Các khái niệm mở đầu về đạo hàm

Đạo hàm và các khái niệm mở đầu. Tài liệu dùng cho HS 11 và 12.

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa” ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG PHẦN I: ĐẠO HÀM Học Toán theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 Mơc lục Chủ đề Điịnh nghĩa ý nghĩa đạo hàm Tóm tắt lý thuyết Vấn đề 1: Tính đạo hàm hàm số điểm - Dạng I Vấn đề 2: Tính đạo hàm hàm số điểm - Dạng II Vấn đề 3: Tính đạo hàm hàm số điểm - Dạng III Vấn đề 4: Tìm điều kiện tham số để hàm số có đạo hàm điểm Vấn đề 5: Tính đạo hàm hàm số khoảng Chủ đề Các quy tắc tính đạo hàm Đạo hàm hàm số sơ cấp Tóm tắt lý thuyết Vấn đề 1: Tính đạo hàm việc sử dụng quy tắc đạo hàm hàm số sơ cấp Vấn đề 2: Tính đạo hàm hàm số y=f(x) Vấn đề 3: Tính đạo hàm hàm số y=loga(x)b(x) Vấn đề 4: Tính đạo hàm hàm số y=[u(x)]v(x) Chủ đề Đạo hàm cấp cao Tóm tắt lý thuyết Vấn đề 1: Tính đạo hàm cấp k hàm số Vấn đề 2: Tìm công thức đạo hàm cấp n Phần I - đạo hàm chủ đề định nghĩa ý nghĩa đạo hàm A Tóm tắt lí thuyết Số gia đối số số gia hàm số Cho hàm số y f(x) xác định khoảng (a, b) Giả sử x0 x(x x0) hai phần tư cđa (a, b) Khi ®ã:  x x x0, đọc đenta x, đợc gọi số gia đối số điểm x0 yf(x)f(x0)f(x0 + x)f(x0), đợc gọi số gia tơng ứng hàm số điểm x0 Đạo hàm điểm Định nghĩa 1: Ta cã: f '(x0) lim x  lim x x f (x  x)  f (x ) y  lim  x  x x f ( x)  f ( x ) x x0 Đạo hàm phía Ta có: a Đạo hàm bên trái hàm số yf(x) điểm x0, kí hiệu f '( x ), đợc định nghĩa : f (x) f (x ) y f '( x 0 ) lim  lim x  x0 x   x x x b Đạo hàm bên phải hàm số yf(x) điểm x0, kí hiệu f '( x ), đợc định nghĩa : f ( x)  f (x ) y f '( x  ) lim  lim x  x0 x   x x x  Định lí : Hàm số yf(x) có đạo hàm điểm x0 thuộc tập xác định nó, nÕu vµ chØ nÕu f '( x 0 ) vµ f '( x ) tồn Khi ®ã ta cã : f '(x0)f '( x )f '( x ) Đạo hàm khoảng Định nghĩa : Hàm số y f(x) đợc gọi có đạo hàm khoảng (a, b) , có đạo hàm điểm khoảng Kí hiệu f '(x) hay y' Ta gọi f '(x) đạo hàm f(x) khoảng (a, b) Định nghĩa : Hàm số y f(x) đợc gọi có đạo hàm đoạn a, b, có đạo hàm khoảng (a, b), có đạo hàm bên phải a, bên trái b Chú ý : Về sau ta nói hàm số y f(x) có đạo hàm, mà không nói rõ khoảng nào, điều có nghĩa đạo hàm tồn với giá trị thuộc tập xác định hàm số đà cho Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số Định lí : Hàm số y f(x), xác định khoảng (a, b), liên tục điểm xO (a, b) nÕu vµ chØ nÕu : lim y 0 x  Chøng minh ThËt vËy, ta cã : lim f ( x)  f(xO)  lim [f(x)  f(xO)] 0  lim y  x x x x x  0 0 Nhận xét: Nh vậy, tới ghi nhận thêm đợc cách khác để chứng minh hàm số y = f(x) liên tục điểm x0 Định lí : Nếu hàm số y f(x) có đạo hàm điểm x liên tục x0 Chứng minh Theo giả thiết, ta cã : lim x  y f'(x0) x Do ®ã lim y  lim ( y x)  lim y lim x f x  x x  x x  '(x0).00 VËy, hµm sè yf(x) liên tục điểm x0 x Chú ý: Kết định lí đợc sử dụng nhiều toán " Tìm điều kiện tham số để hàm số có đạo hàm điểm xx0 " Mệnh đề đảo định lí không đúng, nghĩa hàm số liên tục điểm x0 đạo hàm điểm Để minh hoạ ta xét hàm số : yf(x)x điểm x0 0, ta có: lim f (x )  lim x0 f(0)0 vµ x x Vậy, hàm số đà cho liên tục điểm x0 Mặt khác, ta có: y  f(0 x  x  + x)f(0)x Do ®ã: lim x   y 1 vµ x lim x   y 1 x  y | x |  x x y không tồn x x lim hàm số yx đạo hàm x00 Nh vậy, hàm số không liên tục x0 đạo hàm điểm ý nghĩa hình học đạo hàm 6.1 ý nghĩa hình học đạo hàm Định lí : Nếu hàm số yf(x) có đạo hàm x0 đồ thị (C) hàm số có tiếp tuyến điểm M0 (x0, f(x0)) hệ số góc tiÕp tun víi (C) t¹i M0 b»ng f '(x0) 6.2 Phơng trình tiếp tuyến điểm M0 y (C) Định lí : Phơng trình tiếp tuyến ®iĨm M 0(x0, y0) cđa ®êng cong f(x0 + x) yf(x) lµ: M yy0 f'(x0)(x x0) f(x0) y M0 T B phơng pháp giải toán x Vấn đề 1: cách tính đạo hàm Ođịnh nghĩa xDạng x0 + x Ix Cho hàm số: yf(x) Để tính đạo hàm hàm số định nghĩa điểm x0, ta xác định : f (x) f (x ) f '(xO) lim x x0 x  x0 Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số sau điểm x01 : f(x)2x2 Gi¶i Ta cã : f ( x)  f (1) (2 x  1)  (2  1)  f '(1) lim  lim x x x x 2x  lim x x  2( x  1)  = lim x Chú ý: Nh vậy, việc tìm đạo hàm định nghĩa liên quan mật thiết với toán tính giới hạn hàm số Do đo, em học sinh cần ôn lại ph ớng pháp tính giới hạn với dạng giới hạn Ví dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số sau điểm x0: f(x)x Giải Ta cã : f '(0) lim x lim x ( e x  1)  (e  1)  x x f (x)  f (1)  x lim e x  = x Ví dụ 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số sau điểm x0 f(x)x2sinx : Gi¶i Ta cã :  2 f (x)  f ( ) x  sin x  1  lim f '(  ) lim     x x x x 2 2  sin x  lim lim ( x  ) + x  x    x    2         2 L1 L2 (1) Với L1, ta đợc L1 Với L2, b»ng phÐp ®ỉi biÕn t L2 lim  x, ta ®ỵc :   t)  cos t  lim  t t  t  sin( lim t t sin (2) t 2 0 (3) t 4  2 Thay (2), (3) vào (1), ta đợc : f '( ) Nhận xét: Nh vậy, lời giải để tính đạo hàm cần xác định giá trị giới hạn dạng đà tách thành hai giới P ( x) hạn (bao gồm dạng lợng giác) để đa dạng đơn giản Q( x ) t Vấn đề 2: cách tính đạo hàm định nghĩa Dạng II Cho hàm số: f ( x ) x  x  f(x)  f ( x ) x  x §Ĩ tính đạo hàm hàm số định nghĩa điểm x0, ta xác định : f (x)  f (x ) f (x)  f2 (x )  lim x  x0 x  x0 x x0 x x0 VÝ dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số sau điểm x00: f '(xO) lim  cos x x 0  x  f(x) x Giải Hàm số f(x) xác định lân cận x00 Ta cã: sin x  cos x f ( x)  f ( 0)  lim  xlim   x 2 x x x x2 4  2 f '(0) lim VÝ dơ 2: Cho hµm sè :  1   1 x x  f(x)  1 x  2  x 0 a Chứng minh f(x) liên tục x0 b Tính đạo hàm, có, f(x) điểm x0 Gi¶i a Ta cã : lim f(x) lim  x x 1 x x  xlim 0  (1  x ) x(1   x )  xlim 0  1 1 x f(0) Vậy, hàm số f(x) liên tục x0 b Ta cã : f ( x)  f ( 0)  x x f lim x '(0) lim 1 lim x 1 x  x  x  x  1 x 2x2  x  2(  x   x ) Ví dụ 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm cđa hµm sè :  lim  x f(x)   0  cos x x  x điểm x00 Giải Hàm số f(x) xác định lân cận x00 Ta cã : f '(0) lim x f ( x)  f ( 0)  lim x cos x x x Ta cã: - Với x thuộc lân cận điểm lu«n cã : x.cos   x  x x.cos x x x - Mặt khác lim (x) lim x0 x x Suy : lim x cos x 0  f '(0) x NhËn xÐt: Nh vËy, lêi gi¶i để tính giới hạn đà sử dụng nguyên lí bị chặn để thực Vấn đề 3: cách tính đạo hàm định nghĩa Dạng III Cho hµm sè : f ( x ) x  x  f(x)  f ( x ) x x Để tính đạo hàm hàm số định nghĩa điểm x 0, ta thực theo bớc: Bớc 1: (Đạo hàm bên trái) TÝnh : f (x)  f (x ) f '( x 0 ) lim x  x0 x x Bớc 2: (Đạo hàm bên phải) Tính : f (x)  f (x ) f '( x  ) lim x  x x x  0 Bíc 3: §¸nh gi¸ f'( x 0 )f'( x  ), tõ ®ã ®a lêi kÕt ln VÝ dơ 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số: x f(x) | x | điểm x00 Giải Viết lại hàm số dới dạng: x x  f(x)  x   1  x x  x  Hµm sè f(x) xác định lân cận x00 Ta có : Đạo hàm bên trái hàm số điểm x00 f x f ( x ) f ( 0)  lim  x  lim x  x   x  1 x x x '(0) lim 1  Đạo hàm bên phải hàm số điểm x00 f '(0 x f ( x )  f ( 0)  lim  x  lim x x  x x x 0 x ) lim + 1 NhËn xÐt r»ng: f '(0)f '(0 + )1 Vậy, hàm số yf(x) có đạo hàm điểm x00 f '(0)1 Chú ý Chúng ta cã thĨ tÝnh mét c¸ch trùc tiÕp nh sau : x f f ( x)  f ( 0)  xlim  1 | x | x x '(0) lim  xlim 0 x 1 VÝ dơ 2: Cho hµm sè: 1 | x | y x  | x  | 3x a Chứng minh hàm số liên tục x3 b Tính đạo hàm hàm số điểm x3 Giải Viết lại hàm số dới dạng :  x2  2x   3x   f(x)  x   a  2x  3x   x  x   3 Ta cã: lim f (x)  lim x  | x  |  f(3) x  x  10 3x  Do ®ã, hàm số liên tục x3 b Ta có: Đạo hàm bên trái hàm số điểm x03 f (x)  f (  3)  13 x 100 x Đạo hàm bên phải hàm số điểm x03 f '(3) lim   f (x )  f ( 3)  53 x 3 100 x   + NhËn xÐt r»ng f '(3 )  f '(3 ) Vậy, hàm số đạo hàm x3 f '(3 + ) lim Vấn đề 4: Tìm điều kiện tham số để hàm số có đạo hàm điểm Cho hàm số : f ( x )  f(x)  f ( x ) x  x0 x x Để tìm điều kiện tham số cho hàm số có đạo hàm điểm x 0, ta thực hiƯn theo c¸c bíc sau : Bíc 1: XÐt tÝnh liên tục hàm số điểm x0 (1) Bớc 2: (Đạo hàm bên trái) Tính : f '( x 0 ) lim x  x 0 f (x)  f (x ) x  x0 Bíc 3: (Đạo hàm bên phải) Tính : Bớc 4: f (x)  f (x ) x  x0 x x Hàm số có đạo hàm điểm x0 khi: f '( x  ) lim f'( x 0 )f'( x  ) (2) Bíc 5: Giải (1) (2) đa lời kết luận VÝ dơ 1: Cho hµm sè: x x 1  f(x)   x  ax b Tìm a, b để f(x) có đạo hàm điểm x1 Giải Để hàm số f(x) có đạo hàm điểm x1, trớc hết f(x) phải liên tục x1, : lim f(x) lim f(x)f(1) a + b1  b1a x 1 x  (1) Đạo hàm bên trái hàm số yf(x) điểm x1 f ( x) f (1) f '(1) lim  lim x  2 x x x x  1  Đạo hàm bên phải hàm số yf(x) điểm x1 f (x )  f (1) f '(1 + ) lim  lim ax  b   lim  x x x  x x ax   a  x a Hàm số yf(x) có đạo hàm ®iÓm x1  f '(1)f '(1 + )  a2 (2) Thay (2) vào (1), ta đợc b1 Vậy, hàm số có đạo hàm điểm x1, nÕu a2, b1 VÝ dơ 2: Cho hµm sè : p cos x  q sin x x   f(x)  x  px q Tìm p, q để f(x) có đạo hàm điểm x0 Giải Để hàm số f(x) có đạo hàm điểm x0 f(x) phải liên tục điểm x0, : 10 y'(cotgx)' b sin x Biến đổi hàm số d¹ng: y  1  1  cos x   1  cos2 x 2   2 2 2 1 x   cos 2 2 1  2 cos2 2 x  1 x  cos 2  cos2 x cos x 8 Do ®ã: y'( cos x )' sin x 8 VÊn ®Ị 2: TÝnh đạo hàm hàm số y = |f(x)| Để tính đạo hàm hàm số yf(x) miền E cho f(x)  ta lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc hiƯn theo c¸c bíc sau: Bớc 1: Viết lại hàm số dới dạng: y f ( x) Bớc 2: Ta đợc: f ' ( x ).f ( x ) f ' ( x ).f ( x ) y’  | f (x) | f (x) C¸ch 2: Thùc hiƯn theo c¸c bớc sau: Bớc 1: Viết lại hàm số dới dạng: f (x) víi f ( x ) 0  y  víi f ( x )   f ( x ) Bớc 2: Ta đợc: f ' (x) víi f ( x )   y’  víi f ( x )   f ' ( x ) Ví dụ 1: Tính đạo hàm hàm số sau điểm x 1: y|x  1| Gi¶i Ta cã thĨ lùa chän hai cách trình bày sau: Cách 1: Viết lại hàm số dới dạng: y (x 1) Ta đợc: 2( x 1)'.( x 1) x 1 víi x   y’  =  víi x   ( x  1) | x  1| C¸ch 2: Viết lại hàm số dới dạng: x víi x   y  víi x 1 x Ta đợc: với x   y’  víi x  19 Ví dụ 2: Tính đạo hàm hàm số sau điểm x + k, kZ: y | cos x | Giải Viết lại hàm số dới dạng: 1 y  , | cos x | cos2 x Khi ®ã:     cos x  y'    tgx '  ( cos x )'  cos2 x  sin x cos x cos2 x cos2 x tgx | cos x | cos x VÝ dơ 3: Cho víi x 0, a > Tính đạo hàm hàm sè:   g(x) ln x2 a x 1 , Giải Ta xét hai trờng hợp: Trờng hợp 1: Với x > 0, ta đợc: g(x)ln x  a , x Khi ®ã:  1   g'(x)  x  a   x  x ' x a  x2  x2  a x 1 x a x x2  a  a x(1  x2  a ) Trờng hợp 2: Với x < 0, ta đợc:  g(x)ln     Khi ®ã: 20 1 x  (1  x  a )  x2  a   x  ,  ... để hàm số có đạo hàm điểm Vấn đề 5: Tính đạo hàm hàm số khoảng Chủ đề Các quy tắc tính đạo hàm Đạo hàm hàm số sơ cấp Tóm tắt lý thuyết Vấn đề 1: Tính đạo hàm việc sử dụng quy tắc đạo hàm hàm... 2: Tính đạo hàm hàm số y=f(x) Vấn đề 3: Tính đạo hàm hàm số y=loga(x)b(x) Vấn đề 4: Tính đạo hàm hàm số y=[u(x)]v(x) Chủ đề Đạo hàm cấp cao Tóm tắt lý thuyết Vấn đề 1: Tính đạo hàm cấp k hàm số... x lim hàm số yx đạo hàm x00 Nh vậy, hàm số không liên tục x0 đạo hàm điểm ý nghĩa hình học đạo hàm 6.1 ý nghĩa hình học đạo hàm Định lí : Nếu hàm số yf(x) có đạo hàm x0 đồ thị (C) hàm số có