Chuyên đề: Nhận dạng tam giác

CHƯƠNG II: NHẬN DẠNG TAM GIÁC Để làm tốt các loại bài tập này, ta cần nhớ các điều sau:  Nắm vững các công thức lượng giác kết hợp các góc liên quan đặc biệt bù, phụ, hệ thức lượng tro

CHƯƠNG II: NHẬN DẠNG TAM GIÁC

 Để làm tốt các loại bài tập này, ta cần nhớ các điều sau:

 Nắm vững các công thức lượng giác kết hợp các góc liên quan đặc biệt (bù, phụ), hệ thức lượng trong tam giác

 Nên thuộc các đẳng thức, bất đẳng thức quen thuộc trong tam giác để tránh những biến đổi không cần thiết

 Giải các bài toán nhận dạng tam giác ta thường:

 Đối với các bài toán chỉ biến đổi đẳng thức: đưa về phương trình tích

 Đối với các bài toán sử dụng bất đẳng thức: khi đẳng thức xảy ra thì đó là tam giác cần nhận dạng

 Dựa vào phương pháp giải mà ta phân loại như sau:

 Bài toán 1: sử dụng phép biến đổi đẳng thức

 Bài toán 2: sử dụng bất đẳng thức

BÀI 1: SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG THỨC.

Một số đẳng thức quen thuộc trong tam giác:

Cho tam giác ABC có:

2) cos cos cos 1 4sin sin sin

3)sin 2 sin 2 sin 2 4sin sin sin

Để ý rằng tam giác ABC vuông

A B C









 Như vậy, từ đẳng thức (4) và (5) ta có bài toán sau:

Hãy nhận dạng tam giác ABC nếu biết:

a) cos2Acos2Bcos2C1

b) sin2 Asin2Bsin2C2

I NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG :

Một số phương pháp nhận dạng tam giác vuông:

Giả sử có ABC, chứng minh ABC vuông tại A, ta chứng minh:

 cos A =0 sin





 =0 sin A =1

 sin B= cos C

Bài 1: (Đề 121/III)

Chứng minh rằng nếu trong tam giác ABC

sin A+sin B +sin C = 1  cos A+cos B+cos C

thì ABC là tam giác vuông

Lời giải:

Trong ABC ta dễ dàng chứng minh

1 cos A+cos B +cos C = 4sin cos cos

Vậy từ giả thiết ta có:



1 2

2 2

A

tg

A 

Vậy tam giác ABC vuông tại A

Bài 2: Cho ABC thỏa mãn hệ thức:

sinAsinBsinC 1 cosAcosBcosC

Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông

Lời giải:

Đẳng thức đã cho tương đương với đẳng thức sau:

2

1 Nếu: cos cos 0 cos cos

Khi ấy ta có hoặc là: A B C   A B C   A900

Hoặc là: B A C   B C A   B900

tg



2

C

C

như thế trong mọi trường hợp ABC đều là tam giác vuông

Bài 3:(Đề 45/II2)

Chứng minh rằng nếu sin 2Asin 2B4sin sinA Bthì ABC là tam giác vuông

Lời giải:

Theo công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng ta có

   

   

Nếu từ giả thiết ta có

       

sin A B cos A B cos A B  cos A B

     

 

 

2

A B

A B

Mà biểu trong ngoặc vuông viết thành

   

nên ta phải có cos sin

A B A B A B C

Vậy tam giác ABC vuông tại C

Bài 4: (Đề 19/II1)

Xác định tam giác ABC thỏa mãn hệ thức:

.cos 2 sin 2

c c B B

Lời giải:

Hệ thức đã cho viết thành

1 cos 2  2 sin cos

sin 2sin 2sin cos sin cos

(vìsin2B  )0

Vì sin C và sin B là hai góc tam giác nên

 

 

1 2

2 2







 



  

 Trường hợp (1) tam giác ABC vuông tại sin A

Trường hợp (2) ta có góc

2

C B  ABC giả vuông tại A

Bài 5:((Đề 24/III2)

Trong một tam giác ABC, gọi r r, ,r ,r

A B Clần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, bàng tiếp trong các góc A,B,C Chứng minh rằng nếu r A  r r B r C thì tam giác ABC vuông

Lời giải:

Theo công thức tính diện tích tam giác dựa vào bán kính các vòng tròn nội tiếp và bàng tiếp

Ta có

     

Sp r p a r  p b r  p c r nên

 

 

   

     

2 p b c a

 

 

 2 2

pa bc p b c

p b c a bc

Vậy tam giác ABC vuông tại A

II NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN

Bài 1: Tam giác ABC có tính chất gì nếu 2cot

2

C tgA tgB  g

Lời giải:

Do A, B, C là 3 góc của tam giác nên cot

g tg 

Vậy hệ thức đã cho viết thành:

0

cos cos cos cos



nên ta có

2 cos cos

A B

A B

A B

















 

Vậy tam giác A, B, C cân tại C

Nhận xét: Bài toán này có thể giải bằng phương pháp bất đẳng thức Thực chất đây là bài

toán tìm min (tam giác ABC có tính chất gì khi đẳng thức xảy ra) của bất đẳng thức sau:

2

2

A B tgA tgB  tg  (Trong mọi tam giác nhọn ta đều có bất đẳng thức trên)

Thật vậy trong một tam giác có 3 góc nhọn ABC ta có:

 

sin

cos cos

A B tgA tgB



mà 2cos cosA BcosA B cosA B  1 cos  2cos2

2

A B

nên 2sin 2 cos 2 2

2 2

cos 2

A B

A B





Đẳng thức xảy ra khi cosA B 1 A B

Bài 2: (Đề 90/III2)

Chứng minh rằng nếu trong ABC có

2

tgA tgB tgA tg B thì tam giác ABC cân

Lời giải:

ta có tgA2tgB tgA tg B . 2

 

 

2

1

0 , ,

tgA tgB tgA tg B tgB tgAtgB tgB tgA tgB

tgB tgAtgB

tg A B tgB tgC tgB









Vậy ABC cân tại A

Nhận xét:

Với bài toán trên ta có thể giải bằng cách đưa về phương trình bậc hai với ẩn t là tgB :

2

tgA t  t tgA 

Với nghiệm t ta có phương trình tgB t

Cuối cùng suy ra tính chất của tam giác ABC

Bài 3: (Đề 7/II2)

Tam giác ABC có tính chất gì nếu:

 

a.tgA+b.tgB= a+b

2

A B

tg 

Lời giải:

Theo định lí hàm số sin ta có a=2R sin A, b=2R sin B nên từ hệ thức đã cho ta viết

 

sin tgA+ sin tgB= sin sin

2

A B





Theo công thức sin 

cos cos

a b tga tgb



  nên hệ thức đã cho viết thành

sin sin

2

A B

A B tgA tgB













 Vậy tam giác ABC cân tại C

Bài 4: (Đề 39/II)

Tam giác ABC có các cạnh và góc thỏa mãn hệ thức



 Chứng minh rằng ABC LÀ tam giác cân

Lời giải:

Ta có

2

B

B



Bình phương hai vế ta được

 

2

sin

2

B

g



 

2 2 sin 2

a



mà theo định lí hàm số sin có 2b a2c2 2 cos ac B

Vậy 2b a2c2 c2 b a , ABC cân tại C

Nhận xét: Ta có thể giải bằng phương pháp tam thức

Đẳng thức đã cho tương đương

 

 

   

 

2

2

sin

2

1 cos

cos

2

sin cos

2sin 2sin cos sin

a c B

a c B

c B a B C B

A























Bài 5:

Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông hay cân khi và chỉ khi

acos B-bcos A=asin A-bsin B

Lời giải:

Theo định lí hàm số sin có

     

     

   

 

 

1 cos 2 1 cos 2 cos 2 cos 2 sin

A B

A B

A B



 



Vậy tam giác ABC cân tại C hoặc vuông tại C

III NHẬN DẠNG TAM GIÁC ĐỀU

Bài 1: Chứng minh tam giác ABC có ít nhất một góc bằng 600 khi và chỉ khi

sin sin sin

3



Lời giải:

Vì ta có cos cos cos 1 4sin cos cos 0

(1) (sinA 3 cos ) (sinA  B 3 cos ) (sinB  C 3 cos ) 0C 

mà

3 sin 3 cos 2sin

3 sin 3 cos 2sin

3







Nên

 

 

2

2 3

A B





 

 

6 2

A

A B











Vậy tam giác ABC có ít nhất một góc bằng 600

Bài 2: Tam giác cân ABC có một góc là nghiệm của phương trình

2 3

x tgx tg 

Chứng minh rằng ABC là tam giác đều

Lời giải:

Ta có

2

x

x x

 

2 3 2

2 3

1 2 1

2 3 2 3

3 3

3 2 0

x tg x t t t

t









 3

2 3

x

t tg

x

k









Ta chọn một góc của tam giác ABC là

3

x Vậy tam giác ABC cân có một góc là

3

 nên ABC đều

Bài 3:

Chứng minh rằng nếu ABC thỏa điều kiện sau thì ABC là tam giác đều

3 2

a

a

  

Lời giải:

Ta có

2 sin 2 sin 2 sin sin

2 sin sin

2 sin

a

Theo định lí hàm số sin từ đẳng thức trên có

2sinB2sinCsinA2 3 sin sinB C

với sinAsinB C  sin cosB Csin cosC B đẳng thức viết lại thành

 

3

3

B

C C

B

















     



nên ta phải có

3

3

C B











3

3

3 3

C B C

B











 









 

 Vậy tam giác ABC đều

Nhận xét: Từ đẳng thức (a) ta có thể dùng bất đẳng thức B.C.S

 

sin ,sin 0





















0

Đẳng thức xảy ra







 





3 3

3 3

tgC tgB C B







 











 



BÀI 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

I NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG

Bài 1: Cho ABC có các góc thỏa mãn hệ thức

   

3 cosB2sinC 4 sinB2cosC 15

Chứng minh ABC vuông

Lời giải:

Theo B.C.S

Đẳng thức xảy ra khi

cot

2 2

B C





  

Vậy ABC vuông tại A

Bài 2:

Chứng minh rằng ABC thỏa

3S 2R sin Asin Bsin C

thì ABC là tam giác đều

Lời giải:

Theo công thức tính diện tích tam giác và định lí hàm số sin có

3

a b c abc

   

theo bất đẳng thức Cauchy:

3

a b c   abc

Đẳng thức xảy ra khi a b c 

Vậy ABC đều

II NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN

Bài 1: Cho ABC có 2 góc nhọn A, B thỏa điều kiện

2

A B

tg A tg B  tg 

Chứng tỏ ABC là tam giác cân

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức 2

2

A B tgA tgB  tg  cho ABC có 2 góc nhọn

2

2 0

A B

tgA tgB tgA tgB



Vì A, B là các góc của một tam giác nên A=B

Vậy ABC cân tại C

Bài 2: (Đề 51/II)

Cho ABC có các góc thỏa mãn hệ thức



 Chứng minh rằng ABC là tam giác cân

Lời giải:

Đẳng thức tương đương



theo bất đẳng thức Cauchy

sin Asin B2sin sinA B

sin Asin B sin sinA B

Đẳng thức xảy ra khi sin2 Asin2B sinAsinBsinA0,sinB0  A B (vì A, B là 2 góc của tam giác) Vậy tam giác ABC cân tại C

III NHẬN DẠNG TAM GIÁC ĐỀU

Bài 1: Chứng minh ABC là tam giác đều nếu ta có

 

 







Lời giải:

Từ (1) ta có nhận xét C không là góc lớn nhất vì khi C lớn nhất thì cạnh c lớn nhất trong 3 cạnh a, b, c theo định lí hàm số sin ta sẽ có

sin sin

sin sin











Trái gt từ hệ thức (1)

Vậy C phải là góc nhọn (do C không là góc lớn nhất)  cosC0

Nên 2 vế của bất đẳng thức (1) và (2) đều dương nên ta có hệ

   

   







Cộng từng vế hai bất đẳng thức (3) và (4)

   

2 2cos A B  4 cos A B 1

mà cosA B 1 nên cosA B  1

A, B là hai góc của tam giác nên A=B

từ (1) có 2sinA2sinC a c  A C

từ (2) có 2cosA2cosC A C

suy ra A=C

Vậy ABC là tam giác đều

Bài 2: Chứng minh rằng nếu trong tam giác ABC có



thì ABC là tam giác đều

Lời giải:

Ta có



 

  

2

2 sin 2 sin 2 sin 2

9 2

8 sin sin sin

9 2

2 2 2

9

9

9

c a b

R R R

ab bc ca

a b c ab bc ca abc

 

 

 

 2  2  2 0

0

0

0

a b c b c a c a b

b c

a b

 





     

  



Vậy tam giác ABC đều