www.thuvienhoclieu.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNGNAMĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THIOLIMPICQUẢNGNAMNĂM2018 Mơn thi : Thời gian: TỐN Lớp: 11 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thicó 01 trang) Câu (3,0 điểm) � � a Tính tổng nghiệm phương trình: sin x 6cos x đoạn � ; � �2 � b Giải phương trình: 3cosx 4cos x sin3x Câu (4,0 điểm) a Xét tính tăng giảm bị chặn dãy un biết: 1 un L (n �N*) n 1 n 2n b Cho dãy un biết u1 un 1 3un 4n với n �N * un Tìm số hạng tổng quát dãy un Tính lim un 1 Câu (4,0 điểm) a Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số ( khơng thiết đôi khác ) thành lập từ chữ số 2,0,1,8 Chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập X Tính xác suất để phần tử chọn số chia hết cho b Trên đường thẳng song song d , ta gắn vào m điểm n điểm cho m n 17 ( m, n �N * ) Tìm m , n để số tam giác có đỉnh điểm 17 điểm phân biệt lớn �6 x x x �2 � Câu (2,0 điểm) Cho hàm số f x � | x | �5 x � Xét tính liên tục hàm số f x điểm x Câu (3,0 điểm) 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x y x y điểm A(3, 1) Gọi I tâm đường tròn C M điểm thay đổi C cho ba điểm A, M , I không thẳng hàng Tia phân giác góc � AIM cắt đường thẳng AM N Gọi K tập hợp điểm N M thay đổi C Viết phương trình đường K Câu (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , BD a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng ABCD SA a a Tính cosin góc đường thẳng SB AD www.thuvienhoclieu.com Page www.thuvienhoclieu.com b Gọi ( ) mặt phẳng qua A song song với BD cắt cạnh SC M cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) lần khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ) Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng ( ) hình chóp S ABCD ––––––––––– Hết –––––––––––– Họ tên thí sinh: … …………………………………….; Số báo danh: …………………… Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THIOLIMPICQUẢNGNAMNĂM2018QUẢNGNAM Mơn thi: TỐN Lớp : 11ĐÁPÁN – THANG ĐIỂM Đápán gồm 05 trang () Câu Nội dung � � a Tính tổng nghiệm phương trình: sin x cos x đoạn � ; � �2 � 2 sin x cos x � 6s in x sin x 1 � s inx ; s inx , ] ) x = s inx ( x [ 2 1 , ] ) x = arcsin , x = arcsin s inx ( x [ 3 1 5 , ] + arcsin + arcsin = 3 b/ Giải phương trình: 3cosx 1 = 4cos x sin3x Tổng nghiệm phương trình [ 3cosx 1 = 4cos3x sin3x 1 = 4cos3x 3cosx sin3x 1 = cos3x sin3x sin3x cos3x =1 sin ( 3x ) = sin ( 3x ) = sin 6 5 3x = + k2 3x = + k2 ( k � ) 6 6 a Xét tính tăng giảm bị chặn dãy (un) biết un 1 L L n 1 n 2n www.thuvienhoclieu.com Điểm 1,5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 1,5 0.25 0.25 0.25 0.25 +0,5 1.5 Page www.thuvienhoclieu.com Ta có: < un = 1 1 n , n N* n 1 n n 2n n 0,25 + 0,25 (un) bị chặn 1 1 1 1 un 1 un ( ) n2 n3 2n 2n 2n n n n 2n 1 1 0 2n 2(n 1) n 2n 2(n 1) (un) dãy tăng 0.25 02.5 0.25 0.25 b Cho dãy (un) biết u1 = un 1 3un với nN* un Tìm số hạng tổng quát dãy (un) Tính lim un 1 + Tìm số hạng tổng quát dãy (un) n Ta có: un 1 3un (1) n 2,5 0.5 0.25 n 1 n Tìm số α : un 1 3.(un ) (2) (1), (2) � (3.4n 4n 1 ) n � 1 n 1 n (2) viết lại: un 1 3.(un ) Xét dãy (vn) với v1=2, vn+1= 3vn ( n 1) - =un4n Khi = 2 3n1 un4n = 2 3n1 un = 4n 2 3n1 un + Tính lim un 1 0.25 0.5 0.5 un 4n 2.3n 1 4n lim lim n 1 lim n 1 n un 1 2.3 4 a Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số ( khơng thiết đơi khác ) thành lập từ chữ số 2, 0,1,8 Chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập X Tính xác suất để phần tử chọn số chia hết cho Gọi số chọn a1a2 a3 (a1 �0) 0.5 2,0 Tính số phần tử không gian mẫu: n 3.4.4 48 Gọi A biến cố: ‘‘ số chọn số chia hết cho ’’ 0.5 a1a2 a3 chia hết cho khi: a1 a2 a3 chia hết cho 0.5 Liệt kê số gồm: 111,222,888, hoán vị số (2;2;8); (8;8;2); (1;2;0) ; (1;8;0) (Lưu y, chữ số a1 �0 ) Do số kết thuận lợi đểcó A n A 17 Vậy xác suất cần tìm: P A n(A) 17 n() 48 www.thuvienhoclieu.com 0.5 0.5 Page www.thuvienhoclieu.com b Trên đường thẳng song song d , ta gắn vào m điểm n điểm cho m n 17 ( m, n �N * ) Tìm m , n để số tam giác có đỉnh điểm 17 điểm phân biệt cho lớn Mỗi tam giác cần xác lập có đỉnh nằm đường thẳng đỉnh nằm đường thẳng lại Trường hợp 1: Một hai số m n chẳng hạn m =1, n =16 số tam giác có từ 17 điểm 1.C16 120 Trường hợp 2: m, n lớn Số tam giác có từ 17 điểm ( n 1) n ( m 1)m m.Cn2 nCm2 m n 2 mn 15 ( m n 2) mn 2 15 15 4mn [(m n) (m n) ] 8 15 [17 ( m n) ] 15 15 � (17 12 ) 288 540 8 Dấu xảy |mn| =1, m,n N* m=9 , n=8 ngược lại Kết luận : Số tam giác lớn m=9, n=8 ngược lại �6 x x x �2 � Cho hàm số f x � | x | �5 x � 2.0 x x2 x x2 lim x �2 x �2 x �2 | x2| x2 ( x 2)( x 3) lim x �2 ( x 2) lim ( x 3) 5 0.25 x x2 x x2 lim f ( x) lim lim x �2 x �2 x �2 | x2| 2 x ( x 2)( x 3) lim x �2 2 x lim ( x 3) 0.25 0.5 0.5 0,25 0.25 0.25 0.25 2,0 Xét tính liên tục hàm số f x điểm x lim f ( x) lim 0.25 0.25 x �2 0.25 0.25 x �2 f ( x) �lim f ( x) nên hàm số giới hạn x=2 nên khơng thể liên tục 0.5 Vì xlim �2 x�2 x=2 www.thuvienhoclieu.com Page www.thuvienhoclieu.com 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x y x y điểm A(3, 1) 3,0 Gọi I tâm đường tròn C M điểm thay đổi C cho điểm A, M , I không thẳng hàng Tia phân giác góc � AIM cắt đường thẳng AM N Gọi K tập hợp điểm N M thay đổi C Viết phương trình đường K Hình vẽ: (C) có tâm I(1,2) bán kính R =3 Tính IA = MN IM MN AN AM � Vì IN tia phân giác góc � AIM nên AN IA ANAN uuur uuuu r AN AM (*) (do N nằm A M ) Vậy phép vị tự tâm A, tỉ số k biến điểm M thành điểm N Gọi P,Q giao điểm đường thẳng IA (C) Do M chạy khắp đường tròn (C) ( M P, M Q) N chạy khắp (K) với (K) đường tròn (C’) ảnh đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A tỉ số k ( trừ điểm ảnh P,Q qua phép vị tự trên) Viết phương trình đường tròn (C’) uuur uur � 7� Gọi I’ tâm đường tròn (C’), ta có: AI ' AI I ' � ; � � 8� 15 R’ bán kính đường tròn (C’), ta có: R’ = R 8 2 15 � � 1� � 7� � Vậy phương trình đường tròn (C’) : �x � �y � � � � � � � �8 � Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , biết BD a ; cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng ABCD SA a a Tính cosin góc đường thẳng SB AD b Gọi ( ) mặt phẳng qua A song song với BD cắt cạnh SC M cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) lần khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ) Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng ( ) hình chóp S ABCD www.thuvienhoclieu.com 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 4.0 Page www.thuvienhoclieu.com Hình vẽ: ( Phục vụ câu a :0.25 điểm câu b 0.25 điểm) 0.5 a Tính cosin góc đường thẳng SB AD � Tính góc SBC SAB vng cân A SB = a Gọi O tâm hình thoi ABCD AC = AO = a SA =a, AC = a SC = 2a Ta có: SC2 = SB2+BC22SB.BC cos B 4a2 = 2a2+ a2 2.a2 cos B cosB = 2 Gọi góc SB BC , ta có: cos = 2 b Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng ( ) hình chóp S ABCD 1.5 0.25 www.thuvienhoclieu.com 0.25 0.25 0.5 0.25 2.0 Page www.thuvienhoclieu.com Ta có: AC = a SA =a SC =2a 1 a d(C, α) = d(S, α) SM = CM SC Gọi I giao điểm SO AM Trong mp (SBD) kẻ đường thẳng song song BD cắt SB, SD E F Thiết diện tạo (α) hình chóp S.ABCD tứ giác AEMF Ta có BD (SAC) EF (SAC) EF AM ( SAEMF = ½ AM EF.) Tính AM, EF Xét SAM , tính AM theo hệ thức cosin ta AM = a (có thể kiểm chứng AM SC … AM = a ) Xét SAC – Kẻ ON // AM O trung điểm AC N trung điểm CM 1 3 CM = SC SC SN = SI+MN = SC SC = SC 2 8 SC SI SM ON // AM SO SN SC EF SE SI 2 2a EF = BD Xét SBD, EF // BD BD SC SO 5 1 a SAEMF = AM EF= a a 2 10 MN = 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác Ban Giám khảo thảo luận thống thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm www.thuvienhoclieu.com Page ... khơng sử dụng máy tính cầm tay SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLIMPIC QUẢNG NAM NĂM 2018 QUẢNG NAM Mơn thi: TỐN Lớp : 11 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Đáp án gồm 05 trang () Câu Nội dung � � a Tính tổng nghiệm... a2 a3 chia hết cho 0.5 Liệt kê số gồm: 111 ,222,888, hoán vị số (2;2;8); (8;8;2); (1;2;0) ; (1;8;0) (Lưu y, chữ số a1 �0 ) Do số kết thuận lợi để có A n A 17 Vậy xác suất cần tìm: P... tam giác có đỉnh điểm 17 điểm phân biệt cho lớn Mỗi tam giác cần xác lập có đỉnh nằm đường thẳng đỉnh nằm đường thẳng lại Trường hợp 1: Một hai số m n chẳng hạn m =1, n =16 số tam giác có từ 17