tài liệu chuyên đề BÀI TẬP TOÁN 9 Tập 2 Đại số hình học Tài Liệu được phân loại và chi dạng cụ thể chi tiết tài liệu giải chi tiết cùng các bài tập tương tự Tài liệu rất hay cần thiết cho các e học sinh lớp 9 ôn thi vào 10 t
Bài tập Tốn Học kì Phần Đại số Chương HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A - Phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn x, y hệ thức dạng ax + by = c a, b c số biết (a ≠ b ≠ 0) Cặp số (x0 ; y0) gọi nghiệm phương trình ax + by = c khi: ax0 + by0 = c đẳng thức Cơng thức nghiệm: Phương trình ax + by = c có vơ số nghiệm b c x ∈ R x = − y + a) Nếu a ≠ b ≠ thì: a a a c y = − b x + b y ∈ R Biểu diễn mặt phẳng tọa độ, tập nghiệm phương trình y c ax + by = c đường thẳng cắt hai trục tọa độ c y= b x ∈ R b b) Nếu a = b ≠ thì: c y = b x O Biểu diễn tập nghiệm phương trình 0x + by = c đường thẳng song song trùng với trục hoành cắt trục tung (0 ; c ) b y x= c a c x = x c) Nếu a ≠ b = thì: a c O y ∈ R a Biểu diễn tập nghiệm phương trình ax + 0y = c đường thẳng song song trùng với trục tung cắt trục hoành ( c ; 0) a d) Trường hợp đặt biệt Nếu a = b = c = phương trình 0x + 0y = có vơ số nghiệm Nếu a = b = c ≠ phương trình 0x + 0y = c vô nghiệm 3.1 Viết công thức nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm mặt phẳng tọa độ: Trang Bài tập Toán 3.2 Học kì a) x – 2y = c) 2x – 0,5y – = e) 4x + 0y = g) 0x + 0y = i) 3x + 2y = k) 0x + 2y = m) 5x + 0y = b) d) f) h) j) l) n) o) p) 3x + 0y = x + 2y = 3x + 5y = 6x – 2y + 10 = 0x – 2y = 0x + 0y = –2 3x – 2y = x + 4y = ( − )x + 0y = Cho cặp số sau: (0;–1), ( ;2– ), (1; –3), ( +1;1) Cặp số nghiệm phương trình: ( –1)x – y = ? 3.3 Đường thẳng – 3x + y = qua điểm sau đây: A(1 ; 4), B(0,25 ; 0), C(–3 ; –8), D( ; –1), E(– ; 1–3 ) 3.4 Tìm giá trị m để: a) Điểm M(1 ; 0) b) Điểm N(0 ; –3) c) Điểm P(5 ; –3) d) Điểm P(5 ; –3) e) Điểm Q(0,5;–3) f) Điểm S(4 ; 0,3) g) Điểm A(2 ; –3) thuộc đường thẳng mx – 5y = ; thuộc đường thẳng 2,5x + my = –21 ; thuộc đường thẳng mx + 2y = –1 ; thuộc đường thẳng 3x – my = ; thuộc đường thẳng mx + 0y = 17,5 ; thuộc đường thẳng 0x + my = 1,5 ; thuộc đường thẳng (m – 1)x + (m + 1)y = 2m + 1) 3.5 Phải chọn hệ số a b để phương trình ax + by = c xác định hàm số bậc biến x ? Áp dụng: Phương trình sau xác định hàm số dạng y = ax + b? a) 5x – y = b) 3x + 5y = 10 c) 0x + 3y = – d) 6x – 0y = 18 e) 2x – y = f) 0x – 0y = 3.6 Vẽ cặp đường thẳng sau mặt phẳng tọa độ tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng a) 2x + y = 4x – 2y = –10 1 − x+ y=− b) 0,5x + 0,25y = 0,15 c) 4x + 5y = 20 0,8x + y = d) 4x + 5y = 20 2x + 2,5y = Trang Bài tập Tốn Học kì 3.7 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: a) 2x + y = b) 5y – x = c) 3x – 2y = d) 4x + 11y = 47 3.8 Chứng minh hai đường thẳng (d) : ax + by = c (a, b ≠ 0) (d′ ) : a′ x + b′ y = c′ (a′ , b′ ≠ 0): a b ≠ a) Cắt a ' b' a b c = ≠ b) Song song a ' b' c' a b c = = c) Trùng a ' b' c' ax + by = c Từ suy điều kiện để hệ phương trình : a ' x + b' y = c ' a) Có nghiệm b) Vơ nghiệm c) Có vơ số nghiệm Áp dụng: Hãy lập hệ hai phương trình bậc hai ẩn có nghiệm a) Có nghiệm b) Vơ nghiệm c) Có vơ số nghiệm Ba Bachú chúheo heocon Cô Côgiáo giáođang đangđọc đọctruyện truyện"Ba "Bachú chúheo heocon" con" cho bé nghe đến đoạn heo cho bé nghe đến đoạn heo gặp gặpbác bácnông nôngdân dânvà vàxin xinrơm: rơm: - -Bác ơi, cho cháu xin rơm Bác ơi, cho cháu xin rơmnhé! nhé! Cơ Cơgiáo giáongừng ngừnglại lạihỏi: hỏi: - -Các Cáccon concó cóbiết biếtbác bácnơng nơngdân dânnói nóigìgì khơng? khơng? Tèo Tèogiơ giơtay: tay: - -Thưa cơ, Thưa cô,bác bácấy ấybảo: bảo:“Trời “Trờiơi! ơi!Một Mộtcon heo heobiết biếtnói!” nói!” Trang Bài tập Tốn Học kì B - Hệ hai phương trình bậc hai ẩn ax + by = c Hệ hai phương trình bậc hai ẩn x, y có dạng: a' x + b' y = c' Hai hệ phương trình gọi tương đương với chúng có tập nghiệm Chú ý: • Hai hệ vơ nghiệm tương đương • Hai hệ vô số nghiệm không tương đương với Giải hệ phương trình: a) Bằng đồ thị: Vẽ đường thẳng (d) : ax + by = c (d′ ) : a′ x + b′ y = c′ mặt phẳng tọa độ Tọa độ giao điểm (d) (d′ ) nghiệm hệ phương trình Chú ý: • (d) ≡ (d′ ) ⇔ hệ có vơ số nghiệm • (d) // (d′ ) ⇔ hệ vơ nghiệm • (d) cắt (d′ ) ⇔ hệ có nghiệm b) Bằng đại số: Phương pháp thế: Định lý: Nếu từ phương trình hệ cho ta biểu thị ẩn số theo ẩn số kia, vào phương trình thứ hai để phương trình có ẳn số, hệ phương trình lập phương trình với phương trình thứ hệ tương đương với hệ cho x − y = Ví dụ : Giải hệ phương trình 4x + y = Giải x − y = x = y + x = y + x = ⇔ ⇔ ⇔ 4x + y = 4( y + ) + y = 17 y = − 17 y = −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (2 ; –1) Phương pháp cộng: Định lý 1: Nếu nhân hai vế phương trình hệ với số khác hệ phương trình tương đương với hệ cho Định lý 2: Nếu cộng hay trừ vế hai phương trình hệ cho ta phương trình mới, hệ phương trình lập phương trình với hai phương trình hệ tương đương với Trang Bài tập Tốn Học kì Ví dụ : Giải hệ phương trình x − y = Ta coù: ⇔ 4x + y = x − y = 4x + y = Giaûi 4x − 12 y = 20 x − y = ⇔ 4x + y = 17 y = −17 ⇔ x = y = −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (2 ; – 1) 3.9 Khơng cần vẽ hình, cho biết số nghiệm hệ phương trình sau giải thích ? y = − 2x 2y = − x + 3x + 2y = a) b) c) y = 3x − x + 2y = 3y = 2x 3x + = y d) 3x − = y 4x − 9y = e) −5x − 3y = 3x − y = f) 6x − 2y = 3.10 Minh họa hình học tập nghiệm hệ phương trình sau: 4x − 4y = 3x + 2y = 13 x + y = a) b) c) −2x + 2y = −1 2x − y = −3 3x + 0y = 12 x + 2y = d) 0x − 5y = 10 x + y = e) 3x + 3y = 3x − 2y = f) −6x + 4y = 3.11 Hãy giải thích hệ phương trình sau tương đương: x + y = x + y = a) x − y = y − x = −3 x + y = b) 2x + 2y = x − y = x − y = 2x + y = c) 3x + y − = x = 3x + y − = 2x + y = x = 3.12 Tìm giá trị a để hai hệ phương trình sau tương đương: x − y = ax − y = a) 3x + y = x + ay = Trang Bài tập Toán x − y = a b) x + y = a − Học kì 2x − y = a + 2x + y = a − x + 0y = −2 3.13 Cho hệ phương trình: 5x − y = −9 a) Minh họa hình học tập nghiệm hệ phương trình cho Từ xác định nghiệm hệ b) Nghiệm hệ có phải nghiệm phương trình 3x – 7y = hay không ? 3.14 Cho hai đường thẳng (d1) : x + y = (d2) : 2x + 3y = a) Vẽ hai đường thẳng mặt phẳng tọa độ b) Đường thẳng (d3) : 3x + 2y = 10 có qua giao điểm (d 1) (d2) hay khơng ? 3.15 Giải hệ phương trình sau phương pháp thế: x + 5y = −3 y = − x 9x − 6y = a) b) c) 14x + 51y = 15 x + y = 15x − 10y = 4x + 5y = d) x − 3y = x y + =1 e) 2 x + y = 7x − 2y = f) 3x + y = 1,7x − 2y = 3,8 g) 2,1x + 5y = 0, 1,3x + 4, 2y = 12 h) 0,5x + 2,5y = 5,5 ( + 2)x + y = − i) − x + 2y = − 5x − y = 5( − 1) j) 3x + 5y = 21 2x + =1 k) 3y − 3(3y + 2) − 4(x + 2y) = 3x + 2y = l) x + y − 2y = ( − 2)x + y = m) x + ( + 2)y = n) − x + 2y = −4(x − 1) o) 5x + 3y = −(x + y) + (x − 3)(2y + 5) = (2x + 7)(y − 1) p) (4x + 1)(3y − 6) = (6x − 1)(2y + 3) 2(2x + 3y) = 3(2x − 3y) + 10 4x − 3y = 4(6y − 2x) + Trang Bài tập Tốn Học kì 3ax − (b + 1)y = 93 3.16 Cho hệ phương trình: (với a, b ∈ R) bx + 4ay = −3 Tìm giá trị a b để hệ có nghiệm (x ; y) = (1 ; –5) (a − 2)x + 5by = 25 3.17 Cho hệ phương trình: (với a, b ∈ R) 2ax − (b − 2)y = Tìm giá trị a b để hệ có nghiệm (x ; y) = (3 ; –1) 2x + ay = b + 3.18 Cho hệ phương trình: (với a, b ∈ R) ax + by = + 9a Tìm giá trị a b để hệ có nghiệm (x ; y) = (3 ; –1) 3.19 Tìm giá trị a b để đường thẳng (d 1): (3a – 1)x + 2by = 56 đường thẳng (d2): 0,5ax – (3b + 2)y = cắt điểm M(2; –5) 3.20 Tìm a b để: a) Đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(–5; 3) B(1,5; –1) ; b) Đường thẳng ax – 8y = b qua điểm M(9 ; – 6) qua giao điểm hai đường thẳng (d1): 2x + 5y = 17 (d2) : 4x – 10y = 14 3.21 Tìm giá trị a để: a) Hai đường thẳng (d1) : 5x – 2y = (d2) : x + y = a cắt điểm trục Oy Vẽ hai đường thẳng mặt phẳng tọa độ ứng với giá trị a vừa tìm được) b) Hai đường thẳng (d1) : ax + 3y = 10 (d 2) : x – 2y = cắt điểm trục Ox Vẽ hai đường thẳng mặt phẳng tọa độ 3.22 Tìm giao điểm hai đường thẳng: a) (d1) : 5x – 2y = c (d2) : x + by = 2, biết (d 1) qua điểm A(5 ; –1) (d2) qua điểm B(–7 ; 3) b) (d1) : ax + 2y = –3 (d2) : 3x – by = 5, biết (d1) qua điểm M(3 ; 9) (d2) qua điểm N(–1 ; 2) c) Giải hệ phương trình sau: Trang Bài tập Tốn 1− x 2y + + =2 1− x a) 2y + x − y = Học kì x −1 y + =2 x −1 b) y x + y = 3.23 Xác định a b để đồ thị hàm số y = ax + b qua hai điểm A B sau: a) A(2 ; –2) B(–1 ; 3) b) A(– ; –2) B(2 ; 1) c) A(3 ; –1) B(–3 ; 2) d) A(1 ; 0) B(3 ; 1) 3.24 Giải hệ phương trình sau phương pháp đặt ẩn phụ: 2x + 3y = a) 3x − 2y = 3x + y = b) 2 x − 3y = 10 12x − + 4y + = c) + =1 12x − 4y + 1 x − y =1 d) 3 + = x y x − + y −1 = e) − =1 x − y − 1 x + y + x − y = f) − =1 x + y x − y g) x + 2y − x − 2y = h) 20 + = x + 2y x − 2y 13 + = x y 36 10 + =1 x y 3 x − y = −2 i) x + y = x − − y − = j) x − + y − = (x − 1) − 2y = k) 3(x − 1) + 3y = 3 4x + 2y − 2x − y = l) 7 4x + 2y + 2x − y = 32 x + y = 3.25 Cho hệ phương trình: (với a ∈ R) ax + 2y = a Với giá trị a hệ có nghiệm ? Có vơ số nghiệm ? Trang Bài tập Toán Học kì x − ay = a 3.26 Cho hệ phương trình: (với a số thực bất kì) ax + y = a) Giải hệ phương trình với a = – b) Chứng minh hệ ln có nghiệm với a) c) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa x > y > 3.27 Cho hai đường thẳng có phương trình: (d): mx – (n + 1)y – = (d′ ): nx + 2my + = Xác định giá trị ma n cho (d) (d′ ) cắt điểm P(–1; 3) 3.28 Cho phương trình: 2ax + (a – b – 2)y = a + 3b – (1) Định a b cho phương trình (1) có nghiệm (1 ; – 3) (2 : 1) 3.29 Giải hệ phương trình sau: x + y = a) 7x + 5y = 3 x + 2y + = b) 2x + y − = x + + y − = x − y = 2y − d) e) y + = 2x x + − 4y + = x − + y − = c) x − + 3y = x − + y − = f) x − − y + = 3.30 Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng: 3x − 2y = c) 2x + 3y = 3x + 2y = a) 4x − 3y = −12 3x − 2y = −2 b) 9x − 6y − 15 = 2x − 3y = d) x + 3y = x − 2y = ( − 1)x − y = e) f) 2x + y = − 10 x + ( + 1)y = 2x − 3y = 2x − 11y = −7 g) h) 10x + 11y = 31 3 2x − 3y = 4,5 4x + 7y = 16 i) 4x − 3y = −24 0,35x + 4y = −2,6 10x − 9y = j) k) 0,75x − 6y = 15x + 21y = 0,5 3,3x + 4, 2y = l) 9x + 14y = y x = m) x − y = 12 x + 3y = o) 2 2x + 12y = 2 8x − 7y = n) 12x + 13y = −8 Trang Bài tập Toán Học kì x + y = 2(x − 1) p) 7x + 3y = x + y + 3 5x − 4y = 15 − q) −2 5x + 7y = 18 3(x + 1) + 2y = − x r) 5(x + y) = −3x + y − 5(x + 2y) = 3x − s) 2x + = 3(x − 5y) − 12 3x − 2y 5x − 3t + = x +1 t) 2x − 3y + 4x − 3y = y + x + y + 2(x − y) − = u) x − y − − = 2y − x 2x + y − − = 12 v) x + = y + − 2x − 3y x + y − = 2x − y − − w) x + y − + 4x − y − = 2x − y − 3.31 Giải hệ phương trình sau hai cách: 2(x + y) + 3(x − y) = 2(x − 2) + 3(1 + y) = −2 a) b) (x + y) + 2(x − y) = 3(x − 2) − 2(1 + y) = −3 3.32 Giải hệ phương trình sau: 1 x − y =1 x − + y −1 = a) b) + =5 − =1 x y x − y − x − y + − x + y − = 4,5 c) + =4 x − y + x + y − 3.33 Tìm giá trị m để nghiệm hệ phương trình x + y + 2(x − y) − = x − − y − = 2y − x nghiệm phương trình 3mx – 5y = 2m + (a + 1)x − y = 3.34 Cho hệ phương trình: (với a ∈ R) ax + y = a a) Giải hệ phương trình với a = – b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thỏa x + y > Trang 10 Bài tập Tốn Học kì 3.129 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, Ax tiếp tuyến (O), AC · dây cung (C ≠ B), tia phân giác Ay CAx cắt (O) D a) Chứng minh: DA = DC OD // BC b) AD cắt BC E Chứng minh: ∆ABE cân c) BD cắt AC K cắt Ax F Chứng minh: AKEF hình thoi EK ⊥ AB · d) Cho xAC = 600 i) Chứng minh: DB DK = R2 điểm O, K, E thẳng hàng ii) Tính diện tích tứ giác ACEF phần nằm ngồi đường tròn (O) bán kính đường tròn ngoại tiếp ACDK theo R 3.130 Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB, lấy điểm M thuộc (O) cho · = 300 Kéo dài AB đoạn BC = R Từ C vẽ đường thẳng vng MAB góc với AB cắt AM kéo dài D a) Chứng minh: tứ giác BDCM nội tiếp Xác định tâm I đường tròn b) Chứng minh: AD AM = 6R2 · · c) Chứng minh: ∆ABD cân BOM = BIM d) Tính diện tích phần mặt phẳng ∆ABD nằm ngồi đường tròn (O) 3.131 Cho (O; R) dây cung BC = R Tiếp tuyến B C cắt điểm A · · a) Tính số đo BOC , độ dài cung nhỏ BC diện tích hình quạt BOC b) Chứng minh: ABOC nội tiếp được, xác định tâm I đường tròn Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆OAB theo R c) Đường thẳng vng góc với OB O cắt AC M Chứng minh: MI tiếp tuyến (O) d) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn cạnh AB, AC cung nhỏ BC (O) theo R 3.132 Cho ∆ABC nội tiếp (O; R) Lấy M thuộc AB N thuộc AC cho BM = AN · a) Tính số đo AOB , độ dài cung nhỏ AB diện tích hình quạt BOC b) Chứng minh: OM = ON tứ giác OMNA nội tiếp Trang 89 Bài tập Tốn Học kì c) Gọi D điểm thuộc cung nhỏ AC C/minh: DA + DC = DB Xác định vị trí điểm D để BD đường kính (O) d) Cho BD đường kính (O) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆COD theo R 3.133 Cho ∆ABC có góc nhọn nội tiếp (O) Hai đường cao BD, CE cắt H a) Chứng minh: BCDE nội tiếp đường tròn Xác định tâm I đường tròn b) Gọi (d) tiếp tuyến A (O) Chứng minh: DE // (d) c) Chứng minh: AH = 2OI BH BD + CH CE = BC2 d) Chứng minh: EH EC ≤ AB2 3.134 Cho ∆ABC có gón nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi I trung điểm BC, OI kéo dài cắt đường tròn (O) M Hai đường cao AD CE cắt H Chứng minh: a) Tứ giác AEDC nội tiếp đường tròn · b) AM tia phân giác BAC c) ∆ADB ∆CDH đồng dạng 3.135 Từ điểm M bên ngồi đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến MB, MC với (O) (B, C hai tiếp điểm) Gọi I trung điểm MC Tia BI, MA cắt (O) A D a) Chứng minh: BOCM nội tiếp OM ⊥ BC b) Chứng minh: MA MD = MB MC MI2 = IA IB · c) Cho BMC = 600 Tính diện tích tứ giác BDCI bán kính đường tròn (BCI) theo R 3.136 Trên (O), lấy hai điểm A B Gọi D điểm cung lớn AB Từ A kẻ hai tiếp tuyến Ax cắt BD kéo dài N, từ B kẻ tiếp tuyến By cắt DA kéo dài M Chứng minh: a) Tứ giác ABNM nội tiếp đường tròn b) ∆MDB ∆MBA đồng dạng c) AB // MN 3.137 Cho đường tròn (O ; R) điểm A với OA = 2R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB AC đến đường tròn (O) (B, C hai tiếp điểm) Trang 90 Bài tập Toán Học kì a) Chứng tỏ ∆ABC đều, tính theo R độ dài cạnh ∆ABC b) Từ điểm D cung nhỏ BC (D khác B C) vẽ tiếp tuyến cắt AB, AC M, N Các đường thẳng OM, ON cắt BC · E F Chứng tỏ chu vi ∆AMN 2R số đo MON = 600 c) Chứng minh: điểm E, O, C, N nằm đường tròn, suy OD, MF, NE đồng quy 3.138 Cho ∆ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC Vẽ đường cao AH ∆ABC Đường tròn đường kính AH có tâm K cắt AB, AC (O) D, E, I Hai đường thẳng AI BC cắt M Chứng minh: a) Tứ giác AEHD hình chữ nhật b) AB AD = AE AC tứ giác BDEC nội tiếp c) OK ⊥ AM, suy K trực tâm ∆ AMO 3.139 Cho đường tròn (O) đường kính BC = 2R Gọi A điểm (O) (A khác B C) Đường phân giác BÂC cắt BC D cắt đường tròn (O) M a) Chứng minh: MB = MC tính độ dài MB theo R b) Gọi E, F hình chiếu D lên AB, AC Tứ giác AEDF hình ? Vì ? · c) Cho ABC = 600 Tính BD theo R 3.140 Cho ∆ABC có góc nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh: tứ giác DBFH, ACDF tứ giác nội tiếp b) Gọi I giao điểm đường thẳng AD với (O) Chứng minh: · · HCB = ICB c) Vẽ đường kính AK (O) Chứng minh: tứ giác CHBK hình bình hành d) Chứng minh: tứ giác BCKI hình thang cân 3.141 Cho ∆ABC có góc nhọn có hai đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh: tứ giác BCDE nội tiếp · · · · b) Chứng minh: BCE BCE = BDE = BAH c) Đường thẳng AH cắt BC K Gọi H′ điểm đối xứng H qua BC Chứng minh: tứ giác ABH′ C nội tiếp Trang 91 Bài tập Toán Học kì d) Cho BD = 5, DC = 4, DA = Tính HC HA 3.142 Cho hình vng ABCD có cạnh a gọi E trung điểm cạnh BC Vẽ BH ⊥ DE (H ∈ DE) Đường thẳng BH cắt DC K a) Chứng minh: tứ giác DCHB nội tiếp · b) Tính CHK c) AH cắt BD M Chứng minh: MH MA = MB MD d) Tính EH theo a 3.143 Cho ∆ABC vng A có đường cao AH Vẽ đường tròn đường kính AH, đường tròn cắt AB điểm E cắt AC điểm F a) Chứng minh: tứ giác AEHF hình chữ nhật b) Chứng minh: tứ giác BEFC nội tiếp c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh: AI ⊥ EF d) Chứng minh rằng: diện tích S∆ABC = 2SAEHF ∆ABC vng cân 3.144 Cho ∆ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R) có ba đường cao AD, BE CF cắt H a) Chứng minh: tứ giác BFEC, AFHE tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: DA tia phân giác góc EDF c) Đường thẳng AO cắt (O) K (K ≠ A) Chứng minh: BHCK hình bình hành d) Gọi G trọng tâm ∆ABC Chứng minh: S∆AHG = 2S∆AOG 3.145 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) đường cao BE, CF gặp H gặp đường tròn (O) M, N a) Chứng minh: EF // MN b) Chứng minh: OA ⊥ EF c) Kẻ đường cao AD Chứng minh AB AC = AD 2R d) Giả sử BC cố định A di động đường tròn Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆AEF khơng đổi 3.146 Cho ∆ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O Điểm M thuộc cung nhỏ AC Gọi Cx tia qua M a) Chứng minh: AM tia phân giác góc BMx b) Gọi D điểm đối xứng A qua O Trên tia đối tia MB lấy điểm H cho MH = MC Chứng minh: MD // CH Trang 92 Bài tập Toán Học kì c) Gọi I K tr/điểm BC CH Tìm điểm cách điểm A, I, C, K d) Khi M di động cung nhỏ AC trung điểm E BM chạy đường 3.147 Cho đường tròn (O; R) điểm D cố định bên đường tròn Từ D kẻ hai tiếp tuyến DB DC tới đường tròn (B, C tiếp điểm cát tuyến di động DEF Kẻ dây cung BA song song với cát tuyến DEF Dây AC cắt dây EF I, tia OI cắt đường thẳng BC M · · a) So sánh CID COD b) Chứng minh: điểm B, I, O, C, D nằm đường tròn c) Chứng minh: I trung điểm dây EF d) Khi cát tuyến DEF di động Chứng minh tích OI OM khơng đổi 3.148 Cho đường tròn (O) đường kính BC điểm A nằm cung BC cho AB ≥ AC Lấy tia AC điểm D cho AD = AB, kẻ hình vng BADE Tia AE cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F a) Chứng minh: ∆FBC vuông cân b) ∆FCD tam giác ? Vì ? c) Tiếp tuyến đường tròn (O) B cắt đường thẳng CF điểm G Chứng minh: tứ giác GEFB nội tiếp Suy D, E, G thẳng hàng d) Khi A di động cung BC không chứa điểm F E chạy đường ? 3.149 Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Trên tia đối tia BA đặt đoạn BC = R Vẽ dây BD = R, AD cắt đường thẳng d vng góc với AB C điểm M a) Tính tích AD.AM theo R b) Chứng minh: ∆ABM cân c) Tính chu vi diện tích ∆ABM theo chu vi diện tích ∆ABD d) Cung BD chia ∆ABM thành hai phần Tính diện tích phần ngồi đường tròn 3.150 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AD, BE, CF gặp H Gọi K điểm đối xứng A qua O I trung điểm BC a) Chứng minh: ba điểm H, I, K thẳng hàng b) Tia AD gặp đường tròn (O) N Tứ giác BCKN hình ? Tại ? Trang 93 Bài tập Tốn Học kì c) ∆ABC phải có thêm điều kiện để có HA.BC = HC.AB d) Chứng minh: DA2 + DB2 + DC2 + DN2 = 4R2 3.151 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn P điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I, dây BC PD kéo dài cắt K Chứng minh: · · a) CID = CKD b) c) d) e) Tứ giác CDEF nội tiếp IK // AB Đường tròn ngoại tiếp ∆AFD tiếp xúc với PA A Tìm điều kiện tứ giác ABCD để có FA = EB 3.152 Cho ∆ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R, đường cao AD, BE, CF gặp H a) Chứng minh: AH.AD = AE.AC = AF.AB b) Chứng minh: H tâm đường tròn nội tiếp ∆DEF c) Gọi N điểm đối xứng H qua BC Chứng minh: N ∈ (O) d) Chứng minh: ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác HAB, HBC, HAC 3.153 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn người ta kẻ tia tiếp tuyến Ax dây cung AC bất kỳ, tia phân giác góc CÂx cắt nửa đường tròn D, tia AD BC cắt E, tia BD cắt tia Ax F a) Chứng minh: ∆ABE cân B tứ giác ABEF nội tiếp b) Các dây AC BD cắt K C/minh: tứ giác AKEF hình thoi · c) Chứng minh sin BAC = 0,5 AK = 2CK ∆ABE tam gác · d) Cùng với giả thiết sin BAC = 0,5 Hãy tính diện tích chu vi hình tròn (ABEF) Trang 94 Bài tập Tốn Học kì Chương HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN – HÌNH CẦU A – Hình trụ Hình trụ Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh CD có định, ta hình trụ Khi đó: DA CB quét nên hai đáy hình trụ hai hình tròn nằm hai mặt phẳng song song, có tâm D C Cạnh AB quét nên mặt xung quanh hình trụ, vị trí AB gọi đường sinh Chẳng hạn: EF đường sinh A D D B C C A E F B Các đường sinh hình trụ vng góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài đường sinh chiều cao hình trụ DC gọi trục hình trụ Cắt hình trụ mặt phẳng D Khi cắt hình trụ mặt phẳng song song với đáy, mặt cắt (phần mặt phẳng nằm hình trụ) hình tròn hình tròn đáy (hình a) Khi cắt hình trụ mặt phẳng song song với trục DC mặt cắt hình chữ nhật (hình b) C (a) (b ) Diện tích xung quanh hình trụ Thể tích hình trụ Trang 95 Bài tập Tốn Diện tích xung quanh: S xq = 2π rh Diện tích tồn phần: S = S xq + 2S = 2π rh + 2π r Thể tích hình trụ: V = Sh = π r h Trong đó: r: bán kính hình tròn đáy h: chiều cao hình trụ S: diện tích đáy hình trụ 4.1 Học kì r h Có lọ thủy tinh hình trụ có bán kính đáy dm, cao dm a) Phải đổ vào bình lít nước để mực nước bình cao 3dm? (lấy π = 3,14) b) Người ta thẻ vào lọ cục sắt hình trụ cao dm chìm nước Mực nước lọ dâng cao cm Tìm đường kính đáy cục sắt 4.2 Một thùng hình trụ đựng nước có bán kính đáy 40 cm, diện tích tồn phần gấp đơi diện tích xung quanh Hỏi thùng chứa lít nước ? 4.3 Cho mặt phẳn qua trục OO′ hình trụ, phần mặt cắt hình chữ nhật có diện tích 72 cm2 Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ, biết đường kính đáy nửa đường cao 4.4 Một hình trụ tích 200π cm3 bán kính đáy cm a) Tính diện tích mặt cắt qua trục OO′ b) Mặt cắt ABCD song song với trục OO′ (AB dây cung đường tròn (O)), tính khoảng cách từ O đến AB để ABCD hình vng 4.5 Từ tơn hình chữ nhật có kích thước a × b (a > b) người ta lại thành mặt xung quanh hình trụ Hỏi phải theo chiều tơn để hình trụ (khơng đáy) tích lớn ? 4.6 Một thùng phuy hình trụ khơng có nắp chứa khoảng 8π lít nước Hỏi người ta làm thùng có chiều cao bán kính đáy để tốn vật liệu ? Trang 96 Bài tập Toán Học kì B – Hình nón Hình nón cụt Hình nón µ = 900 ) vòng quanh cạnh góc Khi quay tam giác vng AOC ( O vng OA cố định, ta hình nón Khi đó: A A Cạnh OC quét nên đáy hình nón hình tròn (O; OC) Cạnh AC qt nên mặt xung quanh hình nón, vị trí AC gọi đường sinh Chẳng hạn AD đường sinh O D O C C A gọi đỉnh, AO gọi đường cao hình nón Diện tích xung quanh thể tích hình nón Diện tích xung quanh: S xq = π rl 1 Sh = π r h 3 r: bán kính hình tròn đáy h: chiều cao hình nón l: đường sinh hình nón S: diện tích đáy hình nón V: thể tích hình nón Thể tích hình trụ: Trong đó: l h Diện tích tồn phần: S = S xq + S = π rl + π r V= Hình nón cụt Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy phần mặt phẳng nằm hình nón nằm mặt phẳng nói mặt đáy gọi hình nón cụt B C r A B D C hA D Diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt Diện tích xung quanh: S xq = π ( r1 + r2 )l 2 Diện tích tồn phần: S = S xq + S1 + S = π ( r1 + r2 )l + π r1 + π r2 Trang 97 Bài tập Tốn Học kì V = π h( r12 + r22 + r1 r2 ) r1, r2: bán kính hình tròn đáy l h: chiều cao hình nón cụt l: đường sinh hình nón cụt S1, S2: diện tích đáy hình nón cụt r1 Thể tích hình trụ: Trong đó: 4.7 h h r2 Cho hình nón cụt, đáy nhỏ va fđáy lớn hình tròn (O 1; r1) (O2; r2), r1 = cm, r2 = cm, đường cao h = cm a) Tính thể tích hình nón cụt b) Người ta kht bỏ hình nón có đáy hình tròn (O 1; r1) đỉnh O2 Tính thể tích lại 4.8 Cho ∆ABC vuong A Quay tam giác vuông vòng quanh cạnh góc vng AB AC ta hình nón đỉnh B hình nón đỉnh C Chưng minh tỉ số thể tích hai hình nón với tỉ số diện tích xung quanh hai hình nón 4.9 Từ khúc gỗ hình trụ người ta tiện thành hình nón tích lớn Biết thể tích gỗ tiện bỏ 200π cm3 a) Chứng minh diện tích đáy nửa diện tích xung quanh b) Cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy tạo hình cụt Tính chiều cao hình nón cụt, biết diện tích xung quanh diện tích đáy lớn 4.10 Cho điểm A, O, B thẳng hàng theo thứ tự đó, OA = a; OB = b Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ tia à By vng góc với AB Vẽ hai tia Om On soa cho OM ⊥ Om OM cắt Ax M, On cắt By N a) Chứng minh tích AM.BN khơng đổi · b) Cho biết AOM = 600 Khi tính diện tích tứ giác AMNB · c) Khi AOM = 600 , cho tồn hình vẽ quay xung quanh trục AB Tính tỉ số thể tích hình ∆AOM ∆BON tạo thành Trang 98 Bài tập Tốn Học kì C – Hình cầu Hình trụ Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R vòng quanh đường kính AB cố định hình cầu.Khi đó: A A Nửa đường tròn phép quay nói tạo nên mặt cầu Điểm O gọi tâm, R bán kính hình cầu mặt cầu O O Cắt hình cầu mặt phẳng B Khi cắt hình cầu mặt phẳng, mặt cắt (phần mặt phẳng nằm hình trụ) hình tròn Khi cắt mặt cầu bán kính R mặt phẳng, ta đường tròn: - Có bán kính R (gọi đường tròn lớn) mặt phẳng qua tâm (hình a) B r R (a) (b ) - Đường tròn có bán kính bé R mặt phẳn khơng qua tâm (hình b) Diện tích mặt cầu Thể tích hình cầu Diện tích mặt cầu: S = 4π R = π d Thể tích hình trụ: V = π R3 = π d 3 Trong đó: R: bán kính hình cầu d: đường kính hình cầu d O R 4.11 Một hình cầu đặt vừa khít vào bên hình trụ (chiều cao hình trụ độ dài đường kính hình cầu) biết bán kính hình cầu r a) Tính thể tích hình cầu, thể tích hình trụ Trang 99 Bài tập Tốn Học kì b) Tính thể tích hình nón có bán kính đường tròn đáy r (cm) chiều cao 2r (cm) So sánh thể tích hình trụ hình nón c) Tìm mối liên hệ thể tích hình nón, hình trụ hình cầu; diện tích mặt cầu diện tích tồn phần hình trụ 4.12 Một vật nặng hình cầu rơi xuống cát phẳng để lại vết lõm hình chảo có đường kính 72 cm rơi sâu 24 cm Tính thể tích vật hình cầu 4.13 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Vẽ tiấp tuyến Ax, By phía với nửa đường tròn Trên tia Ax lấy điểm C cho AC = a (0 < a ≤ R) Từ C vẽ tiếp tuyến thứ ba với nửa đường tròn tiếp xúc với (O) tạo M cắt By D a) Tính BD theo R a b) Tính diện tích nhỏ tứ giác ABCD c) Quay hình vẽ vòng quanh trục AB Tính a để tổng thể tích hai hình nón ∆AOC ∆BOD tạo thành thể tích hình cầu đường kính AB Trang 100 Bài tập Tốn Học kì D - Ơn tập chương Hình Hình vẽ Hình trụ Diện tích Thể tích S xq = 2π rh h S = 2π rh + 2π r V = Sh = π r h r Hình nón S xq = π rl h S = π rl + π r V = π r 2h r Hình nón cụt Hình cầu rr11 h S xq = π ( r1 + r2 )l S = π ( r1 + r2 )l h l + π r12 + π r22 r2 d R S = 4π R = π d V = π h( r12 + r22 + r1 r2 ) V = π R3 = π d 3 4.14 Hãy tính thể tích, diện tích xung quanh hình tương ứng theo kích thước cho hình sau: 11cm 3,6cm cm 5,6cm 4,8cm cm 25cm (a) (b) (c) Trang 101 Bài tập Tốn Học kì 4.15 Một hình chữ nhật ABCD có AB > CD, diện tích chu vi theo thứ tự 2a2 6a Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh AB, ta hình trụ Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ 8,1 cm 4.16 Hãy tính thể tích hình theo kích thước cho: 8,2 cm 3,8 cm A D 8,2 cm 5,8 cm B 7,6 cm O 14 cm C (b) (a) 4 6,9 cm 20 cm 8,4 cm 4.17 Hãy tính thể tích hình theo kích thước cho: 12,6 cm (a) (b) (c) 4.18 Cho hình bên mơ tả hình cầu đặt khít vào tỏng hình trụ, kích thước cho hình vẽ Hãy tính: a) Thể tích hình cầu b) Thể tích hình trụ c) Hiệu thể tích hình trụ thể tích hình cầu O r cm d) Thể tích hình nón có bán kính đường tròn đáy r (cm) chiều cao 2r (cm) e) Từ kết câu a), b), c), d) tìm mối liên hệ chúng Trang 102 Bài tập Tốn Học kì Mục lục Phần Đại số Chương HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A - Phương trình bậc hai ẩn .1 B - Hệ hai phương trình bậc hai ẩn C - Giải toán cách lập hệ phương trình 13 D - Ơn tập chương 18 Chương HÀM SỐ BẬC HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 22 A - Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) 22 B – Phương trình bậc hai ẩn 26 C – Giải biện luận phương trình có chứa tham số dạng ax2 + bx + c = .32 D– Sự tương giao Parabol đường thẳng .35 E – Hệ thức Vi-ét 40 F – Phương trình qui phương trình bậc hai 48 G – Giải tốn cách lập phương trình 54 H - Ôn tập chương 58 Phần Hình học 61 Chương GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN 61 A - Góc tâm Số đo cung .61 B - Liên hệ cung dây 63 C - Liên hệ góc đường tròn 67 D – C ung chứa góc – Bài tốn quỹ tích 74 E - Quan hệ tứ giác đường tròn 76 F - Đường tròn ngoại tiếp – nội tiếp Độ dài đường tròn cung tròn Diện tích hình tròn – hình quạt tròn 82 G - Ơn tập chương 86 Chương HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN – HÌNH CẦU .95 A – Hình trụ 95 B – Hình nón Hình nón cụt .97 C – Hình cầu .99 D - Ôn tập chương .101 Mục lục 103 Trang 103 ... a) 3x2 – 2x = x2 + b) (2x – )2 – = (x + 1)(x – 1) c) 3x2 + = 2( x + 1) d) x2 + + 2 = 2( 1 + e) 10,5x(x + 1) = (x – 1 )2 f) g) 2 x – = i) x2 + 2x )x x2 + 2x – = x + h) x2 – 3 = 2x2 + 2x + 3 x2 +... g) 3x2 – 6x + = h) x2 – 4x + = j) 3x2 + 2x – = k) x2 – 3x + = m) 4x – 12x + = n) 2x2 + 5x + = p) x2 – 4x + = q) 2x2 + 5x – = s) 3x2 + 12x – 66 = t) 9x2 – 30x + 22 5 = v) 3x2 – 7x + = w) 3x2 – 7x... 1,7x2 – 1,2x 2, 1 = d) 2x2 – 7x + = e) 6x2 + x + = f) 6x2 + x – = 2 g) x – 8x + 16 = h) 16x + 24 x + = i) 2x2 – 5x + = j) 4x2 + 4x + = k) 5x2 – x + = l) –3x2 + 2x + = m) 2x2 2 x +1= n) 3x2 –