TÓM TẮT KHIẾN THỨC TOÁN THPT

1 Phần – ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Các tập hợp số học  Tập số tự nhiên: N = {0, 1, 2, 3, …} N* = {1, 2, 3, …}  Tập số nguyên: Z = {…, –2,–1, 0, 1, 2, …} a  Tập số hữu tỉ: Q = { / a, b  Z, b ≠ 0} b  Tập số thực: R (gồm số hữu tỉ vô tỉ) Q R Z N Các tập R Khoảng: (a; b)   x  R / a  x  b (a; )   x  R / a  x (; b)   x  R / x  b Đoạn: [a; b]  x  R / a  x  b //////////(––––––––––)///////> a b //////////(–––––––––––––––> a ––––––––––––––––)///////> b //////////[––––––––––]///////> a Nửa khoảng: [a; b)  x  R / a  x  b (a; b]  x  R / a  x  b b //////////[––––––––––)///////> a b //////////(––––––––––]///////> a b [a; )  x  R / a  x //////////[–––––––––––––––> [a; )  x  R / a  x ––––––––––––––––]///////> a Các phép toán tập hợp Phép toán Định nghĩa Phép giao A  B = {x/ x  A x  B} b Biểu đồ Ven B A C AB Phép hợp A  B = {x/ x  A x  B} B A C=AB Phép trừ B A A \ B = {x/ x  A x  B} C=A\B Phần bù B A CAB = A \ B với B  A C AB Dấu hiệu chia hết Số chia hết cho Nhận biết Chữ số cuối số chẵn Tổng chữ số chia hết cho Hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho Chữ số cuối Đồng thời chia hết cho Ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho Tổng chữ số chia hết cho Các đẳng thức đáng nhớ 1) ( A  B)2  A2  AB  B ; 2) ( A  B)2  A2  AB  B ; 3) A2  B  ( A  B)( A  B); 4) ( A  B)3  A3  A B  AB  B ; 5) ( A  B)3  A3  A B  AB  B ; 6) A3  B  ( A  B)( A  AB  B ) 7) A3  B  ( A  B )( A  AB  B )  A2  B2  ( A  B)2  AB  A2  0, A; A2   A   ( A  B  C)2  A2  B2  C  AB  2BC  2CA Phân số a a.m  (m  0); b b.m a b ab    Cộng , trừ: ; m m m  Biến đổi:  Nhân: a c a.c  b d b.d a a:m  (m  0) b b:m a b an  bn   m n mn  Chia:  So sánh: phân số mẫu: a c a d :  b d b c a b  ab m m m m  ab a b a c ab cd a c      b d b d ab cd phân số tử: Tính chất tỉ lệ thức: Trị tuyệt đối:  Định nghĩa: Trị tuyệt đối số x, kí hiệu x khoảng cách từ điểm x tới điểm trục số  Tính chất: x  0, x ; x x   x x  x2 ; x  x  x.y  x y Căn bậc hai: x bậc hai a  x  a  Tính chất: A  0, A A có nghĩa  A  ; A2  A ; A.B  A B ; A : B  A : B ; ( A, B  0) 10 Cơng thức nghiệm phƣơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a  0) (1)   b2  4ac Kết luận >0 (1) có nghiệm phân biệt x1,2  =0 (1) có nghiệm kép x    0) 13 Xét dấu biểu thức bậc f ( x)  ax  b ( a  0) b a ax+b    x trái dấu với a dấu với a 14 Xét dấu biểu thức bậc hai f ( x)  ax2  bx  c ( a  0) 0 0 X f(x) dấu với a X f(x) 0   x1 x2 trái dấu với a dấu với a b 2a dấu với a dấu với a f(x) dấu với a     ax  bx  c  0, x  R   a     ax  bx  c  0, x  R   a    15 Bất phƣơng trình tích  Dạng: P(x).Q(x) > (1)( với P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.)  Cách giải: Lập bảng xét dấu P(x).Q(x) Từ suy tập nghiệm 16 Bất phƣơng trình chứa ẩn mẫu P( x )  Dạng:  (2) (với P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.) Q( x ) P( x ) Từ suy tập nghiệm Q( x ) Chú ý: Không nên qui đồng khử mẫu  Cách giải: Lập bảng xét dấu 17 Phƣơng trình – Bất phƣơng trình chứa ẩn dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất để khử dấu GTTĐ  f ( x)  C1  g( x )  C2   f ( x )  g( x )   Dạng 1: f ( x )  g( x )    f ( x )  g( x )      f ( x )   g( x )   f ( x )    f ( x )   g( x )  f ( x )  g( x )  Dạng 2: f ( x )  g( x )    f ( x )   g( x )  g( x )   Dạng 3: f ( x )  g( x )    g( x )  f ( x )  g( x )   g( x )    f ( x ) có nghóa   Dạng 4: f ( x )  g( x )    g( x )      f ( x )   g( x )    f ( x )  g( x )   Dạng 5: a f ( x )  b g( x )  h( x ) Đối với phương trình có dạng ta thường dùng phương pháp khoảng để giải Chú ý:  A  A  A  0;  A  A  A   A  B  Với B > ta có: A  B  B  A  B ; A  B   A  B  A  B  A  B  AB  ;  A  B  A  B  AB  18 Phƣơng trình – Bất phƣơng trình chứa ẩn dấu Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu ta thường dùng phép nâng luỹ thừa đặt ẩn phụ để khử dấu   g( x )   Dạng 1: f ( x )  g( x )     f ( x )   g( x )  f ( x )  (hoaëc g( x )  0)  Dạng 2: f ( x )  g( x )    f ( x )  g( x )  t  f ( x ), t   Dạng 3: a f ( x )  b f ( x )  c     at  bt  c   u  f ( x ) ; u, v  đưa hệ u, v  Dạng 4: f ( x )  g( x )  h( x ) Đặt  v  g ( x )    f ( x)   Dạng 5: f ( x )  g( x )    g( x )   f ( x )   g( x )2    g( x )   f ( x)    Dạng 6: f ( x )  g( x )    g( x )     f ( x )   g( x )2    Dạng 7: f ( x )  g( x )  f ( x ).g( x )  h( x ) Đặt t  f ( x )  g( x ), t  19 Giải biện luận phƣơng trình ax + b = ax + b = (1) Hệ số Kết luận a0 a=0 (1) có nghiệm x   b0 b=0 (1) vô nghiệm (1) nghiệm với x 20 Một số hệ phƣơng trình thƣờng gặp: * Hệ phương trình bậc hai ẩn b a a1x  b1y  c1  a2 x  b2 y  c2 Giải biện luận: Tính định thức: D  Xét D (a12  b12  0, a22  b22  0) a1 b1 a2 b2 , Dx  c1 b1 c2 b2 , Dy  a1 c1 a2 c2 Kết Hệ có nghiệm  Dy  D  x  x ;y    D D  Dx  Dy  Hệ vô nghiệm Dx = Dy = Hệ có vơ số nghiệm D0 D= Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn ta dùng cách giải biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số * Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai  Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn  Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn  Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai * Hệ đối xứng loại  f ( x, y)  Hệ có dạng: (I)  (với f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x))  g( x , y )  (Khi ta hoán vị x y f(x, y) g(x, y) không thay đổi)  Đặt S = x + y, P = xy  Đưa hệ phương trình (I) hệ (II) với ẩn S P  Giải hệ (II) ta tìm S P  Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình: X  SX  P  * Hệ đối xứng loại  f ( x, y)  (1) Hệ có dạng: (I)  (2)  f ( y, x )  (Khi hoán vị x y (1) biến thành (2) ngược lại)  f ( x, y)  f ( y, x )  (3) Trừ (1) (2) vế theo vế ta được: (I)   (1)  f ( x, y)   Biến đổi (3) phương trình tích: x  y (3)  ( x  y).g( x, y)     g( x , y )   f ( x, y)   f ( x, y)   Như vậy, (I)    x  y  g( x , y )   Giải hệ ta tìm nghiệm hệ (I) * Hệ đẳng cấp bậc hai 2  a x  b xy  c1y  d1 Hệ có dạng: (I)  a x  b xy  c y  d   2 2  Giải hệ x = (hoặc y = 0)  Khi x  0, đặt y  kx Thế vào hệ (I) ta hệ theo k x Khử x ta tìm phương trình bậc hai theo k Giải phương trình ta tìm k, từ tìm (x; y) Chú ý: – Ngồi cách giải thơng thường ta sử dụng phương pháp hàm số để giải – Với hệ phương trình đối xứng, hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) ( y0 ; x0 ) nghiệm hệ Do hệ có nghiệm x0  y0 21 Lƣợng giác  Công thức lƣợng giác: Các công thức bản: sin2 a  cos2 a  tana.cota  1  tan2 a  Công thức hạ bậc:  cos2a sin2 a  cos2 a  cos2   cos2a  cot a  tan2 a  sin2 a  cos2a  cos2a Công thức nhân đôi: sin 2a  2sin a.cos a  sin a.cos a  sin 2a cos2a  cos2 a  sin2 a  cos2 a    2sin2 a Cơng thức biến đổi tổng thành tích: ab ab ab ab sin a  sin b  2sin cos cos a  cos b  cos cos 2 2 sin a  sin b  cos ab ab ab ab sin cos a  cos b   2sin sin 2 2 Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 sin a cos b  [sin(a  b)  sin(a  b)] cos a sin b  [sin(a  b)  sin(a  b)] 2 1 cos a cos b  [cos(a  b)  cos(a  b)] sin a sin b  [cos(a  b)  cos(a  b)] 2 Giá trị lƣợng giác góc có liên quan đặc biệt Hai góc đối Hai góc bù Hai góc  cos( )  cos  cos(   )   cos  sin (   )  sin  sin ( )    b phương với a   k  R: a  kb  Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB: xI   Toạ độ trọng tâm G ABC: xG  x A  xB  xC ; yG  x A  xB y y ; yI  A B 2 y A  yB  yC 3 II Phƣơng trình đƣờng thẳng Một đường thẳng hồn tồn xác định biết điểm   VTCP u VTPT n y  n y0 M0  u   M O x0 x Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng  Cho  qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u  (u1; u2 )  x  x0  tu1 Phương trình tham số :  (1) ( t tham số)  y  y0  tu2 Phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng  Cho  qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTPT n  (a; b) Phương trình tổng quát  là: a( x  x0 )  b(y  y0 )  Nhận xét: Nếu  có phương trình dạng tổng qt ax  by  c    (a2  b2  0)  có VTPT n  (a; b) VTCP u  (b; a) 31