NHẬN DẠNG TAM GIÁC

NHẬN DẠNG TAM GIÁC I. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC Bài 1: Tính các góc của A BC Δ nếu : ()()()() 3 sinB C sinC A cosA B * 2 ++ ++ += Do A BC + +=π Nên: () 3 *sinAsinBcosC 2 ⇔ +−= +− ⎛⎞ ⇔− ⎜⎟ ⎝⎠ − ⇔−= − ⇔− += −− ⎛⎞ −= ⇔ −+− ⎜⎟ ⎝⎠ −− ⎛⎞ ⇔− + = ⎜⎟ ⎝⎠ − ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ − ⎪ = ⎪ ⎩ == ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 = A BAB C 3 2sin cos 2cos 1 22 2 CAB C1 2cos cos 2cos 22 22 CCAB 4cos 4cos cos 1 0 222 CAB AB 2cos cos 1 cos 0 22 2 CAB AB 2cos cos sin 0 22 2 CAB 2cos cos 22 AB sin 0 2 C 2cos cos0 1 2 A 2 ⎧ π ⎧ ⎪ = ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ − ⎪⎪ = = ⎩ ⎪ ⎩ π ⎧ == ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ π ⎪ = ⎪ ⎩ C 23 B AB 0 2 AB 6 2 C 3 Bài 2: Tính các góc của A BC Δ biết: () 5 cos2A 3cos2B cos2C 0(*) 2 +++= Ta có: () ()() 2 5 *2cosA123cosBCcosBC 2 0 ⇔ −+ + − += ⎡⎤ ⎣⎦ ( ) () () () () () () ⇔− −+= ⎡⎤ ⇔ −−+−− ⎣⎦ ⎡⎤ ⇔−−+−= ⎣⎦ −= ⎧ −= ⎧ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ = =− ⎪⎪ ⎩ ⎩ ⎧ = ⎪ ⇔ ⎨ == ⎪ ⎩ 2 2 2 2 2 0 0 4cosA 43cosA.cosB C 3 0 2cosA 3cosB C 3 3cos B C 0 2cosA 3cosB C 3sin B C 0 sinB C 0 BC0 3 3 cosA cosA cosB C 2 2 A30 BC75 = Bài 3: Chứng minh A BC Δ có nếu : 0 C 120 = A BC sinA sinB sinC 2sin sin 2sin (*) 22 2 ++− ⋅= Ta có A BABCCABC (*) 2sin cos 2sin cos 2sin sin 2sin 222222 CAB CC AB A 2cos cos 2sin cos 2cos 2sin sin 22 22 2 2 CABC AB cos cos sin cos cos 22222 CABAB AB cos cos cos cos cos 22 2 22 CAB AB 2cos cos cos cos cos 222 22 +− ⇔+= −+ ⇔+=+ − ⎛⎞ ⇔+=⋅ ⎜⎟ ⎝⎠ −+ ⎡⎤ ⇔+= ⎢⎥ ⎣⎦ ⇔= 2 B 2 + C1 cos 22 ⇔= (do A cos 0 2 > và B cos 0 2 > vì A B 0; 222 π < < ) ⇔= 0 C120 Bài 4 : Tính các góc của C ΔΑΒ biết số đo 3 góc tạo cấp số cộng và 33 sinA sinB sinC 2 + ++= Không làm mất tính chất tổng quát của bài toán giả sử A BC << Ta có: A, B, C tạo 1 cấp số cộng nên A + C = 2B Mà A BC++=π nên B 3 π = Lúc đó: 33 sinA sinB sinC 2 + ++= 33 sinA sin sinC 32 3 sinA sinC 2 AC AC3 2sin cos 222 BAC3 2cos cos 222 3AC3 2. cos 222 CA 3 cos cos 226 π+ ⇔++= ⇔+= +− ⇔= − ⇔= ⎛⎞ − ⇔= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ −π ⇔== Do C > A nên có: C ΔΑΒ −π π ⎧ ⎧ = = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ππ ⎪⎪ +=⇔= ⎨⎨ ⎪⎪ ππ ⎪⎪ == ⎪⎪ ⎩ ⎩ CA C 26 2 2 CA A 36 BB 33 Bài 5: Tính các góc của A BC Δ nếu () () ⎧ +≤ ⎪ ⎨ ++=+ ⎪ ⎩ 222 bca 1 sinA sinB sinC 1 2 2 Áp dụng đònh lý hàm cosin: 22 bca cosA 2bc +− = 2 2 Do (1): nên co 22 bca +≤ sA 0 ≤ Do đó: A A 24 ππ ≤<π⇔≤< 22 π Vậy () A2 cos cos 242 π ≤ =∗ Mặt khác: sinA sinB sinC ++ BC BC sinA 2sin cos 22 + − =+ A BC sinA 2cos cos 22 − =+ 2 12 1 2 ⎛⎞ ≤ +⋅ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ () − ⎛⎞ ≤ ⎜⎟ ⎝⎠ BC do*vàcos 1 2 Mà sinA sinB sinC 1 2 do (2)++=+ Dấu “=” tại (2) xảy ra ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⇔= ⎨ ⎪ − ⎪ = ⎪ ⎩ sinA 1 A 2 cos 22 BC cos 1 2 π ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ π ⎪ = = ⎪ ⎩ A 2 BC 4 Bài 6 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2004) Cho A BC Δ không tù thỏa điều kiện () cos2A 22cosB 22cosC 3 *++= Tính ba góc của A BC Δ * Cách 1: Đặt M = cos2A 22cosB 22cosC 3 + +− Ta có: M = 2 BC BC 2cosA 42cos cos 4 22 + − +− ⇔ M = 2 A BC 2cosA 42sin cos 4 22 − +− Do A sin 0 2 > và B - C cos 1 2 ≤ Nên 2 A M2cosA42sin 4 2 ≤ +− Mặt khác: A BCΔ không tù nên 0A 2 π < ≤ ⇒≤ ≤ ⇒≤ 2 0cosA1 cosA cosA Do đó: A M2cosA42sin 4 2 ≤+ − 2 2 2 A A M12sin 42sin 22 AA M4sin 42sin2 22 A M22sin10 2 ⎛⎞ ⇔≤− + − ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔≤− + − ⎛⎞ ⇔≤− −≤ ⎜⎟ ⎝⎠ 4 Do giả thiết (*) ta có M=0 Vậy: 2 0 0 cosA cosA A90 BC cos 1 2 BC45 A1 sin 2 2 ⎧ ⎪ = ⎪ ⎧ = − ⎪⎪ =⇔ ⎨⎨ == ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩ * Cách 2: () * cos2A22cosB22cosC30⇔+ + −= () () () () 2 2 2 2 2 2 2 BC BC cosA 22cos cos 2 0 22 ABC cosA cosA cosA 22sin cos 2 0 22 AABC cosAcosA 1 1 2sin 22sin cos 2 0 222 ABC BC cosAcosA 1 2sin cos 1 cos 0 22 2 ABC B cosAcosA 1 2sin cos sin 22 +− ⇔+ −= − ⇔−++ −= − ⎛⎞ ⇔−+−+ − ⎜⎟ ⎝⎠ −− ⎛⎞⎛ ⇔−−−−− ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ −− ⎛⎞ ⇔−−−− ⎜⎟ ⎝⎠ = ⎞ = ⎟ ⎠ C 0(*) 2 = Do ABC Δ không tù nên và co cosA 0 ≥ sA 1 0 − < Vậy vế trái của (*) luôn ≤ 0 Dấu “=” xảy ra cosA 0 A BC 2sin cos 22 BC sin 0 2 ⎧ ⎪ = ⎪ − ⎪ ⇔= ⎨ ⎪ − ⎪ = ⎪ ⎩ ⎧ = ⎪ ⇔ ⎨ == ⎪ ⎩ 0 0 A90 BC45 Bài 7: Chứng minh ABC Δ có ít nhất 1 góc 60 0 khi và chỉ khi sinA sinB sinC 3(*) cosA cosB cosC + + = + + Ta có: ()( ) ( ) (*) sinA 3cosA sinB 3cosB sinC 3cosC 0⇔− +− +− = sinA sinB sinC 0 333 AB AB 2sin cos sinC 0 23 2 3 πππ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⇔−+−+−= ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ +π − π ⎛⎞ ⎛ ⇔−+− ⎜⎟ ⎜ ⎝⎠ ⎝ ⎞ = ⎟ ⎠ CABCC 2sin cos 2sin cos 0 223 2 26 26 CABC 2sin cos cos 0 26 2 26 ⎡π π⎤ − π π ⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞ ⇔−− +−− ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ π⎡ − π⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ ⇔−−+−= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣⎦ = π−ππ ⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⇔−=∨ =−=− ⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎝⎠ ⎝⎠⎝ CABC sin 0 cos cos cos 26 2 26 3 2 + ⎞ ⎟ ⎠ AB π−π+−+π+ ⇔=∨ =− ∨ =− CABABABA 26 2 3 2 2 3 2 B ππ ⇔=∨=∨=CAB 33 π 3 Cho A BC Δ và V = cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C – 1. Chứng minh: a/ Nếu V = 0 thì A BC Δ có một góc vuông b/ Nếu V < 0 thì A BC Δ có ba góc nhọn c/ Nếu V > 0 thì A BC Δ có một góc tù Ta có: ()() 2 11 V 1cos2A 1cos2Bcos1 22 = ++++− () ()() () ()( 2 2 2 1 V cos2A cos2B cosC 2 ) V cosA B.cosA B cosC V cosC.cosA B cosC V cosCcosA B cosA B V 2cosCcosAcosB ⇔= + + ⇔= + −+ ⇔=− −+ ⇔=− −+ + ⎡⎤ ⎣⎦ ⇔=− Do đó: a/ V 0 cosA 0 cosB 0 cosC 0 = ⇔=∨=∨= ⇔ A BC Δ ⊥ tại A hay ABC Δ ⊥ tại B hay A BC Δ ⊥ tại C b/ V 0 cosA.cosB.cosC 0 < ⇔> ⇔ ABC Δ có ba góc nhọn ( vì trong 1 tam giác không thể có nhiều hơn 1 góc tù nên không có trường hợp có 2 cos cùng âm ) c/ V 0 cosA.cosB.cosC 0 >⇔ < cosA 0 cosB 0 cosC 0 ⇔<∨<∨< ⇔ A BC Δ có 1 góc tù. II. TAM GIÁC VUÔNG Bài 9: Cho A BC Δ có + = Bac cotg 2b Chứng minh A BC Δ vuông Ta có: Bac cotg 2b + = ++ ⇔= = B cos 2RsinA 2RsinC sinA sinC 2 B 2RsinB sinB sin 2 +− ⇔= BACA cos 2sin .cos 22 BB sin 2sin .cos 22 C 2 B 2 − ⇔= > 2 BBAC B cos cos .cos (dosin 0) 222 2 − ⇔= > BAC B cos cos (docos 0) 22 2 Bài 8: −− ⇔= ∨= ⇔=+∨=+ BACBCA 2222 A BCCAB ππ ⇔=∨= ⇔Δ Δ AC 22 ABCvuôngtại Ahay ABCvuôngtại C Bài 10: Chứng minh A BC Δ vuông tại A nếu bc a cosB cosC sinBsinC += Ta có: bc a cosB cosC sinBsinC += ⇔+= + ⇔= 2RsinB 2RsinC 2RsinA cosB cosC sinBsinC sinBcosC sinCcosB sinA cosB.cosC sinBsinC () + ⇔= ⇔= sinB C sinA cosB.cosC sinBsinC cosBcosC sinBsinC(dosinA 0)> () ⇔− ⇔+= π ⇔+= ⇔Δ cosB.cosC sinB.sinC 0 cosB C 0 BC 2 ABCvuôngtạiA = Bài 11: Cho A BC Δ có: A BCABC1 cos cos cos sin sin sin (*) 2222222 ⋅⋅−⋅⋅= Chứng minh A BC Δ vuông Ta có: ⇔=+ +− +− ⎡⎤⎡ ⇔+ =−− ⎢⎥⎢ ⎣⎦⎣ ⎤ ⎥ ⎦ A BC1 ABC (*) cos cos cos sin sin sin 2222 222 1ABABC11ABAB cos cos cos cos cos sin 22 22222 2 C 2 −− ⎡⎤⎡⎤ ⇔+ =−− ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ −− ⇔+ =−+=−+ 22 CABC CABC sin cos cos 1 sin cos sin 222 222 CC ABC C C C AB sin cos cos cos 1 sin cos 1 sin cos sin 22 2 2 2 2 2 2 C 2 −− ⇔+ =+ 2 C C AB C C AB C sin cos cos cos cos cos sin 22 2 2 2 2 2 − ⎡⎤⎡⎤ ⇔−= − ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ − ⎡⎤⎡ ⎤ ⇔− − = ⎢⎥⎢ ⎥ ⎣⎦⎣ ⎦ CCC ABCC cos sin cos cos sin cos 222 2 22 CCCAB sin cos cos cos 0 222 2 − ⇔=∨= −− ⇔ =∨= ∨= π ⇔=∨=+∨=+ πππ ⇔=∨=∨= CCCA sin cos cos cos 222 2 CCABCB tg 1 22222 C ABCBAC 24 CAB 222 B A Bài 12: Chứng minh A BC Δ vuông nếu: 3(cosB 2sinC) 4(sinB 2cosC) 15 +++= Do bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có: 22 3cosB 4sinB 9 16cosB sinB 15+≤+ += và 22 6sinC 8cosC 36 64sinC cosC 10+≤+ += nên: 3(cosB 2sinC) 4(sinB 2cosC) 15+++≤ Dấu “=” xảy ra cosB sinB 4 tgB 34 sinC cosC 4 cotgC= 68 ⎧⎧ == ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ = ⎪⎪ ⎩⎩ 3 3 ⇔= π ⇔+= tgB cotgC BC 2 ABC ⇔Δ vuông tại A. Bài 13: Cho ABC Δ có: sin2A sin2B 4sinA.sinB + = Chứng minh A BC Δ vuông. Ta có: += sin2A sin2B 4sinA.sinB [ ] [] ⇔+−=−+−− ⇔+=−+ − 2sin(A B)cos(A B) 2cos(A B) cos(A B) cos(A B) 1 sin(A B)cos(A B) [ ] ⇔− = − −cosC 1 sinCcos(A B) ⇔− + = − − 2 cosC(1 sinC) (1 sinC).cos(A B) ⇔− + = − 2 cosC(1 sinC) cosC.cos(A B) ⇔=−+= −cosC 0hay (1 sinC) cosC.cos(A B) (*) ⇔= cosC 0 ( Do nên sinC 0 > (1 sinC) 1−+ <− Mà .Vậy (*) vô nghiệm.) cosC.cos(A B) 1−≥− Do đó A BCΔ vuông tại C III. TAM GIÁC CÂN Bài 14: Chứng minh nếu A BC Δ có C tgA tgB 2cotg 2 += thì là tam giác cân. Ta có: C tgA tgB 2cotg 2 += C 2cos sin(A B) 2 C cosA.cosB sin 2 C 2cos sinC 2 C cosA.cosB sin 2 CC C 2sin cos 2cos 22 C cosAcosB sin 2 + ⇔= ⇔= ⇔= 2 ⇔ 2 CC sin cosA.cosB docos 0 22 ⎛⎞ => ⎜⎟ ⎝⎠ ()()( () () ⇔− = ++ −⎡⎤ ⎣⎦ ⇔− =− + − ⇔−= ⇔= 11 1cosC cosABcosAB 22 1 cosC cosC cosA B cosA B 1 ) A B A BC ⇔Δ cân tại C. Bài 15: Chứng minh A BC Δ cân nếu: 33 A BB sin .cos sin .cos 2222 = A Ta có: 33 A BB sin .cos sin .cos 2222 = A 22 A B sin sin 11 22 AABB cos cos cos cos 2222 ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⇔= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ (do A cos 2 > 0 và B cos 2 > 0 ) 22 33 22 A AB B tg 1 tg tg 1 tg 2222 ABAB tg tg tg tg 0 2222 AB ABAB tg tg 1 tg tg tg .tg 0(*) 22 2222 ⎛⎞⎛⎞ ⇔+=+ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⇔−+−= ⎛⎞⎡ ⎤ ⇔− +++ = ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎣ ⎦ ⇔= A B tg tg 22 ( vì 22 A BAB 1tg tg tgtg 0 2222 + ++ > ) ⇔= A B ABC ⇔Δ cân tại C Bài 16: Chứng minh ABC Δ cân nếu: () 22 22 22 cosA cosB 1 cotgA cotgB(*) sinA sinB 2 + =+ + Ta có: (*) 22 22 22 cosA cosB 1 1 1 2 sinA sinB 2sinA sinB + ⎛⎞ ⇔=+ ⎜⎟ + ⎝⎠ − 22 22 22 cosA cosB 1 1 1 1 sinA sinB 2 sinA sinB + ⎛⎞ ⇔+=+ ⎜⎟ + ⎝⎠ ⎛⎞ ⇔=+ ⎜⎟ + ⎝⎠ 22 22 2111 2 sinA sinB sinA sinB () ⇔=+ 2 22 2 2 4sinAsinB sinA sinB () 22 0sinAsinB sinA sinB ⇔= − ⇔= Vậy ABC Δ cân tại C Bài 17: Chứng minh ABC Δ cân nếu: () C a b tg atgA btgB (*) 2 += + Ta có: () C a b tg atgA btgB 2 += + () ⇔+ = + C a bcotg atgA btgB 2 ⎡⎤⎡ ⇔−+− ⎢⎥⎢ ⎣⎦⎣ CC atgA cotg btgB cotg 0 22 ⎤ = ⎥ ⎦ ++ ⎡⎤⎡ ⇔− +− ⎢⎥⎢ ⎣⎦⎣ ⎤ = ⎥ ⎦ A BA atgA tg btgB tg 0 22 B −− ⇔+ ++ = A BBA asin bsin 22 0 AB AB cosA.cos cosB.cos 22 [...]...A−B a b = 0 hay − =0 2 cos A cos B 2R sin A 2R sin B ⇔ A = B hay = cos A cos B ⇔ A = B hay tgA = tgB ⇔ ΔABC câ n tạ i C ⇔ sin IV NHẬN DẠN G TAM GIÁ C Cho ΔABC thỏ a : a cos B − b cos A = a sin A − b sin B (*) Chứ n g minh ΔABC vuô n g hay câ n Bà i 18: Do đònh lý hà m sin: a = 2R sin A, b = 2R sin B Nê n (*) ⇔ 2R sin A cos B − 2R sin... ( sin A + sin B) ( sin A − sin B) A+B A−B A+B A−B cos ) (2 cos sin ) ⇔ sin ( A − B ) = ( 2 sin 2 2 2 2 ⇔ sin ( A − B ) = sin ( A + B ) sin ( A − B ) ⇔ sin ( A − B ) = 0 ∨ sin ( A + B ) = 1 π 2 ΔABC là tam giá c gì nế u ( a 2 + b2 ) sin ( A − B ) = ( a 2 − b2 ) sin ( A + B ) (*) ⇔ A = B∨ A+B = Bà i 19 Ta có : (*) ⇔ ( 4R 2 sin 2 A + 4R 2 sin 2 B ) sin ( A − B ) = 4R 2 ( sin 2 A − sin 2 B ) sin ( A + B... sin A cos B = 0 ⇔ − sin A cos A + sin B cos B = 0 (do sin A > 0 và sin B > 0 ) ⇔ sin 2A = sin 2B ⇔ 2A = 2B ∨ 2A = π − 2B π ⇔ A = B∨ A+B = 2 Vậ y ΔABC câ n tạ i C hay ΔABC vuô n g tạ i C Bà i 20: ΔABC là tam giá c gì nế u : ⎧a 2 sin 2B + b2 sin 2A = 4ab cos A sin B (1) ⎨ (2) ⎩sin 2A + sin 2B = 4 sin A sin B Ta có : (1) ⇔ 4R 2 sin 2 A sin 2B + 4R 2 sin 2 B sin 2A = 16R 2 sin A sin 2 B cos A ⇔ sin 2 A sin... cos B − sin B cos A = 0 ⇔ sin ( A − B ) = 0 ⇔A=B Thay và o (2) ta đượ c sin 2A = 2 sin 2 A ⇔ 2 sin A cos A = 2 sin 2 A ⇔ cos A = sin A ( do sin A > 0 ) ⇔ tgA = 1 π ⇔A= 4 Do đó ΔABC vuô n g câ n tạ i C V TAM GIÁ C ĐỀ U Bà i 21: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u : bc 3 = R ⎡ 2 ( b + c ) − a ⎤ (*) ⎣ ⎦ Ta có: (*) ⇔ ( 2R sin B )( 2R sin C ) 3 = R ⎡2 ( 2R sin B + 2R sin C ) − 2R sin A ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ 2 3 sin B sin C = 2 . NHẬN DẠNG TAM GIÁC I. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC Bài 1: Tính các góc của A BC Δ nếu : ()()()() 3 sinB C sinC. cosC.cos(A B) 1−≥− Do đó A BCΔ vuông tại C III. TAM GIÁC CÂN Bài 14: Chứng minh nếu A BC Δ có C tgA tgB 2cotg 2 += thì là tam giác cân. Ta có: C tgA tgB 2cotg 2 += C 2cos sin(A. cosA cosB ⇔= = 2RsinA 2RsinB ABhay cosA cosB ⇔= = ⇔Δ A BhaytgA tgB ABC cân tại C IV. NHẬN DẠNG TAM GIÁC Bài 18: Cho A BC Δ thỏa: acosB bcosA asinA bsinB(*) − =− Chứng minh A BC Δ