Tuyển tập đề thi vao 10

Chứng minh tứ giác BEPF , BCPD nội tiếp và BP vuông góc với EF.. Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABQ , BCP , DCQ , ADP cắt nhau tại một điểm.. Các tiếp tuyến tại A và B

MÔT Số Đề THI VàO THPT PHÂN BAN

I, Phần 1 : Các đề thi vào ban cơ bản

Đề số 1

Câu 1 ( 3 điểm )

Cho biểu thức :

2 2

2

1 2

1 ) 1

1 1

1

x x

3 1

5x− − x− = x−

Câu 3 ( 3 điểm )

Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , 2 ) và đờng thẳng (D) : y = - 2(x +1)

a) Điểm A có thuộc (D) hay không ?

b) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị (P) đi qua A

c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và vuông góc với (D)

Câu 4 ( 3 điểm )

Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh là a E là điểm đi chuyển trên đoạn CD ( E khác D ) , đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC tại F ,

đờng thẳng vuông góc với AE tại A cắt đờng thẳng CD tại K

1) Chứng minh tam giác ABF = tam giác ADK từ đó suy ra tam giác AFK vuông cân

2) Gọi I là trung điểm của FK , Chứng minh I là tâm đờng tròn đi qua

A , C, F , K

3) Tính số đo góc AIF , suy ra 4 điểm A , B , F , I cùng nằm trên một

đờng tròn

1) Nêu tập xác định , chiều biến thiên và vẽ đồ thi của hàm số.

2) Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm ( 2 , -6 ) có hệ số góc a và tiếp xúc với đồ thị hàm số trên

2 1

2 2

2

x x x x

x x M

+

− +

Giải phơng trình :

a) x− 4 = 4 −x

b) 2x+ 3 = 3 −x

Câu 4 ( 3 điểm )

Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) có bán kính bằng R cắt nhau tại A và

B , qua A vẽ cát tuyến cắt hai đờng tròn (O1) và (O2) thứ tự tại E và F , đờng thẳng EC , DF cắt nhau tại P

1) Chứng minh rằng : BE = BF

2) Một cát tuyến qua A và vuông góc với AB cắt (O1) và (O2) lần lợt tại C,D Chứng minh tứ giác BEPF , BCPD nội tiếp và BP vuông góc với EF

3) Tính diện tích phần giao nhau của hai đờng tròn khi AB = R

2

1 3 3

1 2

a) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A ( -2 ; 3 )

b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của

) 1

1 1

2 (

x x

x x

x x

x x A

x x x

x x

x

6

1 6

2 36

2 2

2 2

2) Gäi F lµ giao ®iÓm cña BN vµ DC Chøng minh ∆BCF = ∆CDE

3) Chøng minh r»ng MF vu«ng gãc víi AC

§Ò sè 5

4

= +

−

1 3

5

2

y mx

y mx

y x

2 2

2

2) Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : ax2 + bx + c = 0 Gäi hai nghiÖm cña

ph-¬ng tr×nh lµ x1 , x2 LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ 2x1+ 3x2 vµ 3x1 + 2x2

1 2

5

1

−

+ +

2) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh :

( x –1 ) ( 2x + 3 ) > 2x( x + 3 )

−

4 1

2 1 5

7 1

1 1 2

y x

y x

Câu 2 ( 3 điểm )

Cho biểu thức :

x x x x x x

x A

− +

1) Chứng minh góc EMO = góc OFE và đờng tròn đi qua 3 điểm M,

E, F đi qua 2 điểm cố định khi m thay đổi trên d

2) Xác định vị trí của M trên d để tứ giác OEMF là hình vuông

6

Cho phơng trình : 3x2 + 7x + 4 = 0 Gọi hai nghiệm của phơng trình là

x1 , x2 không giải phơng trình lập phơng trình bậc hai mà có hai nghiệm là :

1) Cho x2 + y2 = 4 Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của x + y

=

− 8

16

2 2

y x

y x

3) Giải phơng trình : x4 – 10x3 – 2(m – 11 )x2 + 2 ( 5m +6)x +2m = 0

Câu 4 ( 3 điểm )

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Đờng phân giác trong của góc A , B cắt đờng tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai đờng phân giác là I , đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt tại M , N

1) Chứng minh tam giác AIE và tam giác BID là tam giác cân

2) Chứng minh tứ giác AEMI là tứ giác nội tiếp và MI // BC

3) Tứ giác CMIN là hình gì ?

Đề số 8

Câu1 ( 2 điểm )

Tìm m để phơng trình ( x2 + x + m) ( x2 + mx + 1 ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt

=

+

6 4

3

y mx

my x

1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) Chứng minh

AB.CD + BC.AD = AC.BD

2) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đờng tròn (O) đờng kính

AD Đờng cao của tam giác kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC tại K và cắt ờng tròn (O) tại E

đ-a) Chứng minh : DE//BC

b) Chứng minh : AB.AC = AK.AD

c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành

8

-Đề số 9

Câu 1 ( 2 điểm )

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau :

2 3 2

1 2

1 +

1

; 3 2

1) Chứng minh tứ giác O1IJO2 là hình thang vuông

2) Gọi M là giao diểm của CO1 và DO2 Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm trên một đờng tròn

3) E là trung điểm của IJ , đờng thẳng CD quay quanh A Tìm tập hợp

điểm E

4) Xác định vị trí của dây CD để dây CD có độ dài lớn nhất

2)Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm (2; -2) và (1 ; -4 )

3) Tìm giao điểm của đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị trên

Câu 2 ( 3 điểm )

a) Giải phơng trình :

2 1 2 1

4 1

+ +

+

x

x x

x

Câu 3 ( 3 điểm )

Cho hình bình hành ABCD , đờng phân giác của góc BAD cắt DC và

BC theo thứ tự tại M và N Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNC

1) Chứng minh các tam giác DAM , ABN , MCN , là các tam giác cân

2) Chứng minh B , C , D , O nằm trên một đờng tròn

Câu 4 ( 1 điểm )

Cho x + y = 3 và y ≥ 2 Chứng minh x2 + y2 ≥ 5

b) Viết phơng trình đờng thẳng qua A và vuông góc với đờng thẳng x – 2y = -2

c) Tìm toạ độ giao điểm C của hai đờng thẳng đó Chứng minh rằng

EO EA = EB EC và tính diện tích của tứ giác OACB

Câu 3 ( 2 điểm )

Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình :

x2 –(m+1)x +m2 – 2m +2 = 0 (1) a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép , hai nghiệm phân biệt

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Kẻ đờng cao AH , gọi trung

điểm của AB , BC theo thứ tự là M , N và E , F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của của B , C trên đờng kính AD

a) Chứng minh rằng MN vuông góc với HE

b) Chứng minh N là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác HEF

Đề số 13

12

-Câu 1 ( 2 điểm )

So sánh hai số :

3 3

6

; 2 11

2

y x

a y x

Gọi nghiệm của hệ là ( x , y ) , tìm giá trị của a để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

= +

xy y x

Câu 4 ( 3 điểm )

1) Cho tứ giác lồi ABCD các cặp cạnh đối AB , CD cắt nhau tại P và BC , AD cắt nhau tại Q Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABQ , BCP , DCQ , ADP cắt nhau tại một điểm

3) Cho tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp Chứng minh

BD

AC DA DC BC BA

CD CB AD

+

+

.

Câu 4 ( 1 điểm )

Cho hai số dơng x , y có tổng bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của :

xy y

x

S

4

3 1

2

+

=

Đề số 14

Câu 1 ( 2 điểm )

Tính giá trị của biểu thức :

3 2 2

3 2 3

2 2

3 2

−

−

− + + +

2) Cho phơng trình x2 – x – 1 = 0 có hai nghiệm là x1 , x2 Hãy lập

ph-ơng trình bậc hai có hai nghiệm là :

2

2 2

1 1

;

x x

Cho đờng tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngoài đờng tròn ) Từ

điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB tại I , CM cắt ờng tròn tại E , EN cắt đờng thẳng AB tại F

đ-1) Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh góc CAE bằng góc MEB

3) Chứng minh : CE CM = CF CI = CA CB

14

−

−

0 4 4

3 2 5

2

2 2

xy y

y xy x

a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ

b) Viết phơng trình các đờng thẳng song song với đờng thẳng y = - x –

3 x2 − −x2 − =

Câu 4 ( 2 điểm )

Cho tam giác vuông ABC ( góc A = 1 v ) có AC < AB , AH là đờng cao

kẻ từ đỉnh A Các tiếp tuyến tại A và B với đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại M Đoạn MO cắt cạnh AB ở E , MC cắt đờng cao AH tại F Kéo dài CA cho cắt đờng thẳng BM ở D Đờng thẳng BF cắt đờng thẳng AM ở N

a) Chứng minh OM//CD và M là trung điểm của đoạn thẳng BD b) Chứng minh EF // BC

c) Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN

Đề số 16

Câu 1 : ( 2 điểm )

Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*)

1) Tính giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua : a) A( -1 ; 3 ) ; b) B( - 2 ;

b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3 +

c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 3 : ( 2 điểm )

Cho phơng trình bậc hai : x2 + 3x− 5 0 = và gọi hai nghiệm của phơng trình

là x1 và x2 Không giải phơng trình , tính giá trị của các biểu thức sau :

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD

b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn

c) AC song song với FG

d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy

16

gian dự định đi lúc đầu

Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 cm ;CB = 40 cm

Vẽ về cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB các nửa đờng tròn đờng kính theo thứ

tự là AB , AC , CB có tâm lần lợt là O , I , K Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn (O) ở E Gọi M , N theo thứ tự là giao điểm cuae EA , EB với các nửa đờng tròn (I) , (K) Chứng minh :

Đề 18 Câu 1 ( 2 điểm )

Câu 4 ( 3 điểm )

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M là một điểm trên cung

AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC

1) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp

-Để 19

( Thi tuyển sinh lớp 10 - THPT năm 2006 - 2007 - Hải dơng -

120 phút - Ngày 28 / 6 / 2006 Câu 1 ( 3 điểm )

1) Giải các phơng trình sau :

a) 4x + 3 = 0 b) 2x - x2 = 0 2) Giải hệ phơng trình : 2 3

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 3 3

1 2 0

x + ≥x

Câu 3 ( 1 điểm )

Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km Một ô tô đi từ A

đến B , nghỉ 90 phút ở B , rồi lại từ B về A Thời gian lúc đi đến lúc trở về A

là 10 giờ Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h Tính vận tốc lúc

đi của ô tô

Câu 4 ( 3 điểm )

Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC ,

BD cắt nhau tại E Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F Đờng thẳng

CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M Giao điểm của BD và CF là N

Chứng minh :

a) CEFD là tứ giác nội tiếp

b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM

c) BE DN = EN BD

Câu 5 ( 1 điểm )

Tìm m để giá trị lớn nhất của biểu thức 2

2 1

x m x

+ + bằng 2

Để 20 Câu 1 (3 điểm )

1) Giải các phơng trình sau :

a) 5( x - 1 ) = 2 b) x2 - 6 = 0 2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = 3x - 4 với hai trục toạ độ

Câu 5 ( 1 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ ( Oxy ) cho điểm A ( -3 ; 0 )

và Parabol (P) có phơng trình y = x2 Hãy tìm toạ độ của điểm M thuộc (P) để cho độ dài đoạn thẳng AM nhỏ nhất

II, Các đề thi vào ban tự nhiên

8

−

= +

x

20

b) Với giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số y = mx + 3 ; y = 3x –

7 và đồ thị của hàm số xác định ở câu ( a ) đồng quy

Câu 3 ( 2 điểm ) Cho hệ phơng trình

=

−

n y x

ny mx

3

y x

Câu 4 : ( 3 điểm )

Cho tam giác vuông ABC (àC = 900 ) nội tiếp trong đờng tròn tâm O Trên cung nhỏ AC ta lấy một điểm M bất kỳ ( M khác A và C ) Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AC , đờng tròn này cắt đờng tròn (O) tại điểm D ( D khác C ) Đoạn thẳng BM cắt đờng tròn tâm A ở điểm N

a) Chứng minh MB là tia phân giác của góc ãCMD

b) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đờng tròn tâm A nói trên

3 1

− ; -2

b) Biết f(x) = ;21

3

2

; 8

; 2

9 − tìm x c) Xác định m để đờng thẳng (D) : y = x + m – 1 tiếp xúc với (P)

m my x

a) Chứng minh hình chiếu vuông góc của P lên 4 cạnh của tứ giác là 4

đỉnh của một tứ giác có đờng tròn nội tiếp

b) M là một điểm trong tứ giác sao cho ABMD là hình bình hành Chứng minh rằng nếu góc CBM = góc CDM thì góc ACD = góc BCM

c) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để :

)

( 2

1

BC AD CD AB

Đề số 3

Câu 1 ( 2 điểm )

22

b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)

c) Chứng tỏ (D) luôn đi qua một điểm cố định

Câu 4 ( 3 điểm )

Cho tam giác vuông ABC ( góc A = 900 ) nội tiếp đờng tròn tâm O , kẻ

đờng kính AD

1) Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật

2) Gọi M , N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B , C trên AD , AH là

đờng cao của tam giác ( H trên cạnh BC ) Chứng minh HM vuông góc với AC

3) Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MHN

4) Gọi bán kính đờng tròn ngoại tiếp và đờng tròn nội tiếp tam giác ABC là R và r Chứng minh R+r≥ AB.AC

Đề số 4

1 1

1 3

1

=

−

+ +

c) 31 −x =x− 1

Câu 2 ( 2 điểm )

Cho hàm số y = ( m –2 ) x + m + 3

a) Tìm điều kiệm của m để hàm số luôn nghịch biến

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hành độ là 3 c) Tìm m để đồ thị các hàm số y = - x + 2 ; y = 2x –1và y = (m – 2 )x + m + 3 đồng quy

c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC

Chứng minh góc BAH = góc CAO

d) Chứng minh góc HAO = Bà − Cà

24

≠ 1 ) cắt đờng cong (P) tại một điểm

c) Chứng minh rằng với mọi m khác 1 đồ thị (d ) của hàm số y = 1)x + m luôn đi qua một điểm cố định

= +

−

1 3

5 2

y mx

y mx

c) Chứng tỏ BA là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMC d) Đờng thẳng qua C và song song với MA , cắt đờng thẳng AB ở D Chứng tỏ đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD tiếp xúc với BC

Đề số 6

Câu 1 ( 3 điểm )

a) Giải phơng trình : x+ 1 = 3 − x− 2

c) Cho Parabol (P) có phơng trình y = ax2 Xác định a để (P) đi qua

điểm A( -1; -2) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và đờng trung trực của đoạn OA

3 2 2

2 2

1 1 1

x y

y x

1) Xác định giá trị của m sao cho đồ thị hàm số (H) : y =

x

1

và đờng thẳng (D) : y = - x + m tiếp xúc nhau

Câu 3 ( 3 điểm )

Cho phơng trình x2 – 2 (m + 1 )x + m2 - 2m + 3 = 0 (1).a) Giải phơng trình với m = 1

b) Xác định giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm kia

Câu 4 ( 3 điểm )

Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đờng tròn đờng kính AB Hạ

BN và DM cùng vuông góc với đờng chéo AC

Chứng minh :

a) Tứ giác CBMD nội tiếp

b) Khi điểm D di động trên trên đờng tròn thì BMD BCDã + ã không đổi

c) DB DC = DN AC

26

a) Chøng minh tø gi¸c ABEF néi tiÕp

b) Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BF vµ AI IE = IB2 c) Chøng minh NA IA= 22

NB IB

−

5 3

3

my x

y mx

a) Giải hệ phơng trình khi m = 1

b) Tìm m để hệ có nghiệm đồng thời thoả mãn điều kiện ;

1 3

) 1 ( 7

+

−

− +

m

m y x

Câu 3 ( 2 điểm )

Cho hai đờng thẳng y = 2x + m – 1 và y = x + 2m

a) Tìm giao điểm của hai đờng thẳng nói trên

b) Tìm tập hợp các giao điểm đó

Câu 4 ( 3 điểm )

Cho đờng tròn tâm O A là một điểm ở ngoài đờng tròn , từ A kẻ tiếp tuyến

AM , AN với đờng tròn , cát tuyến từ A cắt đờng tròn tại B và C ( B nằm giữa

A và C ) Gọi I là trung điểm của BC

1) Chứng minh rằng 5 điểm A , M , I , O , N nằm trên một đờng tròn 2) Một đờng thẳng qua B song song với AM cắt MN và MC lần lợt tại

E và F Chứng minh tứ giác BENI là tứ giác nội tiếp và E là trung

điểm của EF

28

-Đề số 9

Câu 1 ( 3 điểm )

Cho phơng trình : x2 – 2 ( m + n)x + 4mn = 0

a) Giải phơng trình khi m = 1 ; n = 3

b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m ,n

c) Gọi x1, x2, là hai nghiệm của phơng trình Tính 2

1) Khi x < 0 tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến

2) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm ( 1 , -1 ) Vẽ đồ thị với m vừa tìm đợc

Câu 4 (3điểm )

Cho tam giác nhọn ABC và đờng kính BON Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , Đờng thẳng BH cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M

1) Chứng minh tứ giác AMCN là hình thanng cân

2) Gọi I là trung điểm của AC Chứng minh H , I , N thẳng hàng 3) Chứng minh rằng BH = 2 OI và tam giác CHM cân

2 2 1

2 1

2 2

2

1 2 3 2

x x x x

x x x x A

+

− +

−=

− 1 2

7

2

y x

y x a

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Gọi x1, x2, là hai nghiệm của phơng trình Tìm m sao cho : ( 2x1 – x2

)( 2x2 – x1 ) đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất ấy

c) Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m

Câu 4 ( 3 điểm )

30

-Cho hình thoi ABCD có góc A = 600 M là một điểm trên cạnh BC , ờng thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại N

đ-a) Chứng minh : AD2 = BM.DN

b) Đờng thẳng DM cắt BN tại E Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp c) Khi hình thoi ABCD cố định Chứng minh điểm E nằm trên một cung tròn cố định khi m chạy trên BC

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1999 Đại học khoa học tự nhiên

cung bất kỳ MIN, EIF Gọi M’, N’, E’, F’ là các trung điểm của IM, IN,

IE, IF

a) Chứng minh rằng : tứ giác M’E’N’F’ là tứ giác nội tiếp

b) Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi Chứng minh rằng vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M’E’N’F’ có bán kính không đổi

c) Giả sử I cố định, các day cung MIN, EIF thay đổi nhng luôn vuông góc với nhau Tìm vị trí của các dây cung MIN, EIF sao cho tứ giác

M’E’N’F’ có diện tích lớn nhất

nhất của biểu thức : 2 2

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên toán 1992 Đại học tổng hợp

một đa thức bậc ba với hệ số nguyên

b) áp dụng kết quả trên để rút gọn biểu thức 4 2 4

tơng ứng sao cho OA.OB = 3.OA – 2.OB Chứng minh rằng đờng thẳng

AB luôn đI qua một điểm cố định

n Biết rằng số d khi chia m cho n bằng số d khi chia m + n cho m – n Hãy tính tỷ số m

n

32

-Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1996 Đại học khoa học tự nhiên.

Bài 1 Cho x > 0 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x y

Bài 3 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dơng ta có : n3 + 5n M 6

b + c + a ≥ + +

lần lợt nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA

a) Chứng minh rằng 2a2 ≤ MN2 + NP2 +PQ2 + QM2 ≤ 4a2

b) Giả sử M là một điểm cố định trên cạnh AB Hãy xác định vị trí các

điểm N, P, Q lần lợt trên các cạnh BC, CD, DA sao cho MNPQ là một hình vuông

D C

B A

1

3 1

3

x x

y y x x

x − a+ x+ a + = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm nguyªn

xóc víi c¹nh AB t¹i E vµ víi c¹nh CD t¹i F nh h×nh

-Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1998 Đại học khoa học tự nhiên

Hãy tính giá trị biểu thức P = a2 + b2

cho AB < 2R Giả sử M là điểm thay đổi trên cung lớn ằAB của đờng tròn

a) Kẻ từ B đờng tròn vuông góc với AM, đờng thẳng này cắt AM tại I và (O) tại N Gọi J là trung điểm của MN Chứng minh rằng khi M thay đổi trên đờng tròn thì mỗi điểm I, J đều nằm trên một đờng tròn cố định.b) Xác định vị trí của M để chu vi ∆ AMB là lớn nhất

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1993-1994 Đại học tổng hợp

x+ x+ + x+ = b) GiảI hệ phơng trình : 33 2 22 12 0

8x y xy x 12 y



thỏa mãn điều kiện : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6

ngoại tiếp các tam giác ABD, ABC và a là độ dài cạnh hình thoi Chứng minh rằng 12 12 42

-Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1991-1992 Đại học tổng hợp

tính giá trị của biểu thức A = xa2 + yb2 + zc2

b) Cho 4 số a, b, c, d mỗi số đều không âm và nhỏ hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng

0 ≤ a + b + c + d – ab – bc – cd – da ≤ 2 Khi nào đẳng thức xảy ra dấu bằng

a, a + d, a + 2d, … , a + nd, …

Chứng minh rằng trong các số đó có ít nhất một số mà 4 chữ số đầu tiên của nó là 1991

ngời đều quen biết với ít nhất 67 ngời Chứng minh rằng có thể tìm đợc một nhóm 4 ngời mà bất kì 2 ngời trong nhóm đó đều quen biết nhau

MAB = ∠ MBA = 150 Chứng minh rằng ∆ MCD đều

của đoạn thẳng nối hai điểm bất kì luôn đI qua ít nhất hai điểm của tập hợp đó

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên Lý 1989-1990

x x x

+ nguyên.

Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 3

liên lạc đợc với nhau Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại

3 thành phố liên lạc đợc với nhau

38

-Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vòng1)

Bài 2 Cho các số thực dơng a và b thỏa mãn a100 + b100 = a101 + b101 =

a102 + b102 Hãy tính giá trị biểu thức P = a2004 + b2004

phân giác, đờng trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần Hãy tính diện tích mỗi phần

AC, BD vuông góc với nhau tại H (H không trùng với tâm cảu đờng tròn ) Gọi M và N lần lợt là chân các đờng vuông góc hạ từ H xuống các

đờng thẳng AB và BC; P và Q lần lợt là các giao điểm của các đờng thẳng MH và NH với các đờng thẳng CD và DA Chứng minh rằng đờng thẳng PQ song song với đờng thẳng AC và bốn điểm M, N, P, Q nằm trên cùng một đờng tròn

a) Tìm tất cả các vị trí của M sao cho ∠ MAB = ∠ MBC = ∠ MCD = ∠

MDA

b) Xét điểm M nằm trên đờng chéo AC Gọi N là chân đờng vuông góc hạ từ M xuống AB và O là trung điểm của đoạn AM Chứng minh rằng tỉ

số OB

CN có giá trị không đổi khi M di chuyển trên đờng chéo AC

c) Với giả thiết M nằm trên đờng chéo AC, xét các đờng tròn (S) và (S’)

có các đờng kính tơng ứng AM và CN Hai tiếp tuyến chung của (S) và (S’) tiếp xúc với (S’) tại P và Q Chứng minh rằng đờng thẳng PQ tiếp xúc với (S)

không vợt quá a và kí hiệu là [a] Dãy số x0, x1, x2 …, xn, … đợc xác định