Chuyên đề: Nhận dạng tam giác

Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng CHƯƠNG II: NHẬN DẠNG TAM GIÁC  Để làm tốt loại tập này, ta cần nhớ điều sau: • Nắm vững công thức lượng giác kết hợp góc liên quan đặc biệt (bù, phụ), hệ thức lượng tam giác • Nên thuộc đẳng thức, bất đẳng thức quen thuộc tam giác để tránh biến đổi không cần thiết  Giải toán nhận dạng tam giác ta thường: • Đối với toán biến đổi đẳng thức: đưa phương trình tích • Đối với toán sử dụng bất đẳng thức: đẳng thức xảy tam giác cần nhận dạng  Dựa vào phương pháp giải mà ta phân loại sau: • Bài toán 1: sử dụng phép biến đổi đẳng thức • Bài toán 2: sử dụng bất đẳng thức BÀI 1: SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG THỨC Một số đẳng thức quen thuộc tam giác: Cho tam giác ABC có: A B C cos cos 2 A B C 2) cos A + cos B + cos C = 1+ 4sin sin sin 2 3)sin A + sin B + sin 2C = 4sin A sin B sin C 4) cos A + cos2 B + cos2 C =1− cos A cos B cos C 1)sin A + sin B + sin C = cos 5) sin A + sin B + sin C = 2(1 + cos A cos B cos C ) Để ý tam giác ABC vuông cos A = ⇔ cos B = cos C = Như vậy, từ đẳng thức (4) (5) ta có toán sau: Hãy nhận dạng tam giác ABC biết: a) cos A + cos B + cos C = b) sin A + sin B + sin C = Nhóm học sinh lớp 11A1 47 Chương 2: Nhận dạng tam giác I NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG: Một số phương pháp nhận dạng tam giác vuông: Giả sử có VABC, chứng minh VABC vuông A, ta chứng minh: • π  cos A =0 ⇔ sin  − A ÷=0 ⇔ sin A =1 2  • sin B = cos C Bài 1: (Đề 121/III) Chứng minh tam giác ABC sin A + sin B + sin C = − cos A + cos B + cos C ABC tam giác vuông Lời giải: Trong VABC ta dễ dàng chứng minh sin A + sin B + sin C = cos A B C cos cos 2 − cos A + cos B + cos C = 4sin A B C cos cos 2 Vậy từ giả thiết ta có: cos A B C A B C cos cos = 4sin cos cos 2 2 2 ⇒ cos A A = sin 2 A ⇒tg =1 A π ⇒ = 2 Vaäy tam giác ABC vuông A Bài 2: Cho VABC thỏa mãn hệ thức: sin A + sin B + sin C = + cos A + cos B + cos C Chứng minh VABC tam giác vuông Lời giải: Đẳng thức cho tương đương với đẳng thức sau: 2sin A+ B A− B C C A+ B A− B C cos + 2sin cos = cos cos + cos 2 2 2 2 ⇔ cos C A− B C C A− B C cos − cos  = sin cos −cos   2 2 2 2 Từ (1) có hai khả năng: Nếu: cos A− B C A− B C − cos = ⇔ cos = cos 2 2 Năm học 2006 – 2007 48 (1) Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng Khi ta có là: A − B = C ⇒ A = B + C ⇒ A = 900 B − A = C ⇒ B = C + A ⇒ B = 900 Hoặc là: Nếu: cos A− B C C C C − cos ≠ ⇒ cos = sin ⇒ tg = 2 2 ⇒ C = 450 ⇒ C = 900 trường hợp ABC tam giác vuông Bài 3:(Đề 45/II2) Chứng minh sin A + sin B = 4sin A.sin B ABC tam giác vuông Lời giải: Theo công thức biến đổi tổng thành tích tích thành tổng ta có sin A + sin B = 2sin ( A+ B ) cos ( A− B ) 4sin A.sin B = cos( A− B ) −cos( A+ B )  Nếu từ giả thiết ta có sin ( A+ B ) cos ( A− B ) = cos ( A− B ) − cos ( A+ B ) ⇔ cos ( A− B ) 1−sin ( A+ B )  = cos ( A+ B ) A+ B A+ B   A+ B −sin A+ B ⇔ cos( A− B )  cos −sin ÷ =cos 2  2  A+ B A+ B   A+ B A+ B   A+ B A+ B     ⇔ cos −sin cos( A− B )  cos −sin + sin ÷− cos ÷ =0  ÷ 2  2   2     Mà biểu ngoặc vuông viết thành  A+ B   A+ B  cos  ÷cos( A− B ) −1 − sin  ÷cos( A− B ) +1     A+ B A− B A+ B A− B 2sin − sin cos 0,sin A+ B ≥0,2 cos A− B >0   cos ,2sin ÷ 2   = − cos nên ta phải có cos A+ B A+ B A+ B C = sin ⇒ = 2 2 Vậy tam giác ABC vuông C Bài 4: (Đề 19/II1) Xác đònh tam giác ABC thỏa mãn hệ thức: Nhóm học sinh lớp 11A1 49 Chương 2: Nhận dạng tam giaùc c = c.cos B + sin B Lời giải: Hệ thức cho viết thành c ( 1−cos B ) = 2b sin B.cos B ⇔ sin C.2sin B = 2sin B.cos B ⇔ sin C =cos B (vì sin B ≠ ) Vì sin C sin B hai góc tam giác nên  π C = − B ( 1) sin C = cos B ⇒  C = π + B ( )  Trường hợp (1) tam giác ABC vuông sin A Trường hợp (2) ta có góc C − B = π VABC giả vuông A Bài 5:((Đề 24/III2) Trong tam giác ABC, gọi r , r , r , r lần A B C lượt bán kính đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc A,B,C Chứng minh rA = r + rB + rC tam giác ABC vuông Lời giải: Theo công thức tính diện tích tam giác dựa vào bán kính vòng tròn nội tiếp bàng tiếp Ta coù S = p.r = ( p − a ) rA = ( p − b ) rB = ( p − c ) rC neân rA = r + rB + rC S S = + p−a p 1 ⇔ − = p−a p ⇔ ⇔ S + p −b + p −b S p −c p −c p − ( b + c) a = p ( p − a) ( p − b) ( p − c) ⇔ p ( p − a) = ( p − b) ( p − c) ⇔ − pa = bc − p ( b + c ) ⇔ p ( b + c − a ) = bc ⇔ ( b + c) = a2 Vậy tam giác ABC vuông A Năm học 2006 – 2007 50 Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng II NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN Bài 1: Tam giác ABC có tính chất tgA + tgB = cot g C Lời giải: Do A, B, C góc tam giác nên cot g C A+ B = tg 2 Vậy hệ thức cho viết thành: tgA − tg A+ B A+ B + tgB − tg =0 2 A− B B− A sin 2 ⇔ + =0 A+ B A+ B cos A.cos cos B.cos 2 sin A+ B A   =sin ≠ ÷  cos 2   nên ta có A− B  1  −  ÷=  cos A cos B   A− B sin =0 ⇒  cos A=cos B ⇒ A= B sin Vaäy tam giác A, B, C cân C Nhận xét: Bài toán giải phương pháp bất đẳng thức Thực chất toán tìm (tam giác ABC có tính chất đẳng thức xảy ra) bất đẳng thức sau: tgA + tgB ≥ 2tg A+ B (Trong tam giác nhọn ta có bất đẳng thức trên) Thật tam giác có góc nhọn ABC ta có: tgA + tgB = sin ( A+ B ) cos A cos B maø cos A cos B = cos ( A+ B ) cos ( A− B ) ≤ + cos ( A+ B ) = cos neân tgA + tgB ≥ A+ B A+ B cos 2 = 2tg A+ B A+ B cos 2 2sin Đẳng thức xảy cos ( A− B ) = ⇔ A = B Nhóm học sinh lớp 11A1 51 A+ B Chương 2: Nhận dạng tam giác Bài 2: (Đề 90/III2) Chứng minh VABC có tgA + 2tgB = tgA.tg B tam giác ABC cân Lời giải: ta có tgA + 2tgB = tgA.tg B ⇔ tgA + tgB = tgA.tg B − tgB = ( tgAtgB −1) tgB ⇔ tgA+ tgB =−tgB 1−tgAtgB ( A+ B ≠π ⇒tgA+tgB ≠ 0⇒1−tgAtgB ≠ ) ⇔ tg ( A+ B ) =−tgB ⇔−tgC =−tgB ⇔C = B( 0< A, B,C neân 2 (1) ⇔ (sin A − cos A) + (sin B − cos B) + (sin C − cos C ) = Năm học 2006 – 2007 54 Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng  π sin A − cos A = 2sin  A− ÷ 3   π maø sin B − cos B = 2sin  B − ÷ 3   π sin C − cos C = 2sin  C − ÷ 3   ( 1) ⇔ sin  A−  Neân  π  π  π  ÷+ sin  B − ÷+ sin  C − ÷ = 3 3      2π   A+ B − ⇔ sin        ÷ A− B  2π  +sin  −( A+ B ) ÷ =0 ÷.cos   ÷   2π  2π   ma ø sin  −( A+ B ) ÷ = − sin  ( A+ B ) −      A+ B π   A+ B π  − ÷cos  − ÷ ÷ = −2sin  3 3    A− B  A+ B π    A+ B π   ⇔ 4sin  − ÷cos − cos − ÷ =     π C   A π   B π  ⇔8sin  − ÷sin  − ÷sin  − ÷=0 6 2 2 6 2 6  A π sin  − ÷=0     B π  ⇔ sin  − ÷=0  2 6  π C  sin  − ÷=0     π  A=  π ⇔  B = ( 0< A, B,C   1 − cos  π − C   ≥  ÷  3   sin C >  π   1 − cos  − B ÷ ≥ 3    nên ta phải có  π  1 − cos  − C ÷ =     1 − cos  π − B  =  ÷  3   π  cos  − C ÷ =    ⇒ cos  π − B  = ÷    π  C = ⇒ B = π  Vậy tam giác ABC Nhận xét: Từ đẳng thức (a) ta dùng bất đẳng thức B.C.S 1 sin C ≤  cos C + 2   sin B ≤ ⇒ ( a ) ≥  cos B + 2 sin B,sin C >   Đẳng thức xảy 1  cos C +  ⇔ 2  cos B +  sin C = sin B = Nhóm học sinh lớp 11A1 tgC = ⇔ tgB = π  C = ⇔ B = π  57 Chương 2: Nhận dạng tam giác BÀI 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC I NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Cho VABC có góc thỏa mãn hệ thức ( cos B + 2sin C ) + ( sin B + cos C ) = 15 VABC vuông Chứng minh Lời giải: Theo B.C.S 3cos B + 4sin B ≤ 6sin C +8cos C ≤10 Đẳng thức xảy sin B cos C = = ⇒ tgB = cot gC cos B sin C  π B,C∈ 0; ÷  2 π ⇒ B = −C Vậy VABC vuông A Bài 2: Chứng minh ( VABC thỏa 3S = R sin A+ sin B +sin C ) ABC tam giác Lời giải: Theo công thức tính diện tích tam giác đònh lí hàm số sin có  a 3  b 3  c 3  3abc 3S = = R  ÷ + ÷ + ÷  4R  R   R   R   ⇒ a +b + c =3abc theo bất đẳng thức Cauchy: a + b + c ≥ 3abc Đẳng thức xảy a = b = c Vậy VABC Năm học 2006 – 2007 58 Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng II NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN Bài 1: Cho VABC có góc nhọn A, B thỏa điều kiện tg A + tg B = 2tg A+ B Chứng tỏ ABC tam giác cân Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức tgA + tgB ≥ 2tg A+ B cho VABC có góc nhọn từ gt ta coù ( tgA+tgB ) ≥ 4tg ( A+ B = tg A +tg B ) ⇒( tgA−tgB ) ≤0⇒tgA=tgB Vì A, B góc tam giác nên A=B VABC cân C Vậy Bài 2: (Đề 51/II) Cho VABC có góc thỏa mãn hệ thức cos A + cos B = ( cot g A + cot g B ) sin A + sin B Chứng minh ABC tam giác cân Lời giải: Đẳng thức tương đương − ( sin A + sin B ) cot g A + + cot g B + 1) − ( sin A + sin B 2 1 1  ⇔ =  + ÷ 2 sin A + sin B  sin A sin B  2 =   ⇔ ( sin A + sin B )  + ÷ =  sin A sin B  theo bất đẳng thức Cauchy sin A + sin B ≥ 2sin A.sin B vaø 1 + ≥ sin A sin B sin A.sin B   2 suy ( sin A + sin B )  + ÷ ≥  sin A sin B  2 Đẳng thức xảy sin A = sin B ⇔ sin A = sin B ( sin A > 0,sin B > ) ⇔ A = B (vì A, B góc tam giác) Vậy tam giác ABC cân C III NHẬN DẠNG TAM GIÁC ĐỀU Nhóm học sinh lớp 11A1 59 Chương 2: Nhận dạng tam giác Bài 1: Chứng minh ABC tam giác ta có sin A+ sin B ≥ 2sin C ( 1)  cos A+ cos B ≥ cos C ( ) Lời giải: Từ (1) ta có nhận xét C không góc lớn C lớn cạnh c lớn cạnh a, b, c theo đònh lí hàm số sin ta có sin C >sin A ⇒ 2sin C > sin A + sin B  sin C >sin B Trái gt từ hệ thức (1) Vậy C phải góc nhọn (do C không góc lớn nhất) ⇒ cos C > Nên vế bất đẳng thức (1) (2) dương nên ta có hệ ( sin A+ sin B ) ≥ 4sin C ( 3)   ( cos A+ cos B ) ≥ cos C ( ) Cộng vế hai bất đẳng thức (3) (4) + cos ( A− B ) ≥ ⇔ cos ( A− B ) ≥ maø cos ( A− B ) ≤ neân cos ( A− B ) = A, B hai góc tam giác nên A=B từ (1) coù 2sin A ≥ 2sin C ⇒ a ≥ c ⇒ A ≥ C từ (2) có cos A ≥ cos C ⇒ A ≤ C suy A=C Vậy ABC tam giác Bài 2: Chứng minh tam giác ABC có a cos A+b cos B + c cos C p = a sin B + b sin C + c sin A R ABC tam giác Lời giải: Ta có a cos A+b cos B + c cos C p = a sin B + b sin C + c sin A R Năm học 2006 – 2007 60 Chuyên đề Lượng giác Ứng duïng R sin A cos A+ R sin B cos B + R sin C cos C p a +b + c = = b c a R 9R a +b + c 2R 2R 2R R ( sin A+sin B +sin 2C ) a +b + c ⇒ = ab + bc + ca 9R R sin A.sin B.sin C a + b + c ⇒ = ab + bc + ca 9R c a b 8R2 2R R R = a +b+c ⇒ ab +bc + ca 9R abc a +b + c ⇒ = ab +bc + ca ⇒( a +b + c ) ( ab + bc + ca ) =9abc ⇒ ⇒ a ( b − c ) + b( c − a ) + c ( a −b ) = b −c =0 ⇒c − a =0⇒a=b=c  a −b =  Vaäy tam giác ABC Nhóm học sinh lớp 11A1 61 ... B > ) ⇔ A = B (vì A, B góc tam giác) Vậy tam giác ABC cân C III NHẬN DẠNG TAM GIÁC ĐỀU Nhóm học sinh lớp 11A1 59 Chương 2: Nhận dạng tam giác Bài 1: Chứng minh ABC tam giác ta có sin A+ sin... a2 Vaäy tam giác ABC vuông A Năm học 2006 – 2007 50 Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng II NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN Bài 1: Tam giác ABC có tính chất tgA + tgB = cot g C Lời giải: Do A, B, C góc tam giác... góc tam giác nên  π C = − B ( 1) sin C = cos B ⇒  C = π + B ( )  Trường hợp (1) tam giác ABC vuông sin A Trường hợp (2) ta có góc C − B = π VABC giả vuông A Bài 5:((Đề 24/III2) Trong tam