de toan OLIMPIC 11 18 quang nam

www.thuvienhoclieu.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI OLIMPIC QUẢNG NAM NĂM 2018 Mơn thi : Thời gian: TỐN Lớp: 11 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) Câu (3,0 điểm)    a Tính tổng nghiệm phương trình: sin x   6cos x đoạn  ;    b Giải phương trình: 3cosx   4cos x  sin3 x Câu (4,0 điểm) a Xét tính tăng giảm bị chặn dãy  un  biết: 1    (n  N*) n 1 n  2n b Cho dãy  un  biết u1  un 1  3un  4n với n  N * un  Tìm số hạng tổng quát dãy  un  Tính lim un un 1 Câu (4,0 điểm) a Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số ( không thiết đôi khác ) thành lập từ chữ số 2,0,1,8 Chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập X Tính xác suất để phần tử chọn số chia hết cho b Trên đường thẳng song song  d , ta gắn vào m điểm n điểm cho m  n  17 ( m, n  N * ) Tìm m , n để số tam giác có đỉnh điểm 17 điểm phân biệt lớn   x  x2 x   Câu (2,0 điểm) Cho hàm số f  x    | x  |  x   Xét tính liên tục hàm số f  x  điểm x  Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn  C  : x  y  x  y   điểm A(3, 1) Gọi I tâm đường tròn  C  M điểm thay đổi  C  cho ba điểm A, M , I không thẳng hàng Tia phân giác góc AIM cắt đường thẳng AM N Gọi  K  tập hợp điểm N M thay đổi  C  Viết phương trình đường  K  Câu (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , BD  a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  SA  a a Tính cosin góc đường thẳng SB AD www.thuvienhoclieu.com Page www.thuvienhoclieu.com b Gọi ( ) mặt phẳng qua A song song với BD cắt cạnh SC M cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) lần khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ) Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng ( ) hình chóp S ABCD ––––––––––– Hết –––––––––––– Họ tên thí sinh: … …………………………………….; Số báo danh: …………………… Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLIMPIC QUẢNG NAM NĂM 2018 QUẢNG NAM Mơn thi: TỐN Lớp : 11 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Đáp án gồm 05 trang () Nội dung Câu Điểm    a Tính tổng nghiệm phương trình: sin x   cos x đoạn  ;    2 sin x   cos x  6s in x  sin x   1  s inx   ; s inx     s inx   ( x [ ,  ] )  x = 2  1  s inx  ( x [ ,  ] )  x = arcsin , x =   arcsin 3   1 5 ,  ]  + arcsin +  arcsin = 3 b/ Giải phương trình: 3cosx 1 = 4cos x  sin3x Tổng nghiệm phương trình [ 3cosx 1 = 4cos3x  sin3x  1 = 4cos3x 3cosx  sin3x  1 = cos3x  sin3x  sin3x  cos3x =1     sin ( 3x  ) =  sin ( 3x  ) = sin 6    5  3x  = + k2 3x  = + k2 ( k  ) 6 6 a Xét tính tăng giảm bị chặn dãy (un) biết un  Ta có: < un = 1   n 1 n  1 1 n       ,  n N* n 1 n  n  2n n   (un) bị chặn 1,5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 1,5 0.25 0.25 0.25 0.25 +0,5  2n 1.5 0,25 + 0,25 0.25 02.5 www.thuvienhoclieu.com Page www.thuvienhoclieu.com 1 1 1 1      (     ) n2 n3 2n 2n  2n  n  n  n  2n 1 1      0 2n  2(n  1) n  2n  2(n  1)  (un) dãy tăng 0.25 b Cho dãy (un) biết u1 = un 1  3un  4n với nN* u Tìm số hạng tổng quát dãy (un) Tính lim n un 1 + Tìm số hạng tổng quát dãy (un) Ta có: un 1  3un  4n (1) 2,5 un 1  un   Tìm số α : un 1   4n 1  3.(un   4n ) (2) (1), (2)   (3.4n  4n 1 )  4n    1  (2) viết lại: un 1  4n 1  3.(un  4n ) Xét dãy (vn) với v1=2, vn+1= 3vn ( n  1) - =un4n Khi = 2 3n1  un4n = 2 3n1  un = 4n 2 3n1 u + Tính lim n un 1 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 un 4n  2.3n 1 4n 0.5  lim n 1  lim  n n 1 un 1  2.3 4 a Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số ( không thiết đôi khác 2,0 ) thành lập từ chữ số 2, 0,1,8 Chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập X Tính xác suất để phần tử chọn số chia hết cho Gọi số chọn a1a2 a3 (a1  0) lim Tính số phần tử không gian mẫu: n     3.4.4  48 0.5 Gọi A biến cố: ‘‘ số chọn số chia hết cho ’’ a1a2 a3 chia hết cho khi:  a1  a2  a3  chia hết cho 0.5 Liệt kê số gồm: 111,222,888, hoán vị số (2;2;8); (8;8;2); (1;2;0) ;(1;8;0) (Lưu y, chữ số a1  ) Do số kết thuận lợi để có A n  A   17 Vậy xác suất cần tìm: P  A  n(A) 17  n() 48 0.5 0.5 b Trên đường thẳng song song  d , ta gắn vào m điểm n 2.0 điểm cho m  n  17 ( m, n  N * ) Tìm m , n để số tam giác có đỉnh điểm 17 điểm phân biệt cho lớn Mỗi tam giác cần xác lập có đỉnh nằm đường thẳng đỉnh nằm đường thẳng lại Trường hợp 1: Một hai số m n  chẳng hạn m =1, n =16 www.thuvienhoclieu.com Page www.thuvienhoclieu.com số tam giác có từ 17 điểm 1.C162  120 Trường hợp 2: m, n lớn Số tam giác có từ 17 điểm (n  1)n (m  1)m m.Cn2  nCm2  m  n 2 mn 15  (m  n  2)  mn 2 15 15  4mn  [( m  n)  ( m  n) ] 8 15  [17  (m  n) ] 15 2 15  (17  )  288  540 8 Dấu xảy |mn| =1, m,n  N*  m=9 , n=8 ngược lại Kết luận : Số tam giác lớn m=9, n=8 ngược lại 0.5 0.5 0,25 0.25 0.25 0.25   x  x2 x   Cho hàm số f  x    | x  |  x   2,0 Xét tính liên tục hàm số f  x  điểm x   x  x2  x  x2  lim x 2 x 2 x 2 | x2| x2 ( x  2)( x  3)  lim x 2 ( x  2)  lim ( x  3)  5 0.25  x  x2  x  x2  lim x 2 x 2 x 2 | x2| 2 x ( x  2)( x  3)  lim x 2 2 x  lim ( x  3)  0.25 lim f ( x)  lim 0.25 0.25 x 2 lim f ( x)  lim 0.25 0.25 x 2 Vì lim f ( x)  lim f ( x) nên hàm số khơng có giới hạn x=2 nên liên tục 0.5 x  2 x  2 x=2 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn  C  : x  y  x  y   điểm A( 3, 1) 3,0 Gọi I tâm đường tròn  C  M điểm thay đổi  C  cho điểm A, M , I khơng thẳng hàng Tia phân giác góc AIM cắt đường thẳng AM N Gọi  K  tập hợp điểm N M thay đổi  C  Viết phương trình đường  K  Hình vẽ: www.thuvienhoclieu.com Page www.thuvienhoclieu.com M N I A (C) có tâm I(1,2) bán kính R =3 Tính IA = MN  AN  MN IM AM Vì IN tia phân giác góc AIM nên       AN AN IA AN 5  AN  AM (*) (do N nằm A M ) Vậy phép vị tự tâm A, tỉ số k  biến điểm M thành điểm N 0.5 0.5 0.25 0.25 Gọi P,Q giao điểm đường thẳng IA (C) Do M chạy khắp đường tròn (C) ( M  P, M  Q) N chạy khắp (K) với (K) đường tròn (C’) ảnh đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A tỉ số k  ( trừ điểm ảnh P,Q qua phép vị tự trên) Viết phương trình đường tròn (C’)  7 Gọi I’ tâm đường tròn (C’), ta có: AI '  AI  I '   ;    8 15 R’ bán kính đường tròn (C’), ta có: R’ = R  8 2 1    15   Vậy phương trình đường tròn (C’) :  x     y      2  8    Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , biết BD  a ; cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  SA  a a Tính cosin góc đường thẳng SB AD b Gọi ( ) mặt phẳng qua A song song với BD cắt cạnh SC M cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) lần khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ) Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng ( ) hình chóp S ABCD Hình vẽ: ( Phục vụ câu a :0.25 điểm câu b 0.25 điểm) www.thuvienhoclieu.com 0.5 0.5 0.25 0.25 4.0 0.5 Page www.thuvienhoclieu.com S M a E I F a A a B a O D C a Tính cosin góc đường thẳng SB AD Tính góc SBC  SAB vuông cân A  SB = a Gọi O tâm hình thoi ABCD AC = AO = a SA =a, AC = a  SC = 2a Ta có: SC2 = SB2+BC22SB.BC cos B 4a2 = 2a2+ a2  2.a2 cos B cosB =  2 Gọi  góc SB BC , ta có: cos = 2 b Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng ( ) hình chóp S ABCD Ta có: AC = a SA =a  SC =2a 1 a  d(C, α) = d(S, α)  SM = CM  SC   Gọi I giao điểm SO AM Trong mp (SBD) kẻ đường thẳng song song BD cắt SB, SD E F Thiết diện tạo (α) hình chóp S.ABCD tứ giác AEMF Ta có BD  (SAC)  EF  (SAC)  EF  AM ( SAEMF = ½ AM EF.)  Tính AM, EF Xét  SAM , tính AM theo hệ thức cosin ta AM = a (có thể kiểm chứng AM  SC  … AM = a ) Xét  SAC – Kẻ ON // AM O trung điểm AC  N trung điểm CM www.thuvienhoclieu.com 1.5 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 2.0 0.25 0.5 0.25 0.25 Page www.thuvienhoclieu.com S M I N 0.25 A / / O C 1 3 MN = CM = SC  SC  SN = SI+MN = SC  SC = SC 4 8 SC SI SM ON // AM     SO SN SC EF SE SI 2 2a Xét  SBD, EF // BD      EF = BD  BD SC SO 5 1 a  SAEMF = AM EF= a a 2 10 0.25 0.25 Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác Ban Giám khảo thảo luận thống thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm www.thuvienhoclieu.com Page ... Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLIMPIC QUẢNG NAM NĂM 2 018 QUẢNG NAM Mơn thi: TỐN Lớp : 11 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Đáp án gồm 05 trang () Nội dung Câu Điểm  ... số chia hết cho ’’ a1a2 a3 chia hết cho khi:  a1  a2  a3  chia hết cho 0.5 Liệt kê số gồm: 111 ,222,888, hoán vị số (2;2;8); (8;8;2); (1;2;0) ;(1;8;0) (Lưu y, chữ số a1  ) Do số kết thuận