

2

t4

2

tsin.2

Nhận xét: Nh vậy, trong lời giải trên để tính đạo hàm chúng ta cần xác định

giá trị của một giới hạn dạng

0

0 và ở đây chúng ta đã tách nó thành hai giới

hạn con (bao gồm

)x(Q

)x(P

và dạng lợng giác) để đa nó về dạng đơn giản hơn

Vấn đề 2: cách tính đạo hàm bằng định nghĩa  Dạng II

0 1

x x khi ) x ( f

x x khi ) x ( f

Để tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa tại điểm x0, ta xác định :

f '(xO)

0

0 x

)x()x(lim

)x(f)x(flim

0 x khi x

x cos 1

)0()x(lim

xcos1lim 



2 0 x

2

x42

xsin2lim

1

0 x khi x

x 1 1

a Chứng minh rằng f(x) liên tục tại x0

b Tính đạo hàm, nếu có, của f(x) tại điểm x0

lim



x

x1

1  

0 x

lim

 x(1 1 x)

)x1(1

)0()x(lim

1x

x11lim

0 x

1lim

0

8

1

Ví dụ 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số :

0 x khi x

1 cos

f '(0)

0x

)0()x(lim

0 x

0 1

x x khi ) x ( f

x x khi ) x ( f

x )

0

0 x

)x()x(lim

x )

0

0 x

)x()x(lim

x ), từ đó đa ra lời kết luận

Ví dụ 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số:

f(x)

|x

|1

x

tại điểm x00

0 x khi x 1 x

)0()x(lim

lim

xx1

x

 xlim 0 

x1

f '(0 + )

0x

)0()x(lim

limxx1

x

 x  0 

lim

x1

)0()x(lim

lim



x

|x

|1

|3x

|2

x2







a Chứng minh rằng hàm số liên tục tại x3

b Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x3

x 3

6 x 2 x

3 1 x 3 khi 1

x 3

6 x 2 x

3

x   

3 x

lim





1x

|3x

|2

)3()x(lim

 Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x03.

f '(3 + )

3x

)3()x(lim

Vậy, hàm số không có đạo hàm tại x3

Vấn đề 4: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có đạo

0 1

x x khi ) x ( f

x x khi ) x ( f

Để tìm điều kiện của tham số sao cho hàm số có đạo hàm tại điểm x0, tathực hiện theo các bớc sau :

Bớc 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 (1)

Bớc 2: (Đạo hàm bên trái) Tính :

f '(  0

x )

0

0 x

)x()x(lim

x )

0

0 x

)x()x(lim

1 x khi

x 2

Tìm a, b để f(x) có đạo hàm tại điểm x1

)1()x(lim

lim

1x

)1()x(lim

lim

1x

1bax

lim

1x

1a1ax

q px

0 x khi x sin q x cos p

Tìm p, q để f(x) có đạo hàm tại điểm x0

Giải

Để hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x0  f(x) phải liên tục tại điểmx0, do đó :

0 x khi x sin ) 1 p ( x cos p

 Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x00.

f '(0 )

0x

)0()x(lim

lim

x

pxsin)1p(xcos

 0 x

lim

x

)xcos1(pxsin)1p



 0 x

2

x.4

2

xsinpx2x

xsin)1p(

p1

 Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x00.

f '(0 + ) 

0x

)0()x(lim

lim

x

pp

px 

 0 x

0 x khi e

) a x ( 2

bx

Xác định a, b để f(x) có đạo hàm tại điểm x0

)0()x(lim

lim

x

1e)1x(  bx

 0 x

1ee

) 0 ( ) x ( lim

x2    

 0 x

lim (x

+ b)b

Hàm số yf(x) có đạo hàm tại điểm x0, nếu và chỉ nếu :

f '(0)f '(0 + )  1bb  b

2

1

Vậy hàm số yf(x) có đạo hàm tại điểm x0 khi a1, b

Bớc 2: Tìm

x

ylim

2 Nếu khoảng (a, b) bằng đoạn [a, b], ta thực hiện theo các bớc sau :

Bớc 1: Tính đạo hàm của hàm số y  f(x) trong khoảng (a, b)

Bớc 2: Tính đạo hàm bên phải của hàm số yf(x) tại điểm a

Bớc 3: Tính đạo hàm bên trái của hàm số yf(x) tại điểm b

Ví dụ 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số :

xxx

1

Vậy hàm số có f '(x)

x 2

1

Ví dụ 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số :

ylog8x

Giải

Cho x một số gia x, ta có :

)x

x1ln(

.8lnx

1  y'

8lnx

1 .

Chú ý: Trong lời giải trên, vì chúng ta không có dạng giới hạn cho hàm số

logab nên cần thực hiện phép đổi cơ số logab =

aln

0 x khi x

1 sin

x2

a Tính đạo hàm của f tại mỗi xR.

b Chứng tỏ rằng đạo hàm f' không liên tục tại x00

)0()x(lim

0 x khi x

1 cos x

1 sin x 2

 xn

n2

1  xn 0 khi n  và ta đợc :

1

 với x02 b f(x)

1x

3x2



 với x03

Bài tập 3: Cho hàm số ysinx.

a Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x00

b Viếtphơng trình của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm x00

Bài tập 4: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại x00:

0 x khi x

x sin2

0 x khi x

x 2 cos 1

0 x khi )

x / 1 sin(

x 2

tại x00

/ 1

0 x khi

a Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục tại x0

b Tìm đạo hàm, nếu có, của f tại x0

Bài tập 7: Cho hàm số f xác định bởi :

0 x khi x

tgx

a Chứng minh rằng f liên tục tại x0

b Tìm đạo hàm, nếu có, của f tại x0

Bài tập 8: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số :

0 x khi e

2 x

tại điểm x00

Bài tập 9: Cho hàm số yx1 Chứng minh rằng hàm số liên tục tại

x1 nhng không có đạo hàm tại điểm này

Bài tập 10: Tìm a, b để hàm số sau có đạo hàm tại điểm x1

1 x khi x

2 2

0 x khi e

) 1 x ( 2 x

0 x khi e

2 x

Bài tập 13: Cho hàm số :

yx2 + 4x + 3

a Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x01

b Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x03

Bài tập 14: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau đây :

a f(x)

1x

( x )'

x21(C)'0 (C lµ h»ng sè)

(u)'.u'.u1

2 '

u

' u u

'u(ku)'k.u'(2) (sinx)'cosx

(cosx)'sinx

(tgx)'

xcos

1

2 1 + tg2x

(cotgx)'

xsin

1

2 (1+cotg2x

)

(sinu)'u'.cosu(cosu)'u'.sinu

(tgu)'

ucos

'u

2 u'.(1 + tg2u)

(cotgu)'

usin

'u

2 u'(1 +cotg2u)

(3) (lnx)'

x1

(logax)'

alnx1

(lnu)'

u

'u

(logau)'

alnu

'u

(4) (ex)' ex

(ax)' ax.lna

(eu)' u'.eu(au)' u'.au.lna

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số:

a y = x6 + 8sin xcos x. b y x x2  x1

Giải

a Ta có:

y'(x6 + 8sin xcos x)'(x6)’ + (8sinxcosx )'

6x61 + (sinx + cosx)’.8sin xcos x.ln8

6x61 + (cosx  sinx) sin x cos x

8  .ln8.

b Ta có:

y'( x x2  x1 )'

1 x x x 2

1 x

2  

)



1 x x 1 x x x 4

1 x 1 x x 2

2 2

1 2 x x 2 2

1 2 x x 2 2

12xx1

2 2

1 2 x x 2 2

1 2 x x 2 2

2 2

) 1 2 x x (

) 1 2 x x )(

2 x ( ) 1 2 x x

1 2 x x (

) 1 x ( 2 2

2 2

)1x(22

4 2





Cách 2: Viết lại hàm số dới dạng:

yln (x2  x 2 + 1)  ln (x2  x 2 + 1)

Khi đó :

y’

12xx

)'2xx(2 2

)'2xx(2 2

2 x 2

2 x 2

)1x(22

4 2





Nhận xét: Nh vậy, trong cách giải 2 độ phức tạp của các phép toán đợc giảm

đi rất nhiều Điều này khẳng định rằng việc đơn giản hoá hàm số hoặc chuyển

đổi hàm số về dạng dễ lấy đạo hàm là cần thiết

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số:

x1x

x

6 1

x

12 1

x

24 1

x 

8 5

x

b Biến đổi hàm số về dạng:

y

) x 1 x )(

x 1 x (

x 1 x

x1x

1

 

x2

)xsin1)(

2

x4(

1 2

1 2

1 2

1 2

)xsin1)(

2

x4(

xsin

)2

xsin2

x)(cos2

x4(



xsin

)2

x4(cos)2

x4(tg

xsin

)2

x4cos(

)2

x4sin(

xsin

)x2

sin( cotgx.

xsin

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

8

x

x

Vấn đề 2: Tính đạo hàm của hàm số y = |f(x)|

Để tính đạo hàm của hàm số yf(x) trên miền E sao cho f(x)  0 talựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Viết lại hàm số dới dạng:

y f2(x)

Bớc 2: Ta đợc:

y’

)x(f

)x()

x('f

|)x(

|

)x()

x('f

Cách 2: Thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Viết lại hàm số dới dạng:

y





 0 ) x ( với ) x (

0 ) x ( với )

x (

0 ) x ( với )

x ( ' f

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số sau tại các điểm x  1:

y|x  1|

Giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1: Viết lại hàm số dới dạng:

) 1 x

)1x)'.(

1x(2

|

1x



 = 





 1 x với 1

1 x với 1

1 x với 1

1 x với 1

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau tại các điểm x 

|

1 

x cos

1

2 ,Khi đó:

y'

'

2

x cos

)'xcos(

2

2



x cos x cos 2

x cos x sin 2

2 2





x cos

tgx

2 

|xcos

1  2 ,

Khi đó:

g'(x)

x a x 1 x a x 1

2

' 2

)ax1(x.axx

2 2

2 2

,

Khi đó:

x a x 1 x a x 1

2

' 2

)ax1(x.axx

2 2

2 2

a a x 2 2

)]

x(aln[

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số:

)1x3ln( 

)1x3ln(

)]'x2).[ln(

1x3ln(

)x2ln(

)1x3ln(

.x2

2)x2ln(

.1x

1x

(

x

)1x3ln(

)1x3(

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số:

ylogx + 1(cos3x.cos3xsin3x.sin3x)

Giải

Ta có:

4

1(3cosx + cos3x)cos3x



4

1(3sinxsin3x)sin3x

4

3cos4x

4

1

Do đó, hàm số đợc viết lại dới dạng:

)4

1x4cos4

3ln(



,

Khi đó:

y’

'

) 1 x ln(

) 4

1 x 4 cos 4

3 ln(

1x

1).4

1x4cos4

3ln(

)1xln(

4

1x4cos43

x4sin3

4

1x4cos4

3(

)4

1x4cos4

3ln(

)

4

1x4cos4

3()1xln(

.x4sin

Vấn đề 4: Tính đạo hàm của hàm số y = [u(x)]v(x)

Nếu u, v là hàm số có đạo hàm theo x là u' và v' và với u > 0 thì đạo hàm củahàm số yuv đợc tính theo phơng pháp Lepnit và I.Becnuli, theo các bớc:

Bớc 1: Lấy loga cơ số e hai vế của hàm số, ta đợc:

lnyln[u(x)v(x)]  lnyv(x).ln[u(x)]

Bớc 2: Lấy đạo hàm theo x cả hai vế, ta đợc:

y ' y

 u(x)v(x).{v'(x).ln[u(x)] +

u

'u.v(x)}

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số:

y(x2 + 1)cosx

Giải

Ta có:

lnycosx.ln(x2 + 1)

2

 ,

 y'y[sinx.ln(x2 + 1) +

1x

xcos.x2

2

 ]

(x2 + 1)cosx[sinx.ln(x2 + 1) +

1x

xcos.x2

Lấy đạo hàm theo x cả hai vế ta đợc:

xcos2

+

1x

2000

 +

tgx x cos

2

y' y[

xsin

xcos2

+

1x

2000

 +

x2sin

4]

 sin2x.(x + 1)2000.(tgx)2.[

xsin

xcos

2 +

1x

2000

 +

x2sin

4 ]

Bài tập đề nghị Bài tập 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau trên khoảng xác định:

xcosxsin





2 2

)xsin1(

xtg

x x

e e

e e









f y

1xln

1xln





Bài tập 6: Cho a > 0, tính đạo hàm của các hàm số sau:

bcad





b

' 2

e dx

c bx ax

) e dx (

) cd be ( aex 2 adx

1

2

c x b x

a

c bx ax

2 1

1 1 1

1

2 1 1

)cxbxa(

cbbcx)caac(2x)baab(

|

| tgx

|

1

Bài tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau trên khoảng xác định:

a yln

x 1 x 1

|

11

x2  

d ylntgx

xsin2

xcos

2

f yln

x cos x sin

axsin





Bài tập 1: Tính đạo hàm của các hàm số:

x 1

Bài tập 3: Tính đạo hàm của các hàm số:

a y(sinx)cosx b y(cosx)sinx

Bài tập 4: Tính đạo hàm của các hàm số:

a y

x cos

x cos 1

x cos 1

chủ đề 3 đạo hàm cấp cao

Vấn đề 1: tính đạo hàm cấp k của hàm số

Sử dụng định nghĩa về đạo hàm cấp cao

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau :

x1

x



=

2 2

x1

x1



,

y'' =

, 2 2

x 1

x 1

2

x1

)x1(x)x21(x1x4

)'ff'

y" =

, v

u

v ' u u ln ' v

u

v ) ' u ( ' v ' uu 2 v ' uu u ln ' v u

v ' u u ln '

Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng hàm số y = acosx + bsinx, trong đó a, b là các hằng

số tuỳ ý, thoả mãn phơng trình y'' + y = 0

Giải

Lấy đạo hàm liên tiếp hai lần, ta đợc :

y' = asinx + bcosx, y'' = acosxbsinx = y

2 0 0

x x khi c ) x x ( b ) x x ( a

x x khi ) x (

cũng có đạo hàm cấp hai

f' 0 , f'( x0) = b và c = f(x0)

Vấn đề 2: tìm công thức đạo hàm cấp n của hàm số

Ta thực hiện theo các bớc sau :

Bớc 1: Tính f'(x), f''(x) (đôi khi cần tính tới f(3)(x), f(4)(x))

Bớc 2: Dự đoán công thức tổng quát f(n)(x)

Bớc 3: Chứng minh công thức dự đoán bằng phơng pháp quy nạp

)!

1n()1(  

i n

C u(i).v(ni)

Ví dụ 1: Cho hàm số :

y = x3.Tính đạo hàm cấp 4, cấp 5, cấp n

x

!n.)1(



Ví dụ 3: Cho hàm số :

y = ex.Tính đạo hàm cấp n của hàm số

Giải

Ta có :

y' = ex ; y'' = ex

Bằng quy nạp ta chứng minh đợc :

Thật vậy :

y(k + 1) = [y(k)]' = [sin(x + k

2

)]' = cos(x + k

2

) = sin(x + k

2

 +

Chú ý : Nh vậy, chúng ta đã làm quen đợc với việc xác định công thức tính

đạo hàm cấp n của một số hàm cơ bản Việc mở rộng các công thức đó dựatrên kết quả của định lí sau :

Định lí : Chứng minh rằng nếu hàm số f(x) có đạo hàm cấp n, thì :

Ví dụ 5: Cho hàm số :

y =

2xx

3x

2







a Tìm a, b sao cho y =

1x

a

 +

2x

3x

2





 =

)2x)(

1x(

3x5

a

 +

2x

2

5 b

a  





 7 b

7

 

1x

2 1

2 1

)2x(

!n.)1(

)1x(

!n.)1(

1, đúng

)2x(

!k.)1(

)1x(

!k.)1(

1 k

)2x(

)!

1k.(

)1(

1 k

)1x(

)!1k.(

)1(

k 1

k k

) 1 x (

! k ) 1 ( 2 )

2 x (

! k ) 1 ( 7

1 k

1 k

)2x(

)!

1k.(

)1(

1 k

)1x(

)!

1k.(

)1(

)2x(

!n.)1(

)1x(

!n.)1(

Ví dụ 6: Cho hàm số :

y = ln

bxa

bxa



 Tính y(n)

Giải

Lấy đạo hàm ta có :

y' =

bxa

bxa

bxa

bxa(

ab2



bxa

b

 +

bxa

n

) bx a (

b )!

1 n (

) 1 (

n

) bx a (

) b ( )!

1 n (

) 1 (

)bxa(

)1(





 bx )na (

2

)

Do đó :

y = sin2x =

2

1(1cos2x) =

2

1[1 + sin(2x

2

)]

) = sin2x,

y'' = 2sin(2x +

2

) và y(3) = 22sin(2x + 2

2

),

Dự đoán :

y(n) = 2n1sin[2x + (n1)

2

]

Ta chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp  Đề nghị bạn đọc tự làm.

Tiếp theo, vì :

cos2x + sin2x = 1 = hằng số