Lý thuyết và xác suất thống kê toán

Ngày nay, Xác suất thống kê là một môn học không thể thiếu trong hầu như tất cả các lĩnh vực về kinh tế, xã hội,... và đến các ngành kỹ thuật. Các hiện tượng tưởng chừng như không có quy luật, nay đã được tìm hiểu một cách tương đối cặn kẽ bởi môn học này.

BÀI GIẢNG

Lí thuyết xác suất và thống kê Toán

Trần Anh Tuấn, email: anhtuanvcu@gmail.com

Bộ môn Kinh tế lượng - Đại học Thương mại

Lí thuyết xác suất thống kê là một bộ phận của toán học, nghiêncứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế.

Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không thể nóitrước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát.Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượngngẫu nhiên trong các phép thử như nhau, ta có thể rút ra đượcnhững kết luận khoa học về hiện tượng này

Lí thuyết xác suất cũng là cơ sở để nghiên cứu Thống kê – môn họcnghiên cứu các các phương pháp thu thập thông tin chọn mẫu, xử

lí thông tin, nhằm rút ra các kết luận hoặc quyết định cần thiết.Ngày nay, với sự hỗ trợ tích cực của máy tính điện tử và công nghệthông tin, lí thuyết xác suất thống kê ngày càng được ứng dụngrộng rãi và hiệu quả trong mọi lĩnh vực khoa học tự nhiên và xãhội Chính vì vậy lí thuyết xác suất thống kê được giảng dạy chohầu hết các nhóm ngành ở đại học

Tài liệu tham khảo

Mai Kim Chi, Trần Doãn Phú, Lý thuyết xác suất và thống kê toán,Nhà xuất bản Thống kê, 2008

Nguyễn Thọ Liễn, Trần Doãn Phú, Hướng dẫn giải bài tập Xácsuất và Thống kê Toán, Nhà xuất bản Thống kê, 2010

Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Lý thuyết xác suất và thống kêtoán, Nhà xuất bản đại học kinh tế quốc dân, 2008

Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Bài tập xác suất và thống kêtoán, Nhà xuất bản đại học kinh tế quốc dân, 2008

Nội dung chính

PHẦN I LÍ THUYẾT XÁC SUẤT

Chương 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

Chương 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Chương 3 MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

PHẦN II THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Chương 4 LÍ THUYẾT MẪU

Chương 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ CỦA ĐLNN

Chương 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ

PHẦN I LÍ THUYẾT XÁC SUẤT

Chương 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

3 Xác suất của biến cố

Khái niệm xác suất của biến cố Định nghĩa cổ điển về xác suất Định nghĩa thống kê về xác suất

NL xác suất bé, NL xác suất lớn

4 Các định lí về xác suất

Định lí nhân xác suất Định lí cộng xác suất

5 CT đầy đủ - Bayes

Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes

§ 1 BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH KẾT HỢP

1.1 Quy tắc nhân

Định nghĩa

Một công việc nào đó được thực hiện theo 2 công đoạn A và B Côngđoạn A có m cách thực hiện, với mỗi cách thực hiện công đoạn A có ncách thực hiện công đoạn B Khi đó có m.n cách thực hiện công việcđó

Quy tắc nhân có thể mở rộng cho một công việc thực hiện theo nhiềucông đoạn

Ví dụ 1.1

Giả sử để đi từ A đến C bắt buộc phải đi qua B Có 3 con đường khácnhau để đi từ A đến B và có 2 con đường khác nhau để đi từ B đến C.Hỏi có bao nhiêu cách để đi từ A đến C ?

Lời giải

Số cách đi từ A đến C là 3.2 = 6

1.2 Quy tắc cộng

Định nghĩa

Một công việc nào đó được thực hiện theo phương án A hoặc phương

án B Có m cách thực hiện phương án A và n cách thực hiện phương

án B Khi đó có m + n cách thực hiện công việc đó

Quy tắc nhân có thể mở rộng cho một công việc thực hiện theo nhiềuphương án

Ví dụ 1.2

Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công

bố danh sách các đề tài bao gồm : 8 đề tài lịch sử, 7 đề tài thiên nhiên,

10 đề tài văn hóa Mỗi thí sinh được quyền lựa chọn một đề tài Hỏimỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng chọn đề tài ?

Lời giải

Mỗi thí có 8 + 7 + 10 = 25 khả năng chọn đề tài

Mỗi cách sắp xếp 4 bạn sinh viên vào bàn dài 4 chỗ ngồi là một hoán

vị của tập gồm 4 bạn sinh viên Vì vậy có 4! = 24 cách sắp xếp 4 bạnngồi vào bàn

Trong 4 bạn, có bạn Bình và bạn Tú Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 4bạn vào bàn trong đó hai bạn Bình và Tú ngồi cạnh nhau

Lời giải

Có tất cả 2.3! = 12 cách xếp

1.4 Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho tập A có n (n ≥ 1) phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n Khilấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được mộtchỉnh hợp chập k của n phần tử của A

Mỗi một danh sách đó là một chỉnh hợp chập 5 của 11 phần tử

Khi đó huấn luyện viên của mỗi đội có A511= 55440 cách lập danh sách

5 cầu thủ

Chú ý : Ann= Pn; 0! = 1; A0n= 1

Một phòng làm việc của một công ti có 30 nhân viên.

1 Có bao nhiêu cách giám đốc chọn ra một BLĐ phòng gồm 3 người

2 BLĐ phòng gồm : trưởng phòng, phó phòng, thư kí Hỏi có baonhiêu cách chọn BLĐ phòng

Lời giải

§ 2 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

2.1 Khái niệm phép thử và biến cố

2.1.1 Khái niệm

Việc thực hiện các điều kiện cơ bản để quan sát xem một hiện tượng

có xảy ra hay không được gọi là một phép thử Còn hiện tượng xảy

ra trong kết quả của phép thử được gọi là biến cố

Ví dụ 1.6

Một lô hàng có 50 chính phẩm và 5 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 3 sảnphẩm để kiểm tra Khi đó :

Việc lấy ra 3 sản phẩm được gọi là phép thử

Kết quả của phép thử, chẳng hạn lấy được 2 chính phẩm và 1 phếphẩm là một biến cố

2.1.2 Phân loại biến cố

Biến cố được phân làm 3 loại :

Biến cố ngẫu nhiên : là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy rakhi thực hiện phép thử Kí hiệu là A, B, C, , A1, A2,

Biến cố không thể có : là biến cố chắc chắn không xảy ra khi thựchiện phép thử Kí hiệu V hoặc ∅

Biến cố chắc chắn :là biến cố chắc chắn xảy ra khi thực hiện phépthử Kí hiệu U hoặc Ω

Ví dụ 1.7

1

Gieo một con súc sắc (cân đối, đồng chất)

- Gọi Ai : "xuất hiện mặt i chấm", thì Ai là

các biến cố ngẫu nhiên

- Các biến cố Ac, Al: "xuất hiện mặt có số chấm

là chẵn (lẻ)" cũng là các biến cố ngẫu nhiên

- Biến cố V : "xuất hiện mặt có số chấm là 7"

là biến cố không thể có

- Biến cố U : "xuất hiện mặt có số chấm là ≤ 6" là biến cố chắc

chắn

2

Gieo một đồng tiền xu (cân đối, đồng chất) Gọi N, S :

"xuất hiện mặt ngửa, sấp", là các biến cố ngẫu nhiên

2.2.2 Biến cố kéo theo

Biến cố A kéo theo biến cố B nếu như khi phép thử được thực hiện màbiến cố A xảy ra thì biến cố B chắc chắn xảy ra Kí hiệu A ⊂ B

Ví dụ 1.9

Trong ví dụ 1.2, có A2⊂ Ac và A5⊂ Al,

2.2.3 Tổng các biến cố

Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu C = A+B =

A ∪ B nếu C chỉ xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A và B xảyra

2.2.4 Tích các biến cố

Biến cố C được gọi là tích của hai biến cố A và B, kí hiệu C = AB =

A ∩ B nếu C xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra

3 Có hai lô sản phẩm Lô I : có 10 chính phẩm và 3 phế phẩm Lô

II : có 8 chính phẩm và 5 phế phẩm Từ mỗi lô lấy ra 2 sản phẩm

để kiểm tra Gọi Ai : "Có i chính lấy ra từ lô I", Bj : "Có j chínhlấy ra từ lô II" (i, j = 0, 2) ; A : "4 sản phẩm lấy ra cùng loại" và

B : "4 sản phẩm lấy ra có không quá 1 chính phẩm" Khi đó :

2.2.5 Biến cố xung khắc

Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không thểđồng thời xảy ra trong một phép thử, tức là AB = V

Tổng quát

Nhóm n biến cố A1, A2, , Anđược gọi là xung khắc từng đôi (gọi tắt

là xung khắc) nếu bất kì hai biến cố nào trong nhóm này cũng xungkhắc với nhau, tức là AiAj = V với mọi i 6= j

Ví dụ 1.12

Trong ví dụ 1.2, hệ các biến cố Ac, Alxung khắc và A1, A2, , A6 cũngxung khắc

2.2.6 Hệ đầy đủ

Các biến cố A1, A2, , An được gọi là một hệ đầy đủ các biến cố nếuchúng xung khắc từng đôi và khi phép thử được thực hiện thì nhấtthiết phải xảy ra một trong n biến cố trên Tức là :

2 Một lô hàng gồm 20 chính phẩm, 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên ra

3 sản phẩm Gọi Ai : "có i phế phẩm trong 3 sản phẩm lấy ra"(i = 0, 3) Khi đó hệ các biến cố A0, A1, A2, A3 là hệ đầy đủ

2.2.7 Biến cố đối lập

Hai biến cố A và B được gọi là đối lấp với nhau nếu chúng lập thànhmột hệ đầy đủ, kí hiệu biến cố đối lập của biến cố A là A Tức là

(A.A = V

§ 3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

3.1 Khái niệm xác suất của biến cố

Xác suất của một biến cố là một giá trị bằng số đặc trưng cho khả năngkhách quan được xuất hiện biến cố đó trong kết quả của phép thử

3.2 Định nghĩa cổ điển về xác suất

3.2.1 Bài toán :

Giả sử, ta phải xác định xác suất của biến cố Ac

Khi tung 1 con súc sắc ta thấy có 6 trường hợp có thể xảy ra : xuấthiện mặt 1 chấm, 2 chấm, ., 6 chấm (6 kết cục duy nhất đồng khảnăng) Trong số 6 kết cục này có 3 kết cục mà nếu xảy ra thì biến cố

Ac xảy ra (kết cục thuận lợi cho biến cố Ac)

Như vậy, bằng trực quan khả năng xảy ra của biến cố Ac là 3

1

2.Định nghĩa :

Xác suất của biến cố A, kí hiệu P (A) xác định bởi công thức :

tổng số các kết cục duy nhất đồng khả năng =

m

n.

Một hộp có 10 chính phẩm, 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm

để kiểm tra Tính xác suất để 3 sản phẩm lấy ra

a) đều là chính phẩm ;

b) có đúng 1 phế phẩm ;

c) có không quá 1 phế phẩm

C3 14

C3 14

=75

91.

3.2.2 Các tính chất của xác suất

0 ≤ P (A) ≤ 1, với mọi biến cố A

P (V ) = 0

P (U ) = 1

3.2.3 Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa cổ điển về xác suất

Ưu điểm : Dễ tính toán

Nhược điểm : Đòi hỏi các kết cục phải đồng khả năng và số kếtcục là hữu hạn

3.3 Định nghĩa thống kê về xác suất

Ví dụ 1.17

Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu, người

ta tiến hành tung một đồng xu nhiều lần và thu được kết quả sau đây :

Tính ổn định của tần suất là cơ sở để đưa ra định nghĩa thống kê vềxác suât

3.3.2 Định nghĩa thống kê về xác suất

Định nghĩa

Khi số phép thử đủ lớn (n −→ +∞) ta có thể lấy :

P (A) ≈ f (A)

3.3.3 Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa thống kê về xác suất

Ưu điểm : Không đòi hỏi đến tính đồng khả năng của các kết cục.Nhược điểm : Chỉ tìm được giá trị gần đúng của xác suất, và muốntìm xác suất phải tiến hành một số khá lớn các phép thử

3.4 Nguyên lí xác suất bé, nguyên lí xác suất lớn

Xác suất thi trượt 1% của một môn học được coi là rất bé

Xác suất 1% máy bay rơi được coi là rất lớn

§ 4 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ XÁC SUẤT

4.1 Xác suất có điều kiện Định lí nhân xác suất

4.1.1 Xác suất có điều kiện

Bài toán : Một lô hàng có 10 chính phẩm và 2 phế phẩm Lấy lầnlượt ra 2 sản phẩm (không hoàn lại) để kiểm tra

Gọi A : "Lần 1 lấy được chính phẩm"; B : "Lần 2 lấy được chínhphẩm"

Nếu biến cố A xảy ra thì P (B) = 9

11(= P (B/A)).

Nếu biến cố A không xảy ra thì P (B) = 10

11(= P (B/A)).

Định nghĩa

Xác suất có điều kiện của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra,

kí hiệu P (B/A) biểu thị khả năng xảy ra của biến cố B khi biết biến

cố A đã xảy ra

4.1.2 Tính độc lập của các biến cố

Định nghĩa

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xuất hiệnhay không xuất hiện của một trong hai biến cố không làm ảnh hưởngđến xác suất của biến cố còn lại, tức là :

P (A/B) = P (A/B) = P (A) và P (B/A) = P (B/A) = P (B)

4.1.3 Định lí nhân xác suất

Định lí

Với hai biến cố A, B bất kì, ta luôn có :

P (AB) = P (A).P (B/A) = P (B).P (A/B)

Ví dụ 1.18

1 Trong ví dụ 1.5, giả sử P (A) = 0, 7; P (B) = 0, 8 Tính P (D)

2 Trong bài toán mở đầu ở trên, tính xác suất để cả hai lần lấy rađều được chính phẩm

3 Trong ví dụ 1.11, biết trong 3 sản phẩm lấy ra có không quá mộtphế phẩm Tính xác suất để trong 3 sản phẩm lấy ra có đúng 1 phếphẩm

Ví dụ 1.19

Một người gọi điện thoại nhưng quên mất số cuối cùng Tìm xác suất

để người đó :

a) Quay ngẫu nhiên đến lần thứ 3 thì gọi được

b) Quay ngẫu nhiên không quá 3 lần thì gọi được

Lời giải

Gọi Ai : "Quay lần thứ i thì gọi được" (i = 1, 3); A "Quay ngẫu nhiênđến lần thứ 3 thì gọi được"; B : "Quay ngẫu nhiên không quá 3 lần thìgọi được"

10.

Ví dụ 1.20

Có 3 xe vận tải cùng trở hàng về một xí nghiệp (3 xe độc lập) Xácsuất để mỗi xe trở hàng về xí nghiệp đúng giờ lần lượt là 0,4 ; 0, 7; 0,8.Tìm xác suất để :

P (C) = 1 − P (C) = 1 − P (A1)P (A2)P (A3) = 0, 964.

§ 5 CÔNG THỨC XÁC SUẤT

ĐẦY ĐỦ CÔNG THỨC BAYES

5.1 Công thức xác suất đầy đủ

Định lí

Giả sử H1, H2, , Hn là hệ đầy đủ các biến cố, và một biến cố A nào

đó có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố H1, H2, , Hn.Khi đó :

P (A) = P (H1)P (A/H1) + P (H2)P (A/H2) + · · · + P (Hn)P (A/Hn)

Câu hỏi

Biết rằng sinh viên đó mua phải cây bút chất lượng kém Tính xác suất

để cây bút đó là do phân xưởng 1 sản xuất ra

Trước khi mua cây bút, thì xác suất để cây bút do phân xưởng 1 sảnxuất là P (H1) = 0, 5 (xác suất tiên nghiệm), nhưng khi biến cố A đãxảy ra (mua phải cây bút xấu) thì khả năng cây bút do phân xưởng 1sản xuất giảm đi, chỉ còn P (H1/A) = 0, 294 (xác suất hậu nghiệm).

Ví dụ 1.22

Có hai thùng sản phẩm Thùng 1 đựng 7 chính phẩm và 5 phế phẩm.Thùng 2 đựng 8 chính phẩm và 4 phế phẩm

Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ thùng 1 bỏ sang thùng 2 Sau đó từ thùng

2 lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm thấy đó là phế phẩm

1 Tìm xác suất để sản phẩm từ thùng 1 bỏ sang là phế phẩm

2 Tìm xác suất để phế phẩm này là của thùng 1 bỏ sang

3 Tìm xác suất để lấy tiếp từ thùng 2 ra một phế phẩm

4 Tìm xác suất để lấy tiếp từ thùng 2 ra một chính phẩm

5 Tìm xác suất để lấy tiếp từ thùng 2 ra hai chính phẩm

Chú ý

Công thức đầy đủ, công thức Bayes còn đúng cho hệ các biến cố{H1, H2, , Hn} đôi một xung khắc và khi biến cố A xảy ra thì mộttrong các biến cố H1, H2, , Hn phải xảy ra

Chương 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ QUY

LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

1 Đại lượng ngẫu nhiên

Định nghĩa

Phân loại ĐLNN

2 Quy luật phân phối xác suất

Bảng phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất của ĐLNN

§ 1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

1.1 Định nghĩa

Đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) là đại lượng mà trong kết quả của phépthử nó nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể mà trước khi thựchiện phép thử ta không biết chính xác nó nhận giá trị bằng bao nhiêu.ĐLNN được kí hiệu : X, Y, Z, và các giá trị có thể kí hiệu

Ví dụ 2.1

1 Gieo một con súc sắc Gọi X là số chấm xuất hiện ở mặt trên củacon súc sắc, thì X là ĐLNN rời rạc, có thể nhận một trong các giátrị 1, 2, , 6

2 Một xạ thủ bắn liên tiếp vào một bia đạn đến khi trúng bia thìdừng lại, các lần bắn độc lập nhau Gọi Y là số viên đạn xạ thủ

đó đã bắn ra, thì Y là một ĐLNN rời rạc, có thể nhận một trongcác giá trị 1, 2,

1 Xét phép thử là bắn một phát súng vào bia Gọi Z là khoảng cách

từ điểm chạm của viên đạn đến tâm bia, thì Z là ĐLNN liên tục

2 Trong thực tế, kích thước của các chi tiết máy, sai số của các trangthiết bị, năng suất của một giống lúa, đều là các ĐLNN liên tục

§ 2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI

XÁC SUẤT

Định nghĩa

Quy luật phân phối xác suất của một ĐLNN là sự tương ứng giữa cácgiá trị có thể có của nó và các xác suất để ĐLNN nhận các giá trị đó

Có ba phương pháp mô tả quy luật phân phối xác suất :

bảng phân phối xác suất ;

hàm phân phối xác suất ;

hàm mật độ xác suất

2.1 Bảng phân phối xác suất

Trong trường hợp ĐLNN rời rạc X thì luật phân phối xác suất thườngcho dưới dạng bảng và được gọi là bảng phân phối xác suất

2 Trong ví dụ 2.1 ý b) giả sử xác suất bắn trúng bia mỗi lần là 0, 6,

ta có bảng phân phối xác suất

P 0, 6 0, 4.0, 6 0, 42.0, 6 · · · 0, 4k−1.0, 6 · · ·

2.2 Hàm phân phối xác suất của ĐLNN

2.3 Hàm mật độ xác suất

2.3.1 Định nghĩa

Cho ĐLNN liên tục X có hàm phân bố F (x) khả vi trên R, thì hàm số

f (x) = F0(x)được gọi là hàm mật độ xác suất của ĐLNN X

0dt = 0;

Nếu x ∈ [0; 3], thì F (x) =

0R

−∞

0dt +

xR0

1

9t2

dt = x3

27;Nếu x > 3, thì F (x) =

0R

−∞

0dt +

3R0

§ 3 CÁC ĐẶC TRƯNG CƠ BẢN

CỦA ĐLNN

2 E(X + Y ) = E(X) + E(Y ); TQ : E

1 V ar(C) = 0; V ar(CX) = C2.V ar(X), với C - hằng số.

2 X, Y là hai ĐLNN độc lập, thì V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y )

Ví dụ 2.9

Một nhà đầu tư đang cân nhắc giữa việc đầu tư vào hai dự án A và Btrong hai lĩnh vực độc lập nhau Khả năng thu hồi vốn sau 2 năm (tínhtheo %) của hai dự án là các ĐLNN có bảng phân phối xác suất nhưsau :

Từ bảng phân phối xác suất trên ta tìm được :

E(XA) = 69, 16; V ar(XA) = 3, 094; E(XB) = 68, 72; V ar(XB) = 1, 802

Như vậy, nếu cần chọn phương án đầu tư sao cho tỉ lệ thu hồi vốn làcao nhất thì nên chọn dự án A; nếu chọn phương án đầu tư sao cho độrủi ro của tỉ lệ thu hồi vốn thấp nhất (khả năng thu hồi vốn ổn địnhnhất) thì nên chọn dự án B