1.1. Dãy phép thử Bernoulli
1.1.1. Định nghĩa
Dãy phép thử Bernoulli là dãynphép thử độc lập, trong mỗi phép thử chỉ có hai trường hợp hoặc biến cốAxảy ra hoặc biến cốAkhông xảy ra (A xảy ra). Xác suất để biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằngpvà xác suất để A không xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng q= 1−p.
Ví dụ 3.1
1 Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc 10 lần. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt 4 chấm trong mỗi lần gieo. Khi đó, ta có dãy phép thử Bernoulli, vớip=P(A) =1
6 vàn= 10.
2 Một lô hàng có 20 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lấy lần lượt có hoàn lại ra 2 sản phẩm để kiểm tra. GọiAlà biến cố lấy được phế phẩm trong mỗi lần kiểm tra. Khi đó, ta có dãy phép thử Bernoulli, với p=P(A) = 3
23 vàn= 2.
1.1.2. Công thức Bernoulli
GọiX là số lần xuất hiện biến cố Atrong dãyn phép thử Bernoulli, thìX là ĐLNN rời rạc nhận các giá trị có thể là0,1,2, . . . , n. Khi đó :
1.2. Quy luật phân phối nhị thức
1.2.1. Định nghĩa
ĐLNN rời rạcX được gọi là tuân theo quy luật phân phối nhị thức với hai tham sốn vàp, kí hiệu X ∼B(n;p) nếu nó nhận một trong các giá trị có thể0,1,2, . . . , nvới xác suất tương ứng tính theo công thức
pn(k) =P(X =k) =Cnkpkqn−k, k= 0, n.
Đặc biệt, khi số phép thửn= 1, thì ta còn nói B(1;p)gọi là quy luật phân phối không - một, kí hiệuX∼A(p).
1.2.2. Các đặc trưng
ChoX ∼B(n;p), thì :
E(X) =np;V ar(X) =npq.
Ví dụ 3.2
Một bài thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án trả lời đúng. Một thí sinh đi thi không học bài, chọn ngẫu nhiên mỗi phương án trả lời trong mỗi câu hỏi. Tìm xác suất để thí sinh đó trả lời đúng được :
1 2 câu ;
2 ít nhất 9 câu ;
3 Tìm số câu trả lời đúng có khả năng nhất của thí sinh. Lời giải
Gọi X là số câu trả lời đúng trong 10 câu. Khi đó X ∼ B(n;p), với n= 10vàp= 0,25. 1 P(X = 2) =C2 10.0,252.0,758= 0,28; 2 P(X ≥ 9) = P(X = 9) + P(X = 10) = C9 10.0.259.0,75 + C10 10.0,2510= 0,00003. 3 np−q≤mod(X)≤np+p⇔mod(X) = 2.