Toán 11 Nhận dạng tam giác

bài tập lượng giác toán 11 chương XI Nhận dạng tam giác I. Tính các góc của tam giác II.nhận dạng các loại tam giác tam giác vuông tam giác cân tam giác đều qua phần tài liệu này các bạn sẽ cảm thấy không còn khó khăn với các loại toán này nữa .các ví dụ đi kèm còn có đáp án xcs tích và dễ hiểu nhất với từng đối tượng học sinh nhé chúc các bạn học tốt

CHƯƠNG XI: NHẬN DẠN G TAM GIÁC I TÍNH CÁ C GÓ C CỦ A TAM GIÁ C Bà i 201: Tính cá c gó c củ a ΔABC nế u : sin ( B + C ) + sin ( C + A ) + cos ( A + B ) = Do A+B+C= π Nê n : ( *) ⇔ sin A + sin B − cos C = ( *) A+B A−B ⎛ C ⎞ ⇔ sin cos − ⎜ cos2 − ⎟ = 2 ⎝ ⎠ C A−B C ⇔ cos cos − cos2 = 2 2 C C A−B ⇔ cos2 − cos cos +1 = 2 2 C A − B⎞ ⎛ A − B ⇔ ⎜ cos − cos =0 ⎟ + − cos 2 ⎠ ⎝ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bà i 202: C A − B⎞ ⎛ A − B =0 ⎜ cos − cos ⎟ + sin 2 ⎠ ⎝ C A−B ⎧ ⎪⎪2 cos = cos ⎨ ⎪sin A − B = ⎪⎩ C ⎧ ⎧C π ⎪⎪2 cos = cos = ⎪ = ⇔ ⎨2 ⎨ A − B ⎪ ⎪⎩ A = B =0 ⎪⎩ π ⎧ ⎪⎪ A = B = ⎨ ⎪C = 2π ⎪⎩ Tính cá c gó c củ a ΔABC biế t : cos 2A + ( cos 2B + cos 2C ) + = (*) Ta có : ( *) ⇔ cos2 A − + ⎡⎣cos ( B + C ) cos ( B − C ) ⎤⎦ + = ⇔ cos2 A − cos A cos ( B − C ) + = ⇔ ⎡⎣2 cos A − cos ( B − C ) ⎤⎦ + − cos2 ( B − C ) = ⇔ ⎡⎣2 cos A − cos ( B − C ) ⎤⎦ + sin ( B − C ) = ⎧sin ( B − C ) = ⎧B − C = ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ 3 cos ( B − C ) ⎪cos A = ⎪cos A = ⎩ 2 ⎩ ⎧⎪ A = 300 ⇔⎨ ⎪⎩B = C = 75 Bà i 203: Chứ n g minh ΔABC có C = 1200 nế u : A B C sin A + sin B + sin C − sin ⋅ sin = sin (*) 2 Ta có A+B A−B C C A B C cos + sin cos = sin sin + sin 2 2 2 B C A−B C C A+B A ⇔ cos cos + sin cos = cos + sin sin 2 2 2 C⎛ A−B C⎞ A B ⇔ cos ⎜ cos + sin ⎟ = cos ⋅ cos 2⎝ 2⎠ 2 (*) ⇔ sin C⎡ A−B A + B⎤ A B + cos = cos cos cos ⎢ ⎥ 2⎣ 2 ⎦ 2 C A B A B ⇔ cos cos cos = cos cos 2 2 C A B A B π (do cos > cos > < ; < ) ⇔ cos = 2 2 2 ⇔ C = 120 ⇔ cos Bà i 204: Tính cá c gó c củ a ΔΑΒC biế t số đo gó c tạ o cấ p số cộ n g 3+ sin A + sin B + sin C = Khô n g m mấ t tính chấ t tổ n g t củ a bà i toá n giả sử A < B < C Ta có : A, B, C tạ o cấ p số cộ n g nê n A + C = 2B π Mà A + B + C = π nê n B = 3+ Lú c : sin A + sin B + sin C = π 3+ + sin C = 3 ⇔ sin A + sin C = A+C A −C ⇔ sin = cos 2 B A −C ⇔ cos cos = 2 ⎛ 3⎞ A−C ⇔ ⎜⎜ = ⎟⎟ cos 2 ⎝ ⎠ ⇔ sin A + sin ⇔ cos π C−A = = cos 2 Do C > A nê n ΔΑΒC có : π ⎧C − A π ⎧ ⎪ =6 ⎪C = ⎪ ⎪ 2π π ⎪ ⎪ ⇔ ⎨A = ⎨C + A = ⎪ ⎪ π π ⎪ ⎪ ⎪B = ⎪B = ⎩ ⎩ Bà i 205: Tính cá c gó c củ a ΔABC nế u ⎧⎪ b2 + c2 ≤ a ⎨ ⎪⎩sin A + sin B + sin C = + (1 ) ( 2) b2 + c − a 2bc 2 Do (1): b + c ≤ a nê n cos A ≤ π π A π Do : ≤A cos ≤1 2 A Nê n M ≤ cos2 A + sin − π ΔABC khô n g tù nê n < A ≤ Mặ t c : ⇒ ≤ cos A ≤ * Cá ch 1: Đặt Do : ⇒ cos2 A ≤ cos A A M ≤ cos A + sin − A⎞ A ⎛ ⇔ M ≤ ⎜ − sin2 ⎟ + sin − 2⎠ ⎝ A A ⇔ M ≤ −4 sin2 + sin − 2 2 A ⎛ ⎞ ⇔ M ≤ −2 ⎜ sin − ⎟ ≤ ⎝ ⎠ Do giả thiế t (*) ta có M=0 ⎧ ⎪cos2 A = cos A ⎪ B−C ⎪ ⎪⎧ A = 90 Vậ y : ⎨cos =1 ⇔ ⎨ ⎪⎩B = C = 45 ⎪ A ⎪ ⎪sin = ⎩ * Cá c h 2: ( *) ⇔ cos 2A + 2 cos B + 2 cos C − = B+C B−C −2=0 cos 2 A B−C ⇔ ( cos2 A − cos A ) + cos A + 2 sin cos −2=0 2 A⎞ A B−C ⎛ ⇔ cos A ( cos A − 1) + ⎜ − sin2 ⎟ + 2 sin cos −2=0 2⎠ 2 ⎝ ⇔ cos2 A + 2 cos A B − C⎞ ⎛ ⎛ B − C⎞ ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ sin − cos ⎟=0 ⎟ − ⎜ − cos 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ A B − C⎞ ⎛ B −C ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ sin − cos = (*) ⎟ − sin 2 ⎠ ⎝ Do ΔABC khô n g tù nê n cos A ≥ cos A − < Vậ y vế trá i củ a (*) luô n ≤ ⎧ ⎪cos A = ⎪ A B−C ⎪ ⇔ ⎨ sin = cos Dấ u “=” xả y 2 ⎪ B−C ⎪ ⎪⎩sin = 0 ⎪⎧ A = 90 ⇔⎨ ⎪⎩B = C = 45 Bà i 207: Chứ n g minh ΔABC có nhấ t gó c 60 sin A + sin B + sin C = (*) cos A + cos B + cos C Ta có : (*) ⇔ sin A − cos A + sin B − cos B + sin C − cos C = ( ) ( ) ( ) π⎞ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⇔ sin ⎜ A − ⎟ + sin ⎜ B − ⎟ + sin ⎜ C − ⎟ = 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ π⎞ A−B ⎛ A + B π⎞ ⎛ ⇔ sin ⎜ − ⎟ cos + sin ⎜ C − ⎟ = 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎡⎛ π C ⎞ π ⎤ A−B ⎛C π⎞ ⎛C π⎞ ⇔ sin ⎢⎜ − ⎟ − ⎥ cos + sin ⎜ − ⎟ cos ⎜ − ⎟ = ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦ A−B ⎛C π⎞⎡ ⎛ C π ⎞⎤ ⇔ sin ⎜ − ⎟ ⎢ − cos + cos ⎜ − ⎟ ⎥ = ⎝ 6⎠⎣ ⎝ ⎠⎦ A−B ⎛C π⎞ ⎛C π⎞ ⎛π A + B⎞ ⇔ sin ⎜ − ⎟ = ∨ cos = cos ⎜ − ⎟ = cos ⎜ − ⎟ 2 ⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎝3 C π A − B π A + B −A + B π A + B ⇔ = ∨ = − ∨ = − 2 π π π ⇔C= ∨A = ∨B= 3 Bà i 208: Cho ΔABC V = cos A + cos B + cos C – Chứ n g minh: a/ Nế u V = ΔABC có mộ t gó c vuô n g b/ Nế u V < ΔABC có ba gó c nhọ n c/ Nế u V > ΔABC có mộ t gó c tù 1 (1 + cos 2A ) + (1 + cos 2B ) + cos2 − 2 ⇔ V = ( cos 2A + cos 2B ) + cos2 C ⇔ V = cos ( A + B ) cos ( A − B ) + cos2 C Ta có : V = ⇔ V = − cos C.cos ( A − B ) + cos2 C ⇔ V = − cos C ⎡⎣cos ( A − B ) + cos ( A + B ) ⎤⎦ ⇔ V = −2 cos C cos A cos B Do : a/ V = ⇔ cos A = ∨ cos B = ∨ cos C = ⇔ ΔABC ⊥ tạ i A hay ΔABC ⊥ tạ i B hay ΔABC ⊥ tạ i C b/ V < ⇔ cos A.cos B.cos C > ⇔ ΔABC có ba gó c nhọ n ( tam giác khô n g thể có nhiề u góc tù nê n khô n g có trườ n g hợ p có cos cù n g â m ) c/ V > ⇔ cos A.cos B.cos C < ⇔ cos A < ∨ cos B < ∨ cos C < ⇔ ΔABC có gó c tù II TAM GIÁC VUÔNG B a+c = b Chứ n g minh ΔABC vuô n g Bà i 209: Cho ΔABC có cotg Ta có : cotg ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ B a+c = b B = 2R sin A + 2R sin C = sin A + sin C B 2R sin B sin B sin B A+C A−C cos sin cos = 2 B B B sin sin cos 2 B B A−C B cos2 = cos cos (do sin > 0) 2 2 B A−C B cos = cos (do cos > 0) 2 cos B A−C B C−A = ∨ = 2 2 ⇔ A = B+C∨C = A +B π π ⇔ A = ∨C= 2 ⇔ ΔABC vuông A hay ΔABC vuông C ⇔ Bà i 210: Ta có : ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Chứ n g minh ΔABC vuô n g tạ i A nế u b c a + = cos B cos C sin B sin C b c a + = cos B cos C sin B sin C 2R sin B 2R sin C 2R sin A + = cos B cos C sin B sin C sin B cos C + sin C cos B sin A = cos B.cos C sin B sin C sin ( B + C ) sin A = cos B.cos C sin B sin C cos B cos C = sin B sin C (do sin A > 0) cos B cos C − sin B sin C = ⇔ cos ( B + C ) = π ⇔ ΔABC vuông A ⇔ B+C= Bà i 211: Cho ΔABC có : A B C A B C cos ⋅ cos ⋅ cos − sin ⋅ sin ⋅ sin = (*) 2 2 2 Chứ n g minh ΔABC vuô n g Ta có : A B C A B C cos cos = + sin sin sin 2 2 2 1⎡ A+B A − B⎤ C 1⎡ A+B A − B⎤ C cos cos cos sin ⇔ ⎢cos + cos = − − 2⎣ 2 ⎥⎦ 2 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ (*) ⇔ cos C A − B⎤ C C A − B⎤ C ⎡ ⎡ ⇔ ⎢sin + cos cos = − ⎢sin − cos sin ⎥ ⎥ 2 ⎦ 2 ⎦ ⎣ ⎣ C C A−B C C C C A−B C ⇔ sin cos + cos cos = − sin + cos = − sin + cos sin 2 2 2 2 ⇔ sin C C A−B C C A−B C cos + cos cos = cos2 + cos sin 2 2 2