Đề cương bài giảng – toán học 2

Phần I: Cấu trúc đại số Chương I: Nhóm Phép tốn hai ngơi ( tiết) A Mục tiêu: Kiến thức: Sinh viên phải nắm vững: Định nghĩa phép tốn hai ngơi, tính chất, phần tử đặc biệt phép tốn hai ngơi.Bộ phận ổn định, phép tốn cảm sinh Kỹ năng: Biết kiểm tra tập hợp phép toán đƣợc học trƣờng phổ thơng có phải phép tốn hai ngơi khơng phép tốn hai ngơi tính chất , phần tử đặc biệt phép tốn Thái độ: - Có thái độ nghiêm túc với mơn học - Có liên hệ với thực tế chƣơng trình mơn Tốn Tiểu học B Chuẩn bị: 1.Giảng viên: Kế hoạch giảng dạy, đề cƣơng chi tiết học phần, đề cƣơng giảng - Tài liệu chính: [1] Đậu Thế Cấp – Cấu trúc đại số - NXBGD, 2009 - Tài liệu tham khảo : [2] Trần Diên NXBĐ SP, 2007 iển tác giả – ác t p h p [3] Nguy n Thuận - Nguy n Mạnh Trinh - i – NXBGD& - NXBGD, 1999 Người học: Vở ghi, bút viết, đề cƣơng chi tiết học phần, đề cƣơng giảng tài liệu học tập nhƣ C.Nội dung: 1.Định nghĩa ví dụ : a Định nghĩa : Cho X tập hợp Một phép toán hai X ánh xạ T: X x X  X  x, y  xTy Phần tử xTy  X gọi hợp thành hay gọi kết phép tốn T thực hai phần tử x y Phép tốn hai ngơi gọi tắt phép tốn Nhƣ vậy, phép tốn hai ngơi T tập X qui tắc đặt tƣơng ứng cặp phần tử (x,y) thuộc tập X x X phần tử xác định xTy thuộc X Thay cho kí hiệu T ta viết kí hiệu khác nhƣ +, , ,  ,… x + y đƣợc đọc x cộng y kết gọi tổng x y x.y (hay xy) đƣợc đọc x nhân y kết gọi tích x y b Ví dụ: 1) Phép cộng thơng thƣờng số phép tốn hai tập N, Z, Q, R 2) Phép nhân thơng thƣờng số phép tốn hai ngơi tập N, Z, Q, R 3) Phép chia thơng thƣờng số phép tốn hai ngơi tập Q* , R* nhƣng phép tốn hai ngơi N,  3,5  N  N nhƣng 3:5∉ N * 4) Cho tập N số tự nhiên khác ánh xạ * * *: N × N → N (a, b) * a * b = ab phép tốn hai ngơi tập số tự nhiên khác 5) Phép trừ phép tốn hai ngơi Z ta có ánh xạ ( -) : Z x Z → Z (a,b) a–b Tuy nhiên, phép trừ phép tốn hai ngơi tập số tự nhiên N,  3,5  N  N nhƣng – ∉ N 2.Các tính chất đặc biệt phép tốn hai ngơi a)Tính chất kết hợp: Cho T phép tốn hai ngơi tập X Phép tốn T gọi có tính chất kết hợp a, b, c  X :  aTb  Tc  aT  bTc  b)Tính chất giao hốn: Phép tốn T gọi có tính chất giao hốn a, b  X : aTb  bTa Ví dụ: a Phép cộng phép nhân số tự nhiên có tính chất giao hốn kết hợp Thật vậy:  a,b,c  N ta có: a + b = b + a (tính chất giao hốn phép cộng) a.b=b.a (tính chất giao hốn phép nhân) (a + b) + c = a + (b + c) (tính chất kết hợp phép cộng) ( a.b).c = a (b.c) (tính chất kết hợp phép nhân) b Phép cộng phép nhân thông thƣờng số Z, Q, R có tính chất giao hốn kết hợp c Phép trừ số ngun khơng có tính chất giao hốn kết hợp Chẳng hạn -2  – (1 – 2) –  – (2 – 3) d Phép lũy thừa N* khơng có tính chất giao hốn kết hợp Chẳng hạn 12  (23 )4  2(3 ) Các phần tử đặc biệt phép tốn hai ngơi a) Phần tử trung hòa: * Định nghĩa: cho T phép tốn hai ngơi X Phần tử e' X ( e”  X ) gọi phần tử trung hòa bên trái (phải) phép toán T nều với x  X e' T x = x ( x T e” = x ) Phần tử e gọi phần tử trung hòa phép toán T e vừa phần tử trung hòa bên trái vừa phần tử trung hòa bên phải, tức với x  X eTx=xTe=x * Định lí: Cho T phép tốn hai ngơi X Khi e’ phần tử trung hòa bên trái e” phần tử trung hòa bên phải T e’ = e” Chứng minh: Do e’ phần tử trung hòa bên trái nên e’T e” = e” Do e” phần tử trung hòa bên phải nên e’T e” = e’ Từ hai đẳng thức suy e’ = e” Hệ quả: Phần tử trung hòa phép tốn T, có, * Ví dụ - Số phần tử trung hòa phép cộng thông thƣờng N, Z, Q, R - Số phần tử trung hòa phép nhân thơng thƣờng N, Z, Q, R - phần tử trung hòa bên phải phép trừ Z, nhƣng khơng phần tử trung hòa bên trái b) Phần tử đối xứng: *Định nghĩa : Cho T phép tốn hai ngơi X có phần tử trung hòa e, x  X Phần tử x’ X ( x”  X) đƣợc gọi phần tử đối xứng bên trái ( phải) x x’ T x = e ( x T x” = e) Phần tử x’ đƣợc gọi phần tử đối xứng x x’ vừa phần tử đối xứng bên trái vừa phần tử đối xứng bên phải x, tức x ’ T x = x T x’ = e Nếu x có phần tử đối xứng x gọi phần tử khả đối xứng * Định lí: Nếu phép tốn T X kết hợp, x ’ phần tử đối xứng bên trái x, x” phần tử đối xứng bên phải x x’ = x” Chứng minh: Theo định nghĩa: x’T x = e xTx” = e ( e phần tử trung hòa T) Theo giả thiết ta có x ’ = x ’T e = x’T (x T x”) = (x’T x)T x” = e T x” = x” Vậy x’ = x” * Hệ quả: Nếu phép tốn T kết hợp phần tử đối xứng phần tử có Ví dụ: - e phần tử trung hòa phép tốn T e phần tử đối xứng eTe  e - Đối với phép cộng Z, Q, R, phần tử x có phần tử đối xứng -x - Đối với phép nhân Q*, R*, phần tử x có phần tử nghịch đảo x-1 - Đối với phép cộng số tự nhiên có phần tử có phần tử đối xứng Phần tử đối xứng - Đối với phép nhân số tự nhiên, có có phần tử đối xứng Phần tử đối xứng - Đối với phép nhân số ngun chí có -1 có phần tử đối xứng Z Phần tử đối xứng 1; phần tử đối xứng -1 -1 c Vài quy ƣớc cách gọi: Nếu phép toán X phép cộng (+) phần tử trung hòa thƣờng gọi phần tử khơng, kí hiệu 0x 0; phần tử đối xứng x gọi phần tử đối x, kí hiệu –x Nếu phép tốn X phép nhân (.) phần tử trung hòa thƣờng gọi phần tử đơn vị, kí hiệu 1x 1; phần tử khả đối xứng gọi phần tử khả nghịch, phần tử đối xứng x gọi phần tử nghịch đảo x, kí hiệu x -1 Cũng nhƣ với phép nhân số thông thƣờng dấu (.) thƣờng đƣợc bỏ Tập ổn định, phép toán cảm sinh a.Định nghĩa: Cho T phép tốn hai ngơi tập X A tập X A đƣợc gọi tập ổn định ( phận ổn định) phép toán T với x, y  A ta có xTy  A Phép tốn T định nghĩa gọi phép toán ổn định A Nếu phép tốn T ổn định A T: AxA  A, T(x,y) = xTy ánh xạ, phép tốn Trên A Phép toán tập A đƣợc gọi phép toán cảm sinh phép toán T X b Ví dụ: Tập hợp số tự nhiên chẵn tập ổn định tập số tự nhiên phép cộng phép nhân Thật vậy: Kí hiệu 2N = 2a / a  N  tập số tự nhiên chẵn 2N  N số tự nhiên chẵn số tự nhiên  2a,2b  2N ; a,b  N, ta có 2a + 2b = 2(a+b) = 2t  2N 2a.2b = 2(2ab) = 2q  2N Vậy tập số tự nhiên chẵn tập ổn định tập số tự nhiên phép cộng phép nhân Tập số tự nhiên tập ổn định của tập số nguyên Z phép cộng phép nhân Nhƣng khơng ổn định phép trừ Tập số nguyên lẻ tập ổn định tập số nguyên phép nhân nhƣng không tập ổn định phép cộng Phép cộng số tự nhiên chẵn phép toán cảm sinh phép cộng số tự nhiên Phép cộng số tự nhiên, phép cộng số nguyên chẵn phép toán phép toán cảm sinh phép cộng số nguyên D Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận: 1.Thế phép toán hai ngơi ? Liên hệ xem phép tốn cộng, trừ, nhân, chia tập N, Z, Q, Q * phép tốn phép tốn hai ngơi, phép tốn  khơng phép tốn hai ngơi Nếu phép tốn hai ngơi tính chất tìm phẩn tử đặc biệt phép tốn D: Xét phép tốn: cộng, trừ, nhân, chia Tập Z - Phép cộng, trừ, nhân phép tốn hai ngơi ta có ánh xạ chẳng hạn: (-) : ZxZ  Z (a,b) a-b Phép chia khơng phép tốn hai ngơi 3,4  Z nhƣng (3:4)  Z - Phép cộng, phép nhân có tính chất giao hốn kết hợp Phần tử trung hòa phép cộng 0, phép nhân - Phép trừ khơng có tính chất giao hốn, khơng có tính chất kết hợp khơng có phần tử trung hòa - Đối với phép cộng a  Z có phần tử đối xứng -a Z Đối với phép nhân có -1 có phần tử đối xứng, phần tử đối xứng 1là 1, -1 -1 Các tập 1, 2, 3, 4, 5, trang 17 [2] 1.1, 1.2 [1] Bài tập ( tiết) A Mục tiêu: Kiến thức: Giải tập phép toán hai ngơi iểu rõ phép tốn dạy cho học sinh tiểu học phép tốn hai ngơi, phép tốn khơng phép tốn hai ngơi Kỹ năng: - Kiểm tra tập hợp phép tốn tập hợp phép tốn hai ngơi ; kĩ xét tính chất phần tử đặc biệt phép tốn hai ngơi; kĩ xét tập ổn định tập hợp phép toán - Rèn kỹ giải toán Thái độ: - Giáo dục đức tính cẩn thận, u thích mơn học có liên hệ với thực tế chƣơng trình Tốn Tiểu học B Chuẩn bị: 1.Giảng viên: Kế hoạch giảng dạy, đề cƣơng chi tiết học phần, đề cƣơng giảng, tài liệu giảng dạy - Tài liệu chính: [1] Đậu Thế Cấp – Cấu trúc đại số - NXBGD, 2009 - Tài liệu tham khảo : [2] Trần Diên NXBĐ SP, 2007 iển tác giả – ác t p h p [3] Nguy n Thuận - Nguy n Mạnh Trinh - i – NXBGD& - NXBGD, 1999 Người học: Vở ghi, bút viết, đề cƣơng chi tiết học phần, đề cƣơng giảng tài liệu học tập nhƣ C.Nội dung: Bài 1: Cho tập hợp: N, Z, Q, Q *  a) Xét phép toán cộng, trừ, nhân, chia có phải phép tốn hai ngơi chúng không ? * + Phép cộng, nhân phép tốn hai ngơi N, Z, Q, Q … * + Phép trừ khơng phép tốn hai ngơi N, Q  * *    ;  Q :   Q  2  2  + Phép trừ phép tốn hai ngơi Z, Q * + Phép chia phép tốn hai ngơi Q ( khơng phép tốn hai ngơi N, Z ,Q 1,0  Q mà 1:  Q b) Nếu phép tốn hai ngơi có tính chất gì? Những phần tử đặc biệt ? * + Phép cộng có tính chất kết hợp, giao hoán tập N, Z, Q, Q ; có * phần tử trung lập 0.(trừ Q ) * + Phép nhân có tính chất kết hợp, giao hốn tập N, Z, Q, Q ; có phần tử trung lập + Phép trừ Z, Q khơng có tính chất kết hợp, khơng có tính chất giao hốn ; khơng có phần tử trung lập * + Phép chia Q khơng có tính chất giao hốn, kết hợp; khơng có phần tử trung lập Bài 2: + Phép  có tính chất giao hoán, kết hợp  1  1        1 = 2 = + Có phần tử trung lập  0X      1;0     2, + có phần tử đối xứng  0X  000 Tƣơng tự: có phần tử đối xứng 2, có phần tử đối xứng Bài + Phép tốn * có tính chất kết hợp (a  b)  c  a  c  a a  (b  c)  a  b  a  ( a  b)  c  a  ( b  c ) + Phép tốn * khơng có tính chất giao hốn a, b  Y mà a*b = a b*a = b nên a*b  b*a + Y khơng có phần tử trung lập phép toán * Bài : Cho phép toán T : N*  N*  N*  a, b  ab + T khơng có tính chất giao hốn 2,3,4  N* nhƣng  T3 T  23 T  23.4  212 T  3T   T34  T81  81   T  T  T  3T  + Trong N* không tồn phần tử trung hòa GS e phần tử trung hòa e aTe  a a  a  a  không tồn e  N* Với a  N ta có  eTa  a e  a * Bài a) Cho quy tắc x, y  R x*y= x + y + xy + * phép tốn hai ngơi ta có ánh xạ: R R  R x  y  xy ( x, y) + T có tính chất giao hốn : x, y  R : x  y  x  y  xy  y  x  yx  y * x + T có tính chất kết hợp: x, y, z  R ( x * y )* z  ( x  y  xy )* z  ( x  y  xy )  z  ( x  y  xy ) z (1)  x  y  xy  z  xz  yz  xyz x *( y * z )  x *( y  z  yz )  x  y  z  yz  x( y  z  yz )  x  y  z  yz  xy  xz  xyz (2) Từ &2 suy ( x * y)* z  x *( y * z) b) Xét quy tắc m  n  m  2n, m, n  N + CM  phép tốn ngơi N +  khơng có tính chất giao hốn +  khơng có tính chất kết hợp c) Cho quy tắc a  b  a  b  ba, a, b  Q \ 1 ++ CM  phép tốn ngơi Q \ 1 +  có tính chất giao hốn +  có tính chất kết hợp Bài - Đặt A  2a / a  Z  tập số nguyên chẵn iển nhiên A  Z 2a,2b  A 2a  2b  2(a  b)  2t  A 2a.2b  2(2ab)  2q  A Vậy tập số nguyên chẵn tập ổn định tập số nguyên phép cộng phép nhân - Chứng minh tƣơng tự với tập số nguyên lẻ 10 [3]Trần Diên iển tác giả – Giáo trình Lý thuyết số - NXBGD, 1997 - Tài liệu tham khảo : [5] Nguy n Tiến Tài( chủ biên) – Toán – NXBGD, 1999 Người học: Vở ghi, bút viết, đề cƣơng chi tiết học phần, đề cƣơng giảng tài liệu học tập nhƣ C Nội dung: Bài 1: Cho a, b N Chứng minh: a) a + b = a = b = 0; b) ab = a = b = c) ab = a = b = Giải: a) Rõ ràng a = b = a + b = Đảo lại, a + b = 0, giả sử a = |A|, b = |B| A  B =  , A B tập hợp hữu hạn Khi a + b = |A  B| = Suy A  B =   A = B =  hay a = b = b)Nếu a =0 b = thi ab = Đảo lại, ab = 0, giả sử a = |A|, b = |B| , A B tập hợp hữu hạn Khi ab = |A x B| =  A x B =   A =  B =  hay a = b = c) Nếu a = b = ab =1 Đảo lại, ab = 1, giả sử a = |A|, b = |B|, = ab = | AxB|  A = B = Tức a = b = Bài 2: CM tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho cho Gọi tích số tự nhiên liên tiếp A= a(a+1) (a+2), a  N  CM A Ta biểu di n a = 3q + r,  r   r   a  3q  A  r   a  3q   a   3q  3  A  r   a  3q   a   3q  3  A  CM A Trong số tự nhiên liên tiếp có số chẵn  A Theo ta CM đƣợc A mà (2,3) =  A  2.3  A Bài 3: CM 11 số tự nhiên có hai số mà hiệu chúng chia hết cho 10 CM 75 Giả sử a1 , a2 , , a11 11 số tự nhiên Chia ai, i= 1, 2, …,11 cho 10 ta đƣợc  10qi  ri ;  ri  10, i=1,11 Có 11 số dƣ r1 , r2 , , r11 nhận 10 giá trị từ 0, 1, 2,…,9  có số dƣ Giả sử rk , rj : rk = rj  ak  a j  10  qk  q j  10 Bài 4: CM hai số chẵn liên tiếp có số chia hết cho Giải GS hai số chẵn liên tiếp 2k, 2k+2, k  Z Xảy T sau: 2 k  l T 1: k chẵn ( k=2l)   2 k   l  2k   2l  1  4l   T 2: k lẻ ( k= 2l+1)    2k   2(2l  1)   4l  4 Vậy hai số chẵn liên tiếp có số chia hết cho Bài 5: CM tích số chẵn liên tiếp chia hết cho CM GS hai số chẵn liên tiếp 2k, 2k+2, k  Z Xảy T sau: 2 k  l T 1: k chẵn ( k=2l)   2 k   l  2  2k   2l  1  4l  2 T 2: k lẻ ( k= 2l+1)    2k   2(2l  1)   4l  4 Vậy tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Bài 6: Cho n số tự nhiên Chứng minh: a) UCLN(3n + 1, 2n + 1) = b) UCLN(21n + 4, 14n + 3) = Giải: b) + Nếu n = UCLN (21n + 4, 14n + 3) = UCLN (4,3) = + Nếu n > 0, Dùng thuật toán Ơclit: 21n + = (14n + 3) 1+ 7n + 14n + = (7n+1) 2+1 7n + = (7n + 1) Vậy UCLN(21n + 4, 14n + 3) = 76 Bài 7: Tìm ƢCLN, BCNN cặp số tự nhiên a b sau 1) a = 300, b = 210; 2) a = 310, b = 2100; 3) a = 3465, b = 875; Giải Cách 1: Dùng thuật toán Ơcơlit ƢCLN(a;b) = số dƣ khác cuối thuật toán Ơclit 300 210 210 90 90 30 Vậy ƢCLN(300,210) = 30; BCNN(300,210) = 300.210 =2100; UCLN  300,210  Cách 2: Dựa vào ứng dụng định lí Ta có 300 = 22.3.52 210 = 2.3.5.7 ƢCLN(300,210) = 2.3.5 BCNN(300,210) =22.3.52.7=2100 Bài 8: Tìm tất cặp số tự nhiên a, b thoả mãn điều kiện sau: a) UCLN(a,b) = 15 BCNN(a,b) = 2145 b) UCLN(a,b) = 15 BCNN(a,b) = 2835 Giải: a) Giả sử a, b  N: a b = 8400 UCLN(a,b) = 20 a = 20a1, b = 20b1 UCLN(a1,b1) = (1) Suy 400a1 b1 = 8400 hay a1 b1 = 21 (2) Có thể giả thiết a1  b1 Khi từ (1)& (2) suy a1 = b1 = 21 a1 = b1 = Vậy a = 20 b = 420 a = 60 b = 140 b) Giả sử a, b  N: UCLN(a,b) = 15, BCNN(a,b) = 2145, < a  b Ta có a = 15a1, b = 15b1 UCLN(a1,b1) = Khi 2145 = BCNN(15a1,15b1) = 15 BCNN(a1,b1) = 15a1b1 Suy a1b1 = 143 = 11.13 Do UCLN(a1,b1) = nên a1 = b1 = 143 77 a1 = 11 b1 = 13 a = 15 b = 2145 a = 165 b = 195 Bài 9: Cho n số tự nhiên lớn Chứng tỏ số có dạng sau hợp số a) n4 + b) n4 + 3n2 + c) n4 + n2 + Giải: Ta có: a) Do n số tự nhiên lớn nên số tự nhiên lớn tích hai số tự nhiên lớn nên hợp số Ta có: b) Do n số tự nhiên lớn nên số tự nhiên lớn tích hai số tự nhiên lớn nên hợp số Bài 10 : Biểu di n số sau hệ số 5: a) 3656 b) 435218 HD KQ: + = 1364 + 1364 = + = = 18257 + 18257 = Vậy = Bài 11: Trong hệ ghi số số thì: a) Số 63 đƣợc viết 77 g b) Số 32 đƣợc viết 44 g c) Số đƣợc viết 1000 g Giải: a) 77 g = 7g + Theo đề bài: 7g + = 63  7g = 56  g = Vậy 63 = 778 78 b) 44 g = 4g +4 Theo đè ta có: 4g +4 = 32  4g = 28  g = Vậy 32 = 447 c) tƣơng tự ta có = 23  = 10002 Bài 12: Tính: 467534 + 656475 6543210 - 656437 54352  345 Giải:  467534 656475 Vậy 4675348  6564758  13462318 1346231  6543210 656437 Vậy 65432108  6564378  56645518 5664551  54352 345 445124 Vậy 54352  345 = 335504446 350332 251540 33550444 D Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận: - Xem lại tập chữa - Làm tập lại cho - Đọc trƣớc: Tập hợp số hữu tỉ không âm tập số thập phân không âm 79 Chương IV: Số hữu tỉ không âm Tập hợp số hữu tỉ không âm Tập số thập phân không âm Bài tập (4 tiết:3,1) A Mục tiêu: Kiến thức: Giúp SV hiểu đƣợc - Sự cần thiết phải xây dựng tập số hữu tỉ không âm, xây dựng tập số hữu tỉ không âm, phép tốn tập số hữu tỉ khơng âm, quan hệ thứ tự tập số hữu tỉ không âm, phân số chƣơng trình mơn tốn trƣờng Tiểu học - Phân số thập phân, phép toán tập số thập phân không âm, quan hệ thứ tự tên tập số thập phân không âm, số thập phân chƣơng trình mơn tốn trƣờng Tiểu học - Giải tập phân số số thập phân Kỹ năng: - Có kĩ cộng, trừ, nhân chia số hữu tỉ không âm cộng, trừ, nhân, chia số thập phân khơng âm - Có kĩ giải tập phân số số thập phân Thái độ: Chủ động tìm tòi khám phá phát sở toán học việc dạy học phân số số thập phân tiểu học B Chuẩn bị: Giảng viên: Kế hoạch dạy học, đề cƣơng ci tiết học phần, đề cƣơng giảng - Tài liệu chính: [2] Trần Diên NXBĐ SP, 2007 [3]Trần Diên iển tác giả – ác t p h p – NXBGD& iển tác giả – Giáo trình Lý thuyết số - NXBGD, 1997 - Tài liệu tham khảo : [5] Nguy n Tiến Tài( chủ biên) – Toán – NXBGD, 1999 Người học: Vở ghi, bút viết, đề cƣơng chi tiết P, đề cƣơng BGvà tài liệu học tập nhƣ C Nội dung: I Tập hợp số hữu tỉ không âm: 80 Sự cần thiết phải xây dựng tập số hữu tỉ không âm Nhƣ biết, tổng tích hai số tự nhiên số tự nhiên Trong đó, thƣơng hai số tự nhiên lúc số tự nhiên Chẳng hạn 4: 17 : 9, Trong thực tế, tập số tự nhiên không đủ để biểu di n số đo nhiều phép đo đại lƣợng Chẳng hạn, chia cam cho ngƣời số cam ngƣời đƣợc chia biểu di n số tự nhiên đo chiều dài lớp học đƣợc 6m2dm5cm dùng đơn vị mét khơng thể biểu di n số đo số tự nhiên Về phƣơng diện tốn học, nhiều tính chất phép cộng, trừ, nhân, chia phân số số thập phân đƣợc đƣa vào mơn Tốn trƣờng phổ thông hầu hết công nhận chƣa đƣợc chứng minh chặt chẽ Trong chƣơng này, ta nghiên cứu phƣơng pháp mở rộng tập hợp số tự nhiên với phép toán quan hệ chúng để khắc phục hạn chế nêu 2.Xây dựng tập hợp số hữu tỉ không âm ĐN: Mỗi cặp thứ tự (a,b) a  N b  N* ta gọi phân số không âm (hay phân số) Tập tất phân số kí hiệu P Nhƣ P = N x N* a Kí hiệu: b để phân số (a,b), a tử số, b mẫu số phân số a Nhƣ P =  với a N b  N*  b Trên tập P, ta ĐN quan hệ "e" nhƣ sau: a c a c Với b ; d  P, ta nói phân số b tƣơng đƣơng với phân số d a c Kí hiệu: b e d  ad = bc VD: a, e 1x18 = 3x6 (=18) 18 b, e 2x6  3x5 Từ ĐN ta có: a a - Rõ ràng e hay quan hệ "e" có tính chất phản xạ (1) b b a c c a - Nếu e ad = bc => cb = da Vậy e => Quan hệ e có tính chất b d d b đối xứng (2) 81 a c c m e e b d d n Từ ĐN ta có ad = bc cn = dm Nhân vế đẳng thức thứ với n ta có adn = bcn; đẳng thức thứ với b đƣợc bcn = bdm Từ suy adn = bdm hay an = bm a m Vậy e => Quan hệ e có tính chất Bắc cầu (3) b n Từ (1),(2),(3) Suy e quan hệ tƣơng đƣơng xác định tập phân số P Ta phân chia tập P theo quan hệ tƣơng đƣơng e nhận đƣợc tập thƣơng P e P Ta gọi tập thƣơng tập số hữu tỉ khơng âm, kí hiệu Q+ e Mỗi phần tử tập Q+ ta gọi số hữu tỉ không âm (hay số hữu tỉ) Giả sử r  Q+ Nhƣ r xác định lớp phân số tƣơng đƣơng với a a a m m phân số đó, tức r = c( ) hay r =   P   b b b n n a Một phân số thuộc lớp c( ) ta gọi đại diện phân số hữu tỉ r b a a Mỗi số hữu tỉ r = c( ) lớp phân số phân số cho trƣớc b b Chẳng hạn: 1 C( ) =  ; ; ; ;  2 3 12 C( ) =  ; ; ; ;  4 12 16 a a Kí hiệu: để số hữu tỉ r = c( ) b b 1 Chẳng hạn: Kí hiệu để số hữu tỉ r = c( ) 2 7 Kí hiệu để số hữu tỉ r = c( ) 9 Mỗi số hữu tỉ khơng âm có phân số đại diện phân số tối giản Khi nói đến phân số đại diện số hữu tỉ ta thƣờng hiểu phân số tối giản nói a Mỗi số tự nhiên a biểu di n dƣới dạng phân số - Nếu 82 Vì số tự nhiên a xác định! số hữu tỉ r có phân số đại diện a Thành thử N coi phận Q+ Quy ƣớc: Số hữu tỉ xác định c( ) 1 xác định c( ) 1 Các phép toán tập hợp số hữu tỉ không âm a.Phép cộng phép nhân a c - ĐN: Cho số hữu tỉ r s có phân số đại diện tƣơng ứng b d Ta gọi: +) Tổng hai số hữu tỉ r s số hữu tỉ t , kí hiệu t = r + s, ad  bc số hữu tỉ t có phân số đại diện bd a ad  bc c hay c( ) + c( ) = c( ) b bd d Phép toán gọi phép cộng số hữu tỉ không âm, r s gọi số hạng, t gọi tổng +) Tích số hữu tỉ r s số hữu tỉ p, kí hiệu p=r x s (hoặc r.s rs) ac a ac c Trong số p có phân số đại diện hay c( ) x c( ) = c( ) phép toán bd b bd d gọi phép nhân số hữu tỉ không âm, r,s thừa số, p tích 25 - VD: Cho r = s = 15 12 25 12  25 15 423 157 Ta có r + s = + = = = 15 12 15 12 180 60 25 100  r.s = =  15 12 180 b Phép trừ phép chia * Phép trừ a c ĐN: Cho hai số hữu tỉ r s có phân số đại diện tƣơng ứng b d Ta gọi hiệu số hữu tỉ r trừ s số hữu tỉ u ( kí hiệu u = r – s) u ad  bc số hữu tỉ có phân số đại diện ; ad – cb số tự nhiên bd Quy tắc cho tƣơng ứng với cặp số hữu tỉ r s với số hữu tỉ u 83 nói ta gọi phép trừ số hữu tỉ khơng âm r số bị trừ, s số trừ u hiệu số VD: Cho r = ; s  Ta có: 11   11 44 r–s= = s – r khơng thực đƣợc 11 77 x 11 – x số tự nhiên * Phép chia ĐN: Cho r s số hữu tỉ khơng âm, s  Ta gọi thƣơng số hữu tỉ r chia cho s số hữu tỉ q, kí hiệu r : s = q, thỏa mãn điều kiện q x s = r Quy tắc cho tƣơng ứng cặp số hữu tỉ r s với số hữu tỉ q nói ta gọi phép chia số hữu tỉ khơng âm, r số bị chia, s số chia, q thƣơng số VD: 20 Tìm thƣơng r chia cho s biết r = s = 15 15 20 15 25 Ta có s-1 có phân số đại diện r : s = x = Nhận xét: Từ kết ta thấy: + Phép cộng phép nhân số hữu tỉ không âm thực đƣợc; + Phép trừ số hữu tỉ không âm thực đƣợc; + Phép chia cho số hữu tỉ khác thự đƣợc Quan hệ thứ tự tập số hữu tỉ không âm a c -ĐN: Cho r s số hữu tỉ khơng âm có phân số đại diện tƣơng b d ứng Ta nói r nhỏ s, kí hiệu r  s ad  bc Ta nói r nhỏ s, kí hiệu r < s, r  s r  s Ta nói r lớn s (vaà iết r  s) s  r; r lớn s (và viết r > s) s < r Các hệ thức r  s r  s ta gọi bất đẳng thức, hệ thức r < s r > s ta gọi bất đẳng thức nghiêm ngặt -VD: c( )  c( ) x 11 < x 11 11 11 c( )  c( ) x > x 5  Định lí: Quan hệ thứ tự tập số hữu tỉ khơng âm thỏa mãn tính chất: 84 + Tính đơn điệu: Nếu ta cộng nhân vế bất đẳng thức với số hữu tỉ khơng âm bất đẳng thức khơng đổi chiều + Tính trù mật: Xen số hữu tỉ khác tồn vô số số hữu tỉ khác chúng + Tiên đề Acsimet: Mọi số hữu tỉ bị chặn số tự nhiên ay số hữu tỉ r, tồn số tự nhiên a cho r < a Phân số chƣơng trình mơn tốn tiểu học Nội dung phân số đƣợc đƣa vào dạy trƣờng tiểu học bao gồm: + ình thành khái niệm phân số; + So sánh phân số; + Bốn phép tốn phân số : gồm hình thành ý nghĩa phép tốn, giới thiệu tính chất quy tắc thực hành bốn phép tính, rèn kĩ thực hành tính tốn phân số + Giải tốn phân số II Tập số thập phân không âm Phân số thập phân - ĐN: Phân số a gọi phân số thập phân, mẫu số b lũy thừa 10 với b số mũ tự nhiên - VD: 11 125 ; ; ; … phân số thập phân 10 100 Trong thực tế có nhiều phân số khơng cho dƣới dạng phân số thập phân nhƣng lại phân số thập phân khác, chẳng hạn: 75 13 325 ;……  ;  ;  100 10 40 1000 Những phân số nhƣ gọi biểu di n đƣợc dƣới dạng thập phân Để phân số tối giản p biểu di n đƣợc dƣới dạng thập phân, điều kiện cần đủ q mẫu số q khơng có ƣớc ngun tố khác Số thập phân không âm - ĐN: Số hữu tỉ không âm r đƣợc gọi số thập phân khơng âm, phân số đại diện biểu di n đƣợc dƣới dạng thập phân ay nói cách khác, số hữu tỉ không âm r đƣợc gọi số thập phân khơng âm có đại diện phân số thập phân Tất số thập phân khơng âm ta kí hiệu Q+10 Phân số tối giản a biểu di n dƣới dạng thập phân mẫu số b b khơng có ƣớc ngun tố khác *Dạng biểu di n thu gọn phân số 85 + 351  3,51 (đọc ba đơn vị nguyên, năm mƣơi mốt phần trăm đơn vị 100 ba phẩy năm mƣơi mốt) +  0.8 (đọc không đơn vị nguyên, tám phần mƣời đơn vị, hay không 10 phẩy tám) Số đứng bên trái dấu phẩy gọi phần nguyên, nhóm chữ số đứng bên phải dấu phẩy gọi phần thập phân số thập phân Các phép tốn số thập phân ( sv tự đọc giáo trình) - Phép cộng số thập phân - Phép trừ số thập phân - Phép nhân số thập phân - Phép chia số thập phân Quan hệ thứ tự tập số thập phân Mỗi số thập phân số hữu tỉ khơng âm Vì vậy, xây dựng quan hệ thứ tự tập Q+10 ta đƣa số hữu tỉ không âm Chẳng hạn: VD: Cho r = 9,63; s = 12,1 Hãy so sánh r s Ta có 9,63 = 963 121 963 121 12,2 = Vì < nên 9,63 < 12,1 100 100 100 100 Quy tắc ( sv tự đọc giáo trình) Số thập phân vơ hạn tuần hồn ( sv tự đọc giáo trình) Số thập phân chƣơng trình mơn tốn tiểu học Số thập phân đƣợc trình bày lớp cuối bậc tiểu học với nội dung: - ình thành khái niệm số thập phân; - So sánh số thập phân; - Bốn phép tính số thập phân gồm: hình thành ý nghĩa phép tốn, giới thiệu tính chất quy tắc thực hành bốn phép tính, rèn kĩ thực hành bốn phép tính; - Giới thiệu quy tắc tính nhẩm; - Giải tốn số thập phân III.Bài tập Bài 1: Không quy đồng mẫu số so sánh phân số sau: 19 26 21 c, 23 11 e, 36 a, 13 31 69 71 27 81 ; ; 48 19 19 d, 17 b, 45 21 137 135 Giải: 86 19 19 19 13 19 13   Vậy > 26 31 31 31 26 31 48 48 48 45 48 45 b, Ta có   Vậy > 19 21 21 21 19 21 69 2 21 69 21 c, Ta có 1= nên <  Vì  71 71 23 71 23 71 23 23 19 137 2 19 137 d, Ta có   Vì  nên  1 > 17 17 135 135 17 135 17 135 11 12 27 11 27 e, Ta có Vậy <    36 36 81 36 81 a, Ta có Bài 2: Tích tử số mẫu số phân số lớn 200, chia tử mẫu cho ta đƣợc phân số tối giản Tìm phân số đó? Giải: Ta có bảng phân tích 200 thành tích cặp số sau: 200 200 100 50 40 25 Các phân số lớn có tích tử mẫu 200 là: 200 100 50 40 25 , , , , Bằng phƣơng pháp thử chọn ta nhận đƣợc phân số cần tìm : 40 Bài Tìm số dƣ phép chia sau: a) 229,03 : 4,2 (nếu lấy hai chữ số phần thập phân thƣơng) b) 4,553 : 44 (nếu lấy bốn chữ số phần thập phân thƣơng) Giải a, Ta thực phép chia đƣợc thƣơng 54,53 số dƣ 0,004 b) Ta thực phép chia đƣợc thƣơng 0.1034 số dƣ 0,0034 Bài Khi cộng số tự nhiên với số thập phân có chữ số phần thập phân, sơ suất, học sinh bỏ quên dấu phẩy số thập phân đặt phép tính nhƣ cộng hai số tự nhiên nên nhận đƣợc kết 1228 TÌm hai số đó, biết kết phép tính 847,3 Giải Kết phép tính tăng là: 1228 – 847,3 = 380,7 Khi bỏ quên dấu phẩy, số thập phân tăng lên gấp 10 lần Ta có sơ đồ sau: 87 STN STP Phép tính 380,7 Phép tính chép nhầm Số thập phân cần tìm là: 10 lần STP 380,7 : (10 – 1) = 42,3 Số tự nhiên cần tìm là: 847,3 – 42,3 = 805 số cần tìm là: 805 42,3 Bài 5: Lãi suất tiết kiệm 0,65% tháng Cô Thủy gửi tiết kiệm 12 000 000 đồng ỏi sau tháng có tất tiền lãi tiền gửi ? Giải: Số tiền lãi Thủy có sau tháng là: 12 000 000 : 100 x 0,65 = 78 000 ( đồng) Số tiền gửi tiền lãi Thủy có là: 12 000 000 + 78 000 = 12 078 000 (đồng) Đáp số: 12 078 000 đồng D Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận: - Làm tập 5,7, trang 141 4, 6, 7, 12, 14 trang 162,163 [2] - Chú ý giải toán tiểu học phép nhân khơng đƣợc sử dụng dấu "." - Ơn tập kiến thức chƣơng I, II, III,IV để chuẩn bị cho thi kết thúc học phần: + Phép tốn hai ngơi ( Định nghĩa, tính chất, phần tử đặc biệt phận ổn định, phép tốn cảm sinh) + Nửa nhóm- Nhóm( định nghĩa, tính chất: Kiểm tra đƣợc tập hợp phép tốn hai ngơi tập hợp cho nhóm nhóm Aben) + Đồng cấu nhóm Nửa nhóm thứ tự + Vành, trƣờng: Kiểm tra đƣợc tập hợp với phép toán tập hợp vành, trƣờng + Vành con, trƣờng con: Lƣu ý kiểm tra đƣợc tập vành(trƣờng) có vành con( trƣờng con) vành (trƣờng) hay khơng + Bản số tập hợp Số tự nhiên( định nghĩa, tính chất phép toán ) + Ƣớc chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, số nguyên tố - hợp số + ệ ghi số g- phân, Thực hành phép tính hệ g-phân, dấu hiệu chia hết 88 89 ... 2xy)z = x + y - 2xy + z – 2xz – 2yz + 4xyz = x + y + z - 2xy – 2xz – 2yz + 4xyz x  (y  z)= x  (y + z – 2yz) = x +(y + z – 2yz) – 2x(y + z – 2yz) = x + y + z – 2yz – 2xy – 2xz + 4xyz Vậy phép... 2N = 2a / a  N  tập số tự nhiên chẵn 2N  N số tự nhiên chẵn số tự nhiên  2a,2b  2N ; a,b  N, ta có 2a + 2b = 2( a+b) = 2t  2N 2a.2b = 2( 2ab) = 2q  2N Vậy tập số tự nhiên chẵn tập ổn định... chất giao hốn +  có tính chất kết hợp Bài - Đặt A  2a / a  Z  tập số nguyên chẵn iển nhiên A  Z 2a,2b  A 2a  2b  2( a  b)  2t  A 2a.2b  2( 2ab)  2q  A Vậy tập số nguyên chẵn tập ổn