ĐỀ TOÁN olympic 10 quang nam 2017

www.thuvienhoclieu.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH Năm học 2016 – 2017 Môn thi : Thời gian: Ngày thi : ĐỀ CHÍNH THỨC TỐN 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) 25/3/2017 Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình x  x   ( x  1) x    x  xy  x  y  yx  y b) Giải hệ phương trình   x  y  x  y   xy  3x  Câu (4,0 điểm) a) Cho parabol (P) có phương trình y  x  x  , đường thẳng d có phương trình y  (2m  1) x  điểm M(3;3) Tìm tất các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol (P) điểm phân biệt A, B cho tam giác MAB vng cân M b) Tìm tất các giá trị của tham số m để hàm số y  x2  x   có tập xác định R x  2mx  Câu (4,0 điểm) Cho số thực dương x, y , z thỏa x  y  z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H y z x   x  y  y  2z  z  2x  Câu (4,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm A(3; 3) đường thẳng d có phương trình x  y   Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với d B (1;1) qua A b) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A, H chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC; D E hình chiếu vng góc của H lên AB AC; I giao điểm của AH DE Điểm A nằm đường thẳng  có phương trình x  y   , phương trình  5 đường thẳng DE x  y   ; M   ;   trung điểm của BC, I có hồnh đợ nhỏ 1, E có  4 hồnh đợ dương tứ giác ADHE có diện tích Tìm tọa đợ điểm A, D, H, E Câu (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O; I J trung điểm của AD BC a) Gọi M N nằm DJ DC cho: MD  MJ  NC  ND  Chứng minh rằng: B, M, N thẳng hàng b) Gọi H K trực tâm của  OAB  OCD Chứng minh HK vng góc với IJ –––––––––––– Hết –––––––––––– Họ tên thí sinh: … …………………………………….; Số báo danh: ………………… www.thuvienhoclieu.com Page www.thuvienhoclieu.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH Năm học 2016 – 2017 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Mơn thi: TỐN (Đáp án – Thang điểm gồm trang) Câu Đáp án Câu a) Giải phương trình x  x   ( x  1) x   (5,0 Điều kiện: x  1 điểm) + Đặt t  x  ( t  ) Suy x  t  Điểm 2,5 0,25 0,25 + P hương trình đã cho trở thành : 2t  t  9t  2t  0,5 t    2t  t  9t   0,25 - Với t  suy x  1 - Xét phương trình 2t  t  9t   2t  t  9t    (t  2)(2t  5t  1)  0,25  t  (vì 2t  5t   0, t  ) Với t  2 suy x  Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x  1 x  0,25 0,25 0,25 0,25  x  xy  x  y  yx  y b) Giải hệ phương trình   x  y  x  y   xy  3x  Điều kiện: x  y  x  y   - Xét phương trình thứ nhất hệ: x3  xy  x  y  yx  y  ( x  y )( x  y  1)  2,5 0,25 0,25  x  y (vì x  y   ) + Với x  y thay vào phương trình thứ hai ta được: Điều kiện: x  Khi đó, ta có: 0,25 x  x   x  3x  0,25 x  x   x  x   ( x  2)  ( x   3)  x  x  x4 2( x  4)      ( x  1)( x  4)   x      ( x  1)   x 2 2x   2x    x 2  0,5 x      x  (*)  x  2x 1  0,25 * Với x  ta có 2      x  (dấu xảy x=0) x 2 2x    0,5 Do pt (*) có mợt nghiệm nhất x  www.thuvienhoclieu.com Page www.thuvienhoclieu.com x  x  Vậy nghiệm của hệ phương trình là:   y  y  0,25 Câu a) Cho parabol (P) có phương trình y  x  x  , đường thẳng d có phương (4,0 trình y  (2m  1) x  điểm M(3 ;3) Tìm tất giá trị của tham sớ m để 2,0 điểm) đường thẳng d cắt parabol (P) điểm phân biệt A, B cho tam giác MAB vng cân M 0,25 + Phương trình hồnh đợ giao điểm của (P) d là: x  2(m  2) x   (*) + Phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt (vì a.c  ) 0,25 Suy d cắt parabol (P) điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m + Gọi A  x1 ;(2m  1) x1   B  x2 ;(2m  1) x2   0,25 (với x1 x2 hai nghiệm của phương trình (*)) + MA   x1  3;(2m  1) x1  1 MB   x2  3;(2m  1) x2  1 + Tam giác MAB vuông M suy ra: MA.MB    x1  3 x2  3   (2m  1) x1  1(2m  1) x2  1  0,25  x1 x1  3( x1  x2 )   (2m  1) x1 x1  (2m  1)( x1  x2 )    1  6(m  2)   (2m  1)  (2m  1)2( m  2)    m  2  8m  20m     m    + Với m  2 Suy x1  1 , x2  Khi đó: MA   4;  , MB   2; 4  Suy MA  MB  13  13 + Với m   Suy x1  , x2  2  3  13  3  13   Khi đó: MA   , MB   ; ;   1  Suy MA  MB     2     (không thỏa) Vậy với m  2 , tam giác MAB vuông cân M www.thuvienhoclieu.com 0,5 0,25 0,25 0,25 Page www.thuvienhoclieu.com b) Tìm tất giá trị của tham số m để hàm số y  x2  x   có tập xác x  2mx  2,0 định R Hàm số y  x2  x   có tập xác định D=R x  2mx  2x  x    0, x  R x  2mx  0,25 x2  x    1, x  R (vì x  x   0, x  R ) x  2mx   x  2mx   0, x  R  2  x  2mx   x  x  2, x  R   x  2mx   0, x  R  2  (2 x  x  2)  x  2mx   x  x  2, x  R  x  2mx   0, x  R    x  (2m  1) x   0, x  R 3x  (2m  1) x   0, x  R   '1  m       (2m  1)    3  (2m  1)  36     m 1 0,25 0,25 0,25 0,75 0,25 Kết luận www.thuvienhoclieu.com Page www.thuvienhoclieu.com Câu Cho số thực dương x, y , z thỏa x  y  z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (4,0 y z x   điểm) H  x  y  y  2z  z  2x  + x  y   ( x  1)  y   2( x  y  1) 4,0 Tương tự: y  z   2( y  z  1), z  x   2( z  x  1) 1,0 1 y z x    Suy H     x  y 1 y  z 1 z  x 1  0,25 y z x   1 x  y 1 y  z 1 z  x 1 y z x   1 Ta có : x  y 1 y  z 1 z  x 1 y z x  1 1 1  1 x  y 1 y  z 1 z  x 1 x 1 y 1 z 1     (*) x  y 1 y  z 1 z  x 1 Trước hết ta chứng minh BĐT sau nhờ Bunhiacosky : a b c (a  b  c) Với a, b, c, m, n, k  ta có :    m n k mnk b c  a   a b2 c2  Thật vậy: (a  b  c)   m n k      m  n  k  n k  m  m n k  a b c (a  b  c) a b c (dấu xảy :   )     m n k m n k mnk Ta chứng minh Khi đó: VT (*)  0,5 0,5 ( x  1)2 ( y  1)2 ( z  1)   ( x  1)( x  y  1) ( y  1)( y  z  1) ( z  1)( z  x  1)  ( x  y  z  3) ( x  1)( x  y  1)  ( y  1)( y  z  1)  ( z  1)( z  x  1) Lại có: ( x  1)( x  y  1)  ( y  1)( y  z  1)  ( z  1)( z  x  1)  x  y  z  xy  yz  zx  3( x  y  z )   ( x  y  z  xy  yz  zx)  6( x  y  z )  ( x  y  z )    ( x  y  z  xy  yz  zx)  6( x  y  z )    (vì x  y  z  ) 1  ( x  y  z )  2( x  y  z )3    ( x  y  z  3) 2 www.thuvienhoclieu.com 1,0 Page www.thuvienhoclieu.com ( x  y  z  3) ( x  y  z  3)  2 ( x  1)( x  y  1)  ( y  1)( y  z  1)  ( z  1)( z  x  1) ( x  y  z  3) 2 x 1 y 1 z 1    Suy x  y 1 y  z 1 z  x 1 Suy , dấu xảy x  y  z  Vậy max H  x  y  z  Suy H  0,5 0,25 Câu a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm A(3; 3) đường thẳng d có (4,0 phương trình x  y   Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với d điểm) B (1;1) qua A + Tâm I của đường tròn (C) nằm đường thẳng d’ vuông góc với d B + Viết phương trình đường thẳng d’ x  y   + I  d '  I (a;3  2a ) + IA  IB  a   I (2; 1) 2,0 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 + Bán kính của đường tròn (C) R  Suy phương trình đường tròn (C) là: ( x  2)  ( y  1)  0,25 b) Cho tam giác ABC vuông A, H chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC; D E hình chiếu vng góc của H lên AB AC; I giao điểm của AH DE Điểm A nằm đường thẳng  có phương trình x  y   , phương trình  5 đường thẳng DE x  y   ; M   ;   trung điểm của BC, I có hồnh 2,0  4 đợ nhỏ 1, E có hồnh đợ dương tứ giác ADHE có diện tích Tìm tọa đợ điểm A, D, H, E ():2x-3y-4=0 A E _ 3x+y-2=0 K D B I \ // H  M - ;-  // C + Gọi K giao điểm của DE AM + ECH  IAD (cùng phụ với HAC ) Mà IAD  IDA Suy ECH  IDA Mà ECH  MAC Do IDA  MAC Lại có MAC  MAD  900 nên IDA  MAD  900 Suy tam giác AKD vuông K + Viết phương trình đường thẳng (AM):x-3y-2=0 Suy A(2;0) 0,25 + S ADHE   S IAE  , AK  d ( A, DE )  Suy IE  10  AI  10 0,25 10 www.thuvienhoclieu.com 2 0,5 Page www.thuvienhoclieu.com + Gọi I(a;2-3a) nằm DE, với a