ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

Câu 1: [2D3-5-4](THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI-SÓC TRĂNG-2018) Cho  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x đường thẳng y   x (như hình vẽ bên) Biết diện tích hình  H  S  a  b , với a , b số hữu tỉ Tính P  2a  b A P  D S  10 C P  16 B P  Lời giải Chọn A + Cách : Diện tích hình phẳng  H  : S      x   x dx Đặt x  2sin t  dx  2cos tdt   2 0    S    2cos t   2sin t  2cos tdt   4cos t  4cos t  4sin t cos t dt       2cos 2t  4cos t  2sin 2t  dt   2t  sin 2t  4sin t  cos 2t  02     a  , b  2  P  2a  b    + Cách : 1 Diện tích hình phẳng  H  : S   22  2.2     a  , b  2  P  2a  b    Câu 2: [2D3-5-4] [CHUYÊN KHTN L4-2017] Gọi  H  phần giao hai khối hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vng góc với Xem hình vẽ bên Tính thể tích  H  A V H  V H  2a   a3  B V H  3a  C V H  a3  D Lời giải Chọn A Ta gọi trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi phần giao  H  vật thể có đáy phần tư hình trịn tâm O bán kính a , thiết diện mặt phẳng vng góc 2 với trục Ox hình vng có diện tích S  x   a  x Thể tích khối  H  a a 0 2  S  x  dx    a  x dx  2a Câu 3: [2D3-5-4] [CHUYÊN VINH – L2-2017] Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x  quanh trục Ox Đường thẳng x  a   a   cắt đồ thị hàm y  x M (hình vẽ bên) Gọi V1 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V  2V1 Khi C a  B a  2 A a  D a  Lời giải Chọn D Ta có x   x  Khi V    xdx  8  Ta có M a; a  Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy: Hình nón  N1  có đỉnh O , chiều cao h1  OK  a , bán kính đáy R  MK  a ; Hình nón  N  thứ có đỉnh H , chiều cao h2  HK   a , bán kính đáy R  MK  a 1 Khi V1   R h   R h   a 3 Theo đề V  2V1  8   a  a  Câu 4: [2D3-5-4] [CHUYÊN VINH – L2-2017]Gọi  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  x  x  , trục tung trục hoành Xác định k để đường thẳng  d  qua điểm A  0;  có hệ số góc k chia  H  thành hai phần có diện tích A k  4 B k  8 C k  6 D k  2 Lời giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  x  x  trục hoành là: x  x    x  Diện tích hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số: y  x  x  , trục tung  x3  trục hoành là: S   x  x  dx    x  x   dx    x  x    0 0 2 2 Phương trình đường thẳng  d  qua điểm A  0;4  có hệ số góc k có dạng: y  kx   4  Gọi B giao điểm  d  trục hồnh Khi B  ;0   k  Đường thẳng  d  chia  H  thành hai phần có diện tích B  OI S OAB  S 4  0 2  k  2  k    k  6 1 4 k  6  S OA.OB   OAB   2 k  Câu 5: [2D3-5-4] (SGD Hải Phòng - HKII - 2016 - 2017) Người ta làm phao bơi hình vẽ (với bề mặt có cách quay đường trịn  C  quanh trục d ) Biết OI  30 cm , R  cm Tính thể tích V phao I R (C) d A V  1500 cm V  9000 cm B V  9000 cm3 Lời giải Chọn A O C V  1500 cm3 D Chọn hệ trục tọa độ Oxy với d trục Ox , I  Oy Khi đó, tọa độ điểm I  0;30  Phương trình đường trịn tâm I bán kính R x   y  30   25 Rút y ta y  30  25  x Thể tích phao :   V  2   30  25  x     30  25  x    dx  240  25  x dx Đặt x  5sin t  dx  5cos tdt   2 0 V  240  25cos tdt  3000  1  cos 2t  dt  1500 cm Câu 6: [2D3-5-4] (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2017 - 2018 -BTN) Cho tam giác hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trùng với tâm hình vng, trục tam giác trùng với trục hình vng (như hình vẽ) Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình cho quay quanh trục A H C K  16 23  A  64 17  3    64 17  B Lời giải Chọn D   16 17  3 C  D A H M C L K Ta cần tìm HM Ta có HM AH HM 4     R  HM  KL AK 4 3 Thể tích tính thể tích trụ cộng với thể tích nón lớn trừ thể tích nón nhỏ phía Vtru   42.8  128 64 3 Vnon lon   42.4  3   64       3 Vnon nho V  Vtru  Vnon lon  Vnon nho  128   17  3  64 3 64   64   9   Câu 7: [2D3-5-4] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Xét hàm số y  f  x  liên tục miền D   a; b  có đồ thị đường cong C Gọi S phần giới hạn C đường thẳng x  a , x  b Người ta chứng minh diện tích mặt cong tròn b xoay tạo thành xoay S quanh Ox S  2  f  x    f   x   dx Theo a kết trên, tổng diện tích bề mặt khối tròn xoay tạo thành xoay phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f  x   x  ln x đường thẳng x  , x  e quanh Ox 2e2   A 4e   B 64 4e   16 Lời giải 4e  16e   C 16 D Chọn D Cách (Giải tự luận) Ta có f  x  2 x  ln x x ln x 1  1     f  x  x    f   x    x    x2   4 4x 4x  16 x  Lại có f   x   x   0, x  1; e  , nên f  x  đồng biến 1;e Suy 4x f  x   f 1   0, x  1; e  Từ ta thực phép tính sau b e  x ln x  1  S  2  f  x    f   x   dx  2     dx  1  x  2  16 x   a 1 e  x ln x   x ln x   1  S  2    x   d x        x   dx   16 x 2   4x  1 1 e  x ln x     2     x   dx  4x  1 e 1 ln x  1  2   x3  x  x ln x   dx 16 x   e  2  I1  I  I  e  x4 x2   2e4  e2  1 Với I1    x3  x  dx       16 2  16  e e 11 1   I     x ln x  dx   x  ln x  1   e  44 16 16   e e  ln x  I3      dx   ln x   32 32  16 x  e Cách Học sinh e S  2  Câu 8: trực tiếp bấm máy x ln x 1     x2   dx để có kết 2 16 x   tính tích phân Câu 9: [2D3-5-4] (SGD – HÀ TĨNH ) Ta vẽ hai nửa đường tròn hình vẽ bên, đường kính nửa đường trịn lớn gấp đơi đường kính nửa đường trịn nhỏ Biết nửa hình trịn đường kính AB có diện tích 8 BAC  30 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình  H  (phần tơ đậm) xung quanh đường thẳng AB C (H) B A A 220  B 98  C 224  D 4 Lời giải Chọn B Gọi V1 , V2 , V3 , V4 thể tích khối trịn xoay quay tam giác AHC , ALD đa giác LID , HBC quanh AB Gọi R , r bán kính đường trịn lớn nhỏ Ta có: 2.8   R  R  r  Vì IHC vng H , CIH  60 có  o 2 CH  IC sin 60    2  IH  IC  CH  16  12    AL  AH    1  V1  AH  CH  6. 12  24 Khi  V  AL. DL2  3.  3  3 Giả sử nửa đường tròn lớn tâm I  0;0  , R  nên có phương trình: y  16  x Khi V4      16  x 2  x3  40 dx   16 x     2  Giả sử nửa đường tròn nhỏ tâm K  0;0  , R  nên có phương trình: y   x Khi V3     4 x   x3  dx    x     1  Vậy thể tích khối trịn xoay cần tìm là: 40    98  V  V1  V4   V2  V3    24      3          Câu 10: [2D3-5-4] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Bổ dọc dưa hấu ta thiết diện hình elip có trục lớn 28 cm , trục nhỏ 25 cm Biết 1000 cm dưa hấu làm cốc sinh tố giá 20000 đồng Hỏi từ dưa hấu thu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết bề dày vỏ dưa không đáng kể A 183000 đồng 190000 đồng B 180000 đồng C 185000 đồng D Lời giải Chọn A Đường elip có trục lớn 28 cm , trục nhỏ 25 cm có phương trình   25   y2      y2  25      1  x2  25 x2   y      142  14  2 14  25  x2  x2   25    dx      1   dx Do thể tích dưa V      14    14  14  14  14  25       14  x3   25  56 8750  cm  x      3.14  14    Do tiền bán nước thu 8750 20000  183259 đồng 3.1000 Câu [2D3-5-4] 11: C  : y  f  x   [THPT Lê Hồng Phong-HCM-HK2-2018] Cho đồ thị x Gọi  H  hình phẳng giới hạn đồ thị  C  , đường thẳng x  trục Ox Cho điểm M thuộc đồ thị  C  điểm A  9;0  Gọi V1 thể tích khối trịn xoay cho  H  quay quanh trục Ox , V2 thể tích khối trịn xoay cho tam giác AOM quay quanh trục Ox Biết V1  2V2 Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn đồ thị  C  đường thẳng OM A S  B S  27 16 C S  3 D S  Lời giải Chọn B Ta có V1  π   x  dx  812 Gọi H hình chiếu M lên trục Ox , đặt OH  m (với  m  ), ta có   M m; m , MH  m AH   m 1 Suy V2  π.MH OH  π.MH AH  π.MH OA  3mπ 3 Theo giả thiết, ta có V1  2V2 nên  27 3  81π 27  6mπ  m  Do M  ;    Từ ta có phương trình đường thẳng OM y  x Diện tích S phần hình phẳng giới hạn đồ thị  C  đường thẳng OM 27 27 2   27 3   x x  x   S    x  x  dx  9 16   0  Câu 12: [2D3-5-4] (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh Lần -2018) Cho số p, q thỏa mãn điều kiện: 1 p  , q  ,   số dương a , b Xét hàm số: p q y  x p 1  x   có đồ thị  C  Gọi  S1  diện tích hình phẳng giới hạn  C  , trục hoành, đường thẳng x  a , Gọi  S  diện tích hình phẳng giới hạn  C  , trục tung, đường thẳng y  b , Gọi  S  diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, trục tung hai đường thẳng x  a , y  b Khi so sánh S1  S S ta nhận bất đẳng thức bất đẳng thức đây? A a p bq   ab p q B a p 1 b q 1   ab p 1 q 1 C a p 1 b q 1   ab p 1 q 1 D a p bq   ab p q Lời giải Chọn D Ta có: S  S1  S a S1    x p 1  xp   dx   p    a   1 b p p 1     y a  ; S    y p 1  dy      p  1  0   p 1    b  yq     q  b bq  q p 1 1    q p 1 p 1  1 p q Vì: a p bq   ab p q Câu 13: HẾT [2D3-5-4] (THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần - 2018) Cho Parabol  P  : y  x hai điểm A, B thuộc  P  cho AB  Diện tích Vậy hình phẳng giới hạn  P  đường thẳng AB đạt giá trị lớn bằng? A B C D Lời giải Chọn C Cách 1: Gọi A  a; a  , B  b; b2  với a  b Ta có AB    b  a    b2  a   2 x  a y  a2 x  a y  a2     y   a  b  x  a   a 2 ba b a ba  y   a  b  x  ab AB : b b S     a  b  x  ab  x  dx    x  a  b  x  dx a a ba ba  t  b  a  t  dt    t  b  a   t  dt Đặt t  x  a Suy S  0  b  a  t ba  ba t  b  a   Ta có  b  a    b2  a     b  a    b  a  2  b  a    b  a  2 4 4 b  a  Suy b  a   S   23  a  b  b   A  1;1 , B 1;1 Dấu xảy   b  a  a  1 Cách 2: Sử dụng cơng thức diện tích hình phẳng giới hạn  P  : y  ax  bx  c trục hoành y  S  3 ,   b  4ac 1 36a Tổng quát với  P  : y  ax  bx  c  d  : y  mx  n ta lập phương trình hồnh độ giao điểm ax  bx  c  mx  n  ax   b  m  x  c  n  Áp dụng S  3 ,    b  m   4a  c  n  36a Câu 14: [2D3-5-4](THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần -2018 - BTN) Cho parabol  P  : y  x đường thẳng d thay đổi cắt  P  hai điểm A , B cho AB  2018 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn  P  đường thẳng d Tìm giá trị lớn S max S 20183  20183  A S max  Smax B Smax  20183 C S max  20183  D Lời giải Chọn D Giả sử A(a; a ) ; B(b; b ) (b  a) cho AB  2018 Phương trình đường thẳng d là: y  (a  b) x  ab Khi b b a a S   (a  b) x  ab  x dx     a  b  x  ab  x  dx  b  a   Vì AB  2018   b  a    b  a   20182   b  a    b  a   b  a  2  2018  b  a  b  a  2018  S  2   2018 20183 20183 S  Vậy max 6 a  1009 b  1009 Câu 15: [2D3-5-4] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần - 2018 - BTN) Cho hai đường tròn  O1 ;5   O2 ;3 cắt hai điểm A , B cho AB đường kính đường tròn  O2 ;3 Gọi  D  hình phẳng giới hạn hai đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần gạch chéo hình vẽ) Quay  D  quanh trục O1O2 ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành A V  36 V B V  68 C V  14 D 40 Lời giải Chọn D Chọn hệ tọa độ Oxy với O2  O , O2C  Ox , O2 A  Oy Cạnh O1O2  O1 A2  O2 A2  52  32    O1  :  x    y  25 Phương trình đường tròn  O2  : x  y  Kí hiệu  H1  hình phẳng giới hạn đường y  25   x   , trục Ox , x  , x 1 Kí hiệu  H  hình phẳng giới hạn đường y   x , trục Ox , x  , x  Khi thể tích V cần tính thể tích V2 khối trịn xoay thu quay hình  H  xung quanh trục Ox trừ thể tích V1 khối trịn xoay thu quay hình  H1  xung quanh trục Ox Ta có V2   r   33  18 3  x  4     Lại có V1    y dx    25   x   dx    25 x       0 1 Do V  V2  V1  18  14 40  3  14 Câu 16: [2D3-5-4] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Trong đợt hội trại “Khi 18 ” tổ chức trường THPT X, Đoàn trường có thực dự án ảnh trưng bày pano có dạng parabol hình vẽ Biết Đồn trường u cầu lớp gửi hình dự thi dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD , phần cịn lại trang trí hoa văn cho phù hợp Chi phí dán hoa văn 200.000 đồng cho m bảng Hỏi chi phí thấp cho việc hoàn tất hoa văn pano (làm trịn đến hàng nghìn)? A B D C 4m A 900.000 đồng 1.230.000 đồng 4m B 1.232.000 đồng C 902.000 đồng D Hướng dẫn giải Chọn C Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ, phương trình đường parabol có dạng: y  ax  b y B A 4m 2 D O 4m x C Parabol cắt trục tung điểm  0;  cắt trục hoành  2;  nên: b  a  1   b   a.2  b  Do đó, phương trình parabol y   x  Diện tích hình phẳng giới hạn đường parabol trục hoành là:  x3  32 S1     x   d x     x     2 2 2 Gọi C  t ;0   B  t;  t  với  t  Ta có CD  2t BC   t Diện tích hình chữ nhật ABCD S2  CD.BC  2t   t   2t  8t Diện tích phần trang trí hoa văn là: S  S1  S  32 32   2t  8t   2t  8t  3 Xét hàm số f  t   2t  8t  32 với  t   t    0;  Ta có f   t   6t      t     0;   Bảng biến thiên: Như vậy, diện tích phần trang trí nhỏ nhất cho việc hoàn tất hoa văn pano là: 96  32 m , chi phí thấp 96  32 200000  902000 đồng Câu 17: [2D3-5-4] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  3;3 đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ bên Biết f (1)   x  1 g ( x)  f ( x)  2 Kết luận sau đúng? A Phương trình g ( x)  có hai nghiệm thuộc  3;3 B Phương trình g ( x)  khơng có nghiệm thuộc  3;3 C Phương trình g ( x)  có nghiệm thuộc  3;3 D Phương trình g ( x)  có ba nghiệm thuộc  3;3 Lời giải Chọn C Ta có: g  x   f  x   x  1  2  g   x   f   x    x  1 Vẽ đường thẳng y  x  hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y  f   x  (như hình vẽ bên) Từ đồ thị ta thấy: g   x   f   x    x  1  , x   3;1 (do đường cong nằm phía đường thẳng), g   x   f   x    x  1  , x  1;3 (do đường cong nằm phía đường thẳng) Ta có: g 1  f 1 1  1  2  62  Bảng biến thiên: Dựa vào đồ thị ta thấy: diện tích S1 lớn (trong phần bên trái có nhiều ơ, có diện tích ), đó:  S1   g   x  dx   g  x  3 3   g 1  g  3  g  3  Mặt khác: diện tích S nhỏ (trong phần bên phải có ơ), đó:  S2    g   x  dx    g  x    g 1  g  3  g  3  Vậy phương trình g  x   có nghiệm thuộc đoạn  3;3 (nghiệm nằm khoảng  3;1 )  ... -BTN) Cho tam giác hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trùng với tâm hình vng, trục tam giác trùng với trục hình vng (như hình vẽ) Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình cho quay quanh... Gọi  S1  diện tích hình phẳng giới hạn  C  , trục hoành, đường thẳng x  a , Gọi  S  diện tích hình phẳng giới hạn  C  , trục tung, đường thẳng y  b , Gọi  S  diện tích hình phẳng giới... trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi phần giao  H  vật thể có đáy phần tư hình trịn tâm O bán kính a , thiết diện mặt phẳng vng góc 2 với trục Ox hình vng có diện tích S  x   a  x Thể tích khối  H