BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊPHẦN I: ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤTBài 1: Lớp học 80 sinh viên trong đó có 50 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 sinh viên. Tính xác suất để:Cả hai sinh viên đều là nữCả hai sinh viên đều là namHai sinh viên khác giới nhauGiải:Gọi A là biến cố cả hai sinh viên được chọn là nữTrong đó:A1 là biến cố sinh viên thứ nhất được chọn là nữ: P (A1 )= 50 80 A2 là biến cố sinh viên thứ hai được chọn là nữ: P (A2 )= 49 79 Vì A1, A2 độc lập. Vậy: P (A )= P(A1) .P (A2 )= 50 80 . 49 79 = 0,387 Gọi B là biến cố cả hai sinh viên được chọn là namTương tự, ta có:P (B1 )= 30 80 ; P (B2 )= 29 79 Kết luận: P (B )= 30 80 . 29 79 = 0,137 Gọi C là biến cố hai sinh viên được chọn khác giới nhau:C là biến cố nghịch với biến có A và BKết luận: P (C )= 1P (A )+ P (B )= 10,387 + 0,137 = 0,474 Bài 2: Bộ đề thi môn triết học gồm 25 phiếu thi, mỗi phiếu thi ghi một câu hỏi. Mỗi sinh viên dự thi chỉ nắm vững 20 câu. Giảm khảo yêu cầu anh ngẫu nhiên bắt 2 phiếu thi. Tính xác suất để:Sinh viên đó trả lời được cả hai câu.Sinh viên đó trả lời được một câu.Sinh viên đó không lời được câu nào.Giải:Gọi A là biến cố sinh viên đó trả lời được cả hai câuTrong đó:A1 là biến cố sinh viên đó trả lời được câu thứ nhất: P (A1 )= 20 25 A2 là biến cố sinh viên đó trả lời được câu thứ hai: P (A2 )= 19 24 Vì A1 và A2 độc lâp, kết luận: P (A )= P(A1).P (A2 )= 20 25 . 19 24 = 0,633 Gọi B là biến cố sinh viên trả lời được một câuCác trường hợp có thể xảy ra: B1 là biến cố sinh viên đó trả lời được câu thứ nhất: P (B1 )= 20 25 . 5 24 = 0,167 B2 là biến cố sinh viên đó trả lời được câu thứ 2: P (B2 )= 5 25 . 20 24 = 0,167 Vì B1 và B2 xung khắc, kết luận: P (B )= P(B1) + P (B2 )= 0,167 + 0,167 = 0,334 Gọi C là biến cố sinh viên đó không trả lời được câu nàoC là biến cố nghịch với biến cố A và BKết luận: P (C )= 1P (A )+ P (B )= 10,633 + 0,334 = 0,033
TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ PHẦN I: ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT Bài 1: Lớp học 80 sinh viên có 50 nữ Chọn ngẫu nhiên sinh viên Tính xác suất để: a Cả hai sinh viên nữ b Cả hai sinh viên nam c Hai sinh viên khác giới Giải: Gọi A biến cố hai sinh viên chọn nữ Trong đó: A1 biến cố sinh viên thứ chọn nữ: A2 biến cố sinh viên thứ hai chọn nữ: Vì A1, A2 độc lập Vậy: b Gọi B biến cố hai sinh viên chọn nam Tương tự, ta có: ; Kết luận: c Gọi C biến cố hai sinh viên chọn khác giới nhau: C biến cố nghịch với biến có A B Kết luận: a Bài 2: Bộ đề thi môn triết học gồm 25 phiếu thi, phiếu thi ghi câu hỏi Mỗi sinh viên dự thi nắm vững 20 câu Giảm khảo yêu cầu anh ngẫu nhiên bắt phiếu thi Tính xác suất để: a b c Sinh viên trả lời hai câu Sinh viên trả lời câu Sinh viên khơng lời câu Giải: Gọi A biến cố sinh viên trả lời hai câu Trong đó: A1 biến cố sinh viên trả lời câu thứ nhất: A2 biến cố sinh viên trả lời câu thứ hai: Vì A1 A2 độc lâp, kết luận: b Gọi B biến cố sinh viên trả lời câu Các trường hợp xảy ra: B1 biến cố sinh viên trả lời câu thứ nhất: a B2 biến cố sinh viên trả lời câu thứ 2: Vì B1 B2 xung khắc, kết luận: TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Gọi C biến cố sinh viên không trả lời câu C biến cố nghịch với biến cố A B Kết luận: c Bài 3: Gieo đồng thời đồng tiền Tính xác suất để: a Cả ba đồng tiền sấp b Có hai đồng tiền sấp c Chỉ có đồng sấp Giải: Gọi A biến cố ba đồng tiền sấp Trong đó: A1, A2, A3 biến cố đồng tiền sấp, đồng tiền sấp đồng tiền sấp Ta a có: Vì A1, A2, A3 độc lập, kết luận: b Gọi B biến cố có hai đồng tiền sấp Các trường hợp xảy ra: (S1,S2,N3); (S1,N2,S3); (N1,S2,S3); (S1,S2,S3) Gọi B1, B2, B3, B4 biến cố xảy (S 1,S2,N3); (S1,N2,S3); (N1,S2,S3), (S1,S2,S3) ta có: Vì B1, B2, B3, B4 xung khắc đơi, kết luận: c Gọi C biến cố có đồng tiền sấp Bài 4: Gieo đồng thời hai xúc xắc sáu mặt Tính xác suất để a b c d Số nút xúc xắc chẵn Tổng số nút hai xúc xắc Tổng số nút hai xúc xắc lẻ Số nút hai xúc xắc chênh lệch đơn vị a Gọi A biến cố số nút xúc xắc chẵn Giải: Các khả có thể: {(2:2);(2:4);(2:6)};{(4:2);(4:4);(4:6)};{(6:2);(6:4);(6:6)} Gọi A1, A2,……, A9 biến cố trường hợp Ta có: Vì A1,… , A9 xung khắc Kết luận: Gọi B biến cố tổng số nút hai xúc xắc Các khả xảy ra: {(2:6); (6:2); (3:5); (5:3);(4:4)} b TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Gọi B1 biến cố xảy trường hợp (2:6) (ở trường hợp có khả năng: Có thể xúc xắc có số chấm 2, xúc xắc có số chấm ngược lại Nên Gọi B2 biến cố xảy trường hợp (3:5) Tương tự, suy ra: Gọi B3 biến cố xảy trường hợp (4:4) Suy ra: Vì B1, B2, B3 xung khắc nhau, kết luận: c Gọi C biến cố tổng số nút hai xúc xắc lẻ Các khả xảy ra, tổng số nút là: (3;5;7;9;11) Gọi C1 biến cố tổng số nút 3, trường hợp xảy {(1:2); (2:1)} Suy ra: Gọi C2 biến cố tổng số nút 5, trường hợp xảy là: {(1:4); (4:1); (2:3); (2:3)} Suy ra: Gọi C3 biến cố tổng số nút 7, trường hợp xảy là: {(1:6); (6:1); (2:5); (5:2); (3:4); (4:3)}, suy ra: Gọi C4 biến cố tổng số nút 9, trường hợp xảy là: {(3:6); (6:3); (4:5); (5:4)} Suy ra: Gọi C5 biến cố tổng số nút 11, trường hợp xảy là: {(5:6); (6:5)} Suy ra: Vì C1,… ,C5 xung khắc đôi, Kết luận: d Gọi D1, Gọi D biến cố mặt hai xúc xắc chênh lệch đơn vị D2, D3, D4 biến cố xảy khả D = { ( 1,3) , ( 3,1) , ( 2, ) , ( 4, ) , ( 3,5 ) , ( 5,3 ) , ( 6, ) , ( 4, ) } Vì chúng xung khắc Kết luận: Bài 5: Lớp học gồm 100 học sinh, có 60 em biết Anh văn, 70 em biết Pháp văn 40 em đồng thời biết hai ngôn ngữ Chọn ngẫu nhiên học sinh lớp Tính xác suất để: TỐN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ a b Học sinh biết sinh ngữ Học sinh khơng biết sinh ngữ a Gọi A biến cố học sinh biết sinh ngữ Giải: Ta có số học sinh biết Anh văn 60, biết Pháp văn 70, biết hai ngôn ngữ 40 (trong 40 em học biết sinh ngữ số học sinh vừa biết Anh văn vừa biết Pháp văn) Kết luận: =0,9 Gọi B biến cố học sinh khơng biết sinh ngữ B biến cố nghịch biến cố A Kết luận: b Bài 6: Hai xạ thủ bắn xe tăng địch Xác suất bắn trúng họ 90% 95% Tính xác suất để xe tăng trúng đạn hai nổ súng Giải: Gọi A biến cố xe tăng trúng đạn, đó: A1 biến cố xe tăng trúng đạn xạ thủ thứ 1: A2 biến cố xe tăng trúng đạn xạ thủ thứ 2: Suy ra: Bài 7: Tỉ lệ người thích du lịch TP HCM 50% Phỏng vấn ngẫu nhiên người Tính xác suất để a b c Cả năm người thích du lịch Có người thích du lịch Khơng có thích du lịch Giải: a Gọi A biến cố năm người thích du lịch, đó: A1,…., A5 biến cố người thứ đến người thứ năm thích du lịch, suy ra: Vì A1,… A5 độc lập nhau, đó: b Gọi B biến cố có người thích du lịch Tương tự câu a, ta có: TỐN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Xác suất người thích du lịch: Xác suất bốn khơng thích du lịch: P = 0,54 Suy ra: P(B) = 0,5 x 0,54 = 0,03125 c Gọi C biến cố khơng thích du lịch C1,…., C5 biến cố người thứ đến người thứ năm khơng thích du lịch, suy ra: Vì C1,…, C5 độc lập, đó: Bài 8: Có hai hộp thẻ nhân viên cơng ti du lịch Hộp I chứa 20 thẻ nam 25 thẻ nữ Hộp II chứa 15 thẻ nam 30 thẻ nữ Lấy ngẫu nhiên hộp thẻ Tính xác suất để a Cả hai thẻ nữ b Chỉ có thẻ nữ c Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp I, bỏ vào hộp II Sau trộn đều, lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp II Tính xác suất để thẻ lấy nữ Giải: a Gọi A biến cố hai thẻ nữ Gọi A1 biến cố thẻ lấy từ hộp I nữ: Gọi A2 biến cố thẻ lấy từ hộp II nữ: Vì A1, A2 độc lập, suy ra: b Gọi B biến cố có thẻ nữ Gọi B1 biến cố thẻ lấy từ hộp I nữ, hộp II nam, Suy ra: Gọi B2 biến cố thẻ lấy từ hộp I nam, hộp II nữ Suy ra: Vì B1, B2 xung khắc: c Gọi C biến cố thẻ lấy hộp II nữ Gọi C1 biến cố lấy thẻ từ hộp II nữ, với điều kiện thẻ lấy từ hộp I nữ: Gọi C2 biến cố thẻ lấy từ hộp II nam, với điều kiện thẻ lấy từ hộp I nam: Vì C1, C2 xung khắc, suy ra: TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bài 9: Có ba hộp kẹo Hộp thứ có 15 kẹo sữa, 15 kẹo cà phê Hộp II có 20 kẹo sữa, 10 kẹo cà phê Hộp III có 25 kẹo sữa, kẹo cà phê Lấy ngẫu nhiên hộp, từ lấy kẹo Tính xác suất để kẹo kẹo sữa Giải: Gọi A biến cố lấy kẹo sữa Lấy ngẫu nhiên hộp hộp, xác suất lấy hộp 1/3 Gọi A1 biến cố lấy kẹo sữa bốc ngẫu nhiên hộp thứ I Gọi A2 biến cố lấy kẹo sữa bốc ngẫu nhiên hộp thứ II Gọi A3 biến cố lấy kẹo sữa bốc ngẫu nhiên hộp thứ III Vì A1, A2, A3 xung khắc đơi, suy ra: Bài 10: Gieo đồng thời hai đồng tiền cân đối, đồng chất Gọi X số mặt sấp xuất Lập bảng phân phối xác suất X Giải: Các trường hợp xảy ra: 0, 1, Gọi X1 biến cố mặt ngửa: Gọi X2 biến cố có mặt sấp: Gọi X3 biến cố hai mặt sấp: Bảng phân phối xác suất X: X P Bài 11: Gieo đồng thời hai xúc xắc mặt Gọi X số nút chênh lệch hai mặt xúc xắc Lập bảng phân phối X TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Giải: Các trường hợp xảy ra: 0,1,2,3,4,5 X = biến cố số nút mặt xúc xắc nhau: X = biến cố số nút mặt xúc xắc chênh lệch 1: Các trường hợp xảy ra: (1:2); (2:3); (3:4); (4:5); (5:6); (2:1); (3:2); (4:3); (5:4); (6:5) Suy ra: X = biến cố số nút mặt XX chênh lệch 2: Các trường hợp xảy ra: (1:3); (2:4); (3:5); (4:6); (3:1); (4:2); (5:3); (6:4) Suy ra: X = biến cố số nút mặt XX chênh lệch 3: Các trường hợp xảy ra: (1:4); (2:5); (3:6); (4:1); (5:2); (6:3) Suy ra: X = biến cố số nút mặt XX chênh lệch 4: Các trường hợp xảy ra: (1:5); (2:6); (5:1); (6:2) Suy ra: X=5 biến cố số nút mặt XX chênh lệch 5: Các trường hợp xảy ra: (1:6); (6:2) suy ra: Bảng phân phối xác suất: X P Bài 12: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f ( x) = phân phối X Từ tính xác suất biến cố < X < Giải: Hàm phân phối X: π ( + x2 ) Hãy xác định hàm TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ F ( x) = z ∫ −∞ x 1 f ( t) = ∫ = arctan ( t ) π −∞ π ( + x ) Khi < X < 1, ta có: x = −∞ arctan ( x ) + π P ( < X < 1) = F ( 1) − F ( ) = Bài 13: Cho hàm ngẫu nhiên X có hàm mật độ là: a f ( x ) = − x2 0 x ∈ ( −2, ) x ∉ [ −2; 2] M X D X Xác định a tính kỳ vọng ( ) ;phương sai ( ) Giải: a f ( x ) = − x2 0 +∞ ∫ f ( x) = ⇔ −∞ x ∉ [ −2; 2] +2 ∫ −2 Kỳ vọng: x ∈ ( −2, ) a − x2 M( X) = +∞ ∫ hàm mật độ nên = ⇔ a arcsin π xf ( x ) = −∞ +2 ∫ −2 x =1 ⇔ a = 20 π x − x2 =0 Phương sai: +∞ D ( X ) = ∫ x f ( x ) − ∫ xf ( x ) ÷ = −∞ −∞ π +∞ +2 ∫ −2 +2 +2 x x2 − ∫ ÷ = ∫ − x π −2 − x π −2 − x x2 2 x = arcsin − x − x ÷ = π 2 0 Bài 14: Cho hàm ngẫu nhiên X có hàm mật độ Giải: Vì: hàm mật độ nên +∞ ∫ −∞ f ( x ) dx = ⇔ ∫ ax dx = ⇔ a = −1 TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bài 15: Trọng lượng xồi Hịa Lộc có phân phối chuẩn µ = 400g σ = 2.500 Trái xồi có trọng lượng 425g trở lên gọi xem đạt chuẩn Ước lượng tỉ lệ xoài đạt chuẩn Giải: Gọi X trọng lượng trái xồi Hịa Lộc, X có phân phối chuẩn µ = 400g ; σ = 2.500 ; Tỉ lệ xồi có trọng lượng 425g trở lên xác suất đại lượng ngẫu nhiên X nhận trọng lượng 425g trở lên: ⟺ Bài 16: Chỉ tiêu khác du lịch Pháp đến Việt Nam có phân phối từ 2.500 USD đến 4000 USD Tính tỉ lệ khách Pháp tiêu 3000 USD Giải: Gọi X chi tiêu khách du lịch Pháp đến với Việt Nam, X có phân phối chuẩn 2.500 USD đến 4000 USD Tỉ lệ khách du lịch Pháp đến với Việt Nam có chi tiêu 3000 USD xác suất đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị từ 3000 USD trở lên Bài 17: Chỉ tiêu khách du lịch Nhật đến Việt Nam có phân phối chuẩn với µ = 5.000USD, σ = 360.000 Tính tỉ lệ khách du lịch Nhật có tiêu khoảng 4.500 USD đến 5.500 USD Giải: TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Gọi X chi tiêu khách du lịch Nhật Bản đến với Việt Nam, X có phân phối chuẩn với µ = 5.000USD, σ = 360.000 ; Tính tỉ lệ khách du lịch Nhật có tiêu khoảng 4.500 USD đến 5.500 USD xác suất đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị từ 4500 đến 5500 USD: ⟺ Bài 18: Khảo sát chiều cao nhân viên nữ ngành du lịch Việt Nam, theo phân phối chuẩn với µ = 170cm, σ = 100 Hãy ước lượng tỉ lệ nhân viên nữ a Chiều cao 175 cm b Chiều cao từ 165 đến 170 cm c Tính xác suất để chọn hai nhân viên nữ hai có chiều cao 175cm d Tính xác suất để chọn hai nhân viên nữ có người có chiều cao khoảng 165 - 170 cm Giải: Gọi X chiều cao nữ nhân viên ngành du lịch Việt Nam, X có phân phối chuẩn µ = 170cm, σ = 100 ; a Ước lượng tỉ lệ chiều cao nhân viên nữ 175cm Tỉ lệ nhân viên nữ có chiều cao 175cm xác suất đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị từ 175cm trờ lên, đó: ⟺ b Ước lượng tỉ lệ chiều cao nhân viên nữ từ 165cm đến 170cm Tỉ lệ nhân viên nữ có chiều cao 165 - 170cm xác suất đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị từ 165 – 170cm, đó: ⟺ 10 TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ PHẦN II: THỐNG KÊ Bài 1: Khảo sát ngẫu nhiên 100 du khách Nhật tới TP HCM thấy có 40 du khác có nguyện vọng nối tour tới nước khác Với độ tin cậy 95% Hãy ước lượng tỉ lệ khách Nhật muốn nối tour? Giải: Ước lượng tỉ lệ khách Nhật Bản muốn nối tour Bước 1: Xác định đại lượng n = 100; ; Bước 2: Gía trị thỏa mãn Bước 3: Bán kính ước lượng: Bước 4: Khoảng ước lượng: Bài 2: Khảo sát độ chuyên nghiệp 100 nhân viên ngành du lịch TP HCM cách ngẫu nhiên, người ta thấy có 80 nhân viên đạt chuẩn Hãy ước lượng tỉ lệ đạt chuẩn nhân viên ngành du lịch TP với độ tin cậy 99% Giải: Ước lượng tỉ lệ đạt chuẩn nhân viên ngành Du lịch TP HCM Bước 1: Xác định đại lượng n = 100, ; Bước 2: Giá trị thỏa mãn Bước 3: Bán kính ước lượng: Bước 4: Khoảng ước lượng: Bài 3: Tại trăm chim Nam bộ, người ta bắt ngẫu nhiên 1000 chim đeo vòng vào chúng Sau thời gian người ta bắt 200 kiểm tra, thấy có 40 đeo vịng Thử ước lượng số chim đàn với độ tin cậy 95% Giải: Bước 1: Xác định đại lượng n = 200, ; Bước 2: Giá trị thỏa mãn ; Bước 3: Bán kính ước lượng 12 TỐN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bước 4: Khoảng ước lượng Số chim nuôi đàn: ⟺⟺ Kết luận: Bài 4: Phỏng vấn ngẫu nhiên 1000 cư dân TP HCM, thấy có 600 người thích du lịch Biết dân số TP HCM triệu người, ước lượng số tối thiểu dân cư TP thích du lịch với độ tin cậy 99% Giải: Bước 1: Xác định đại lượng n = 1000, ; Bước 2: Gía trị thỏa mãn ; Bước 3: Bán kính ước lượng: Bước 4: Khoảng ước lượng: Bài 5: Để biết tỉ lệ p nhà nghỉ đạt chuẩn vùng du lịch sinh thái, người ta điều tra ngẫu nhiên 50 nhà nghỉ thấy có 30 nhà nghỉ đạt chuẩn a Xác định khoảng ước lượng tỉ lệ p với độ tin cậy 95% b Nếu muốn bán kính ước lượng giảm nữa, độ tin cậy cịn bao nhiêu? c Nếu muốn bán kính ước lượng giảm nửa, giữ nguyên độ tin cậy 95% cần khảo sát thêm nhà nghỉ nữa? Giải: a Xác định khoảng ước lượng tỉ lệ p với độ tin cậy 95% Bước 1: Xác định đại lượng n = 50; ; Bước 2: Gía trị thỏa mãn; Bước 3: Bán kính ước lượng: Bước 4: Khoảng ước lượng: b Nếu muốn bán kính ước lượng giảm nửa độ tin cậy cịn % Ta có ; ⟺⟺; 13 TỐN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ c Nếu muốn bán kính ước lượng giảm nửa, giữ nguyên độ tin cậy 95% cần khảo sát thêm nhà nghỉ nữa? Ta có; ; Kết luận: Số nhà nghỉ cân khảo sát thêm 203 – 50 = 153 Bài 6: Cân thử 100 trái chanh Đà Lạt, ta biết rằng: Khối lượng (gr) 50 55 60 65 70 75 80 85 90 Số a Tính đặc trưng mẫu 15 28 30 5 b Tìm khoảng cách ước lượng cho khối lượng trung bình chanh với độ tin cậy 95% c Nếu muốn giữ nguyên khoảng cách ước lượng với độ tin cậy 99% cần thêm trái nữa? d Chanh có khối lượng xem Chanh loại Hãy ước lượng tỉ lệ Chanh loại với độ tin cậy 99% Giải: a Đổi biến -4 -3 -2 -1 Tổng 15 28 30 5 100 -8 -9 -30 -28 10 15 16 -26 Ta có ; ; 14 32 27 60 28 20 45 64 284 TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ b Tìm khoảng cách ước lượng cho khối lượng trung bình chanh với độ tin cậy 95% Bước 1: Xác định đại lượng n = 100, ; ; Bước 2: Giá trị thỏa mãn Bước 3: Bán kính ước lượng: Bước 4: Khoảng ước lượng: c Nếu muốn giữ nguyên khoảng cách ước lượng với độ tin cậy 99% cần thêm trái nữa? Ta có: ; ; ; Kết luận: Số trái cam cần khảo sát thêm: 174 – 100 = 74 d Chanh có khối lượng chanh loại I, ước lượng tỉ lệ chanh loại I với độ tin cậy 99% Ta có: Khối lượng (gr) 65 70 75 80 85 90 Số 28 30 5 + Đổi biến: -2 -1 28 30 5 80 -28 -30 30 12 -11 ; ;; Bước 1: Xác định đại lượng n = 80; ; ; Bước 2: Giá trị thỏa mãn Bước 3: Bán kính ước lượng Bước 4: Khoảng ước lượng ; 15 28 30 60 36 159 TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bài 7: Điều tra hàm lượng đường loại trái sử dụng khu vực sinh thái sông Cửu Long, ta được: Hàm lượng % 8-10 Số trái 10 a Xác định đặc trưng mẫu 10-12 20 12-14 40 14-16 70 16-18 50 18-20 10 b Hãy ước lượng hàm lượng đường trung bình trái với độ tin cậy 95% c Nếu bán kính ước lượng giảm nửa độ tin cậy ước lượng bao nhiêu? Giải: a Đổi biến -3 -2 -1 10 20 40 70 50 10 200 -30 -40 -40 50 20 -40 90 80 40 50 40 300 ;; b Ước lượng hàm lượng đường trung bình trái với độ tin cậy 95% Bước 1: Xác định đại lượng n= 200, ; ; Bước 2: Gía trị thỏa mãn Bước 3: Bán kính ước lượng Bước 4: Khoảng ước lượng c Nếu bán kính ước lượng giảm nửa độ tin cậy cịn ; Bài 8: Khả sát ngẫu nhiên 100 khác du lịch Hàn Quốc mức chi tiêu cho dịch vu giải trí mua sắm quà lưu niệm điểm du lịch, ta được: Chỉ tiêu (USD) 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 Số Khách 10 20 25 25 a Hãy ước lượng mức tiêu trung bình du khách với độ tin cậy 99% 70-80 15 b Nếu muốn giảm bán kính ước lượng xuống lần độ tin cậy ước lượng cịn bao nhiêu? Giải: a Đổi biến 16 TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ -3 -2 -1 10 20 25 25 15 100 -15 -20 -20 25 30 45 40 20 25 60 190 ; ;; Bước 1: Xác định đại lượng n = 100, ; ; Bước 2: Gía trị thỏa mãn ; Bước 3: Bán kính ước lượng Bước 4: Khoảng ước lượng b Nếu muốn giảm bán kính ước lượng xuống lần độ tin cậy ước lượng bao nhiêu? ;; =89,04% Bài 9: Khảo sát độ dài lưu trú du khách Pháp khu resort, ta bảng: Số ngày Số khách 10 10 10 a Hãy ước lượng độ dài lưu trú trung bình du khách với độ tin cậy 95% b Hãy kiểm định giả thuyết cho độ dài lưu trú trung bình du khách µ = với mức ý nghĩa α = 5% Giải: a Đổi biến -3 -2 -1 10 10 10 -15 -20 -10 10 17 45 40 10 20 TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ 50 -21 18 141 ; ;; Bước 1: Xác định đại lượng n = 50; ; ; Bước 2: Giá trị thỏa mãn ; Bước 3: Bán kính ước lượng Bước 4: Khoảng ước lượng b Hãy kiểm định giả thuyết cho độ dài lưu trú trung bình du khách µ = với mức ý nghĩa α = 5% Bước 1: Xác định đại lượng n= 50, ; ; ; Bước 2: Giá trị thỏa mãn ; Bước 3: Giá trị kiểm định Bước 4: So sánh, ta có chấp nhận giả thuyết, độ dài lưu trú trung bình du khách ngày Bài 10: Giám đốc công ty công bố 90% sản phẩm công ty đạt chuẩn Thanh tra 200 sản phẩm công ti cho thấy 168 sản phẩm đạt yêu cầu Với mức ý nghĩa α = 5% , ta kết luận tuyên bố trên? Giải: Bước 1: Xác định đại lượng n = 200, sản phẩm đạt yêu cầu 168 ; Bước 2: Giá trị thỏa mãn Bước 3: Giá trị kiểm định Bước 4: So sánh Kết luận: Tun bố cơng ty khơng xác với Bài 11: Tỉ lệ phế phẩm nhà máy trước 5% Sau thực cải tiến kỉ thuật, kiểm tra 800 sản phẩm thấy có 24 phế phẩm a Với mức ý nghĩa α = 5% , cho biết kết luận cải tiến b Nếu nhà máy báo cáo tỉ lệ phế phẩm cịn 2% chấp nhận với mức ý nghĩa α = 5% không? Giải: a Với mức ý nghĩa α = 5% , cho biết kết luận cải tiến Bước 1: Xác định đại lượng n = 800, số phế phẩm 24 ; ; Bước 2: Giá trị thỏa mãn 18 TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bước 3: Giá trị kiểm định Bước 4: So sánh, ta có Kết luận: Sau cải tiến hiệu tăng lên với b Nếu nhà máy báo cáo tỉ lệ phế phẩm cịn 2% chấp nhận với mức ý nghĩa α = 5% không? Bước 1: Bước 1: Xác định đại lượng n = 800, số phế phẩm 24 ; ; Bước 2: Giá trị thỏa mãn Bước 3: Giá trị kiểm định Bước 4: So sánh, ta có Kết luận: Nếu nhà máy báo cáo tỉ lệ phế phẩm cịn 2% khơng thể chấp nhận với mức ý nghĩa Bài 12: Một nhà máy đóng gói sản phẩm yêu cầu gói 100g Nghi ngờ máy trục trặc, người ta chọn cân thử 100 gói Khối lượng (g) Số gói 95-97 97-99 99-101 101-103 103-105 31 40 15 Với mức ý nghĩa α = 5% , có kết luận nghi ngờ Giải: Đổi biến: Đổi biến -3 -2 -1 31 40 15 100 -27 -61 -40 -122 ; ;; Bước 1: Xác định đại lượng n = 100; ; ; ; Bước 2: Giá trị thỏa mãn ; Bước 3: Giá trị kiểm định Bước 4: So sánh, ta có 19 81 124 40 258 105-107 TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Kết luận: Máy bị trục trặc, không đảm bảo giá trị đóng gói trung bình, Bài 13: Kiểm tra sản phẩm hai phân xưởng sản xuất, ta có bảng số liệu: Phân xưởng Số sp I II Trọng lượng TB 500g 501g Phương sai hiệu chỉnh 6,25 Số phế phẩm 18 16 900 800 a Với mức ý nghĩa α = 1% , xem trọng lượng trung bình sản phẩm hai phân xưởng không? b Với mức ý nghĩa α = 5% , có kết luận tỉ lệ phế phẩm hai phân xưởng? Giải: a Với mức ý nghĩa α = 1% , xem trọng lượng trung bình sản phẩm hai phân xưởng không? Bước 1: Xác định đại lượng ; Bước 2: Gía trị thỏa mãn ; Bước 3: Gía trị kiểm định Bước 4: So sánh, ta có b Với mức ý nghĩa α = 5% , có kết luận tỉ lệ phế phẩm hai phân xưởng? Bước 1: Xác định đại lượng ; Bước 2: Gía trị thỏa mãn ; Bước 3: Gía trị kiểm định Bước 4: So sánh, ta có ; tỉ lệ phế phẩm phân xưởng Hết 20 ... phối xác suất: X P Bài 12: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f ( x) = phân phối X Từ tính xác suất biến cố < X < Giải: Hàm phân phối X: π ( + x2 ) Hãy xác định hàm TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG... luận: Bài 5: Lớp học gồm 100 học sinh, có 60 em biết Anh văn, 70 em biết Pháp văn 40 em đồng thời biết hai ngôn ngữ Chọn ngẫu nhiên học sinh lớp Tính xác suất để: TOÁN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ... Gọi B biến cố có người thích du lịch Tương tự câu a, ta có: TỐN CAO CẤP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Xác suất người thích du lịch: Xác suất bốn khơng thích du lịch: P = 0,54 Suy ra: P(B) = 0,5 x 0,54