Chuyờn đề : Tỡm giỏ trị lớn nhất – giỏ trị nhỏ nhất I) Các bài tập về tìm giá trị nhỏ nhất
Bài tập1: Cho biểu thức
A = a3 +b3 + c3+a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
Cho a+b+c = 1 Hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A
Giải: Ta cú : A = a3 +b3 + c3+a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
= a2(a+b+c) + b2(a+b+c)+c2(a+b+c)
= (a+b+c)(a2+b2+c2)
V ới a+b+c = 1 th ỡ A = a2+b2+c2
Ta cú a2+b2 2ab
a2+ c2
2ac
b2 + c2
2bc 2(a2 + b2 +c2) 2(ab + bc + ac) (1)
Cộng thờm vào hai vế của (1) với a2 + b2 + c2
3(a2 + b2 + c2) (a+b+c)2
3A 1
A
3 1
Dấu “ = ” xảy ra khi a= b =c Mà a+b+c = 1 nờn a =b=c = 13
Do đú A đạt giỏ trị nhỏ nhất là
3
1 khi a =b=c =
3
1
Bài 2: Cho x+y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2+y2
Giải:
Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski :
(ac+bd) 2 (a 2 + b 2 )(c 2 +d 2 ) dấu = xảy ra
d
b c
a
(*) Chọn a = x ; c=1 ; b=y d =1
Ta có : (x.1+y.1)2 (x2+y2)(1+1)
(x+y)2 (x2+y2)(1+1)
4 (x2+y2).2
2 (x2+y2)
Vậy B 2
Dấu “= ’’xẩy ra khi x=y = 1
Vậy Min B = 2 khi x = y =1
Cách 2:
Ta có : x+y =2 y =2- x
Do đó: B = x2 + (2-x)2 = x2 +x2- 4x + 4
= 2x2 – 4x + 4
= 2(x2 – 2x+1 +1)
= 2(x-1)2 +2 2
Vậy Min B = 2 khi x-1 =0 hay x= 1 ; y =1
Bài 3: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
C = x2 + 2y2 – 2xy – 4y + 5
Giải:
Trang 2Ta có : C = (x2 - 2xy + y2) + ( y2 – 4y+4)+1
= (x –y)2 + (y -2)2 + 1
Vì (x – y)2 0 ; (y-2)2 0
Do vậy: C 1 với mọi x;y
Dấu “ = ” Xảy ra khi x-y = 0 và y-2 =0 x=y =2
Vậy: Min C = 1 khi x = y =2
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức
D = 2x2 – 2xy +5y2 + 5
Giải: Ta có : D = x2 – 4xy + 4y2 + x2 +2xy +y2 +5
D = (x - 2y)2 + (x+y)2 + 5
Ta thấy : (x-2y)2 0 ; (x+y)2 0
Nên: D 5
Dấu “ = ” Xảy ra khi :
x – 2y = 0
x+ y = 0
x = y = 0
Vậy Min D = 5 khi x = y =0
Bài 5: Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức
E = 5x2 +8xy + 5y2 – 2x + 2y
Giải: Ta có : E = (4x2 + 8xy +4y2 )+(x2 - 2x +1) + (y2 +2y +1) – 2
E = (2x +2y)2 +(x- 1)2 +( y+1)2 - 2
Do đó E - 2
Dấu “ = ” xảy ra khi
1 1 0
1 0 1
0 2 2
y y
y x
Vậy Min B = -2 khi x =1 và y =-1
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F = a3 + b3 + ab ; Cho a + b = 1
Giải: Ta có : F = (a+b)(a2 –ab+b2) +ab
Thay a+ b =1 vào F ta được
F = a2 – ab +b2 + ab
F = a2 +b2
F = (a+b)2 – 2ab
F = 1 – 2ab
Do a+b =1 a = 1-b thay vào F ta có : F = 1- 2(1-b)b
F = 1 -2b+2b2
F = 2(b2 – b+ 41 ) + 21
F = 2(b - 21 )2
+ 2
1
2
1 Với mọi b Dấu “ = ” xảy ra khi : b -21 = 0 b =21 và a =21
Vậy Min F =
2
1 Khi a =b =
2 1
Trang 3Chuyên đề : Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất
Bài 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : G (x) = x + 41x cho x > 0
Giải: Ta có: G = x +
x
4 1
=
x
x
4
1
4 2
=
x
x x
x
x x
x
4
4 ) 1 2 ( 4
4 1 4
= 1+
x
x
4
) 1 2 ( 2
Vì x > 0 Nên G 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của G là 1 khi :
x
x
4
) 1 2 ( 2
= 0 (2x -1)2 = 0 x = 12
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
H = x(x+1)(x+2)(x+3)
Giải: Ta có: H = x(x+3)(x+1)(x+2)
H = (x2+ 3x)(x2 + 3x +2)
H = (x2+3x)2 + 2(x2+3x)
H = (x2+3x)2 + 2(x2+3x)+1 – 1
H = (x2 + 3x +1)2 – 1
H - 1 , Dấu ‘ = ’ xảy ra khi x2 + 3x +1 = 0 x =
2
5
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của H là -1 khi x =
2
5
3
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
I(x) =
1
1 2 2
x x
Giải : Ta có : I(x) =
1
1 2 2
x
x
=
1-1
2 2
x
Do vậy, I(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi biểu thức
1
2 2
x đạt giá trị lớn nhất nghĩa là x2 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất
Ta có : x2 + 1 1 Với mọi x
Min (x2 + 1) = 1 tại x = 0
Min I(x) = 1- 2 = -1 Vậy Min I(x) = -1 tại x = 0
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
J = 3( x2 + y2 + z2 + t2) – 2(xy + yz + zt + tx) – ( x + y + z + t ) + 10
Giải : Ta có :
J = ( x2 – 2xy + y2 ) + ( y2 – 2yz + z2 ) + (z2 – 2zt + t2 ) + ( t2 – 2tx + x2 ) + ( x2 – x +14 ) + ( y2 – y +41 ) + ( z2 – z + 41 ) + ( t2 – t + 14 ) + 9 = ( x – y)2 + ( y – z )2 + ( z – t)2 + (t – x)2 + (x –21 )2 + (y –12 )2 + (z – 21 )2 + (t –21 )2 + 9
Trang 4Do vậy J 9 Với mọi x ; y ; z ; t
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = t = 21
Vậy giá trị nhỏ nhất của J là 9 khi x = y = z = t =
2
1
Bài 11: Cho biểu thức :
K = x2 + y2 + 2z2 + t2
Với x ; y ; z ; t là các số nguyên không âm Tìm giá trị nhỏ nhất của K và các giá trị tương ứng của x ; y ;z và t , biết rằng :
x2 – y2 + t2 = 21
x2 + 3y2 + 4z2 = 101
Giải: Theo giả thiết , ta có :
x2 – y2 + t2 = 21
x2 + 3y2 + 4z2 = 101
x2 – y2 + t2 + x2 + 3y2 + 4z2 = 122
2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122
2K– t2 = 122
2K = 122 + t2
Do đó : 2K 122 K 61 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi t = 0 Vậy K đạt giá trị nhỏ nhất là 61 tại t = 0
Ta có :
x2 – y2 + t2 = 21 (1)
x2 + 3y2 + 4z2 = 101 (2)
Vì x ; y N nên từ (1) => x > y 0
x + y x – y > 0 Do đó : (x + y)( x – y) = 21 1= 7 3 =>
1 21
y x y x
10 11
y x
hoặc
3 7
y x y x
2 5
y x
Từ (2) => 3y2
101 => y2
33 => 0 y 5
Ta chọn x = 5 ; y = 2
(2) => z = 4
Vậy Min K =61 tại x = 5 ; y = 2 ; z = 4 ; t = 0
II) C¸c bµi tËp vÒ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt
Bµi 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc
A = 3xy – x2 – y2 BiÕt x; y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 5x+2y = 10
Gi¶i:
Tõ : 5x +2y = 10 y = 1025x
Thay y vµo biÓu thøc A ta cã:
Trang 5Chuyờn đề : Tỡm giỏ trị lớn nhất – giỏ trị nhỏ nhất
A = 3x 1025x - x2 – (1025x)2
A =
4
25 100 100 4
30
60x x2 x2 x 2
A =
4
1
(-59x2 +160x-100)
A =
4
1
59
100 59
160
x
A =
4
1
3481
6400 3481
5900 )
3481
6400 2
1 59
80 2 (x2 x
A =
3481
500 )
59
80 ( 4
59 2
x
59
80 ( 4
59 59
125
x
59
125
Vậy Max A =
59
125 Khi x =
59
80 và y =
2
5
10 x =
59 95
Bài 2: Cho biểu thức B = - a2 – b2 +ab +2a+2b
B đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu và khi nào?
Giải: Ta có B = - a2 – b2 +ab +2a+2b
2B = -2a2 – 2b2 +2ab +4a+4b
= - (a2 - 2ab +b2) –( a2- 4a +4) – (b2 -4b +4) + 8
= 8 – (a-b)2 – (a-2)2 – (b -2 )2
2B 8
B 4
Dấu ‘ = ’ xảy ra khi a = b =2
Vậy B đạt giá trị lớn nhất là 4 khi a = b =2
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
C = - 5y2 – 5x2 + 8x – 6y – 1
C = - 5( x2 - )
25
16 5
4
25
9 5
3
y + 4
C = 4 - 5 2 )2
5
3 ( ) 5
4 (x y
Do đó ta có : C 4
Dấu ‘ = ’ xảy ra khi 2 )2
5
3 ( ) 5
4
5
4
x và y =
5
3
Vậy giá trị lớn nhất của C là 4 tại
5
4
x và y =
5
3
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
D = - 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y -1
Giải: Ta có
D = - 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y -1
= - ( x2 +2xy + y2) – (4x2 - 14x +494 ) – (y2 - 10 y +25) + 494 +25 – 1
Trang 6= 2 ) 2 ( 5 ) 2
2
7 2 ( ) ( 4
145
x y x y
D
4
145 Dấu ‘ = ’ xảy ra khi và chỉ khi
5 4 7 0
5
0 2 7 2
0
y x y x
y
x
y x
( không thỏa mãn ) Vậy giá trị lớn nhất của D không tồn tại
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
y = x 2 4 x
Giải:
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski :
(ac+bd) 2 (a 2 + b 2 )(c 2 +d 2 ) dấu = xảy ra
d
b c
a
(*) Chọn: x 2 a ; c =1
4 x b ; d =1
ĐKXĐ : 2x4
ta có y2 = ( x 2 4 x)2 (x 2 ) ( 4 x)( 1 1 )
y2 4 y 2
Vì y > 0 nên ta có 0 < y 2
Dấu ‘ = ’ xảy ra khi x 2 4 x x -2 = 4 –x x =3 ( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy : Giá trị lớn nhất của hàm số là y là 2 tại x = 3