giao an TOAN 8

TOÁN HỌC LỚP CHƯƠNG I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC I NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC – NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC TÓM TẮT LÝ THUYẾT Quy tắc: Muốn nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với A(B + C) = AB + AC Quy tắc: Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD VD1: 1) 8x.( 3x3 – 6x +4 ) = 8x.3x3 +8x.( –6x) +8x.4= 24 x4 – 48x2 + 32x 1 2) 2x2.(x2 + 5x – ) = 2x3.x2 + 2x3.5x – 2x3 = 2x5 + 10x4 – x3 2 3) ( 3x3y – x + xy ).6 xy = 18x4 y4 – 3x3y3 + x2y4 5 4) (4x3 – 5xy + 2x) (– xy) = –2x4 y + x2y2 – x2y 2 VD2: Tính 1) (x + 3)(x2 + 3x –5) = x3 +3x2 –5x +3x2 + 9x–15 = x3 + 6x2 +4x –15 2) (xy–1) ( xy+5) = x2y2 + 5xy – xy –5 = x2y2 + 4xy – 3) (2x –5)(3x + 7x –1) = 2x(3x2 + 7x – 1) – 5( 3x2 + 7x – 1) = 6x3 +14x2 – 2x – 15x2 – 35x+5 = 6x3 – x2 – 37x + 1 4) ( xy –1)(x3 –2x –6) = x4 y –x2y –3xy –x3 +2x + 2 Áp dụng: (x – y) (x2 + xy + y2) = x (x2 + xy + y2) – y (x2 + xy + y2) = x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3 = x3 – y3 Bài Nhân đơn thức với đa thức: 1) 3x2(5x2 – 2x – 4) 2) xy2(x2y + x3y2 + 3x2y3) 3) xyz(x2y + 3yz2 + 4xy2z) 4) 2x2(4x2 − 5xy + 8y3) 5) 2xy2(5x2 + 3xy − 6y3) 6) – x2y(xy2 – xy + x2y2) 1 7) (3xy – x2 + y) x2y 8) (4x3 – 5xy + 2x)( – xy) 9) 2x2(x2 + 3x + ) 2 10 10) – x4y2(6x4 − x2y3 – y5) 11) x3(x + x2 – x5) 12) 2xy2(xy + 3x2y – xy3) 3 10 13) 3x(2x3 – x2 – 4x) 14) x3y5(7x4 + 5x2y − x4y3 –y4) 21 Bài Nhân đa thức với đa thức: 1) (2x − 5)(3x + 7) 2) (−3x + 2)(4x − 5) 3) (x − 2)(x2 + 3x − 1) 4).(x + 3)(2x2 + x − 2) 5) (2x − y)(4x2 − 2xy + y2) 6) (x +3)(x2 –3x + 9) – (54 + x3) 7).(3x + 4x2 − 2)(− x2 +1 + 2x) 8) (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) 9) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) 10).(x – 2)(3x2 – 2x + 1) 11).(x + 2)(x2 + 3x + 2) 12.) (2x2 + 1)(x2 – x +3) 2 13).(xy – 1)(x y – 3xy ) 14) (x + 3)(x – x + 2) 15) (x2 – x + 2)(2x – 3) 2 2 16).(x – 2xy – y )(x – y) 17) (x – 3xy + y )(x + y) 18) (x – 5)(x2 – 6x + 1) Trang TOÁN HỌC LỚP 19) (2x2 – 1)(3x2 – x + 2) 22) (7x – 1)(2x2 – 5x + 3) 25) (− x2+y3)(8x3 − xy 20) (2 – 3x2)(x3 + 2x2 – 3) 23) (5x + 3)(3x2 + 6x + 7) –y2) 26) (2xy2−7x2y)( x + 5xy 21) (9x – 2)(x2 – 3x + 5) 24) (6x2 + 5y2)(2x2– y2) − 4y3) Bài Rút gọn tính giá trị biểu thức: 1) A = 5x(4x2 – 2x + 1) – 2x(10x2 – 5x – 2) với x= 15 2 2) 2x (3x − 5x + 8) − 3x (2x − ) – 16x với x = − 15 3) B = 5x(x2 – 3) + x2(7 – 5x) – 7x2 với x = – 4) C = (x – 2)(x + 2x + 4x + 8x +16) với x = 5) D = 4x2 – 28x + 49 với x = 6) E = x3 – 15x2 + 75x với x = 25 2 7) F = (x + 1)(x – 1)( x + x + 1)( x – x + 1) với x = 8) G = x(x – y) + (x + y) với x = y =8 9) H = 5x(x – 4y) – 4y(y – 5x) với x= – 1/5; y= –1/2 10) I = x(x2 – y2) – x2(x + y) + y(x2 – x) với x = 1/2 y = 100 2 11) J = (x + y)(x – x y + xy – y ) với x = y = – 1/2 12) K = 4x2(5x – 3y) – 5x2(4x + y) với x = –2; y = –3 2 4 13) L = (x y + y )(x + y ) – y(x + y ) với x = 0,5; y = – 14) (2x2 + y) (x − 6xy ) − 2x (x – 3y2) (x + ) + 6x2y (y − 2x) với x = − | y| = BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Thực phép tính sau: a) (x2 – 1)(x2 + 2x) b) (2x − 1)(3x + 2)(3– x) d) (x + 1)(x2 – x + 1) e) (2x3 − 3x − 1).(5x + 2) Bài Thực phép tính sau: a) −2x3y(2x2 – 3y + 5yz) b) (x – 2y)(x2y2 − xy + 2y) 2 x y.(3xy – x2 + y) e) (x – y)(x2 + xy + y2) Bài Chứng minh đẳng thức sau: a) (x − y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4) = x5 − y5 d) c) (x + 3)(x2 + 3x – 5) f) (x2 − 2x + 3).(x − 4) xy(x2y – 5x + 10y) 1  f)  xy – 1÷.(x3 – 2x – 6) 2  c) b) (x + y)(x4 − x3y + x2y2 − xy3 + y4) = x5 + y5 c) (a + b)(a3 − a2b + ab2 − b3) = a4 − b4 d) (a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3 Bài Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: a) A = (x − 2)(x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16) với x = b) B = (x + 1)(x7 − x6 + x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1) c) C = (x + 1)(x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x + 1) với x = với x = d) D = 2x(10x2 − 5x − 2) − 5x(4x2 − 2x − 1) với x = −5 Bài Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: a) A = (x3 − x2y + xy2 − y3)(x + y) với x = 2, y = − b) B = (a − b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4) với a = 3, b = −2 ĐS: A = 211 ĐS: B = 255 ĐS: C = 129 ĐS: D = −5 255 16 ĐS: B = 275 ĐS: A = 1 c) C = (x2 − 2xy + 2y2)(x2 + y2) + 2x3y − 3x2y2 + 2xy3 với x = − , y = − ĐS: C = 2 16 Trang TOÁN HỌC LỚP Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) A = (3x + 7)(2x + 3) − (3x − 5)(2x + 11) b) B = (x2 − 2)(x2 + x − 1) − x(x3 + x2 − 3x − 2) c) C = x(x3 + x2 − 3x − 2) − (x2 − 2)(x2 + x − 1) d) D = x(2x + 1) − x2(x + 2) + x3 − x + e) E = (x + 1)(x2 − x + 1) − (x − 1)(x2 + x + 1) Bài * Tính giá trị đa thức: a) P (x) = x7 − 80x6 + 80x5 − 80x4 + + 80x + 15 với x = 79 b) Q(x) = x14 − 10x13 + 10x12 − 10x11 + + 10x2 − 10x + 10 với x = với x = 12 II HẰNG ĐẲNG THỨC TÓM TẮT LÝ THUYẾT Cho A B biểu thức Ta có số đẳng thức đáng nhớ sau: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 A2 – B2 = (A + B)(A – B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) Chú ý: Các cơng thức 4) 5) viết dạng: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Từ công thức 1) 2) ta suy công thức: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC (A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC (A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC Ví dụ 1: Khai triển: a) (5x + 3yz)2 = 25x2 + 30xyz + 9y2z2 b) (y2x – 3ab)2 = y4x2 – 6abxy2 + 9a2b2 c) (x2 – 6z)(x2 + 6z) = x4 – 36z2 d) (2x – 3)3 = (2x)3 – 3.(2x)2.3 + 3.2x.32 – 33 = 8x3 – 36x2 + 54x – 27 e) (a + 2b)3 = a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3 g) (x2 + 3)(x4 + – 3x2) = (x2)3 + 33 = x6 + 27 h) (y – 5)(25 + 2y + y2 + 3y) = (y – 5)(y2 + 5y + 25) = y3 – 53 = y3 – 125 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) A = (x + y)2 – (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2 = 4xy Hoặc: A = (x + y + x – y)(x + y – x + y) = 2x.2y = 4xy b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 – 2x2 + 2y2 + x2 – 2xy + y2 = 4y2 c) C = (x + y)3 - (x – y)3 – 2y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 – 2y3 = 6x2y Ví dụ 3: Chứng minh: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Trang ĐS: Q(9) = ĐS: R(16) = c) R(x) = x4 − 17x3 + 17x2 − 17x + 20 với x = 16 d) S(x) = x10 − 13x9 + 13x8 − 13x7 + + 13x2 − 13x + 10 ĐS: P(79) = 94 ĐS: S(12) = −2 TOÁN HỌC LỚP Ta có: VT = (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 =(a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = VP Vậy đẳng thức chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh: a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) Ta có : VP = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3 = VT Áp dụng: Tìm tổng lập phương hai số biết tích hai số tổng hai số – Gọi hai số a b ta có: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (- 5)3 – 3.6 (- 5) = - 125 + 90 = -35 b) a3 – b3 = (a - b)3 + 3ab(a – b) Ta có: VP = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 + 3a2b - 3ab2 = a3 – b3 Ví dụ 5: Tính nhanh: a) 1532 + 94 153 + 472 = 1532 + 2.47.153 + 472 = (153 + 47)2 = 2002 = 40000 b) 1262 – 152.126 + 5776 = 1262 – 2.126.76 + 762 = (126 – 76)2 = 502 = 2500 c) 38.58 – (154 – 1)(154 + 1) = 158 – (158 – 1) = d) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = = (2 – 1)(2 + 1) (22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = = (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = = (24 – 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = =… = (220 – 1)(220 + 1) + = 240 – + = 240 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập 1: Viết biểu thức sau dạng bình phương tổng hay hiệu: 25 5 a) x2 + 5x + = x2 + x + ( )2 = (x + )2 2 b) 16x2 – 8x + = (4x)2 – 2.x.4 + 12 = (4x – 1)2 c) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x)2 + 2.2x.3y + (3y)2 = (2x + 3y)2 d) (x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6) + = (x + 3)(x + 6)(x + 4)(x + 5) + = (x2 + 6x + 3x + 18)(x2 + 4x + 5x + 20) + = (x2 + 9x + 18)(x2 + 9x + 18 + 2) + = (x2 + 9x + 18)2 + 2(x2 + 9x + 18).1 + 12 = (x2 + 9x + 18 + 1)2 = (x2 + 9x + 19)2 2 e) x + y + 2x + 2y + 2(x + 1)(y + 1) + = x2 + y2 + 2x + 2y + 2xy + 2x + 2y + + = x2 + y2 + 22 + 4x + 4y + 2xy = (x + y + 2)2 2 g) x – 2x(y + 2) + y + 4y + = x – 2xy – 4x + y2 + 4y + = x2 + y2 + 22 – 2xy – 4x + 4y = (x – y – )2 h) x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + = x2 + 2x(y + 1) + (y + 1)2 = (x + y + 1)2 Bài tập 2: Viết biểu thức sau dạng lập phương tổng hay hiệu: a) x3 + 3x2 + 3x + = (x + 1)3 1 1 b) 27y3 – 9y2 + y = (3y)3 – 3.(3y)2 + 3.3y.( )2 – ( )3 = (3y - )3 27 3 3 c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3 = (2x2)3 + 3.(2x2)2.y + 3.(2x2).y2 + y3 = (2x2 + y)3 d) (x + y)3(x – y)3 = [(x + y)(x – y)]3 = (x2 – y2)3 Bài tập 3: Rút gọn biểu thức: a) (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2 = (2x + – 2x – 5)2 = (-2)2 = b) (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1) = (x2 + + x)(x2 + – x)(x2 – 1) = [(x2 + 1)2 – x2] (x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 1)2 – x2(x2 – 1) = (x4 – 1)(x2 + 1) – x4 + x2 Trang TOÁN HỌC LỚP = x6 + x4 – x2 – – x4 + x2 = x6 – c) (a + b – c) + (a – b + c) – 2(b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc + 2ac – 2b2 + 4bc – 2c2 = 2a2 d) (a + b + c)2 + (a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac + b2 + c2 + a2 – 2bc + 2ac – 2ab + c2 + a2 + b2 – 2ac + 2ab – 2bc = 4a2 + 4b2 + 4c2 = 4(a2 + b2 + c2) Bài tập 4: Điền đơn thức thích hợp vào dấu * a) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.3y + 3.2x.(3y)2 + (3y)3 = (2x + 3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3 b) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3 c) x3 - * + * - * = (* - 2y)3 = x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 = (x – 2y)3 Bài tập 5: CMR với giá trị biến x ta ln có: a) – x2 + 4x – < Ta có: – x2 + 4x – = - (x2 – 4x + 5) = - (x2 – 4x + + 1) = - [(x – 2)2 + 1] Mà (x – 2)2 ≥ nên (x – 2)2 + > Do – [(x – 2)2 + 1] < với giá trị biến x b) x4 + 3x2 + > Ta có: x4 ≥ ; 3x2 ≥ nên x4 + 3x2 + > , với x c) (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + > Ta có: (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + = (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + + 1) + = (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 3) + + = (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 1) + = (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + Ta có: (x2 + 2x + 3)2 ≥ 0; (x + 1)2 ≥ nên (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + > , với x Bài tập 6: So sánh: a) 2003.2005 20042 Ta có: 2003.2005 = (2004 – 1)(2004 + 1) = 20042 – < 20042 b) 716 – 8(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1) Ta có: 716 – = (78)2 – = (78 + 1)(78 – 1) = (78 + 1)(74 + 1)(74 – 1) = (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(72 – 1) = (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(7 + 1)(7 – 1) = =(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)8.6 > (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1).8 Bài tập 7: Cho a – b = m ; a.b = n Tính theo m, n giá trị biểu thức sau: a) (a + b)2 = (a + 2ab + b2 – 4ab + 4ab = (a – b)2 + 4ab Thay a – b = m, a.b = n vào biểu thức ta : (a + b)2 = m2 + 4n b) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = m2 – 2n c) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b) = m3 + 3m.n = m(m2 + 3n) Bài tập 8: Cho a + b = p ; a – b = q Tìm theo p,q giá trị biểu thức sau: a) a.b = ? Ta có: (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab ( a + b) − ( a − b) p2 − q2 ⇒ ab = = 4 p2 − q2 b) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = p3 – 3p = 4 p − p ( p − q ) p − p + pq p + pq p ( p + 3q ) = = = 4 4 2 Trang TOÁN HỌC LỚP BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Điền vào chỗ trống cho thích hợp: a) x2 + 4x + = b) x2 − 8x +16 = c) (x + 5)(x − 5) = d) x3 + 12x2 + 48x + 64 = e) x3 − 6x2 + 12x − = f) (x + 2)(x2 − 2x + 4) = g) (x − 3)(x2 + 3x + 9) = k) x2 + 6x + = n) 9x2 + 6x + 1= Bài Thực phép tính: a) (2x + 3y)2  2  2  d)  x + y ÷  x − y ÷    g) (3x2 – 2y)3 h) x2 + 2x + 1= l) 4x2 – 9= i) x2 – 1= m) 16x2 – 8x + 1= o) 36x2 + 36x + = p) x3 + 27 = b) (5x – y)2 c) (2x + y2)3 1  e)  x + ÷ 4  h) (x − 3y)(x2 + 3xy + 9y2)  2 f)  x − y ÷  3 i) ( x − 3).( x + x + 9) k) (x + 2y + z)(x + 2y – z) l) (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) m) (5+ 3x)3 Bài Tính giá trị biểu thức cách vận dụng đẳng thức: a) A = x3 + 3x2 + 3x + với x = 19 b) B = x3 − 3x2 + 3x -1 với x = 11 ĐS: a) A = 8005 b) B = 1001 Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) (2x + 3)(4x2 − 6x + 9) − 2(4x3 − 1) b) (4x − 1)3 − (4x − 3)(16x2 + 3) c) 2(x3 + y3) − 3(x2 + y2) với x + y = d) (x + 1)3 − (x − 1)3 − 6(x + 1)(x − 1) e) (x + 5)2 + (x − 5)2 f) (2x + 5)2 + (5x − 2)2 x2 + 25 x2 + ĐS: a) 29 b) c) –1 d) e) f) 29 Bài Giải phương trình sau: a) (x − 1)3 + (2 − x)(4 + 2x + x2) + 3x(x + 2) = 17 b) (x + 2)(x2 − 2x + 4) − x(x2 − 2) = 15 c) (x − 3)3 − (x − 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15 d) x(x − 5)(x + 5) − (x + 2)(x2 − 2x + 4) = 10 11 ĐS: a) x = b) x = c) x = d) x = − 15 25 Bài So sánh hai số cách vận dụng đẳng thức: a) A = 1999.2001 B = 20002 b) A = 216 B = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) c) A = 2011.2013 B = 20122 d) A = 4(32 + 1)(34 + 1) (364 + 1) B = 3128 − BÀI TẬP NÂNG CAO Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) M = x2 – 4x + = x2 – 4x + + = (x – 2)2 + Ta thấy: (x – 2)2 ≥ nên M ≥ Hay GTNN M Giá trị đạt (x – 2)2 = ⇔ x – = ⇔ x = b) N = (x2 – 4x – 5)(x2 – 4x – 19) + 49 N = (x2 – 4x – )(x2 – 4x – – 14) + 49 N = (x2 – 4x – 5)2 – 14(x2 – 4x – 5) + 49 N = (x2 – 4x – 5)2 - 2.7(x2 – 4x – ) + 72 N = (x2 – 4x – – )2 = (x2 – 4x – 12 )2 Ta thấy : (x2 – 4x – 12)2 ≥ nên N ≥ Trang TOÁN HỌC LỚP Hay GTNN N Giá trị đạt x2 – 4x – 12 = ⇔ (x – 6)(x + 2) = ⇔ x = ; x = -2 c) P = x2 – 6x + y2 – 2y + 12 P = x2 – 6x + + y2 – 2y + + = (x – 3)2 + (y – 1)2 + Ta thấy: (x – 3)2 ≥ 0; (y – 1)2 ≥ nên P ≥ Hay GTNN P Giá trị đạt x – = y – = ⇔ x = y = Chú ý GTNN GTLN biểu thức: Cho biểu thức A, ta nói số k GTNN A ta c/m điều kiện: a) A ≥ k với giá trị biến biểu thức A b) Đồng thời, ta tìm giá trị biến cụ thể A để thay vào, A nhận giá trị k Tương tự, cho biểu thức B, ta nói số h GTLN B ta c/m điều kiện: a) B ≤ h với giá trị biến biểu thức B b) Đồng thời, ta tìm giá trị biến cụ thể B để thay vào, B nhận giá trị h Có hai loại sai lầm thường gặp HS: 1) Khi chứng minh a), vội kết luận mà quên kiểm tra điều kiện b) 2) Đã hoàn tất a) b), nhiên, tốn đòi hỏi xét tập số thơi, tức thêm yếu tố ràng buộc, mà HS khơng để ý giá trị biến tìm bước b) lại nằm tập cho trước Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức A = (x2 + 1)2 + Giả sử lời giải : Vì (x2 + 1)2 ≥ nên A ≥ Vậy GTNN biểu thức Kết luận GTNN mắc phải sai lầm loại 1), tức quên kiểm tra điều kiện b) Thực A 4, ta phải có (x2 + 1)2 = , điều xảy với giá trị biến x Ví dụ 2: Cho x y số hữu tỉ x ≠ y Tìm GTNN biểu thức B = (x – y)2 + 2 Giả sử lời giải sau: Vì (x – y)2 ≥ nên B ≥ 2 Mặt khác thay x = y = 1, B nhận giá trị Vậy GTNN biểu thức B đây, kết luận GTNN mắc phải sai lầm loại 2), tức quên kiểm tra điều kiện ràng buộc x ≠ y Bài tập 2: Tìm GTNN biểu thức sau: a) A = x2 – 4x + Ta có : A = x2 – 4x + + = (x – 2)2 + Ta thấy (x – 2)2 ≥ 0, nên (x – 2)2 + ≥ Hay GTNN A , giá trị đạt (x – 2)2 = ⇔ x–2=0 ⇔ x=2 b) B = x2 – x + 1 3 Ta có: B = x2 – x + + = (x - )2 + 4 Vậy GTNN B , giá trị đạt x = 9 c) C = 2x2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2[(x2 – x + ) − ] = 2(x - )2 4 2 Vậy GTNN C , giá trị đạt x = 2 Trang TOÁN HỌC LỚP Bài tập 3: Tìm GTLN đa thức: a) M = 4x – x2 + = - x2 + 4x – + = – (x2 – 4x + 4) = – (x – 2)2 Ta thấy: (x – 2)2 ≥ ; nên - (x – 2)2 ≤ Do đó: M = – (x – 2)2 ≤ Vậy GTLN biểu thức M 7, giá trị đạt x = 1 1 b) N = x – x2 = - x2 + x - + = − ( x − ) 2 4 1 Vậy GTLN N , giá trị đạt x = 1 19 c) P = 2x – 2x2 – = 2( - x2 + x – 5) = 2[( - x2 + x – )– ] 4 19 19 = - (x - )2 ≤ 2 19 Vậy GTLN biểu thức P , giá trị đạt x = 2 Chú ý: Dạng toán tương tự dạng : Chứng minh biểu thức dương, âm, lớn hơn, nhỏ số Bài tập : Tìm x , biết rằng: a) 9x2 – 6x – = 9x2 – 2.3x.1 + – = (3x – 1)2 – = (3x – + 2)(3x – – 2) = (3x + 1)(3x – 3) =0  x=− 3 x + = 3 x = −1  3 x − = ⇔ 3 x = ⇔    x = b) x + 9x + 27x + 19 = x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33 – =0 (x + 3)3 – = (x + 3)3 – 23 = (x + – 2)[(x + 3)2 + 2(x + 3) + 4] = (x + 1)(x2 + 6x + + 2x + + 4) =0 (x + 1)(x2 + 8x + 19) = (x + 1)[x2 + 2.4x + 16 + 3] = (x + 1)[(x + 4)2 + 3] = x + = Vì (x + 4)2 + > , với giá trị biến x x = -1 c) x(x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = x(x2 – 25) – (x3 + 8) – = x3 – 25x – x3 – – = - 25x = 11 11 x=25 Bài tập : Tìm x, y, z biết rằng: x2 + 2x + y2 – 6y + 4z2 – 4z + 11 = (x2 + 2x + 1) + (y2 – 6y + 9) + (4z2 – 4z + 1) = (x + 1)2 + (y – 3)2 + (2z – 1)2 = Trang TOÁN HỌC LỚP   x = −1 x + =   ⇔ y − = ⇔ y = 2 z − =   z =  Bài tập : Cho a + b = Tính a3 + 3ab + b3 Ta có: a3 + 3ab + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) + 3ab = (a + b)3 – 3ab + 3ab = (a + b)3 = ( Vì a + b = 1) Bài tập : Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị dương với giá trị biến: a) A = x2 – x + 1 3 A = x2 – x + + = (x - ) + 4 2 Vì (x - ) ≥ nên (x - ) + > , với giá trị biến 2 Hay A > , với giá trị biến b) B = (x – 2)(x – 4) + = x2 – 4x – 2x + + = x2 – 6x + + = (x – 3)2 + Vì (x – 3)2 ≥ nên (x – 3)2 + > 0, với giá trị biến Hay B > 0, với giá trị biến c) C = 2x2 – 4xy + 4y2 + 2x + C = x2 – 4xy + 4y2 + x2 + 2x + + = (x – 2y)2 + (x + 1)2 + Vì (x – 2y)2 ≥ , (x + 1)2 ≥ nên (x – 2y)2 + (x + 1)2 + > 0, với x Hay C > 0, với x Bài tập : Chứng minh đẳng thức sau: a) (a2 + b2)2 – 4a2b2 = (a + b)2(a – b)2 Ta biến đổi vế trái: VT = (a2 + b2)2 – 4a2b2 = (a2 + b2)2 – (2ab)2 = (a2 + b2 + 2ab)(a2 + b2 – 2ab) = (a + b)2(a – b)2 = VP Vậy đẳng thức chứng minh b) (a + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2 Ta có: VT = (a2 + b2)(x2 + y2) = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 = a2x2 – 2ax.by + b2y2 + a2y2 + 2ay.bx + b2x2 = (ax – by)2 + (bx + ay)2 = VP Vậy đẳng thức chứng minh c) a3 – b3 + ab(a – b) = (a – b)(a + b)2 Ta có : VT = a3 – b3 + ab(a – b) = (a – b)(a2 + ab + b2) + ab(a – b) = (a – b)(a2 + ab + b2 + ab) = (a – b)(a + b)2 d)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a) VT = (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + b3 – 3b2c + 3bc2 – c3 + c3 – 3c2a + 3ca2 – a3 = - 3a2b + 3ab2 – 3b2c + 3bc2 – 3c2a + 3ca2 VP = 3(a – b)(b – c)(c – a) = 3(ab – ac – b2 + bc)(c – a) = 3(abc – a2b – ac2 + a2c – b2c + ab2 + bc2 – abc) = - 3a2b – 3ac2 + 3a2c – 3b2c + 3ab2 + 3bc2 Vậy VT = VP Do đẳng thức chứng minh Bài tập : Giải phương trình sau: a) x2 – 4x + = 25 (x – 2)2 – 25 = (x – + 5)(x – – 5) = (x + 3)(x – 7) = x + = x – = Trang TOÁN HỌC LỚP x = -3 x = b) (5 – 2x)2 – 16 = (5 – 2x + 4)(5 – 2x – 4) = (9 – 2x)(1 – 2x) = – 2x = – 2x = = 2x 2x = x= x = 2 c) (x – 3)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15 x3 – 9x2 + 27x – 27 – x3 + 27 + 9x2 + 18x + – 15 = 27x + 18x + – 15 = 45x = x= 15 Bài tập 10 : Tính giá trị biểu thức: a) A = 49x2 – 56x + 16 , với x = Ta có: A = (7x – 4)2 Với x = thì: A = (7.2 – 4)2 = 102 = 100 b) B = 27x3 + 54x2 + 36x + , với x = - Ta có: B = (3x)3 + 3.(3x)2.2 + 3.(3x).4 + 23 = (3x + 2)3 Với x = -2 thì: B = [3.(-2) + 2]3 = (-4)3 = - 64 c) C = (x – 1)3 – 4x(x + 1)(x – 1) + 3(x – 1)(x2 + x + 1) + 3(x – 1)2 , với x = - Ta có: C = (x – 1)3 – 4x(x2 – 1) + 3(x3 – 1) + 3(x2 – 2x + 1) C = x3 – 3x2 + 3x – – 4x3 + 4x + 3x3 – + 3x2 – 6x + C=x–1 2 Với x = thì: C = -1=5 5 Bài tập 11 : CMR tích số tự nhiên liên tiếp cộng với số phương Giải: Gọi số tự nhiên liên tiếp n , n + , n + , n + Khi ta có: Tích số tự nhiên liên tiếp là: A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)+ A= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2 + 3n + 1)2 Vì n số tự nhiên nên (n2 + 3n + 1)2 số phương Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) số phương BÀI TẬP Bài Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = 5x – x2 b) B = x – x2 c) C = 4x – x2 + d) D = – x2 + 6x − 11 e) E = 5− 8x − x2 f) F = 4x − x2 + Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x2 – 6x + 11 b) B = x2 – 20x + 101 c) C = x2 − 6x + 11 d) D = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) e) E = x2 − 2x + y2 + 4y + f) x2 − 4x + y2 − 8y + g) G = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28 HD: g) G = (x − 2y + 5)2 + (y − 1)2 + ≥ Bài Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức (nếu có): A = x2 – 4x + B = 4x2 + 4x + 11 Trang 10 TOÁN HỌC LỚP BD AB BD AB 12 · = = = = Vì AD phân giác BAC nên ta có : hay CD AC CD AC 16 SVABD BD 1 = = Mà S ABD = AH BD S ACD = AH CD => S ACD CD 2 BD = ?, CD = ? BD AB BD AB BD AB = = = d)Ta có : (cmt) => hay CD AC CD + BD AB + AC BC AB + AC BD 12 20.3 = = => BD = ≈ 8, cm 20 12 + 16 7 Mà CD = BC – BD = 20 – 8,6 = 11,4 cm 1 e) AH = ? Vì ∆ABC vng A nên S ABC = AH BC = AB AC 2 AB AC 12.16 = 9, (cm) => AH BC = AB AC hay AH = = AH = BC 20 BÀI TẬP Bài Cho tam giác ABC vuông A, AB = 15cm, AC = 20cm Tia phân giác góc A, cắt cạnh BC D DB a) Tính DC b) Đường thẳng qua D, song song với AB, cắt AC E Chứng minh ∆EDC # ∆ABC c) Tính DE diện tích tam giác EDC DB 60 2400 = (cm2) HD: a) c) DE = (cm) , SEDC = DC 49 Bài Cho tam giác cân ABC, AB = AC = b, BC = a Vẽ đường cao BH, CK a) Chứng minh BK = CH b) Chứng minh KH // BC c) Tính độ dài HC HK a3 a2 , KH = a − 2b 2b2 Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I trung điểm BC Trên cạnh AB, AC lấy điểm K, H cho BK CH = BI Chứng minh: a) ∆KBI # ∆ICH b) ∆KIH # ∆KBI c) KI phân giác góc ·BKH d) IH KB + HC.IK > HK BI HD: d) Chứng minh IH KB + HC.IK = BI (KI + IH ) > HK BI Bài Cho tam giác ABC (AB < AC) Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM a) Chứng minh HD + DM = HM b) Vẽ đường cao BF, CE So sánh hai đoạn thẳng BF CE c) Chứng minh ∆AFE # ∆ABC d) Gọi O trực tâm ∆ABC Chứng minh BO.BF + CO.CE = BC µ HD: a) AB < AC ⇒DC > MC, ·CAH > A ⇒D nằm H M ⇒đpcm b) BF < CE d) BO.BF = BC.BH, CO.CE = BC.CH AD AE = Bài cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E cho AB AC Đường trung tuyến AI (I ∈BC) cắt đoạn thẳng DE H Chứng minh DH = HE DH HE = HD: ⇒đpcm BI IC Bài Cho tam giác ABC vng A, µC = 300 đường phân giác BD (D ∈AC) HD: c) HC = Trang 188 TOÁN HỌC LỚP DA b) Cho AB = 12,5cm Tính chu vi diện tích tam giác ABC CD DA = HD: a) b) BC = 25cm, AC = 21,65cm DC Bài Cho tam giác ABC cạnh a, M trung điểm BC Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho ·DME = 600 a) Tính tỉ số a2 b) Chứng minh ∆MBD # ∆EMD ∆ECM # ∆EMD c) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng DE a) Chứng minh BD.CE = HD: c) Vẽ MH ⊥DE, MK ⊥EC ⇒MH = MK; MK = MC − CK = a Bài Cho tam giác ABC cân A, µA = 200 , AB = AC = b, BC = a Trên cạnh AC lấy điểm D cho ·DBC = 200 a) Chứng minh ∆BDC # ∆ABC b) Vẽ AE vng góc với BD E Tính độ dài đoạn thẳng AD, DE, AE c) Chứng minh a3 + b3 = 3ab2 b DE = b − a a2 , , AD = b − c) AD2 = DE + AE ⇒đpcm 2 b Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, K điểm AM cho AM = 3AK, BK cắt AC N, P trung điểm NC a) Tính tỉ số diện tích tam giác ANK AMP b) Cho biết diện tích ∆ABC S tính diện tích tam giác ANK AB AC + = c) Một đường thẳng qua K cắt cạnh AB, AC I J Chứng minh AI AJ SANK S = HD: a) b) SAMP = SAMC ; SAMC = SABC ⇒SANK = SAMP 30 c) Vẽ BE // IJ, CH // IJ (E, H ∈AM) ⇒∆EBM = ∆HCM ⇒EM = MH; AB AE AC AH = , = ⇒đpcm AI AK AJ AK Bài 10 Cho tam giác ABC Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC, AC O giao điểm đường trung trực, H trực tâm, G trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh ∆OMN # ∆HAB b) So sánh độ dài AH OM c) Chứng minh ∆HAG # ∆OMG d) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng GH = 2GO HD: b) AH = 2OM d) ·HGO = ·HGM +·MGO = ·HGM + ·AGH = ·MGA = 1800 ⇒đpcm Bài 11 Cho tam giác ABC, đường cao AK BD cắt G Vẽ đường trung trực HE, HF AC BC Chứng minh: a) BG = 2HE b) AG = 2HF HD: ∆ABG # ∆FEH ⇒đpcm Bài 12 Cho hình thang vng ABCD (AB // DC, µA = µD = 900 ) Đường chéo BD vng góc với HD: b) AE = cạnh bên BC Chứng minh BD2 = AB.DC HD: Chứng minh ∆ABD # ∆BCD Bài 13 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), O trung điểm cạnh đáy BC Một điểm D di động cạnh AB Trên cạnh AC lấy điểm E cho CE = Trang 189 OB2 Chứng minh: BD TOÁN HỌC LỚP a) Hai tam giác DBO, OCE đồng dạng b) Tam giác DOE đồng dạng với hai tam giác c) DO phân giác góc ·BDE , EO phân giác góc ·CED d) Khoảng cách từ điểm O đến đoạn ED không đổi D di động AB HD: d) Vẽ OI ⊥DE, OH ⊥AC ⇒OI = OH Bài 14 Cho tam giác ABC, µB,µC góc nhọn Các đường cao AA′ , BB′ , CC′ cắt H a) Chứng minh: A′ A.A′ H = A′ B.A′ C b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Giả sử đường thẳng GH song song với cạnh đáy BC Chứng minh: A′A2 = 3A′B.A′C A′A HD: a) Chứng minh ∆BA′ H # BB′ C, ∆CAA′ # ∆CB′ B b) GH // BC ⇒A′H = Bài 15 Cho hình thang KLMN (KN // LM) gọi E giao điểm hai đường chéo Qua E, vẽ 1 = + đường thẳng song song với LM, cắt MN F Chứng minh: EF KN LM EF EF , HD: Tính tỉ số LM KN Bài 16 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC BC D E; đường thẳng song song với AC, cắt AB BC F K; đường thẳng song song với BC, cắt AB AC M N Chứng minh: AF BE CN + + = AB BC CA AF KC CN KE = , = HD: Chứng minh ⇒đpcm AB BC CA BC Bài 17 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, CA, OA′ OB′ OC′ AB A′ , B′ , C′ Chứng minh: + + = AA′ BB′ CC′ S OA′ OA′ OI SBOC = OI HD: Vẽ AH ⊥BC, OI ⊥BC ⇒ ; ⇒ BOC = = AA′ AH SABC AH SABC AA′ SCOA OB′ SAOB OC′ = , = ⇒đpcm SABC BB′ SABC CC′ Bài 18 Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R Chứng minh PB QC RA = (định lí Ceva) đường thẳng AP, BQ, CR đồng qui O PC QA RB HD: Qua C A vẽ đường thẳng song song với BQ, cắt đường thẳng AP E cắt PB OB RA AD QC EC = , = , = đường thẳng CR D Chứng minh ⇒đpcm PC EC RB OB QA AD Tương tự: MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA Trang 190 TOÁN HỌC LỚP ĐỀ I I TRẮC NGHIỆM: ( điểm ) Khoanh tròn đáp án câu sau : Cho AB = 6cm , AC =18cm, tỉ số hai đoạn thẳng AB AC là: 1 A B C 2 ∆ MNP ∆ ABC thì: MN MP MN MP MN NP A = B = C = AB AC AB BC AB AC D.3 D MN NP = BC AC Các cặp tam giác có độ dài ba cạnh đồng dạng: A 4; 5; vµ 4; 5; C 6; 5; vµ 6; 5; B 2; 3; vµ 2; 5; D 3; 4; vµ 6; 8; 10 Cho ∆ DEF ∆ ABC theo tỉ số đồng dạng k = 2,5 Thì tỉ số hai đường cao tương ứng : A 2.5cm B 3.5cm C 4cm D 5cm SDEF Cho ∆ DEF ∆ ABC theo tỉ số đồng dạng k = Thì : SABC 1 A B C D 4 Cho ∆ ABC có MN //BC : Ta có : AM MB AN AM AM AN MB NA = = = = A B C D NC AN MB NC MB NC MA NC II TỰ LUẬN : (7 điểm) Bài 1: (2 Điểm) Cho hình vẽ có MN//BC Tính độ dài x y: A A x M B N y x E D 10 C 6,5 B C DE // BC Bài 2: (2 Điểm) Cho ∆ABC coù DE//BC (hình vẽ) Hãy tính x? Bài 3: (3 Điểm)Cho tam giác ABC vng A có AB = 12cm; AC = 16cm Kẻ đường cao AH (H ∈ BC) a) Chứng minh : ∆ AHB ∆ CAB b) Vẽ đường phân giác AD, (D ∈ BC) Tính BD, CD ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM I Trắc nghiệm: (3 điểm) Mỗi câu 0.5 điểm Câu Đáp án B A D II Tự luận: ( điểm) Câu Nội dung trình bày Trang 191 A B C Điểm TOÁN HỌC ( 2đ ) LỚP MN//BC neân Hay AM AN = ( đònh lí Talet) MB NC 0,5 AN = ⇒ AN = (2.10):5 = 4(cm) 10 0,5 AC = AN + NC = + 10 = 14 (cm) Vậy : x = cm; y = 14 cm ( 2đ ) ( 3đ ) 0,5 0,5 AB = AD + DB = + = (cm) AD DE = DE//BC neân (hệ định lý Ta-let) AB BC DE 2.6,5 Hay = ⇒ DE = = 2,6(cm) 6,5 Vậy x =2,6(cm) 0,5 * Vẽ hình a) Xét ∆ AHB ∆ ABC có: · · BHA = BAC = 900 ( gt ) 0,5 µ chung B Do đó: ∆ AHB 0,5 0,5 0,5 B H D 12 0,5 0,5 ∆ CAB(g-g) C A b) Xét ∆ ABC vuông A có : BC2 = AB2 + AC2 (Định lý Pi-ta-go) = 122 + 162 = 400 Suy : BC = 20 (cm) Ta có AD phân giác góc BAC (gt): BD AB 12 = => = = DC AC 16 BD + DC + = => DC BC 4.BC 4.20 = = ≈ 11, 4(cm) => => DC = DC 7 BD = BC – DC = 20 -11,4 ≈ 8,6 (cm) 16 ĐỀ II I Trắc nghiệm (4 điểm): Khoanh tròn chữ đứng trước đáp án Cho đoạn thẳng có độ dài a = 2; b = 3; c = 4; d = 6; m = Kết luận sau đúng? A Hai đoạn thẳng a b tỉ lệ với hai đoạn thẳng c m B Hai đoạn thẳng a c tỉ lệ với hai đoạn thẳng c d C Hai đoạn thẳng a b tỉ lệ với hai đoạn thẳng d m D Hai đoạn thẳng a b tỉ lệ với hai đoạn thẳng c d Cho biết MM’//NN’ độ dài OM’ hình vẽ bên là: A cm B cm C cm D cm Trang 192 0,5 0,5 0,25 0,25 TOÁN HỌC LỚP Độ dài x hình vẽ là: A 1,5 B 2,9 C 3,0 D 3,2 Hãy điền vào chỗ trống kí hiệu thích hợp Tam giác ABC có ba đường phân giác AD; BE; CF AB = … a) AC CE = … b) EA A AF =… c) BF BD EC FA =… d) DC EA FB E F II Tự luận (6 điểm) B C D Câu (2,5 điểm): Trên cạnh góc đỉnh A, lấy đoạn thẳng AE = 3cm, AC = 8cm Trên cạnh thứ hai góc đó, đặt đoạn thẳng AD = 4cm AF = 6cm a) Hỏi tam giác ACD tam giác AEF đồng dạng khơng? sao? b) Gọi I giao điểm CD EF Tính tỷ số diện tích hai tam giác IDF tam giác IEC Câu (2,5 điểm): Cho tứ giác ABCD có AB = 4cm; BC = 20cm; CD = 25cm; DA = 8cm, đường chéo BD = 10cm a) Các tam giác ABD BDC có đồng dạng với khơng ? Vì ? b) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang Câu (1 điểm): Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC Từ C hạ đường vng góc CE CF xuống tia AB, AD Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC2 ĐÁP ÁN I Trắc nghiệm (4 điểm): Chọn ý điểm Câu Đáp án D D A DB BC CA a ; b ; c ; d.1 DC BA CB II Tự luận (6 điểm) C Câu (2,5 điểm) Vẽ hình (0,5đ) a) ∆ ACD ∆ AFE đồng dạng AC AD = = ; A chung (1 điểm) AF AE b) Chứng minh ∆ IDF ∆ IEC đồng dạng (g.g) S IDF = ⇒ k = 2/5 ⇒ S IEC 25 (1 điểm) Câu (2,5 điểm) Trang 193 E I A D F TOÁN HỌC LỚP Vẽ hình, ghi gt,kl (0,5 điểm) a) Xét ∆ ABD ∆ BDC có: AB = = BD 10 BD 10 = = DC 25 AD = = BC 20 Vậy theo trường hợp đồng dạng thứ suy ∆ ABD ∼ ∆ BDC (1,5 đ) b) Từ ∆ ABD ∼ ∆ BDC suy ∠ ABD = ∠ BDC (hai góc vị trí so le trong) suy AB // CD ⇒ tứ giác ABCD hình thang (1 điểm) Câu (1 điểm) Kẻ DH vuông góc AC, BK vng góc AC C/m ∆ AHD đồng dạng ∆ AFC A B E AD AH ⇒ ⇒ AD.AF = AC.AH (1) = H AC AF C/m ∆ AKB đồng dạng ∆ AEC K AB AK ⇒ ⇒ AB.AE = AC.AK (2) = C D AC AE C/m ∆ AHD = ∆ CKB (ch-gn) ⇒ AH = CK (3) Từ 1, 2, ⇒ AB.AE + AD.AF = AC.AK + AC.AH = AC.(AK + AH) = AC.(AK + CK) = AC.AC = AC2 F ĐỀ III I TRẮC NGHIỆM: ( điểm) Khoanh tròn chữ đứng trước câu trả lời Câu 1: Cho đoạn thẳng AB = 20cm, CD = 30cm Tỉ số hai đoạn thẳng AB CD là: 20 30 A B C D A 3 · Câu 2: Cho AD tia phân giác BAC ( hình vẽ) thì: AB DC AB DB AB DC AB DC = = = = A B C D D AC DB AC DC DB AC DB BC B Câu 3: Cho ∆ ABC ∆ DEF theo tỉ số đồng dạng ∆ DEF ∆ ABC theo tỉ số đồng dạng là: 4 A B C D A Câu 4: Độ dài x hình vẽ là: (DE // BC) x E D A B C.7 D.8 S S B C µ =E µ : µ C Câu 5: Nếu hai tam giác ABC DEF có µA = D A ∆ ABC ∆ DEF B ∆ ABC ∆ DFE C ∆ CAB ∆ DEF S S S Câu 6: Điền dấu “X” vào ô trống thích hợp Câu D ∆ CBA S∆ DFE Đ Trang 194 S C TOÁN HỌC LỚP Hai tam giác đồng dạng Hai tam giác vuông cân đồng dạng Tỉ số chu vi hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng Hai tam giác đồng dạng Hai tam giác cân có góc đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng Hai tam đồng dạng với II TỰ LUẬN (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AB = 12 cm, AC = 16 cm Vẽ đường cao AH a) Chứng minh ∆ HBA ∆ ABC b) Tính BC, AH, BH c) Vẽ đường phân giác AD tam giác ABC (D ∈ BC) Tính BD, CD d) Trên AH lấy điểm K cho AK = 3,6cm Từ K kẽ đường thẳng song song BC cắt AB AC M N Tính diện tích tứ giác BMNC S ĐÁP ÁN I TRẮC NGHIỆM: ( điểm) B S Đ Đ Đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Đáp án Điểm A B B B 0,25 0,25 0,25 0,25 Đ Đ Đ 0,25 0,25 0,25 II TỰ LUẬN (7 điểm) Câu Đáp án Biểu điểm A M N K 0,5 C B H D : a) Chứng minh ∆ HBA ∆ ABC Xét ∆ HBA ∆ ABC có: µ = Α µ = 900 Η µ chung Β => ∆ HBA ∆ ABC (g.g) b) Tính BC, AH, BH Ta có VABC vng A (gt) ⇒ BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC = 0,25 0,25 0,25 0,25 : Hay: BC = 122 + 162 = 144 + 256 = 400 = 20 cm Trang 195 AB + AC 0,5 0,5 TOÁN HỌC LỚP 1 AH BC = AB AC 0,5 2 0,5 AB AC 12.16 ⇒ AH BC = AB AC hay AH = = 9, (cm) = AH = BC 20 ∆ HBA ∆ ABC 1,0 HB BA BA2 122 ⇒ = hay : HB = = = 7,2 (cm) AB BC BC 20 c) Tính BD, CD 0,5 BD AB BD AB BD AB = = = Ta có : (cmt) ⇒ hay CD AC CD + BD AB + AC BC AB + AC BD 12 20.3 = = => BD = ≈ 8, cm 0,25 20 12 + 16 7 0,25 Mà: CD = BC – BD = 20 – 8,6 = 11,4 cm d) Tính diện tích tứ giác BMNC 0,25 Vì MN // BC nên ∆ AMN ∆ ABC AK,AH hai đường ao tương ứng 2 S  AK   3,    = ÷ = Do đó: AMN =  0,5 ÷ = ÷ S ABC  AH   9,    64 1 0,25 Mà: SABC = AB.AC = 12.16 = 96 0,25 2 => SAMN = 13,5 (cm ) 0,25 Vậy: SBMNC = SABC - SAMN = 96 – 13,5 = 82,5 (cm2) Lưu ý: Mọi cách giải khác có lập luận chạc chẽ cho điểm tói đa câu Vì ∆ABC vng A nên: S ABC = : : ĐỀ IV I-TRẮC NGHIỆM (3đ) Điền vào chỗ trống (……) câu thích hợp để câu trả lời Câu Đường phân giác góc tam giác chia …(1)…thành hai đoạn thẳng (2) …hai đoạn thẳng Câu VABC : VDEF với tỷ số đồng dạng k ≠ VDEF : VABC với tỷ số đồng dạng …(3)… µ ,C µ ' = (6) µ A ' = (4) ; (5) = B  Câu VA ' B ' C ' : VABC ⇔  (7) B ' C ' (9)  AB = (8) = AC  Câu Tam giác vng có cạnh huyền …(10) … tỷ lệ với (11)…và cạnh góc vng tam giác vng …… (12)……… Câu Tam giác có hai góc ……….(13)…… tam giác …….(14) ………… Câu Cho hình vẽ bên Hãy tính độ dài cạnh AB ? A 6cm ? B 2cm D 3cm C Chọn đáp án đáp án sau : Độ dài cạnh AB là: A 4cm B 5cm C 6cm D 7cm II TỰ LUẬN (7 điểm) : Câu Cho tam giác ABC vuông A, AB = 12cm, AC = 16cm Vẽ đường cao AH(H ∈ BC) tia phân giác góc A cắt BC D a/ Chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC b/ Tính độ dài cạnh BC Trang 196 TOÁN HỌC LỚP c/ Tính tỷ số diện tích hai tam giác ABD ACD d/ Tính độ dài đoạn thẳng BD CD e/ Tính độ dài chiều cao AH ĐÁP ÁN I TRẮC NGHIỆM (0,5đ) Câu Đáp án (1) cạnh đối diện Câu Đáp án 2(0,5đ) (3) k (2) tỷ lệ với hai cạnh kề 4(0,5đ) (11) (10) mỘt cẠnh góc vng cẠnh huyỀn (4) (5) 3(0,5đ) (6) (7) (8) (9) µ Α µ' Β µ C BC A’C’ A’B’ 5(0,5đ) (12) hai tam giác vng đỒng dẠng (13) lẦn lưỢt bẰng hai góc (14) hai tam giác đỒng dẠng 6(0,5đ) A II TỰ LUẬN: Câu Đáp án VABC vuông A, · AD phân giác BAC GT AH ⊥ BC; AB = 12cm, AC = 16cm a) VHBA : VABC ; b) Tính BC =? SVABD = ? ; d) BD = ?; CD KL c) S ACD =? e) AH = ? A 16cm 12cm B H D Điể m C a) VHBA : VABC : µ chung ⇒ VHBA : VABC Xét VHBA & VABC hai tam giác vuông có B (g.g) b) Tính BC: Ta có VABC vng A (gt) ⇒ BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC = AB + AC Hay: BC = 122 + 162 = 144 + 256 = 400 = 20 cm c) 0,5 1,0 0,75 0,75 SVABD =? S ACD Vì AD phân giác · BAC nên ta có : BD AB 12 = = = CD AC 16 BD AB = CD AC hay 0,75 0,75 Trang 197 TOÁN HỌC Mà S ABD = d) e) LỚP S BD 1 = AH BD S ACD = AH CD => VABD = S ACD CD 2 BD = ?, CD = ? BD AB BD AB BD AB = = = Ta có : (cmt) => hay CD AC CD + BD AB + AC BC AB + AC BD 12 20.3 = = => BD = ≈ 8, cm 20 12 + 16 7 Mà CD = BC – BD = 20 – 8,6 = 11,4 cm 1 AH BC = AB AC 2 AB AC 12.16 = 9, (cm) => AH BC = AB AC hay AH = = AH = BC 20 e) AH = ? Vì ∆ABC vng A nên S ABC = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ĐỀ V I TRẮC NGHIỆM ( điểm) Câu 1: Cho AB = 4cm, DC = 6cm Tỉ số hai đoạn thẳng AB CD là: A B C D Câu 2: Cho ∆A’B’C’ ∆ABC theo tỉ số đồng dạng k = Tỉ số chu vi hai tam giác đó: 3 A B C D Câu 3: Chỉ tam giác đồng dạng hình sau: A ∆DEF ∆ABC B ∆PQR ∆EDF C ∆ABC · Câu Trong hình biết MQ tia phân giác NMP x 5 Tỷ số là: A B y 4 C D 5 ∆PQR D Cả A, B, C Câu Độ dài x hình bên là: A 2,5 B C 2,9 D 3,2 Câu Trong hình vẽ cho biết MM’ // NN’ đo đoạn thẳng OM là: A cm B 2,5 cm C cm D cm Câu 7: Điền từ thích hợp vào chỗ ( ) để hoàn thiện khẳng định sau: Trang 198 Số TOÁN HỌC LỚP Nếu đường thẳng cắt tam giác với cạnh lại tam giác tương ứng tỉ lệ II TỰ LUẬN (7 điểm ) Câu 8: Cho ∆ABC vng tai A, có AB = 9cm, AC = 12cm Tia phân giác góc A cắt BC D, từ D kẻ DE ⊥ AC ( E ∈ AC) BD a)Tính tỉ số: , độ dài BD CD b) Chứng minh: ∆ABC ∆EDC DC c)Tính DE d) Tính tỉ số S ABD S ADC ĐÁP ÁN I TRẮC NGHIỆM : (3điểm) Câu Đáp án C B A D B D Thứ tự điền là: hai cạnh, song song, tạo thành, có ba cạnh, với ba cạnh, tam giác cho II TỰ LUẬN ( Điểm ) Câu Đáp án Điểm 0,5 BD AB = = = DC AC 12 BD AB BD AB = => = Từ DC AC DC + BD AC + AB BD AB BD => = => = BC AC + AB 15 21 9.15 = 6, 4cm => BD = 21 Từ đó: DC = BC – BD = 15 – 6,4 = 8,6 cm b) Xét ∆ABC ∆EDC µ = 900 , C µ chung => ∆ABC có: µA = E ∆EDC (g.g) DE DC = c) ∆ABC ∆EDC => AB BC AB.DC 9.8, => DE = = = 5, 2cm BC 15 d) S ABD = AH BD S ABD = AH DC AH BD S ABD BD = = = => S ADC AH DC DC a) Vì AD phân giác µA => Trang 199 0,5 1 0,25 0,25 1,5 0,75 0,75 0,25 0,25 TOÁN HỌC LỚP CHƯƠNG IV: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG- HÌNH CHĨP ĐỀU HÌNH HỘP CHỮ NHẬT Hình hộp chữ nhật có mặt hình chữ nhật, đỉnh 12 cạnh chia thành nhóm, nhóm có cạnh  Hai mặt hình hộp chữ nhật khơng có cạnh chung gọi hai mặt đối diện  Hình lập phương hình hộp chữ nhật có mặt hình vng  Trong khơng gian hai đường thẳng phân biệt chúng nằm mặt phẳng khơng có điểm chung gọi hai đường thẳng song song  Trong không gian hai đường thẳng a, b chúng : 1) Cắt nhau;  2) Song song; 3) Trùng nhau; 4) Không nằm chung mặt phẳng nào, gọi hai đường thẳng chéo  Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng chúng khơng có điểm chung  Nếu đường thẳng a khơng nằm mặt phẳng song song đường thẳng b nằm mặt phẳng đường thẳng a song song với mặt phẳng  Nếu hai mặt phẳng song song chúng khơng có điểm chung  Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng đường thẳng vng góc với mặt phẳng  Thể tích hình lập phương tích ba kích thước : V = a.b.c  Thể tích hình hộp chữ nhật lập phương cạnh : V = a Ví dụ : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ hình vẽ a) Hãy kể tên đỉnh, cạnh, cặp mặt đối diện b) Hãy đường thẳng cắt đường thẳng AB, song song với đường thẳng CD, chéo với đường thẳng AA’ c) Mặt phẳng song song với đường thẳng AB d) Đường thẳng song song với mặt phẳng (ABCD) e) Mặt phẳng song song với mặt phẳng (AA’D’D) f) Mặt phẳng vng góc với đường thẳng CD g) Đường thẳng vng góc với mặt phẳng (BB’C’C) h) Chứng minh AC '2 = AB + AD + AA '2 , ( hình hộp chữ nhật bình phương đường chéo tổng bình phương ba kích thước ) Bài giải a) Các đỉnh hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ A, B, C, D; A’, B’, C’, D’ Các cạnh AB, CD, A’B’, C’D’ AD, BC, B’C’, A’D’ AA’, BB’, CC’, DD’ Các cặp mặt đối diện : (ABCD) (A’B’C’D’); (ADD’A’) (BCC’B’); (ABB’A’) (DCC’D’) b) Những đường thẳng cắt đường thẳng AB đường thẳng AA’, đường thẳng AD Những đường thẳng song song với đường thẳng CD đường thẳng AB, A’B’, C’D’ Những đường thẳng chéo với đường thẳng AA’ đường thẳng BC, CD, B’C’, C’D’ c) Song song với đường thẳng AB mặt phẳng (CDD’C’); (A’B’C’D’) d) Song song với mặt phẳng (ABCD) đường thẳng A’B’, C’D’, A’D’, B’C’ e) Song song với mặt phẳng (AA’D’D) mặt phẳng (BB’C’C) f) Vng góc với đường thẳng CD mặt phẳng (ADD’A’); (BCC’B’) g) Vng góc với mặt phẳng (BB’C’C) đường thẳng AB, CD, A’B’, C’D’ h) Do ABCD.A’B’C’D’ hình chữ nhật nên ABCD hình chữ nhật, theo định lý Pitago ta có : AC = AD + DC = AD + AB , (1) Trang 200 TOÁN HỌC LỚP Do CC ' ⊥ ( ABCD ) nên ∆ACC’ vuông C Áp dụng định lý Pitago lần ta có : AC '2 = AC + CC '2 , CC ' = AA ' nên AC '2 = AB + AD + AA '2 A' D' B' C' D A B HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG Các mặt bên hình chữ nhật Các cạnh bên song song Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song với nhau, hai đáy hai đa giác Diện tích xung quanh lăng trụ đứng chu vi đáy nhân với chiều cao :    C S xq = p.h p nửa chu vi, h chiều cao lăng trụ  Thể tích lăng trụ đứng diện tích đáy nhân với chiều cao : V = S h , S diện tích đáy, h chiều cao lăng trụ đứng HÌNH CHĨP ĐỀU Những mặt bên tam giác cân có chung đỉnh  Mặt đáy đa giác  Đường thẳng qua đỉnh vng góc với đáy gọi đường cao Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy  Đường cao mặt bên gọi trung đoạn, trung đoạn  Diện tích xung quanh chóp tích nửa chu vi đáy nhân  với trung đoạn : S xq = p.d , p nửa chu vi, d trung đoạn chóp  Thể tích chóp 1 diện tích đáy nhân với chiều cao : V = S h , 3 S diện tích đáy, h chiều cao chóp Ví dụ : Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình chóp tứ giác có cạnh bên b, cạnh đáy a Áp dụng cho a = 20, ( cm ) b = 24, ( cm ) Bài giải Giả sử S.ABCD hình chóp tứ giác SA = SB = SC = SD = b ABCD hình vng a cạnh a Diện tích : S = a Gọi M trung điểm AB ta có : MA = 2 ¶ = 900 , SA = b , MA = a nên d = SA2 − MA2 = b −  a  = b − a Xét ∆SAM có M  ÷ 2 a2 Diện tích xung quanh hình chóp : S xq = 4.S SAB = AB.SM = 2.a b − Trang 201 TOÁN HỌC LỚP Diện tích tồn phần hình chóp : Stp = S xq + S d = 2.a b − a2 + a2 Gọi H chân đường cao chóp ⇒ H tâm hình vng ABCD cạnh a ⇒ HM = µ = 900 , SM = d = b − a , HM = a nên : Xét ∆SHM có H  a2 h = SH = SM − HM =  b −     a 2 a2 ÷ −  ÷ = b2 − ÷ 2  1 a2 Thể tích chóp : V = S ABCD h = a b − 3 Áp dụng cho a = 20, ( cm ) b = 24, ( cm ) 2 Diện tích đáy : S = a = 20 = 400, ( cm ) Trung đoạn : d = b − a2 20 = 242 − = 242 − 52 = 19.29 4 a2 202 = 2.20 242 − = 40 19.29 4 Diện tích tồn phần hình chóp : Stp = S xq + S d = 40 19.29 + 400 Diện tích xung quanh hình chóp : S xq = 2.a b − h = b2 − a2 202 = 242 − = 242 − 200 = 376 2 a2 202 400 Thể tích chóp : V = a b − = 20 242 − = 376 3 Trang 202 a ... b) 716 – 8( 78 + 1)(74 + 1)(72 + 1) Ta có: 716 – = ( 78) 2 – = ( 78 + 1)( 78 – 1) = ( 78 + 1)(74 + 1)(74 – 1) = ( 78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(72 – 1) = ( 78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(7 + 1)(7 – 1) = =( 78 + 1)(74... (x2 + 6x + 3x + 18) (x2 + 4x + 5x + 20) + = (x2 + 9x + 18) (x2 + 9x + 18 + 2) + = (x2 + 9x + 18) 2 + 2(x2 + 9x + 18) .1 + 12 = (x2 + 9x + 18 + 1)2 = (x2 + 9x + 19)2 2 e) x + y + 2x + 2y + 2(x + 1)(y... phương pháp thêm bớt hạng tử) a) x4 + 64 = (x2)2 + 82 + 2.x2 .8 – 16x2 = (x2 + 8) 2 – 16x2 = (x2 + – 4x)(x2 + + 4x) = (x2 – 4x + 8) (x2 + 4x + 8) b) x5 + x4 + = (x5 + x4 + x3) – (x3 – 1) = x3(x2