Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng hợp lý thuyết trong chương trình THPT gồm: Lượng giác, đạo hàm, tích phân, phương pháp tọa độ trong không gian, phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, số phức,...Phương pháp giải một số dạng toán cụ thể trong chương trình 12
ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH Bất đẳng thức Cauchy • a, b ≥ a + b ≥ ab , dấu “=” xảy a = b • a1,a2 , ,an ≥ a1 + a2 + + an ≥ n n a1a2 an , dấu “=” xảy a1 = = an Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối a − b ≤ a+b ≤ a + b Bất đẳng thức Bunhiacopski 2 2 • ( a1b1 + a2b ) ≤ ( a1 + a2 ) ( b1 + b ) , dấu “=” xảy a1 a2 = b1 b2 a a a 2 n 2 2 • ( a1b1 + + anbn ) ≤ ( a1 + + an ) ( b1 + + bn ) , dấu “=” xảy b = b = = b n Đại số tổ hợp • Hoán vị: Pn = n! = n(n – 1)…2.1 n! k • Chỉnh hợp: A n = n − k ! ( ≤ k ≤ n ) ( ) n! k • Tổ hợp: Cn = k! n − k ! ( ≤ k ≤ n ) ( ) k n −k • Tính chất: (a) Cn = Cn ; k k k −1 (b) Cn +1 = Cn + Cn ( ≤ k ≤ n ) • Nhị thức Newton + ( a + b ) = Cn0 an + C1n an −1b + + Cknan −k bk + + Cnnbn , Tk +1 = Cnk an−k bk n + ( + x ) = Cn0 + C1n x + Cn2 x + + Cnn x n n + ( − x ) = Cn0 − C1n x + Cn2 x − + ( −1) Cnn x n n n Tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) a > a < f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ≤ ∆ ≤ x1 < α < x ⇔ af ( α ) < ∆>0 α < x1 < x ⇔ af ( α ) > S > α 2 -1- α nghiệm f(x) f(α) = ∆>0 x1 < x < α ⇔ af ( α ) > S < α ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH Hệ phương trình hai ẩn • Hệ phương trình đối xứng loại x, y + Định nghĩa: Mỗi phương trình hệ không đổi thay x y y x S = x + y + Cách giải: + Đặt P = xy , đưa hệ cho hệ ẩn S, P + Giải hệ tìm S, P x, y nghiệm pt X2 – SX + P = Chú ý: Hệ có nghiệm (x,y) S2 – 4P ≥ • Hệ phương trình đối xứng loại x, y + Định nghĩa: Là hệ mà thay x y thay y x phương trình hệ trở thành phương trình ngược lại + Cách giải: Biến đổi hệ cách trừ hai vế pt cộng hai vế pt • Hệ phương trình đẳng cấp: Cách giải: + Xét riêng trường hợp x = có thỏa hệ phương trình + Với x ≠ 0, đặt y = tx, vào hệ, chia vế phương trình, giải tìm k, từ suy x, y Phương trình – bất phương trình chứa thức GTTĐ PT – BPT chứa thức A ≥ A = B⇔ A = B PT – BPT chứa GTTĐ A ≥ A < B⇔ A < B A = B A =B ⇔ A = −B A ≥ A < B ⇔ B > A < B2 B ≥ A =B⇔ A = B B < A =B ⇔ A ≥ A >B⇔ B ≥ A > B2 Cấp số cộng cấp số nhân -2- A < B ⇔ A < B2 A > B A >B⇔ A < −B B ≥ A = B A = −B A < B A −B ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH Cấp số cộng Cấp số nhân un +1 = un + d ( n ≥ 1) Định nghĩa un +1 = un q ( n ≥ 1) d: công sai Số hạng tổng quát un = u1 + (n – 1)d uk = Tính chất Tổng n số hạng q: công bội un = u1.qn-1 uk − + uk + ( k ≥ 2, k ∈ ¢ ) uk2 = uk −1.uk +1 ( k ≥ 2, k ∈ ¢ ) − qn ( q ≠ 1) 1− q u S = u1 + + un + = 1− q n ( u1 + un ) n Sn = 2u1 + ( n − 1) d Sn = u1 Sn = ( q < 1) Các công thức lũy thừa logarit Các công thức lũy thừa Các công thức logarit Cho a, b > ; α,β tùy ý Khi đó: Cho số dương a, b, b1, b2, c a, c ≠1, α tùy ý Khi đó: + aα aβ = a α+β + logab = α aα = b aα + loga1 = , logaa = + β = aα−β a + aα loga b = b α α β αβ α + (a ) =a + loga ( a ) = α α + loga(b1b2) = logab1 + logab2 + ( ab ) = a α b α α a a + ÷ = α b b + Nếu a > α a α > aβ ⇔ α > β + loga b1 b2 = loga b1 − loga b α + loga b = β α β loga b ( β ≠ 0) + Nếu < a < a α > aβ ⇔ α < β + loga n b = loga b + Nếu < a < b ta có: n < bm ⇔ m > m m a >b ⇔m 0) + Logarit tự nhiên: lnb = logeb b + n a = p b ( a) n p ( a > 0) -3- ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 10 Hàm số mũ y = ax hàm số logarit y = logax (0 < a 1) Hàm số logarit y = logax Hàm số mũ y = ax TXĐ D=R D = (0; +∞) Tập giá trị T = (0; +∞) T=R Tính đơn điệu Hàm số đồng biến a > 1, nghịch biến < a < Hàm số đồng biến a > 1, nghịch biến < a < + ax > ∀x∈R + Với a > + Với a > Tính chất an > am ⇔ n > m ( m,n ∈ ¡ ) + Với < a < an > am ⇔ n < m ( m,n ∈ ¡ Đồ thị hàm số qua điểm (0;1) Đồ thị ) loga b > loga c ⇔ b > c > + Với < a < loga b > loga c ⇔ < b < c + Đồ thị hàm số qua điểm (1;0) 11 Phương trình – bất phương trình mũ logarit PT – BPT mũ a a f( x) a( f x) f ( x) =a >a g( x ) g( x ) PT – BPT logarit b > =b ⇔ f ( x ) = loga b loga f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = ab a > ⇔ ( a − 1) ( f ( x ) − g ( x ) ) = 0 < a ≠ loga f ( x ) = loga g ( x ) ⇔ f ( x ) > f ( x ) = g ( x ) a > ⇔ ( a − 1) f ( x ) − g ( x ) > 0 < a ≠ f ( x) > loga f ( x ) > loga g ( x ) ⇔ g( x ) > ( a − 1) f ( x ) − g ( x ) > 12 Một số phương pháp giải phương trình – bất phương trình mũ -4- ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 12.1 Phương pháp logarit hóa •a f ( x) f ( x) = log a bf ( x ) f ( x ) = g ( x ) log a b = bg( x ) log a a • a f ( x ) > bg( x ) log a f ( x ) > log b f ( x ) f ( x ) log a > g ( x ) log b (Có thể lấy logarit theo số a b, ý so sánh giá trị a, b với 1) 12.2 Phương pháp đặt ẩn phụ Dạng 1: α k a k.f ( x ) + α k −1a ( k −1) f ( x ) + α1a f ( x ) + α = (1) • Đặt t = a f ( x ) , điều kiện t > 0, ta được: • (1) α k t k + α k −1t k −1 + α1t + α = Dạng 2: α1a f ( x ) + α bf ( x ) + α3 = (2), với a.b = 1 f ( x) = , ta được: • Đặt t = a f ( x ) , t > 0, suy b t α • (2) α1t + + α3 = α1t + α t + α = t f x Dạng 3: α1a 2.f ( x ) + α ( ab ) ( ) + α b 2.f ( x ) = (3) Chia hai vế phương trình (3) cho b 2.f ( x ) > 0, ta được: 2.f ( x ) f ( x) a a (3) α1 ÷ + α2 ÷ + α3 = b b Dạng 4: Sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ hệ số chứa x, thường ta phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc theo ẩn x) có biệt số ∆ số phương 12.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Dạng 1: Chuyển phương trình dạng f(x) = k (4) • Xét tính đơn điệu hàm số y = f(x) (tính đạo hàm f’(x)), giả sử f(x) đồng biến • Tìm giá trị x0 cho f(x0) = k • Với x = x0 f(x) = f(x0) = k => x = x0 nghiệm pt (4) • Với x > x0 f(x) > f(x0) = k => phương trình (4) vô nghiệm • Với x < x0 f(x) < f(x0) = k => phương trình (4) vô nghiệm -5- ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH Chú ý: Có thể chuyển phương trình dạng f(x) = g(x) hàm y = f(x) đồng biến hàm y = g(x) nghịch biến hàm Dạng 2: Chuyển phương trình dạng f(u) = f(v) (5) • Xét tính đơn điệu hàm số y = f(x) • Khi (5) u = v Dạng 3: : Chuyển bất phương trình dạng f(x) > k (6) • Xét tính đơn điệu hàm số y = f(x), giả sử f(x) nghịch biến • Tìm giá trị x0 cho f(x0) = k • Với x = x0 f(x) = f(x0) = k => bất phương trình (6) vô nghiệm • Với x > x0 f(x) < f(x0) = k => bất phương trình (6) vô nghiệm • Với x < x0 f(x) > f(x0) = k => x > x0 nghiệm bpt (6) Dạng 4: Chuyển bất phương trình dạng f(u) < f(v) (7) • Xét tính đơn điệu hàm số y = f(x), giả sử hàm số đồng biến • Khi (7) u < v Chú ý: Ngoài phương pháp ta biến đổi phương trình dạng tích, sử dụng phương pháp đánh giá để giải 13 Một số phương pháp giải phương trình – bất phương trình logarit 13.1 Phương pháp đặt ẩn phụ Dạng 1: Đặt t = logaf(x), với f(x) > k k • log a f ( x ) = t , • log f ( x ) a = (với < f(x) ≠ 1) t Dạng 2: Đặt t = a log b f ( x ) t = f ( x ) log b a Dạng 3: Sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ hệ số chứa x, thường ta phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc theo ẩn x) có biệt số ∆ số phương 13.2 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Xem mục 12.3 -6- ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 14 Quy tắc tính đạo hàm • (u ± v)′ = u′ ± v′ • (uv)′ = u′v + v′u u ′ u′v − v′u • ÷= (v ≠ 0) v v2 • (ku)′ = ku′ • Đạo hàm hàm hợp: Cho g = f u ( x ) ⇒ g' x = f 'u u' x • Bảng đạo hàm (c)’ = 0, c – số (x)′ = (xn)′ = n.xn–1 ( n ∈ ¥ , n > 1) (u(x)n)′ = n.un–1.u’ ( n ∈ ¥ , n > 1) ( x ) ' = 1x ( u ) ' = 2u'u 1 x ÷' = − x u' 1 u ÷' = − u (sinx)′ = cosx (sinu)′ = cosu.u’ (cosx)′ = – sinx (cosu)′ = – sinx.u’ = + tan2 x cos2 x ( t anx ) ' = ( cotx ) ' = − (e )' = e x = − ( + cot x ) sin2 x ( t anu ) ' = u' cos2u ( cotu) ' = − u' sin2 u ( e ) ' = e u' x u u ( a ) ' = a lna ( a ) ' = a lna.u' ( ln x ) ' = 1x ( ln u ) ' = u'u x x ( log a x)'= x lna u u u' ( log u ) ' = ulna a -7- ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 15 Tính đơn điệu – cực trị – gtln – gtnn – tiệm cận hàm số y = f(x) 15.1 Tính đơn điệu: Hàm số (C) y = f(x) xác định D • Hàm số tăng (đồng biến) D y’ ≥ ; ∀x ∈ D • Hàm số giảm (nghịch biến) D y ' ≤ ; ∀x ∈ D • Chú ý : dấu ‘=’ xảy hữu hạn vài điểm 15.2 Cực Trị: Cho hàm số (C): y = f(x) • Hàm số có cực trị y’ có nghiệm y’ đổi dấu x qua nghiệm • Hàm số cực trị y’ nghiệm y’ không đổi dấu f '(x ) = f "(x ) ≠ • Hàm số đạt cực trị x = x0 f '(x ) = f "(x ) < • Hàm số đạt cực đại x = x0 f '(x ) = f "(x ) > • Hàm số đạt cực tiểu x = x0 15.3 GTLN – GTNN • Lập bảng biến thiên hàm số D Từ xác định GTLN – GTNN • Đặc biệt: Khi D = [a;b] hàm số liên tục D ta làm sau: + Bước 1: Tìm y’ Giải y’ = chọn nghiệm x1 ; x2 ; ;xi thuộc [a;b] + Bước 2: Tính f(x1) ; f(x2) ; ; f(xi) ; f(a) ; f(b) + Bước 3: Số lớn (nhỏ nhất) số GTLN (GTNN) 15.4 Tiệm Cận: Cho đường cong (C): y = f(x) lim+ f ( x ) = +∞ x → xo • Nếu lim f ( x ) = −∞ x → xo+ lim f ( x ) = y x →+∞ • Nếu lim f ( x ) = y x →−∞ lim− f ( x ) = +∞ x → xo lim f ( x ) = −∞ x = xO TCĐ (C) x→ xo− y = yO TCN (C) ( y − ( ax + b ) ) = y = ax + b TCX (C) • Nếu xlim →±∞ 16 Các bước khảo sát vẽ đồ thị hàm số • Tìm TXĐ • Tính đạo hàm cấp (y’ = ), giải phương trình y’ = (nếu có) -8- ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH • Tìm giới hạn tiệm cận (nếu có) • Lập bảng biến thiên, kết luận khoảng đơn điệu, cực trị • Vẽ đồ thị nhận xét tính đối xứng 17 Một số toán liên quan đến khảo sát hàm số 17.1 Tìm tham số m để hàm số y = f ( x,m ) = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) đơn điệu tập xác định • Tập xác định D = ¡ • Tính y' = 3ax + 2bx + c a > • Hàm số đồng biến ¡ y' ≥ ∀x ∈ ¡ ∆ ≤ a < • Hàm số nghịch biến ¡ y' ≤ ∀x ∈ ¡ ∆ ≤ 17.2 Tìm tham số m để hàm số y = f ( x,m ) = ax + b đơn điệu cx + d khoảng xác định −d • Tập xác định D = ¡ \ c • Tính y' = ad − cb ( cx + d ) • Hsố đồng biến khoảng xác định y' > ∀x ∈ D ad − cb > • Hsố nghịch biến khoảng xác định y' < ∀x ∈ D ad − cb < 17.3 Tìm tham số m để hàm số y = f ( x,m ) = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) đơn điệu khoảng K • Tính y' = 3ax + 2bx + c • Cách 1: Phương trình y’ = cho nghiệm tốt (do ∆ y' khai được), x = x1 + y’ = x = x2 + Lập bảng biến thiên xét dấu y’ + Sắp xếp khoảng K vào bảng biến thiên để đảm bảo yêu cầu toán -9- ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH • Cách 2: Phương trình y’ = không cho nghiệm tốt , + Hàm số đồng biến K y' ≥ ∀x ∈ K h ( m ) ≥ g ( x ) ∀x ∈ K (1) + Hàm số nghịch biến K y' ≤ ∀x ∈ K h ( m ) ≤ g ( x ) ∀x ∈ K (2) + Lập bảng biến thiên cho hàm y = g ( x ) (hàm không chứa tham số m) + (1) h ( m ) ≥ max g ( x ) ∀x ∈ K + (2) h ( m ) ≤ g ( x ) ∀x ∈ K • Cách 3: Tính ∆ y' + TH1: ∆ y' ≤ , hàm số đơn điệu ¡ (y’ mang dấu a) => Hàm số đơn điệu khoảng K + TH2: ∆ y' > – – – – Khi phương trình y’ = có hai nghiệm pb x1, x2 Lập bảng biến thiên xét dấu y’ Sắp xếp khoảng K vào bảng biến thiên để đảm bảo yêu cầu toán Sử dụng kết mục (so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số α) tìm m 17.4 Tìm tham số m để hàm số y = f ( x,m ) = ax + bx + c ( a ≠ ) đơn điệu khoảng K ( • Tính y' = 4ax + 2bx = 2x 2ax + b ) x = y' = ⇔ • x2 = − b 2a • Nếu x = − b < phương trình y’ = có nghiệm x = 2a x = b • Nếu x = − > phương trình y’ = có ba nghiệm b 2a x=± − 2a • Lập bảng biến thiên xét dấu y’ trường hợp • Sắp xếp khoảng K vào bảng biến thiên để đảm bảo yêu cầu toán • Chú ý: Nên xem xét vận dụng Cách mục 17.3 -10- ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH + Khi đó: I = ∫ ( A sin x + B cos x ) dx + C ∫ • Dạng 10: I = ∫ dx a2 sin x + b2 cos x dx a sin x + b sin x cos x + c.cos x 2 = ∫ ( a tan dx ) x + b tan + c cos x Đặt t = tanx 24 Một số phương pháp tìm nguyên hàm hàm vô tỉ dx • Dạng 1: I = ∫ ( x + a) ( x + b) x + a > đặt t = x + a + x + b x + b > x + a < + Trường hợp 2: Với đặt t = − ( x + a ) + − ( x + b ) x + b < + Trường hợp 1: Với ( • Dạng 3: I = ∫ R ( x, • Dạng 4: I = ∫ R ( x, π π ≤ t ≤ ,a > ) 2 π π a + x ) dx , đặt x = atant , − < t < , a > 2 a π π x − a ) dx , đặt x = ,− ≤ t ≤ ,a > sin t 2 2 • Dạng 2: I = ∫ R x, a − x dx , đặt x = a sin t , − 2 ( x + a ) ( x + b ) dx , đặt • Dạng 5: I = ∫ • Dạng 6: I = ∫ t = x+ a+b , đưa Dạng dx ( λx + µ ) ax + bx + c + Đổi biến t = λ x + µ , toán chuyển I = ∫ dx αx + βx +γ + Biến đổi để áp dụng Dạng 3, Dạng 4, Dạng • Dạng 7: ∫ x−a x+a + Với x ≥ a dx , a > x−a ∫ + Với x < −a x+a ∫ dx = x−a x+a x−a ∫ dx = x −a ∫ dx = a−x x −a -28- x ∫ dx = a x −a ∫ dx − a dx x −a 2 − ∫ dx ∫ x −a x x −a 2 dx ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH • Dạng 8: I = ∫ dx ax + b ± ax + c = b−c ∫( ) ax + b m ax + c dx ( a ≠ ) 25 Số phức • Số i: i2 = -1 • Dạng đại số: z = a + bi, với a, b ∈ R (a phần thực, b phần ảo) • Môđun số phức z = a + bi : z = a +b 2 • Số phức liên hợp z = a + bi : z = a − bi a = c b = d • Hai số phức nhau: a + bi = c + di • Chia hai số phức : a + bi c + di = ( a + bi ) ( c − di ) c +d 2 • Căn bậc hai số thực a < 0: ±i a • Căn bậc hai số phức w = a + bi: x2 − y2 = a Là số phức z = x + yi với z = w ⇔ 2xy = b • Phương trình bậc hai: ax + bx + c = ( a ≠ 0,a,b,c ∈ R ) , ∆ = b − 4ac + Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép (thực): x = − + Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm thực: + Nếu ∆ < phương trình có nghiệm phức: x x 1,2 = 1,2 = −b ± b 2a ∆ 2a −b ± i ∆ 2a • Dạng lượng giác: z = a + bi = r(cosϕ + isinϕ) Với r= a b a + b2 , cos ϕ= , sin ϕ = r r , ϕ = ( Ox,OM) acgumen z • Nhân chia hai số phức dạng lượng giác: Cho z = r(cosϕ + isinϕ), z’ = r’(cosϕ’ + isinϕ’) : + z.z’ = r.r’[cos(ϕ + ϕ’) + isin(ϕ + ϕ’)] + z z' = r r' [ cos ( ϕ − ϕ ' ) + isin ( ϕ − ϕ ' ) ] • Công thức Moa-vrơ: r ( cos ϕ + isin ϕ ) = r n ( cosnϕ + isinnϕ ) n -29- ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH • Căn bậc hai số phức dạng lượng giác z = r(cosϕ + isinϕ) là: ϕ ϕ r cos + isin ÷ 2 ϕ ϕ r cos + π ÷ + isin + π ÷÷ 2 2 -30- LƯỢNG GIÁC Công thức biến đổi Công thức cộng cos ( a + b ) = cosacosb − sina sinb Công thức nhân đôi sin2a = sina cosa cos ( a − b ) = cosacosb + sina sinb cos2a = cos2 a − sin2 a sin ( a − b ) = sina cosb − cosa sinb = 2cos2 a − = − sin2 a tana tan2a = − tan2 a sin ( a + b ) = sinacosb + cosa sinb tana + tanb − tana tanb tana − tanb tan ( a − b ) = + tana tanb tan ( a + b ) = Công thức nhân ba sin3a = sina − sin3 a cos3a = cos3 a − cosa Công thức tổng thành tích a+b a−b sina + sinb = sin cos 2 a+b a −b sina − sinb = 2cos sin 2 a+b a −b cosa + cosb = 2cos cos 2 a+b a −b cosa − cosb = −2sin sin 2 sin ( a + b ) tana + tanb = cosacosb sin ( a − b ) tana − tanb = cosacosb π sina + cosa = sin a + ÷ π sina − cosa = sin a − ÷ 4 π cos a − sina = 2cos a + ÷ 4 Công thức hạ bậc sin2 a = − cos2a + cos2a ; cos2a = 2 Công thức tính theo t = tan sina = x 2t 1- t ; cosa = 1+ t + t2 Công thức tích thành tổng cos ( a + b ) + cos ( a − b ) 2 sina sinb = − cos ( a + b ) − cos ( a − b ) sinacosb = sin ( a + b ) + sin ( a − b ) cosa cosb = -31- LƯỢNG GIÁC Phương trình lượng giác • Các phương trình lượng giác x = α + k2π sin x = sin α ⇔ x = π − α + k2π tan x = tan α ⇔ x = α + kπ cos x = cos α ⇔ x = ±α + k2π cot x = cot α ⇔ x = α + k π • Một số phương trình lượng giác đặc biệt sin x = ⇔ x = kπ + kπ cosx = ⇔ x = k2π sin x = ⇔ x = π / + k2π sin x = −1 ⇔ x = − π + k2π cosx = −1 ⇔ x = π + k2π tan x = ⇔ x = kπ tan x = ⇔ x = π cot x = ⇔ x = + kπ tan x = −1 ⇔ x = − π π cosx = ⇔ x = cot x = ⇔ x = + kπ π π + kπ + kπ cot x = −1 ⇔ x = − π + kπ • Phương trình bậc sinx, cosx: asinx + bcosx = c (1) + Nếu a2 + b2 < c : Phương trình vô nghiệm + Nếu a2 + b2 ≥ c , (1) a a +b 2 sin x + b a +b a sin ( x + α ) = sin β với cos α = a +b 2 c cos x = ;sin α = a + b2 b a + b2 • Phương trình bậc hai sinx, cosx: asin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d (2) + Xét cosx = x = π + kπ có nghiệm phương trình 2 + Với cosx ≠ 0, (2) a tan x + b tan x + c = d ( + tan x ) • Phương trình dạng: a ( sin x ± cos x ) + b sin x cos x = d (3) π + Đặt t = sin x ± cos x = sin x ± ÷ , − ≤ t ≤ => sin x cos x = ± t −1 2 , (3) at ± b t2 − =d -32- HÌNH HỌC Hệ thức lượng tam giác ABC Định lí côsin Công thức tính diện tích tam giác a2 = b2 + c − 2bc cos A b2 = a2 + c − 2ac cosB c = a2 + b2 − 2abcosC S= 1 aha = bhb = chc 2 S= 1 ab sinC = bc sin A = ac sinB 2 S= abc 4R Định lí sin a b c = = = 2R sin A sinB sinC R: Bk đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Công thức đường trung tuyến S = pr S = p ( p − a) ( p − b) ( p − c ) r: Bkính đường tròn nội tiếp ∆ABC p: Nửa chu vi 2b2 + 2c − a2 2a + 2c − b2 mb2 = 2 2a + 2b − c2 mc2 = ma2 = Phương pháp tọa độ mặt phẳng a Hệ tọa độ Oxy r r r r r r a1 = b1 a2 = b2 Cho a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b ) : Cho A ( x A ;y A ) ; B ( xB ;yB ) ; C ( x C ;yC ) : + a ± b = ( a1 ± b1;a2 ± b2 ) x + xB x = A M + M trung điểm AB => y y = A + y B M + ka = ( ka1;ka2 ) ( k ∈ ¡ + G trọng tâm ∆ABC + a=b⇔ r ) r r r r + a cp b ⇔ ∃k ∈ ¡ : a = kb r + a = a12 + a22 rr + a.b = a1b1 + a2b2 + rr r r a.b cos a;b = r r = a b ( ) a1b1 + a2b2 a12 + a22 b12 + b22 r r a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 = x + xB + xC x = A G => y + y B + yC y = A G + ( yB − y A ) uuur uuur + Giả sử AB = ( a1;b1 ) ; AC = ( a2 ;b ) + AB = ( xB − x A ) => S ∆ABC = -33- a1b2 − a2b1 2 HÌNH HỌC b Đường thẳng r ( • Phương trình tổng quát: ax + by + c = VTPT n = ( a;b ) ) r • PTđt qua M(x0; y0) có VTPT n = ( a;b ) : a(x – x0) + b(y – y0) = r x = x + at ,t ∈ ¡ y = y + bt • PT đường thẳng qua M(x0; y0) có VTCP u = ( a;b ) : • Phương trình theo đoạn chắn: x y + =1 a b • PT đường thẳng qua điểm M(x0; y0) có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0 • Chú ý: r r r + ĐT d có VTCP u = ( a;b ) => d có VTPT n = ( −b;a ) n = ( b; −a ) r + ĐT d có hệ số góc k => d có VTCP u = ( 1;k ) • Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng d: ax + by + c = d ( M,d ) = ax + by + c a2 + b2 • VTTĐ hai điểm M, N đường thẳng d: ax + by + c = 0: + M,N phía đối d ( axM + byM + c ) ( axN + byN + c ) > + M,N khác phía đối d ( axM + byM + c ) ( axN + byN + c ) < • PT đường phân giác hai đường thẳng cắt ∆ 1, ∆ với: ∆1 : a1x + b1y + c1 = , ∆ : a2 x + b2 y + c = : c a1x + b1y + c1 a12 + b12 =± a2 x + b2 y + c a22 + b22 Đường tròn • Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R: ( x − a ) + ( y − b ) = R2 2 2 2 • Phương trình x + y − 2ax − 2by + c = ( a + b − c > ) phương trình đường tròn với tâm I(a; b), bán kính R = a + b2 − c • Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tâm I, bán kính R d ( I;d ) = R d Ba đường conic Elip Phương trình (E): Hypebol Phương trình (H): Parabol Phương trình (P): y = 2px -34- ( p > 0) HÌNH HỌC x2 + a2 y2 b2 ( a > b > 0) =1 x2 a2 − y2 b2 =1 c = a2 − b c = a2 + b2 Tiêu điểm: Tiêu điểm: F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) Các đỉnh: Các đỉnh: A ( −a;0 ) , A ( a;0 ) A1 ( −a;0 ) , A ( a;0 ) p 2 Tiêu điểm: F ;0 ÷ Các đỉnh: O(0; 0) B1 ( 0; −b ) , B ( 0;b ) Đdài trục lớn: A1A2 = Đdài trục thực: A1A2 = 2a 2a Trục bé: B1B2 = 2b Trục ảo B1B2 = 2b Tiêu cự: F1F2 = 2c Tâm sai: e = c a 1 PT đường chuẩn: x=± e c PT đường chuẩn: a x=− e Đường tiệm p cận: b y=± x a Bán kính qua tiêu điểm: Bán kính qua tiêu điểm: MF1 = a + MF2 = a − PTTT M(x0; x0 x a + c a c a xM ; MF1 = a + c xM ; a xM MF2 = a − c xM a với y0 y b2 =1 (E) Bán kính qua tiêu điểm: MF = p + xM PTTT với (H) M(x0; PTTT với (P) y0): x x y y M(x0;y0): y y = p ( x + x ) y0): 02 − 02 = a b d: Ax + By + C = tiếp ĐT d: Ax + By + C = ĐT d: Ax + By + C = xúc (E) tiếp xúc (H): tiếp xúc (P): A a2 − B b = C2 A a + B 2b = C pB2 = 2AC -35- HÌNH HỌC Phương pháp tọa độ không gian a Hệ tọa độ Oxyz r r Cho a = ( a1;a2 ;a ) , b = ( b1;b ;b3 ) : C ( x C ;yC ;z C ) a1 = b1 r r + a = b ⇔ a2 = b2 a = b r Cho A ( x A ;y A ;z A ) ; B ( xB ;yB ;zB ) ; + M trung điểm AB r + a ± b = ( a1 ± b1;a2 ± b2 ;a3 ± b3 ) r + ka = ( ka1;ka2 ;ka3 ) ( k ∈ ¡ => ) r + a = a12 + a22 + a32 + G trọng tâm ∆ABC rr + a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 r r ( ) + cos a;b = r a1b1 + a2b2 + a3 b3 r rr + a;b = ( a2b3 − b2a3 ;a3b1 − a1b3 ;a1b − b1a ) r r r r r r r + a cp b ⇔ ∃k ∈ ¡ : a = kb a;b = r r r r + a;b ⊥ a; a;b ⊥ b rr r r rr + a,b,c đồng phẳng a;b c = r r r r r r ( ) + a,b = a b sin a,b b => a + a22 + a32 b12 + b22 + b32 + a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = r r x A + xB xM = y A + yB yM = z A + zB zM = x A + xB + x C x G = y + y A B + yC y G = z A + zB + zC zG = 2 + AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A ) + ABCD tứ diện uuur uuur uuur AB;AC AD ≠ uuur uuur + S ∆ABC = AB; AC uuur uuur + SY ABCD = AB;AC uuur uuur uuur + VABCD = AB;AC AD uuur uuur uuuur + VABCD.A 'B ' C'D ' = AB;AD AA ' Mặt cầu • Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bk R: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 2 • Phương trình x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = với a2 + b2 + c − d > phương trình mặt cầu tâm I(–a; –b; –c), bán kính R = a2 + b2 + c − d 2 -36- HÌNH HỌC c Mặt phẳng r • Phương trình tổng quát: ax + by + cz + d = có VTPT n = ( a;b;c ) r • Phương trình mặt phẳng qua M(x0; y0; z0) có VTPT n = ( a;b;c ) là: a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) = • Phương trình mặt phẳng (α) theo đoạn chắn: x a + y b + z c = ( a,b,c ≠ ) ((α) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)) • Khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến (α): ax + by + cz + d = : d ( M, ( α ) ) = ax + by + cz + d a +b +c 2 • Góc hai mp (α): ax + by + cz + d = (β): a ' x + b ' y + c ' z + d' = là: ( ur u r cos [ ( α ) , ( β ) ] = cos n α ,nβ ) aa '+ bb ' + cc ' = a +b +c 2 a' + b' + c ' 2 2 • Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho mp(α): ax + by + cz + d = (β): a ' x + b ' y + c ' z + d' = + (α), (β) cắt ⇔ a : b : c ≠ a' : b ' : c ' + (α) // (β) ⇔ + (α) ≡ (β) ⇔ a a' a a' = = b b' b b' = = c c' c c' ≠ = d d' d d' + (α) ⊥ (β) ⇔ aa '+ bb '+ cc ' = d Đường thẳng • PTTS đường thẳng d qua điểm M(x0; y0; z0) có VTCP x = x r a = ( a1;a ;a3 ) là: y = y z = z + a1 t + a2 t + a3 t (t∈¡ ) • PTCT đường thẳng d qua điểm M(x0; y0; z0) có VTCP r a = ( a1;a ;a3 ) là: x − x0 a1 = y − y0 a2 = z − z0 a3 ( a ,a • Vị trí tương đối hai đường thẳng ,a ≠ ) r uu r Cho đt d qua M có VTCP a đt d’ qua điểm M’ có VTCP a ' : -37- HÌNH HỌC r ur r a,a ' = d // d′ r uuuur r a,MM' ≠ r ur r a,a ' ≠ d, d′ cắt r ur uuuur a,a ' MM' = r ur r a,a ' = d ≡ d′ r uuuur r a,MM' = r uu r uuuur d, d′ chéo a,a' MM' ≠ • Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng x = x + a1t + Cho mp (α): ax + by + cz + d = đường thẳng d: y = y + a2 t ( t ∈ ¡ z = z + a t ) + Xét phương trình: a ( x0 + a1t ) + b ( y + a2 t ) + c ( z0 + a3 t ) + d = (ẩn t) (*) d // (α) ⇔ (*) vô nghiệm d cắt (α) ⇔ (*) có nghiệm d ⊂ (α) ⇔ (*) có vô số nghiệm • Khoảng cách từ điểm đến đường r Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a điểm M r uuuur a;M0M r Khoảng cách từ M đến đường thẳng d là: d ( M,d ) = a • Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo rd1 d2 uu r d1 qua điểm M1 có VTCP a , d2 qua điểm M2 có VTCP a ' thì: d ( d1;d2 ) r uu r uuuuur a;a' M1M2 = r uu r a;a ' • Chú ý: + Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng (α) song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng (α) + Khoảng cách hai đường thẳng song song d d’ khoảng cách từ điểm M d đến đường thẳng d’ • Góc hai đường thẳng r uu r Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a a ' thì: -38- HÌNH HỌC cos ( d1;d2 ) r ur a.a' r ur = cos a;a' = r ur a a' ( ) • Góc đường thẳng mặt phẳng r r Cho đường thẳng d có VTCP a mặt phẳng (α) có VTPT n thì: sin ( d; ( α ) ) rr a.n rr = cos a;n = r r a.n ( ) -39- ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối .1 Bất đẳng thức Bunhiacopski Đại số tổ hợp Tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) .1 Hệ phương trình hai ẩn Phương trình – bất phương trình chứa thức GTTĐ Cấp số cộng cấp số nhân Các công thức lũy thừa logarit Hàm số mũ y = ax hàm số logarit y = logax (0 < a ≠ 1) Phương trình – bất phương trình mũ logarit Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình logarit Quy tắc tính đạo hàm Tính đơn điệu – cực trị – gtln – gtnn – tiệm cận hàm số y = f(x) .8 Các bước khảo sát vẽ đồ thị hàm số .8 Một số toán liên quan khảo sát hàm số Công thức dời hệ trục Oxy sang hệ trục IXY Bảng nguyên hàm số hàm số 22 Phương pháp tìm nguyên hàm 23 Tích phân .23 Ứng dụng tích phân 23 Một số phương pháp tìm nguyên hàm hàm hữu tỉ 24 Một số phương pháp tìm nguyên hàm hàm lượng giác 25 Một số phương pháp tìm nguyên hàm hàm vô tỉ 28 Số phức 29 LƯỢNG GIÁC Công thức biến đổi 30 Phương trình lượng giác .31 HÌNH HỌC Hệ thức lượng tam giác ABC .32 Phương pháp tọa độ mặt phẳng 32 Phương pháp tọa độ không gian 35 -40- 40,1,38,3,36,5,34,7,32,9,30,11,28,13,26,15,24,17,22,19 20,21,18,23,16,25,14,27,12,29,10,31,8,33,6,35,4,37,2,39