CÁC bài TOÁN về TIẾP TUYẾN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - TIN HỌC Năm học: 2017- 2018 Tiểu luận CÁC BÀI TỐN VỀ TIẾP TUYẾN Mơn: Đại số sơ cấp Giảng viên: Tạ Thị Nguyệt Nga Nhóm: HTT1 TPHCM, ngày tháng năm 2018 MỤC LỤC A LỜI MỞ B PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN I Khái quát tuyến tiếp…………………………………………… Lịch sử hình thành……………………………………………………….4 Mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm Các dạng trình tiếp tuyến II Ứng dụng phương trình tiếp tuyến 14 Vào toán học 14 a Phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức 14 b Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để tìm giới hạn vơ định c Phương pháp tiếp tuyến 𝟎 𝟎 17 18 Ứng dụng vào thực tế 21 a Trong y học:……………………………….…………………………… 21 b Trong sản xuất:………………………………………………………………….21 III Áp dụng tiếp tuyến yếu tố công nghệ 22 Cách tìm phương trình tiếp tuyến máy tính cầm tay……………22 Cách vẽ phương trình tiếp tuyến phần mềm GeoGebra……… 22 Lời mở đầu Chủ đề hàm số nội dung chương trình tốn THPT Một tốn chủ đề hàm số khơng đơn tìm tập xác định, xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số mà đề cập đến vấn đề khác như: Viết phương trình tiếp tuyến, chứng minh tính chất tiếp tuyến, tìm tập hợp điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số,… “Các tốn phương trình tiếp tuyến” nội dung quan trọng thường gặp kỳ thi Bài toán viết phương trình tiếp tuyến có nhiều dạng khác ứng dụng phương trình tiếp tuyến để giải bất đẳng thức, tìm giới hạn vơ định , dùng phương pháp tiếp tiếp để ước lượng sai số Ngồi đóng vài trò quan trọng dùng để ứng dụng y học sản xuất Vì lý nhóm chúng em xin chọn đề tài “ Các toán tiếp tuyến” để làm đề tài tiểu luận Mong hữu ích cho người đọc Tuy nhiên suốt trình tìm hiểu nghiên cứu dù nỗ lực khó tránh sai sót Hy vọng nhận góp ý Cơ bạn PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN I Khái quát tiếp tuyến: Lịch sử hình thành: Euclid vài lần nói đến tiếp tuyến đường tròn III Elements (khoảng 300 TCN) Trong tác phẩm Conics (khoảng năm 225 TCN), Apollonius định nghĩa đường tiếp tuyến đường thẳng cho khơng có đường thẳng khác đứng đường cong Archimedes (khoảng 287 - 212 TCN) tìm tiếp tuyến với đường xoắn ốc Archimedes cách xem xét đường điểm di chuyển dọc theo đường cong Trong thập niên 1630 Fermat phát triển kỹ thuật adequality để tính tiếp tuyến vấn đề khác vi phân sử dụng cách tính để tính tốn tiếp tuyến cho hình parabol Kỹ thuật adequality tương tự tính khác biệt 𝑓(𝑥 + ℎ) 𝑓(𝑥) chia cho h Độc lập với Fermat, Descartes sử dụng phương pháp chuẩn hóa dựa quan sát bán kính vòng tròn ln ln chuẩn hóa với đường tròn Những phương pháp dẫn đến phát triển vi phân kỷ 17 Nhiều người đóng góp, Roberval phát phương pháp tổng quát cho việc vẽ tiếp tuyến, cách xem xét đường cong điểm di chuyển mà chuyển động kết số chuyển động đơn giản Renộ-Franỗois de Sluse v Johannes Hudde ó tỡm thut tốn đại số để tìm đường tiếp tuyến Những phát triển sau bao gồm thành tựu John Wallis Isaac Barrow, dẫn đến lý thuyết Isaac Newton Gottfried Leibniz Một định nghĩa năm 1828 tiếp tuyến "đường thẳng chạm vào đường cong, khơng cắt nó" Định nghĩa cũ làm cho điểm uốn đường cong khơng có tiếp tuyến Định nghĩa bị loại bỏ định nghĩa đại tương đương với định nghĩa Leibniz, người xác định tiếp tuyến đường thẳng nối cặp điểm gần vô hạn đường cong Mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm: Công thức để xác định tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm M(x0;y0) xác định sau: 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑦0 Trong công thức trên, ta thấy đạo hàm bậc hàm số hoành độ điểm, 𝑓′(𝑥0 ) hệ số góc tiếp tuyến Tại công thức tiếp tuyến lại xuất đạo hàm bậc nhất? Hay cụ thể hệ số góc tiếp tuyến lại 𝑓 ′ (𝑥0 )? Bây ta xét cát tuyến hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) qua điểm 𝑀(𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )) 𝑣à 𝑁(𝑥0 + ℎ; 𝑓(𝑥0 + ℎ)) Khi giao điểm cát tuyến với đồ thị hàm số có hồnh độ cách khoảng h (từ x0 đến x0+h) Ta giả sử phương trình cát tuyến có dạng: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑑) Do (d) qua M N nên: 𝑓(𝑥0 ) = 𝑎𝑥0 + 𝑏 𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑎(𝑥0 + ℎ) + 𝑏 Tiếp tục, lấy vế trừ vế, ta suy hệ số góc đường (d) tính thông qua 𝑎= 𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 ) (𝑥0 +ℎ)−𝑥0 = 𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 ) ℎ (1) Thử tưởng tượng cát tuyến bị đóng đinh điểm M, đầu lại cát tuyến di chuyển bạn dùng tay cầm đầu kéo cát tuyến lên xuống đảm bảo khơng ngồi đồ thị hàm số Khi khoảng cách giao điểm không h mà h’, h’’ (h’’0 bạn có hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M 𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 ) ℎ=>0 ℎ lim Và công thức đạo hàm f’(x0) II Các dạng phương trình tiếp tuyến: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc (C) Bước 1: Gọi M (x0;y0) tiếp điểm, M ⋲ (C) Bước 2: Tính f’(x) Bước 3: Tính hệ số góc tiếp tuyến: f’(x0) Bước 4: Phương trình tiếp tuyến là: y = f’(x0)(x – x0) + y0 Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + điểm 𝑀(2; 5) Lời giải: ′ (𝑥) Ta có: 𝑓 = 3𝑥 − Suy hệ số góc tiếp tuyến điểm điểm 𝑀(2; 5) là: 𝑓 ′ (2) = 3.22 − = 10 Vậy ta phương trình tiếp tuyến: 𝑦 − = 10(𝑥 − 2)  y = 10x − 15 Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): số 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 𝑀(1; 3) Lời giải: Ta có: 𝑦 ′ (𝑥) = 3𝑥 + 4𝑥 𝑘 = 𝑦 ′ (1) = Phương trình tiếp tuyến 𝑀(1; 3) (d): 𝑦 = 𝑦 ′ (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) = 7x – Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước Bước 1: Gọi k hệ số góc ∆ có phương trình dạng (∆) : 𝑦 = 𝑘(𝑥 − 𝑥𝑎 ) 𝑦𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑘(𝑥 − 𝑥𝑎 ) 𝑦𝑎 Bước 2: Giải hệ { Nghiệm hệ tọa độ tiếp điểm 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑘 Bước 3: Thay 𝑘 tìm bước vào phương trình ∆ có bước Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥−1 𝑥−2 qua 𝐴(5; −1) Lời giải Ta có f ( x)  3 Đi qua 𝐴(5; −1).và có hệ số góc k có phương trình ( x  2)2 dạng (∆): 𝑦 = 𝑘(𝑥 − 5) − Đường thẳng  tiếp xúc với (C ) hệ 2𝑥−1 { 𝑥−2 = 𝑘(𝑥 − 5) − (1) −3 (𝑥−2)2 = 𝑘 (2) Có nghiệm Thay 𝑘 = −3 (𝑥−2)2 (2) vào (1) ta 2𝑥 − −3(𝑥 − 5) 𝑥 = −1 = −  𝑥 − 2𝑥 − =  [ (𝑥 𝑥=3 𝑥−2 − 2) Với 𝑥 = −1  𝑦 = ta tiếp điểm M1 (1;1) , hệ số góc 𝑘1 = 2 tuyến (∆1 ): 𝑦 = − 𝑥 + −1 tiếp Với 𝑥 =  𝑦 = ta tiếp điểm M (3;5) hệ số góc 𝑘2 = −3 tiếp tuyến (∆2 ): 𝑦 = −3𝑥 + 14 Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x)  x3  3x  qua A(1; 1) Lời giải: Đường thẳng ∆ qua điểm 𝐴(1; −1) có hệ số góc k: (∆): 𝑦 = 𝑘(𝑥 − 1) − ∆ trở thành tiếp tuyến, tức tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm 𝑥 − 3𝑥 + = 𝑘(𝑥 − 1) − (1) { 3𝑥 − = 𝑘 (2) Thay (2) vào (1) ta −1 𝑥 = 𝑥 −3+1= − 3)(𝑥 − 1) −  − 2𝑥 + 3𝑥 − =  [ 𝑥=1  : Với 𝑥 =  𝑦 = −1, 𝑘 = Suy tiếp tuyến   𝑦 = −1 Với 𝑥 =  2  : y  (3𝑥 −1 𝑦= 19 ,𝑘 = −9 Suy tiếp tuyến 9   19 9 x x   y   2 4 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến tạo với đường thẳng góc cho trước (biết hệ số góc) Bước 1: Gọi (∆) y = k1x + m1 tiếp tuyến cần tìm (C) Gọi (∆’) y = k2x + m2 đường thẳng cho trước Bước 2: Ta có: (∆) tạo với (∆’) góc a | 𝑘1−𝑘2 1+𝑘1𝑘2 | = tan(𝑎) Giải phương trình tìm k1 Thay vào phương trình: f’(x) = k1 để tìm x Lưu ý: Nếu (∆) ┴ (∆’) k1.k2 = -1 Nếu (∆) // (∆’) k1 = k2 m1 ≠ m2 Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến  đồ thị hàm số f ( x)  2x  biết tiếp tuyến x 1 vng góc với đường thẳng (d ) : y  x 10 Lời giải Từ giả thiết ta suy hệ số góc đường thẳng d Vì   d nên 𝑓 ′ (𝑥) = −1  𝑓 ′ (𝑥) = −3 Ta có phương trình: −3 (𝑥−2) 𝑥1 =  𝑦1 = 𝑓(0) = −1 = −1  (𝑥 − 1)2 =  [ 𝑥2 =  𝑦2 = 𝑓(2) = Với M (0;1) ta có phương trình tiếp tuyến là: (∆1 ): 𝑦 = −3(𝑥 − 0) − = −3𝑥 − Với M (2;5) ta có phương trình tiếp tuyến là: (∆2 ): 𝑦 = 6(𝑥 − 2) + = 6𝑥 − Ví dụ 2: Viết phương trinh tiếp tuyến đồ thị hàm số (C): y  x  x  biết song song với (d):-2x+y+1=0 Lời giải Ta có 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 −  𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 − Ta có (d): −2𝑥 + 𝑦 + =  𝑦 = 2𝑥 − Do hệ số góc (d) 𝑘𝑑 = Do (d) tiếp tuyến song song  𝑘𝑑 = 𝑘 = , ta có phương trình: 11 2𝑥 − =  x =  y = −1 Phương trình tiếp tuyến 𝑀(2; −1) 𝑦 = 2(𝑥 − 2) −  y = 2x − Nếu tiếp tuyến đường tròn Bước 1: Xác định tâm bán kính Bước 2: đường tròn (∁) với cos   n nd (1) n nd Giải phương trình ta tìm Bước 3: (∆) tiếp xúc với Giải phương trình ta tìm ∁ Bước 4: Viết phương trình (∆) Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): 𝑦 = 3𝑥−1 𝑥−3 , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): x+3y−3=0 góc 45𝑜 Lời giải Tập xác định: D = R \ {3} −8 Đạo hàm 𝑦 ′ = (𝑥−3)2 Đường thẳng x=a không tiếp tuyến (C) 12 Tiếp tuyến (Δ): y=kx+b ⇔ kx−y+b=0 có vectơ pháp tuyến 𝑛⃗ = (k;−1) (d) có vectơ pháp tuyến 𝑛⃗𝑑 = (1;3) Theo đề cos(d,Δ) = cos 45𝑜 ⇔ |cos( 𝑛, ⃗⃗⃗ 𝑛⃗𝑑 )|=  k 3 10 k   √2 2  k   k   (k  3)2  5(k  1)  2k  3k    k  2; k  * Trường hợp k=−2 Ta có 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑘  −8 (𝑥−3)2 𝑥=5 = −2  [ 𝑥=1 Với 𝑥 = 5: 𝑦 = Tiếp tuyến (Δ) qua điểm (5;7) nên 𝑏 = 17 Vậy (∆1 ): 𝑦 = −2𝑥 + 17 Với 𝑥 = 1: 𝑦 = −1 Tiếp tuyến (Δ) qua điểm (1;−1) nên 𝑏 = Vậy (∆2 ): 𝑦 = −2𝑥 + * Trường hợp 𝑘 = Ta có 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑘  −8 (𝑥−3)2 = (phương trình vơ nghiệm) III Ứng dụng tiếp tuyến: Trong toán học: a Phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức: Tháng 12/2005 tháng 1/2006 TS Kin – Yin Li – Trường Đại học khoa học công nghệ Hồng Kông đề cập đến việc sử dụng phương trình tiếp tuyến để chứng minh số bất đẳng thức tạp chí tốn học quốc tế Mathematical Excalibur Từ đến nay, số tài liệu bất đẳng thức nước có đề cập đến vấn đề thơng qua số tốn rời rạc Ý tưởng phương pháp, ta sử dụng cơng thức phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số để tìm biểu thức trung gian đánh giá bất đẳng thức 13 Đối với số hàm số, tiếp tuyến điểm đồ thị hàm số nằm hay nằm đồ thị hàm số Dựa vào tính chất này, ta thiết lập phương pháp thú vị để chứng minh bất đẳng thức, phương pháp tiếp tuyến Cơ sở lý thuyết: Nếu 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm 𝐴(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 ) ) (A điểm uốn), tồn (𝛼, 𝛽) chứa 𝑥0 cho 𝑓(𝑥) ≥ 𝑎𝑥 + 𝑏, ∀𝑥 ∈ (𝛼, 𝛽) 𝑓(𝑥) ≤ 𝑎𝑥 + 𝑏, ∀𝑥 ∈ (𝛼, 𝛽) Đẳng thức xảy 𝑥 = 𝑥0 Từ ta có: 𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛 ) ≥ 𝑎(𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ +𝑥𝑛 ) + 𝑛𝑏 𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛 ) ≤ 𝑎(𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ +𝑥𝑛 ) + 𝑛𝑏 với ∀𝑥1, 𝑥2 , … 𝑥𝑛 ∈ (𝛼, 𝛽) đẳng thức xảy 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 𝑥0 Nếu 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ +𝑥𝑛 = 𝑘 (k không đổi) 𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛 ) ≥ 𝑎𝑘 + 𝑛𝑏 𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛 ) ≤ 𝑎𝑘 + 𝑛𝑏 với ∀𝑥1, 𝑥2 , … 𝑥𝑛 ∈ (𝛼, 𝛽) Các bước tiến hành: Nếu gặp bất đẳng thức đồng bậc ta nên chuẩn hóa, tùy vào đặc điểm mà ta có cách chuẩn hóa phù hợp để đưa bất đẳng thức dạng biến cô lập dạng 𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛 ) ≤ 𝛼 𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛 ) ≥ 𝛼 Sau thực bước sau:  Xét xem dấu “=” xảy điều mong ước 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 𝑥0  Dựa vào hình thức bất đẳng thức, xét hàm số 𝑓(𝑥), viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) thại điểm có hồn độ 𝑥0 , giả sử phương trình tiếp tuyến 𝑦 = 𝑔(𝑥)  Viết 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0 )𝑘 ℎ(𝑥), ℎ(𝑥0 ) ≠ 0, 𝑘 ≥ kiểm nghiệm 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝘿 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ≤ 0, ∀𝑥 ∈ 𝘿  Từ đưa lời giải: ta có 𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑔(𝑥𝑖 ) ≥ 0, ∀𝑥𝑖 ∈ 𝘿 𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑔(𝑥𝑖 ) ≤ 0, ∀𝑥𝑖 ∈ 𝘋, 𝑖 = 1, 𝑛  Cộng n bất đẳng thức theo vế ta điều phải chứng minh 14 Ví dụ 1: (Đề thi kì Đại số 2017-2018) Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng rằng: √𝑎 + √𝑏 + √𝑐 ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 Lời giải: Dấu “=” xảy 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = BĐT  2√𝑎 + 2√𝑏 + 2√𝑐 ≥ − 𝑎2 − 𝑏 − 𝑐 Xét hàm 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2√𝑥 ,tiếp tuyến đồ thị hàm số có hồnh độ 𝑦 = 3𝑥 Ta có: 𝑓(𝑥) − 3𝑥 = 𝑥 + 2√𝑥 − 3𝑥 = (√𝑥 − 1) (𝑥 + 2√𝑥), ∀ 𝑥 ≥1 Vì ta có: 𝑎2 + 2√𝑎 − 3𝑎 = (√𝑎 − 1) (𝑎 + 2√𝑎) ≥ 0, ∀a≥1 𝑏 + 2√𝑏 − 3𝑏 = (√𝑏 − 1) (𝑏 + 2√𝑏) ≥ 0, ∀b≥1 𝑐 + 2√𝑐 − 3𝑐 = (√𝑐 − 1) (𝑐 + 2√𝑐) ≥ 0, ∀c≥1 Cộng BĐT ta được: 𝑎2 + 2√𝑎 + 𝑏 + 2√𝑏 + 𝑐 + 2√𝑐 ≥ Suy BĐT chứng minh Ví dụ 2: Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ : 𝑎 −3 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1.Chứng minh rằng: 𝑏 𝑐 + 𝑏2 +1 + 𝑐 +1 ≤ 10 𝑎2 +1 Phân tích: Dấu “= " xảy 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = Xét hàm 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑥 +1 ,tiếp tuyến đồ thị hàm số có hồnh độ Ta có: 𝑓 (𝑥 ) − 36𝑥+3 50 = −(3𝑥−1)2 (4𝑥+3) 50(𝑥 +1) 𝑦 = 36𝑥+3 50 −3 ≥ 0,∀x≥ Vì ta có: 𝑎 𝑎2 +1 − 36𝑎+3 50 = −(3𝑎−1)2 (4𝑎+3) 50(𝑎2 +1) ≥ 0,∀a≥ −3 15 𝑏 𝑏 +1 𝑐 𝑐 +1 − − 36𝑏+3 50 36𝑐+3 50 −(3𝑏−1)2 (4𝑏+3) = 50(𝑏2 +1) −(3𝑏−1)2 (4𝑏+3) = 50(𝑏 +1) −3 ≥ 0,∀b≥ ≥ 0,∀c≥ −3 Cộng ba BĐT ta được: 𝑎 𝑏 𝑐 + 𝑏2 +1 + 𝑐 +1 ≤ 10 ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 𝑎2 +1 −3 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = b Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để tìm giới hạn vơ định 𝟎 𝟎 Cơ sở lý thuyết: Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm 𝑥0 Ta tiếp tuyến đồ thị (C): 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑀0 ∈ (𝐶) giới hạn cát tuyến 𝑀𝑀0 đồ thị (C) M dần tới 𝑀0 (𝑀, 𝑀0 thuộc đồ thị (C)) Và ta thấy 𝑥 → 𝑥0 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓(𝑥0 ) hai lượng “vô bé tương đương” Các bước thực hiện:  Giả sử giới hạn lim𝑥→𝑥0 𝑚 𝑛 √𝑙(𝑥)− √ℎ(𝑥) (𝑥−𝑥0 )𝑘 viết lại lim𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) (𝑥−𝑥0 )𝑘 (𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 = 𝑔(𝑥) có đạo hàm 𝑥0 ) Khi ta thực theo bước sau:  Viết phương trình tiếp tuyến hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑥0 , giả sử 𝑦 = 𝑡(𝑥)  Tính lim𝑥→𝑥0 𝑚 𝑚 𝑛 √𝑙(𝑥)− √ℎ(𝑥) (𝑥−𝑥0 )𝑘 = lim [ 𝑥→𝑥0 √𝑙(𝑥)−𝑡(𝑥) (𝑥−𝑥0 )𝑘 + 𝑡(𝑥)− 𝑛√ℎ(𝑥) (𝑥−𝑥0 )𝑘 ] Ví dụ 1: Tính giới hạn T = lim𝑥→0 √8𝑥 +𝑥 +6𝑥+9 − √9𝑥 +27𝑥+27 𝑥3 Lời giải: Đặt 𝑓(𝑥) = √8𝑥 + 𝑥 + 6𝑥 + , 𝑔(𝑥) = √9𝑥 + 27𝑥 + 27 Phương rình tiếp tuyến hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) điểm có hoành độ 𝑦 = 𝑥 + Khi √8𝑥 +𝑥 +6𝑥+9 −(𝑥+3) T = lim𝑥→0 [ 𝑥3 = lim [(𝑓(𝑥)+𝑥+3)] + lim [(𝑥+3)2 𝑥→0 𝑥→0 + (𝑥+3)− √9𝑥 +27𝑥+27 ] 𝑥3 +(𝑥+3)𝑔(𝑥)+(𝑔(𝑥))2 ]= 37 27 16 Ví dụ √𝑐𝑜𝑠2𝑥−2𝑥 − √√1+2𝑥 −4𝑥 2: Tìm giới hạn T = lim𝑥→0 𝑥2 Lời giải: Đặt 𝑓(𝑥) = √𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 2𝑥 , 𝑔(𝑥) = √√1 + 2𝑥 − 4𝑥 Phương trình tiếp tuyến hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) điểm có hồnh độ 𝑦 = − 𝑥 Khi đó: T= √𝑐𝑜𝑠2𝑥−2𝑥 − √√1+2𝑥 −4𝑥 lim𝑥→0 𝑥2 √𝑐𝑜𝑠2𝑥−2𝑥 −(1−𝑥) 𝑥2 𝑥→0 = lim [ + 𝑥 −2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = lim (𝑓(𝑥)+(1−𝑥)) + lim 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 −1−2 𝑥 𝑥→0 (𝑓(𝑥)+(1−𝑥)) = −3 𝑥2 ] (𝑥 −4𝑥 +6𝑥 )+(1−√1+2𝑥 ) 𝑥→0 𝑥 [(1−𝑥)3 +(1−𝑥)2 𝑔(𝑥)+(1−𝑥)(𝑔(𝑥)) +(𝑔(𝑥))3 ] 𝑥→0 = lim (1−𝑥)−√𝑐𝑜𝑠2𝑥−2𝑥 −1 4 + = (𝑥 −4𝑥+6)+ + lim −2 (1+√1+2𝑥2 ) 𝑥→0 [(1−𝑥)3 +(1−𝑥)2 𝑔(𝑥)+(1−𝑥)(𝑔(𝑥)) +(𝑔(𝑥))3 ] c Phương pháp tiếp tuyến: * Định nghĩa Điểm Fourier: Điểm x0 gọi điểm Fourier f nếu: f(x0).f"(x0)>0 * Định lý (điều kiện hội tụ theo Fourier_Điều kiện đủ) Giả sử [a,b] khoảng nghiệm phương trình f(x)=0 Đạo hàm f’(x), f’’(x) liên tục, không đổi dấu, không tiêu diệt [a,b] Khi ta chọn xấp xỉ nghiệm ban đầu x0 thuộc[a,b] cho f(x0).f’’(x0) > trình lặp hội tụ đến nghiệm * Ý tưởng: Ở bước lặp thứ k ta thay hàm f(x) tiếp tuyến đồ thị điểm xk Nghiệm xấp xỉ giao điểm tiếp tuyến với trục hoành 17 * Ý nghĩa hình học: f hàm khả vi dễ tính giá trị đạo hàm phương pháp tiếp tuyến có tốc độ hội tụ nhanh Giả sử f(x) hàm khả vi liên tục lần đoạn [a,b] thoả mãn: f(a).f(b) x thuộc (1, 2) f’(x) > x Thoả mãn điều kiện hội tụ Fourier, áp dụng phương pháp tiếp tuyến Chọn với x0 = (vì f(2) f’’(2) > 0) Ví dụ 3: Xét phương trình  1 f ( x)  x3  3x  khoảng cách ly nghiệm 0,   2 Lời giải Ta có:  1 x  0,  , f '( x)  3x    m   2 Chọn x0 = thỏa điều kiện Fourier Kết tính tốn theo cơng thức lặp Newton cho ta bảng sau: n xn 0,0000000000 0,3333333333 0,3472222222 0,3472963532 Sai số 1,65.10-2 8,7.10-5 2,55.10-9 20 Trong vào thực tế: a Trong y học: Chụp X-quang sọ gồm: phim chụp thẳng nghiêng, đặc biệt chụp tiếp tuyến có giá trị chẩn đốn vỡ lún xương sọ, dị vật cắm vào vùng xoang tĩnh mạch, khí nội sọ… b.Trong sản xuất: Trong cơng nghiệp, người ta sản xuất thép không gỉ với tiếp tuyến 21 IV Áp dụng tiếp tuyến yếu tố công nghệ: Cách tìm phương trình tiếp tuyến máy tính cầm tay: Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị f(x)=x2-3x+1 x=3 - Bước 1: Chọn máy tính Màn hình - Bước 2:Nhập đồ thị f(x) điểm cắt hình - Bước 3: Ghi nhớ kết tiếp tục dùng hàm nhân với -x+f(x) - Bước 4: Nhấn nút , nhập tiếp điểm vào, nhấn kết Kết luận: Vậy phương trình tiếp tuyến y=3x-8 Cách vẽ phương trình tiếp tuyến phần mềm GeoGebra Ví dụ: Vẽ tiếp tuyến đồ thị f(x)=sin(x)-1 - Bước 1: Nhập yếu tố sau vào khung Input f(x)=sin(x)-1 22 a=5 (có thể thay đổi dài ngắn tùy thích) t=Tangents[a,f] - Bước 2: Kéo chuột cho a chạy nhìn tiếp tuyến chạy đồ thị 23 Link tài liệu tham khảo: https://toanhoctuoidep.wordpress.com/2014/08/08/dao-ham-lagi-3/ https://www.youtube.com/watch?v=JFDOsOpYnKc http://voer.edu.vn/m/phuong-phap-tiep-tuyen/f48d8370 Cảm ơn Cô theo dõi! 24 ... trình tiếp tuyến, chứng minh tính chất tiếp tuyến, tìm tập hợp điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số,… Các tốn phương trình tiếp tuyến nội dung quan trọng thường gặp kỳ thi Bài toán viết... có để ý khoảng cách h nhỏ lại (h tiến 0) khả cát tuyến trở thành tiếp tuyến lớn thêm tiếp tuyến h=0 Như bạn rút kết luận h => cát tuyến thành tiếp tuyến để tính hệ số góc tiếp tuyến ta việc dựa... LỜI MỞ B PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN I Khái quát tuyến tiếp ………………………………………… Lịch sử hình thành……………………………………………………….4 Mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm Các dạng trình tiếp tuyến II Ứng