Sử dụng phương pháp tư duy ngược trong một số bài toán trắc nghiệm khách quan

Sáng kiến kinh nghiệm trung học phổ thông này quý thầy cô sẽ có nguồn tài liệu tham khảo hay, củng cố xây dựng phương pháp dạy hiệu quả, qua đó giúp các em học sinh tiếp thu bài tốt, nắm vững kiến thức phát triển tư duy trí tuệ. Sáng kiến kinh nghiệm tiểu học tập hợp các đề tài đa dạng mang tính ứng dụng cao như ứng dụng công nghệ thông tin trong trường học

MỤC LỤC

1 Mở đầu……… 2

1.1 Lý do chọn đề tài……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu……… ……… …… …2

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu……….…… 2

2 Nội dung……….… … 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm……… ………… …… 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……… 3

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề……… ………… 4

2.3.1 Các bài toán về hình học giải tích trong không gian………….… .…… 4

2.3.2 Các bài toán về mũ và logarit……… 6

2.3.3 Các bài toán về hình nguyên hàm , tích phân……… …… 8

2.3.4 Các bài toán về số phức:……… ….… 10

2.3.5 Bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất……… 12

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……… 12

3 Kết luận và kiến nghị……… …… 13

Tài liệu tham khảo……… 13

Trang

1 MỞ ĐẦU.

1.1 Lý do chọn đề tài.

Như chúng ta đã biết, từ năm 2017 trở đi bộ môn Toán trong các kì thi đặc

biệt là kì thi THPT Quốc Gia đề thi đã được ra dưới dạng TRẮC NGHIỆM Đã

có những “tranh cãi” nhất định về hình thức thi này, có thể trắc nghiệm đã làm mất

đi tính tư duy logic, tính cần mẫn của người học… Tuy nhiên, trắc nghiệm lại quét lượng kiến thức gần như là đầy đủ, tránh đi việc học tủ của học sinh, tính tập chung và tốc độ làm bài trong từng bài toán, làm như thế nào đó để tối ưu hóa được thời gian với 50 câu và trong 90 phút

Trong quá trình giảng dạy môn Toán khối 12 năm 2018, việc làm như thế nào đó để trả lời được các câu hỏi trong cuốn ‘ Bộ đề trắc nghiệm – luyện thi THPT Quốc Gia năm 2018’ , ngoài việc truyền đạt phương pháp giải theo hướng

tự luận truyền thống tôi đã mạnh dạn đưa ra phương án “NGƯỢC” nghĩa là xem 4

đáp án là giả thiết, việc sử dụng các giả thiết trên thuận lợi như: Thay số liệu phù hợp, lựa chọn thay phương án nào trước để dẫn đến xác định chính xác kết quả nhanh hơn thì ta nên sử dụng

Với cách làm trên tuy đã làm mất đi vẻ đẹp của Toán học, nhưng sẽ làm tối

ưu hóa thời gian làm bài cho học sinh, giúp các em học sinh có được tư duy lật ngược lại vấn đề trong học tập cũng như trong cuộc sống

Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các

phương pháp thành một chuyên đề: “Sử dụng phương pháp tư duy ngược trong

một số bài toán trắc nghiệm khách quan ”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Qua nội dung của đề tài này, tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 12A1 có thêm một số kỹ năng cơ bản, phương pháp cách thức sử dụng giả thiết từ

4 phương án trong đề thi trắc nghiệm Học sinh thông hiểu và tư duy cho từng bài toán trắc nghiệm, không mắc sai lầm khi làm bài tập Hy vọng với đề tài nhỏ này

sẽ giúp các em học sinh có cơ sở, phương pháp giải một số bài toán trong kì thi THPT Quốc Gia năm nay năm 2018, cũng như cung cấp cho giáo viên một số nội dung giảng dạy các bài toán dưới dạng trắc nghiệm

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh lớp 12A1 Trường THPT Quan Sơn 2 năm học 2017 – 2018

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là: Sách giáo khoa 11 và 12, trích từ Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc Gia môn Toán 2018

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Thực hiện nghiên cứu đề tài này, tôi đã áp dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

- Phương pháp trò chuyện

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm thực tiễn của giáo viên

- Nghiên cứu lí luận chung; khảo sát điều tra thực tế dạy và học, tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm, trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến đồng nghi

2 NỘI DUNG.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Trước đề bài môn Toán là một bài toán trắc nghiệm khách quan, dựa trên cơ

sở xem 4 phương án của câu hỏi trắc nghiệm là giả thiết, từ đó ta kiểm chứng từng đáp án bằng máy tính bỏ túi và kinh nghiệm làm bài , tuy nhiên việc thay đáp án người làm có thể ‘ linh cảm’ được đáp án đúng để từ đó có thể tối ưu hóa về thời gian

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

2.2.1.Thời gian và các bước tiến hành:

Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2017-218

2.2.2.Khảo sát chất lượng đầu năm:

Thông qua bài khảo sát chất lựơng đầu năm bằng hình thức trắc nghiệm tôi thu được kết quả: Trên trung bình 18% Phổ điểm chủ yếu là từ 1,8 đến 3,0

2.2.3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:

Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian.Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:

- Các em còn lúng túng trong việc đưa ra phương pháp làm trắc nghiệm

- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc

- Khả năng tưởng tượng, tư duy cho bài toán còn mơ hồ

- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt

- Nhiều học sinh có tâm lí sợ thi trắc nghiệm

Đây là hình thức thi đòi hỏi phải tư duy, phân tích của các em Thực sự là khó không chỉ đối với HS mà còn khó đối với cả GV trong việc truyền tải kiến thức tới các em Hơn nữa vì điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo dục, động

cơ học tập Học sinh trường THPT Quan Sơn 2 đa số là người dân tộc thiểu số, nhận thức còn chậm, chất lượng đầu vào rất thấp, qua thống kê khảo sát chất lượng học tập môn Toán của 2 năm về trước kết quả học tập không cao… nên chưa thực

sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập

Đây là những năm đầu tiên đổi mới phương pháp thi nên phương tiện dạy học chưa đầy đủ

Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ

học sinh yếu kém Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp

Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề.

Dưới đây tôi sẽ đưa ra một số dạng toán được trích từ cuốn ‘ Bộ đề trắc

nghiệm luyện thi THPT Quốc Gia năm 2018’và đề thi THPT năm 2017 Có thể

sử dụng lối tư duy ngược và so sánh với tư duy tự luận để thấy được hiệu quả của

2 phương pháp

Cụ thể như sau:

2.3.1 Các bài toán về hình học giải tích trong không gian:

Ví dụ 1: (Đề 4 câu 10) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường

thẳng d 1

1 2

x t

y











  



Điểm N’ đối xứng với N(0;2;4) qua đường thẳng d có tọa độ là:

A.N’ (0;-4;2) B N’ (-4;0;2) C N’ (0;2;-4) D N’ (2;0;-4)

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng

qua N vuông góc với d

(P): x-2z+8=0

Bước 2: Tìm tọa độ hình chiếu H của

N trên d là giao của d và (P)

2 8 0

1

1 2

x t

y



 









  



2 2 1 3

t x y z





 



 





 



Suy ra H(-2;1;3)

Bước 3: Tìm N’ với H là trung điểm

của NN’

N’(-4;0;4)

Đáp án: B.

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: HS làm rất nhanh việc thử các kết quả để lấy tọa độ trung điểm của

NN’ là H Bước 2: Thay tọa độ H vào phương trình d nếu thỏa mãn phương án nào ta nhận phương án đó

Cụ thể:

A Trung điểm NN’ là H(0;-1;3) thay vào d

0

1 1

3 1 2

t

t







 



  



không thỏa mãn

B Trung điểm NN’là H(-2;1;3) thay vào d

2

1 1

3 1 2

t

t

 









  



Thỏa mãn

Đáp án: B.

Ví dụ 2: (Đề 16 câu 46) Trong không gian cho hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm

M(1;4;2) và mặt phẳng ( )  :x+y+z-1=0 Tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng ( )  là:

A M’(0;-2;-3) B M’(-3;-2;0) C M’(-2;0;-3) D M’(-3;0;-2)

Tư duy tự luận Tư duy ngược

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tọa độ hình chiếu của M

là H trên ( )  là giao của đường thẳng

qua M và vuông góc với ( )  :d

1 4 2

 





 



  



Bước 2: Tìm giao giữa d và ( ) 

1 0

1

4

2

x y z

   





 





 



  



2 1 2 0

t x y z











 





 



Suy ra H(-1;2;0)

Bước 3: Suy ra M’(-3;0;-2)

Đáp án: D.

Ta thực hiện theo các bước sau:

Thử với các phương án lấy trung điểm

MM’ xem có thuộc ( )  + Trung điểm MM’ là H(( ;1;1 1)

2  2 thay vào ( )  : Không thỏa mãn

+ Trung điểm MM’ là H(( 1;1;1)  thay vào ( )  : Không thỏa mãn

+ Trung điểm MM’ là H(( ;1;1 1)

2  2 thay vào ( )  : Không thỏa mãn

+ Trung điểm MM’ là H(( 1;2;0)  thay vào ( )  : Thỏa mãn

Đáp án đúng: D.

Nhận xét: Rõ ràng đây là 2 bài toán ở mức độ trung bình , tuy nhiên với phương

pháp tư duy ngược tốc độ bài toán là rất nhanh

Ví dụ 3: (Mã 104 năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương

trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm (2;3;3), (2; 1; 1), ( 2; 1;3)

M N   P   và có tâm thuộc mặt phẳng ( ) : 2  x 3y z  2 0 

A x2 y2 z2  2x 2y 2z 10 0  B x2 y2 z2  4x 2y 6z 2 0  .

C x2 y2 z2  4x 2y 6z 2 0  D x2  y2 z2  2x 2y 2z 2 0  .

Ta phải thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Gọi mặt cầu (S) có phương trình:

x y z  ax by cz d 

Bước 2: + Qua M(2;3;3) nên:

4a+6b+6c-d=22 (1)

+ Qua N(2;-1;-1) nên:

4a-2b-2c-d=6 (2)

+ Qua P(-2;-1;3) nên:

4a+2b-6c+d=-14 (3)

+ Tâm I(a;b;c)  ( )  nên:

2a+3b-c=-2 (4)

Từ (1) , (2) , (3) , (4) giải hệ tìm được:

2

1

3

2

a

b

c

d





 









 



Suy ra phương trình mặt cầu:

x y z  x y z 

Đáp án B.

Ta phải thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Thử tâm mặt cầu

+Với phương án A: Tâm I(1;-1;1) thay vào ( )  : Không thỏa mãn + Với phương án B: Tâm I(2;-1;3) thay vào ( )  : Thỏa mãn

Bước 2 : Thử điểm

Thay 3 điểm M , N , P vào phương trình mặt cầu đáp án B , thấy thỏa mãn

Vậy đáp án đúng: B.

Nhận xét: Với bài toán trên, tư duy ngược là phương án nhanh chóng hơn rất

nhiều, ít việc và ít sai sót hơn

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(-4;1;3) và đường

 B là điểm có tọa độ nguyên trên d sao cho AB  5 Tìm tọa độ của B

A B(-5;-3;-3) B B(-5;3;3) C B( 27 17 9; ; )

7 7 7

 D B(5;3;3).

Ta phải thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chuyển d về tham số

Bước 2: Gọi B(-1-2t;1+t;-3+3t)

AB  t t  t 

2

10

7

t

t









 



vì tọa độ B nguyên nên B(-5;3;3)

Đáp án đúng : B

Ta phải thực hiện theo các bước sau:

Với đáp án A AB  53 (loại)

Với đáp án B AB  5

Rễ ràng thấy B thuộc đường thẳng

d

Đáp án đúng : B

Nhận xét: Đây là bài toán đa phần sẽ làm theo phương án tự luận, bởi đúng mạch

tư duy toán học, tuy nhiên phương án ngược cũng không tồi, thậm chí còn nhanh hơn

Ví dụ 5: (Đề 13 câu 34)

Viết phương trình đường thẳng d’ nằm trong mặt phẳng (P): x-y+2z+3=0, vuông góc với đường thẳng

4 3

z t

 





 



 



và cắt d

A

3

4

1

 





 



  



B

3 2

4 5 1

z

 





 



 



C

3 2 4 0

z

 





 



 



D

3 4 1

z

 





 



 



Ta phải thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm giao điểm d và (P) là A(3;4;-1)

Bước 2: Tìm véctơ chỉ phương của d’

,

P d

n u

 

=(1;-1;0)

Suy ra phương trình của d là:

3

4

1

z

 





 



 



Đáp án đúng là D

Ta phải thực hiện theo các bước sau:

Kiểm tra tích vô hướng của vtcp d’

với vtpt (P)

+ Phương án A:

1.1-1.1+1.2=2 0 (loại)

+ Phương án B:

-1.2+(-1).5+2.0=-7 0(loại) + Phương án C:

1.2+(-1).1+2.0=1 0(loại)

Đến đây các em chọn đáp án đúng

là D.

Tuy nhiên nếu cần thiết ta có thể kiểm tra tích vô hướng của vtcp d’

với vtcp của d

Nhận xét: Đây là bài toán nên dùng phương án ngược, bởi việc thay các số liệu

trên là rất đơn giản

2.3.2 Các bài toán về mũ và logarit.

Ví dụ 1: (Mã đề 113 câu 12 năm 2017)

Tìm nghiệm của phương trình sau:

9 x  3  x

A 3 B 1 C 2 D 0.

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2 : Giải PT đại số:

2

1

4( 1) (2 4 )

x







 0

4

3

x

x









 



suy ra PT có nghiệm x=0

Đáp án đúng D

Ta thực hiện theo các bước sau

Ta dễ ràng thay kết quả nghiệm của từng đáp án , và đáp án đúng

là : D

Nhận xét: Đây là bài toán ở mức độ dễ, không khó để đưa ra kết quả nếu dùng

phương án tự luận, tuy nhiên với phương án ngược có vẻ ta không cần nháp cũng đưa ra được đáp số bài toán

Ví dụ 2 : (Đề 9 câu 45 )

Tìm nghiệm chung của phương trình:

3 x 3x 4 0

   và log (9 2 x 4) x.log 3 log 2  2 3

A x log 5 3 B x=0 C x log 2 3 D x log 4 3

Rõ ràng với bài tập trên ta cần phải giải độc

lập 2 phương trình , so sánh nghiệm chung

PT: 3 2x 3x1 4 0

   32x 3.3x 4 0

3

log 4

3 4

x

 





PT: log (9 2 x 4) x.log 3 log 2  2 3

log (9x 4) log (3.3 )x

3 4

9 3.3 4 0

x

x

 





3

log 4

x

Đáp án đúng: D.

Vì là cơ số 3 nên việc thay các phương án là hoàn toàn đơn giản Người thay phương án có thể ‘ linh cảm’ về phương án đúng

của mình để thay phương án B

sau rồi đến D

Đáp án đúng: D.

Nhận xét: Đây là bài toán ở mức độ dễ cho việc giải cả 2 phương trình , nhưng rất

tốn về thời gian Tốt hơn nếu ta dùng phương án ngược

Ví dụ 3: ( Đề 1 Câu 11) Cho phương trình : 5x 2 x 3

  Nghiệm của phương trình là:

A x=0 B x=2 C x=4 D x=3.

Về bản chất phương pháp tự luận trong

bài toán trên lại là phương pháp ngược

Hàm số bên vế trái là hàm đồng biến

nên phương trình chỉ có nghiệm duy

nhất , nhẩm nghiệm thấy x=2 là nghiệm

Đáp án: B.

Rất nhanh chóng ta thử ngay được x=2 là nghiệm của phương trình Đáp

án B.

Nhận xét: Về bản chất của 2 phương án làm bài toán trên là một , chính vì vậy ta

nên nghĩ ngay đến phương án ngược

Ví dụ 4: Giải phương trình 2

log x 3.log x 2 log x     2 Nghiệm phương trình trên là:

Với tư duy tự luận đây là bài ở mức độ

trung bình khó, thực hiện theo các bước

sau:

Bước 1: 2

log x 3log x 2 2log  x 2

Bước 2: Biến đổi phương trình đưa về:

2

log

1

1

2

3

t

t

t











 



 



2

Đáp án đúng là: C.

Rõ ràng việc thay từng nghiệm của phương trình trên là rất đơn giản

Ta có thể thay phương án B rồi C Đáp án đúng là: C.

Nhận xét: Vì các phương án cho nghiệm đều là các số nguyên, chính vì vậy ta

nghĩ ngay đến phương án ngược là tốt hơn cả

2.3.3 Các bài toán về hình nguyên hàm , tích phân:

Ví dụ: 1( Đề 2 câu 36) Xác định số thực a 1 để tích phân I= 2

0

( 3 2)

a

x  x dx

giá trị nhỏ nhất

A a=1 B a=2 C 5

2

a  D. 3

2

a 

Với tư duy tự luận, người làm sẽ phải tính

tích phân với cận trên là a, sau rồi sẽ tìm

giá tri nhỏ nhất của hàm số theo a

Cụ thể:

Với tư duy ngược việc thay tất cả các đáp án của a, sử dụng máy tính, tính các tích phân, so sánh các giá trị, giá trị nào bé nhất là giá trị nhỏ nhất

I= 1 3 3 2

f a  a  a  a với a 1

2

a

a





      



Từ đó ta suy ra giá trị nhỏ nhất là 0 đạt

được khi a=0

Đáp án đúng là: B

Từ đó suy ra đáp án đúng là:B

Nhận xét: Với kiểu đề bài trên đã tránh ta làm phương án ngược, nhưng việc thay

số liệu của các đáp án trên máy tính lại trở nên đơn giản hơn rất nhiều

Ví dụ 2: ( Câu 38 – Đề 15 )

Cho m là một số dương và

0

(4 ln 4 2 ln 2)

m

I   dx Tìm m khi I =12

A m=4 B m=3 C m=1 D m=2.

Với tư duy tự luận , tìm tích phân trên với

cận trên là m , sau rồi giải phương trình

I=12

0

(4 ln 4 2 ln 2) ( ln 4 ln 2)

0

ln 4 ln 2

4m 2m



m

m





Đáp án đúng D

Với tư duy ngược : Ghi biểu thức tích phân vào máy tính thay lần lượt các giá trị của m cho đến khi biểu thức tính tích phân bằng 12 thì dừng lại

Đáp án đúng D

Nhận xét: Rõ ràng với bài toán trên dùng phương pháp tự luận sẽ mất nhiều thời

gian hơn rất nhiều, với phương pháp tư duy ngược ta chỉ việc ghi tích phân rồi thay lần lượt giá trị m cho đến khi tích phân đó bằng 12 thì nhận đáp số

Ví dụ: 3 Nguyên hàm I= 1

1  x dx

A 2 x C B 2ln | x 1| C

C 2 x 2ln | x 1| C D 2 x 2ln | x 1 | C

Rõ ràng với tư duy tự luận đây là bài toán

phức tạp theo phương pháp sau:

Đặt x t  x t 2  dx 2tdt

t

2 x 2ln( x 1) C

Khi không nắm được phương pháp tìm nguyên hàm bằng phương pháp

tự luận như bên , việc tính đạo hàm lại rất đơn giản Ta có thể tính đạo hàm của các hàm số từng đáp án vẫn theo phương án ‘ linh cảm ‘ đáp án

a

f ’

f

0 - 0 +

0

Đáp án đúng là : C nào trước Đáp án đúng là : C

Ví dụ 4 : Nguyên hàm I = sin24

cos

x dx x

3

.tan

A x C tan1

3

3

.3tan

C x C 1 3

tan 3

Với tư duy tự luận ta biến đổi nguyên

hàm trên như sau:

2

2

x

Bằng phép đổi biến ta tìm được

3

1

tan

3

I  x C

Đáp án đúng là: D

Với tư duy ngược Viết biểu thức nguyên hàm về dạng

2 2

1 tan

os

c x



Nhìn vào các đáp án ta dễ dàng nhận

ra đáp án đúng là D, bằng việc tính đạo hàm của 1 3

tan

3 x C

Nhận xét: Với 2 ví dụ trên, đa phần các em sẽ làm theo phương án tự luận , tuy

nhiên trong hoàn cảnh mà phương pháp không nhớ , các em sẽ phải sử dụng đến phương án ngược Đây là một phương án không tồi

Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của hàm số I e x ex dx

A I e e x C B I e e x 1 C

  C I e xC D I e e x 1 C

Dõ ràng đây là bài nghuyên hàm rất

phức tạp nếu ta dùng phương pháp tự

luận để giải quyết bài toán này , gần như

dùng phương pháp dự đoán để ta đưa ra

kết quả , nhưng như vậy hình dung lại

sử dụng phương pháp ngược mà ta đã

nói ở bên

Đạo hàm của hàm số trong phương án A

ta có ngay hàm số dưới dấu nguyên hàm

Đáp án đúng là : A

Nhận xét: Đây là một trong những bài toán điển hình nhất về công năng của

phương pháp ngược, Chính bốn đáp án là những gợi ý đáng kể để đưa đến đáp án đúng

2.3.4 Các bài toán về số phức:

Ví dụ 1 : (Đề 2 câu 4) : Tìm 2 số phức biết rằng tổng của chúng bằng 4-i và tích

của chúng bằng 5(1-i)

A z1=3+2i , z2=1-i B z1=3+i , z2=1-2i

C z1=3-i , z2=1+2i D z1=3+i , z2=1+2i

Với tư duy tự luận Với tư duy ngược ta sẽ kiểm tra biểu