20041101-gtcs2004

Trường Đại học Sư phạm TP.HCM Hội đồng Tuyển sinh Sau đại học 2004 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004 ĐỀ THI MƠN : GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) (Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề) Câu I: Cho không gian mêtric X với E, F hai tập X cho E tập conpact F tập đóng Đặt d(E, F ) = inf d(x, y) x∈E,y∈F a) Chứng minh tồn x0 ∈ E cho d(x0 , F ) = d(E, F ) b) Cho E ∩ F = Ø Chứng minh tồn số t > cho d(E, F ) ≥ t Câu II: Cho (X, µ) khơng gian có độ đo hàm số f : X → R+ hàm khả tích Cho dãy (An ) tập đo không gian X cho: An ⊂ An+1 với n ∈ N ∞ [ An = X n=1 Chứng minh rằng: Z Z lim f dµ = n→∞ An f dµ X Câu III: Cho (X, µ) khơng gian có độ đo B ⊂ X với B tâp đo Cho hàm số đo f : X → N Với n ∈ N , ta đặt: Bn = {x ∈ B : |f (x)| ≤ n} Chứng minh với n Bn tập đo lim µ(Bn ) = µ(b) n→∞ Câu IV: Tính tích phân sau đây: Z1 lim n→∞ −1 x + x2 enx dx + enx Câu V: Cho X khơng gian Hilbert với tích vơ hướng h·, ·i en hệ trực chuẩn đầy đủ không gian X Cho an dãy số Đặt T (x) = ∞ X an < x, en > en , với x ∈ X n=1 a) Cho dãy an bị chặn Chứng minh T ánh xạ tuyến tính liên tục tính kT k b) Cho lim an = Chứng minh T ánh xạ compact n→∞ HẾT Ghi - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu - Cán coi thi không giải thích thêm