Chuyen de 04 ham so mu va logarit

CHUYÊN ĐỀ - HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Lũy thừa thức: a n (với a ≠ n ∈ ¥ * ) a−n = m n a =a = a r n m (với a > r= m , n Â, n Ơ * n ) aα = lim a rn (với a > 0,α ∈ Ă , rn Ô v lim rn = ) n n Khi n lẻ, b = a ⇔ b = a (với a) b ≥ b= na ⇔ n b = a (với a ≥ ) Khi n chẵn, - Biến đổi lũy thừa: Với số a > 0, b > 0, α β tùy ý, ta có: aα a β = aα + β ; aα : a β = aα −β ; ( aα ) = aαβ β ( a.b ) α = aα bα ; ( a : b ) = aα : bα α α α α α - So sánh: Nếu < a < b thì: a < b ⇔ α > 0; a > b ⇔ α < Lôgarit: - Lôgarit số a: α = log a b ⇔ aα = b ( < a ≠ b > ) - Lôgarit số 10: log10 b = lg b hay log b - Lôgarit số e: log e b = ln b ( e ≈ 2,7183) log a a b = b với a > 0, a ≠ - Tính chất: log a = a log a b = b với a > 0, b > 0, a ≠ - Biến đổi lôgarit điều kiện xác định: log a ( b.c ) = log a b + log a c log a b 1 = log a b − log a c,log a  ÷ = − log a c c c α log a b = α log a b (với α ), log a n b = log a b * n (n∈¥ ) - Đổi số điều kiện xác định: www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 log b x = log a x log a b hay log a b.log b x = log a x log b a = 1 log a b.log b a = 1;log aα b = log a b log a b hay α α Hàm số lũy thừa y = x : Liên tục tập xác định ( x ) ' = ax , ( u ) ' = α u Đạo hàm α ( x) n / = α −1 nn x α ( x > 0) , ( n u ) n −1 α −1 / u' = ; u' n n u n−1 , với u = u ( x ) > α ( 0; +∞ ) α > ; nghịch biến ( 0;+∞ ) α < Hàm số y = x đồng biến Hàm số mũ: ( 0; +∞ ) Liên tục tập xác định ¡ , nhận giá trị thuộc +∞ lim a x =  x →+  (a )'=a Đạo hàm: x a >  ; lim a x =  < a < x→−∞ +∞ x ln a; ( e x ) ' = e x a > < a < ; ( a ) ' = a u 'ln a; ( e ) ' = e u ' với u = u ( x ) u u u u Đồng biến ¡ a > , nghịch biến ¡ < a < Hàm số lôgarit y = log a x : Liên tục tập xác định ( 0; +∞ ) , nhận giá trị thuộc ¡ +∞ lim log a x =  x →+∞ −∞ a > −∞ lim+ log a x =  < a < ; x→+0 +∞ Đạo hàm ( log a x ) ' = ( log a u ) ' = a > < a < 1 1 ; ( ln a ) ' = ; ( ln x ) ' = x ln a x x u' u' u' ; ( ln u ) ' = ; ( ln u ) ' = u ln a u u với u = u ( x ) ( 0; +∞ ) a < , nghịch biến ( 0; +∞ ) < a < Hàm số y = log a x đồng biến Giới hạn: ln ( + x ) ex −1  1 lim 1 + ÷ = e;lim = 1;lim =1 x →+∞ x →0 x x  x x x →0 www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 CÁC BÀI TOÁN Bài tốn 4.1: Thực phép tính − −0,75 A = 81 − − −1 −2     3 + − ; B = 0,001 − − 64 − + ( ) ( ) ÷  ÷  125   32  Hướng dẫn giải − ( ) A = ( 3) = ( 3) B = ( 10 −3 −   3      +  ÷ ÷ − ÷ ÷   ÷   ÷     −4 −1 −3 1 80 1 1 + ÷ − ÷ = + 5−8 = −3= − 27 27 27 5  2 −3 − ) − ( −2 −3 ) −( ) + = 10 − 22 − −4 + = − 111 = 16 16 Bài toán 4.2: Đơn giản biểu thức điều kiện xác định: a −1 − a + a 14 a3 − a3 a − a3 P= a + 1; Q = − 1 − a + 3 a +a a −a a +a Hướng dẫn giải ( P= )( ) a ( a + 1) a ( a + 1) ( a + 1) a +1 4 4 Q= a −1 a (1− a a (1− a) a +1 = a −1 + = a ) − a ( − a ) = ( + a ) − ( − a ) = 2a − a − ( a + 1) Bài toán 4.3: Trục mẫu 1 2+33 a) b) − 13 + 48 Hướng dẫn giải a) 3− = = 3 2+ −2 b) Vì ( nên − 13 + 48 = )( − 33 + + ) (2 − 13 + 48 = − 3 www.LuyenThiThuKhoa.vn ) +1 −1 = = 4−2 = ( ) =( −1 −1 ( −2 ) ) + − Phone: 094 757 2201 Bài tốn 4.4: Khơng dùng máy, tính giá trị đúng: 15 + 6 + 15 − 6 a) b) 7+5 − −5 Hướng dẫn giải a) (3 Ta có 2±2 ) = 18 + 12 ± 12 = 30 ± 12 15 + 6 + 15 − 6 = nên +2 3 −2 + =6 2 15 + 6 + 15 − 6 = x; x > Cách khác: Đặt Ta có x = 30 + 225 − 216 = 36 nên chọn x = b) Ta có: ( + = 1+ + + 2 = 1+ Tương tự Do ( − = 1− ) ) 3 ( ) + − − = 1+ − 1− = 2 3 Cách khác: Đặt x = + − − Ta có: ( ) x3 = + − − − = 10 + ( ( ) ( )( ) − − +  + − ÷   ) + − − = 10 + 3x Ta có phương trình: ( )( ) x3 − x − 10 = ⇔ x − 2 x + 2 x + = ⇔ x = 2 Bài tốn 4.5: Tính gọn a) b) 49 + 20 + 49 − 20 2+ +2 2+ + 2+ −2 2+ Hướng dẫn giải a) Ta có 49 + 20 = 25 + 10 24 + 24 = = Tương tự: 4 ( 3+ ) (5+ 6) = 3+ 49 − 20 = − (do www.LuyenThiThuKhoa.vn 3> 2) Phone: 094 757 2201 Suy 49 + 20 + 49 − 20 = 4 b) Đặt M = + + 2 + , N = + − 2 + Ta có: MN = ( + 5) ( ) − 2+ =1 M + N = + ⇒ M + N + 2M N = + = ( ) +1 2  +1 ⇒ M + N = + ⇒ M + N + MN = + =  ÷   2+ +2 2+ + 2+ −2 2+ = M + N = Vậy +1 Bài toán 4.6:   23 + 513 23 − 513 x= 3 + − 1÷ ÷ 3 4   Tính A = x + x + a) Cho 4+ 6+ 2k + k − 200 + 9999 B= + + + + + 1+ 2+ k −1 + k + 99 + 101 b) Tính Hướng dẫn giải a) Đặt a= 23 + 513 23 − 513 ,b = 4 ⇒ a3 + b3 = 23 , ab = 3x + = a + b ( 3x + 1) Vì = 27 x3 + 27 x + x + = 27 ( x + x + 1) + ( x + 1) − 29 ( 3x + 1) A= nên − ( 3x + 1) + 29 ( a + b ) − ( a + b ) + 29 = 27 27 23 a + b3 + 3ab ( a + b ) − ( a + b ) + 29 + 29 = = = 27 27 b) Với k ≥   2k + k − = k −1 + k +1 ( ) ( k + 1) ( k −1 + k −1 + www.LuyenThiThuKhoa.vn + ( k − 1) ( k + 1)  ( k +1 )( k +1 − k −1  k +1 − k −1 ) ) Phone: 094 757 2201 ( k + 1) = B= − ( k − 1) Do 1 3 − 13 + 43 − 23 + 53 − 33 + 63 − 43 + + 1013 − 993   2 1 999 + 1013 − 3 3 = −1 − + 101 + 100 =  2 999 + 101 101 − 2 = Bài toán 4.7: Cho sh ( x ) = ch ( x ) − sh ( x ) = a x − a−x a x + a−x a x − a−x ; ch ( x ) = ; th ( x ) = x 2 a + a − x với a > 0, a ≠ Chứng minh th ( x ) = , 2th ( x ) + th ( x ) Hướng dẫn giải 2  a x + a− x   a x − a− x  ch ( x ) − sh ( x ) =  ÷ − ÷ 2     Ta có = a x + a −2 x + − a x − a −2 x + = =1 4 ( a x + a −2 x )  a x − a−x  + th ( x ) = +  x ÷ = 2x a + a−x  a + a −2 x +  Ta có: 2 nên = 2th ( x ) a x − a − x a x + a −2 x + = + th ( x ) a x + a − x ( a x + a −2 x ) ( a x − a−x ) ( a x − a−x ) 2 ( a x + a − x ) ( a x − a −2 x ) a x − a −2 x = 2x = th ( x ) a + a −2 x Bài toán 4.8: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh: 1 1 1 1 + + = + n+ n = n n b c a + bn + cn a) Nếu a b c a + b + c a 1 + + =1 ax = by = cz x y z b) Nếu , thì: n n n n ax n −1 + by n −1 + cz n −1 = n a + n b + n c Hướng dẫn giải 1 1 + = − a) Từ giả thiết suy a b a + b + c c ⇒ ( a + b ) ( a + b + c ) c = abc − ab ( a + b + c ) ⇒ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 ⇒ có số đối mà ta có n lẻ ⇒ đpcm n b) VT = 1 1 ax n by n cz n + + = n ax n  + + ÷ = n ax n = x n a = y n b = z n c x y z x y z 1 1 n n n  + + ÷= a + b + c ⇒ ⇒ VT  x y z  đpcm Bài tốn 4.9: Tính: log3 18 = 18;35 log3 = 3log3 = 25 = 32 a) log 1  ÷ 8 = ( 2−3 ) log0,5    ÷  32  log = 2( −3) log2 = 2log = 5−3 = −3 125 log 25   5  =  ÷ ÷   ÷   = 25 = 32   −2 log 36 − log 14 − 3log 21 = log  ÷ = log 7 = −2  14.21  b) Bài toán 4.10: Rút gọn biểu thức: a) A = log 2.log 3.log 5.log 6.log b) B = a log a b −b log b a Hướng dẫn giải a) A = log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log = log log log log log log log 1 = = log = log 2 = log log log log log log8 log8 3 b) Đặt x = log a b ⇒ log a b = x ⇒ b = a x Mặt khác log b a = Do đó: B = a − a x 1 ⇒ log b a = x x x2 x = Bài toán 4.11: a) Cho log 15 = x,log12 18 = y , tính log 25 24 theo x, y b) Cho a = log 3, b = log 5, c = log , tính log140 63 theo a, b, c Hướng dẫn giải log 2.32 + 2log log 3.5 log + log y= = x= = log 2.3 + log log + log 2 a) Ta có www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 Suy log = y −1 x + − y + xy ;log = 2− y 2− y log 25 24 = Do b) log 23.3 5− y = log ( x + − y + xy ) log140 63 = log140 ( 32.7 ) = 2log140 + log140 = 2 + = + log 140 log 140 log ( 5.7 ) log ( 22.5.7 ) = + 2log + log + log 2log + log + log = Ta có log = 1 = ,log = log 2.log 3.log = cab log a ; 1 = = log log 2.log ca log140 63 = +b+ a ca Vậy + 2ac + = 2c + cab + abc + 2c + Bài toán 4.12: Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a log3 = 27, blog7 11 = 49, c log11 25 = 11 ( Tính T = a log3 ) + b( log7 11) + c( log11 25 ) Hướng dẫn giải Ta có: ( T = a log3 ) log3 ( + b log7 11 = 27 log + 49log7 11 + ( ) 11 log7 11 ) ( + c log11 25 log11 25 ) log11 25 = 73 + 112 + 25 = 469 Bài toán 4.13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) a b) log c b = blogc a n ( n + 1) 1 1 + + + + = log a b log a2 b log a3 b log a n b 2log a b Hướng dẫn giải log c b = b logb a a) a log c b = blog c b.log b a = blog c a www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 n + + + + log a b b) VT = log a b log a b log a b = ( + + + + n ) n ( n + 1) = log a b 2log a b Bài toán 4.14: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: 2 a) Nếu a + c = b log b + c a + log b−c a = 2log b +c a.log b−c a log a d − logb d log a d = log d − log d log c d a , b , c b c b) Nếu lập cấp số nhân Hướng dẫn giải a) Theo giả thiết: Xét a ≠ a2 = ( b − c ) ( b + c ) Xét a = : log a ( b − c ) + log a ( b + c ) = ⇒ 1 + =2 log b−c a log b+ c a nên log b +c a + log b−c a = 2log b +c a.log b−c a b) Ta có c log d  ÷ 1 b log a d − log b d = − = log d a log d b ( log d a ) ( log d b ) Tương tự: c log d  ÷ 1 a log b d − log c d = − = log d b log d c ( log d b ) ( log d c ) c b c b = ⇒ log d  ÷ = log d  ÷ b a Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên a a log a d − log b d log d c log a d = = log d − log d log a log c d b c d Do Bài tốn 4.15: Cho x, y, z, a số thực dương đôi khác khác Chứng minh: a) Nếu log a x = + log a x.log a z , log a y = + log a y.log a x thì: a A = log x.log a y.log a z.log x a.log y a.log z a = x y z x( y + z − x) y ( z + x − y) z ( x + y − z ) = = y x z y x z log x log y log z b) Nếu x y = y z = z x Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết, ta có: log a x = + log a x.log a z www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 ⇒ log a x = 1 = = log a z − log a z log a z a z log x a log a z = Do đó: z log y a log a x = Tương tự Mà log a y = + log a y.log a z , nên x log a y = + log a y log a y ⇒ − log a z = − log a z log a y − ⇒ log a z = + log a y.log a z log z a log a y = Tương tự trên, ta có y Do     A =  log a x.log y a ÷  log a y.log z a ÷  log a z.log x a ÷ =  ÷ x y z     b) Nếu số x + y − z , y + z − x, z + x − y ba số dẫn đến x = y = z = , mâu thuẫn Do x + y − z, y + z − x, z + x − y khác  x ( log y ) ( y + z − x ) = y ( log x ) ( z + x − y )   y ( log z ) ( z + x − y ) = z ( log y ) ( x + y − z )  z ( log x ) ( x + y − z ) = x ( log z ) ( y + z − x ) Từ giả thiết thì:  Ta có: x ( log y ) ( y + z − x ) = y ( log x ) ( z + x − y ) ⇒ x log y = y ( log x ) z+x− y y+z−x  z+x− y  ⇒ x log y + y log x = y ( log x )  + 1÷  y+z−x  ⇒ x log y + y log x = y ( log x ) Tương tự 2z z+x− y y log z + z log y = z ( log y ) 2x z+x− y y x z y Do đó: x y = y z ⇔ x log y + y log x = y log z + z log y ⇔ y log x 2z 2x = z log y y+z−x z+x− y ⇔ y ( log x ) ( z + x − y ) = x ( log y ) ( y + z − x ) : z y x z Chứng minh tương tự: y z = z x www.LuyenThiThuKhoa.vn 10 Phone: 094 757 2201 = x+ 2x2 + x +1 Do đó, ta có: + x +1 = x + x2 + ( y = x + x x + + ln x + x + ) ( xy ' = x + x x + ln y ' = ln x + x + ) ⇒ y = xy '+ ln y ' : đpcm Bài toán 4.30: Tìm đạo hàm cấp n hàm số kx a) y = b) y = ln ( x − x − 1) Hướng dẫn giải y ' = ( k ln 5) 5kx ; y '' = ( k ln ) 5kx a) y ( ) = ( k ln ) 5kx n n Ta chứng minh quy nạp: b) Với x 2: y = ln ( ( x − 1) ( 3x + 1) ) = ln x − + ln x + ⇒ y' = 1 + x − 3x + ( m) Ta chứng minh quy nạp y ( n) Suy    ÷  ax + b  −1) m!a m ( = m +1 ( ax + b ) m ( −1) ( n − 1) !2n−1 + ( −1) ( n − 1) !3n−1 = n n ( x − 1) ( 3x + 1) n −1 n−1 Bài tốn 4.31: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số: a) y= ex x −x b) y = x e Hướng dẫn giải e x ( x − 1) , y' = ⇔ x =1 D = ¡ \ { 0} y ' = x2 a) , BBT x −∞ y' y − − +∞ www.LuyenThiThuKhoa.vn +∞ 17 +∞ + +∞ Phone: 094 757 2201 −∞ Vậy hàm số nghịch biến khoảng e ( −∞;0 ) ( 0;1) đồng biến khoảng ( 1;+∞ ) , đạt CT ( 1;e ) b) D = ¡ , y ' = ( x − x2 ) ex , y ' = ⇔ x = x = BBT −∞ x y' − + +∞ y +∞ − 4e −2 −∞ Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 0;2 ) , nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) ( 2; +∞ ) , đạt CĐ ( 2;4e ) , CT ( 0;0) −2 Bài tốn 4.32: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số: a) y = ln ( x − 1) b) y = x − ln ( + x ) Hướng dẫn giải a) D = ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) , y ' = 2x x −1 ( −∞; −1) Khi x < −1 y ' < nên hàm số nghịch biến ( 1; +∞ ) Khi x > y ' > nên hàm số đồng biến Hàm số khơng có cực trị b) D = ( −1; +∞ ) , y ' = − y = , y' = ⇔ x = 1+ x 1+ x y ' > 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) nên hàm số đồng biến y ' < 0, ∀x ∈ ( −1;0 ) nên hàm số nghịch biến y '' = Ta có ( 1+ x) >0 ( 0; +∞ ) ( −1;0 ) nên đạt cực tiểu x = 0, yCT = Bài toán 4.33: Cho a, b, c thực dương Chứng minh hàm số ax bx cx f ( x) = x + + b + c x c x + a x a x + b x đồng biến với x dương www.LuyenThiThuKhoa.vn 18 Phone: 094 757 2201 Ta có = Do x x x x x x  a x  a ln a ( b + c ) − a ( b ln b + c ln c ) '=  x x ÷ b +c  ( bx + cx ) a xb x ( ln a − ln b ) + a x c x ( ln a − ln c ) (b + cx ) x /  a x b x ln a − ln b + a x c x ln a − ln c   ax  ( ) ( )÷ f '( x ) = ∑  x = ∑ x ÷ ÷ sym  b + c  sym  ( bx + cx )    a xb x ln a − ln b a xb x ln a − ln b ( )− ( ) = ∑ 2 x x sym  ( ax + cx )  (b +c ) = ∑a b x sym ( a − b ) ( a + b + 2c ) > ( ln a − ln b ) (a +c ) (b +c ) x x  ÷ ÷  x x x x x x x x Bài toán 4.34: So sánh số: a) 13 23 b) + 15 10 + 28 Hướng dẫn giải a) 13 = 20 135 = 20 371293; 23 = 20 234 = 20 279841 Ta có 371293 > 279841 nên b) 13 > 23 + 15 < + = + < 10 + 28 Bài toán 4.35: So sánh số:    ÷ b)   600 400 a) −3 Hướng dẫn giải a) Ta có: 3600 = ( 33 ) 5400 = ( 52 ) 200    ÷ b) Ta có   Ta có 200 = 27 200 = 25200 600 400 Vậy > 5 1 = ÷  3 ( ) ( ) 2 ) log 0,99 < nên log6 0,99 < = (vì > ) b) Ta có log 1,1 > nên Suy 3log6 1,1 > log 0,99 Bài toán 4.37: Hãy so sánh số: a) log8 27 > log 25 b) log > log 25 Hướng dẫn giải a) log8 27 > log8 25 > log 25 b) log = log = log 27 > log 25 Bài toán 4.38: 1000 a) So sánh hai số + + + + 1000 N2 b) Chứng minh với n số 2, n > 22 > 222 2222 Hướng dẫn giải a) Ta thấy 22 22 24 16 = 22 = 22 10 Mà = 1024 > 1000, = 64 ⇒ 216 = 210.26 > 64000 nên 22 22 > 264000 2 1000 < 1000.10001000 = 10001001 Mặt khác: + + + + 1000 < ( 210 ) Từ suy 22 22 1001 = 210010 < 264000 > 12 + 22 + 33 + + 10001000 n−2 b) Ta chứng minh quy nạp > n, ∀n ≥ nN 222 Với n số 2, đặt an = , bn = 222 n 4n Ta có 222 < 10 < nên www.LuyenThiThuKhoa.vn 20 Phone: 094 757 2201 bn < ( ) 4n 4n 4n = 24 n.2 < 22 5n 2N n− 2 Và mặt khác an −2 − 5n > − 8.2 > 2 Nên an = an − n−2 − 2n +1 > 5n > 22 > bn Ta có đpcm Bài tốn 4.39: Chứng minh: a) log n ( n + 1) > log n+1 ( n + ) với số nguyên n > m m m b) a + b < c , m > , a + b = c với a > 0, b > Hướng dẫn giải  1  1 A = log n ( n + 1) = log n n 1 + ÷ = + log n 1 + ÷  n  n a)     B = log n +1 ( n + ) = log n+1 ( n + 1) 1 + ÷ = + log n+1 1 + ÷  n +1  n +1  1+ Ta có 1   1  > 1+ ⇒ log n 1 + ÷ > log n  + ÷ n n +1  n  n +1     log n 1 + ÷ > log n+1 1 + ÷  n +1  n +1   1  ⇒ log n 1 + ÷ > log n+1 1 + ÷  n  n +  Do A > B m m a b a + b < c ⇔  ÷ + ÷ 0, b > nên m 0< a b < 1,0 < < c c m a a b b  ÷ <  ÷ ; ÷ <  ÷ c c c Suy với m >  c  m m a b a b  ÷ + ÷ < + =1 c c c Từ ta có:  c  Bài tốn 4.40: a b c b c a a) Cho a, b, c > Chứng minh a b c ≥ a b c b) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn Chứng minh: 2     3 b + b + c + c > a + a  ÷  ÷     Hướng dẫn giải www.LuyenThiThuKhoa.vn 21 Phone: 094 757 2201 a) Giả sử a = max { a; b; c} a −b b − c a−c - Xét a ≥ b ≥ c : BĐT ⇔ a b ≥ c a −b b −c a −b b −c a −c Vì a ≥ b ≥ c > nên a b ≥ c b = c a −b c −b a − c - Xét a ≥ c ≥ b : BĐT ⇔ a ≥ b c c −b a − c c −b a −c a −b Vì a ≥ c ≥ b > nên b c ≤ a a = a b) Khơng tính tổng qt, ta giả sử a cạnh lớn cạnh tam giác Khi đó, ta có 2 a > b > c , a > b > c nên: 2     3 a + a + b + b > c + c  ÷  ÷     2     3 a + a + c + c > b + b  ÷  ÷     2 Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn nên b + c > a 1 x = a ; y = b ; z = c y + z > x (y Ta có: + z ) = y + z + y z ( y + z ) > y + z + y z = ( y + z ) > ( x3 ) = x6 2 2 2 2 3 Suy y + z > x hay b + c > a ⇒ đpcm Bài toán 4.41: a) ( abc ) Cho a, b, c > Chứng minh a +b + c ≤ a a bb c c 1  x, y , z , t ∈  ;1÷   Chứng minh: b) Cho số 1 1 1    1  log x  y − ÷+ log y  z − ÷+ log z  t − ÷+ log t  x − ÷ ≥ 4 4 4    4  Hướng dẫn giải a) BĐT ⇔ log ( abc ) a +b+c ≤ log ( a a bb c c ) ⇔ ( a + b + c ) log ( abc ) ≤ ( log a a + log b b + log c c ) ⇔ ( a + b + c ) ( log a + log b + log c ) ≤ ( a log a + b log b + c log c ) ⇔ ( a − b ) ( log a − log b ) + ( b − c ) ( log b − log c ) + ( c − a ) ( log c − log a ) ≥ BĐT số 10 > nên x ≥ y > ⇒ log x ≥ log y < x ≤ y ⇒ log x ≤ log y nên ( x − y ) ( log x − log y ) ≥ , ∀x > 0, ∀y > www.LuyenThiThuKhoa.vn 22 Phone: 094 757 2201 1  a − ÷ ≥ ⇒ a − ≤ a 2 b) Ta có:  với a < x, y , z , t < Và nên hàm nghịch biến, đó: VT ≥ log x y + log y z + log z t + log t x = ( log x y + log y z + log z t + logt x ) ≥ log x y.log y z.log z t log t x = = Bài toán 4.42: Chứng minh: n n +1 > ( n + 1) , ∀n ∈ ¥ , n > n a) b) n x n + y n ≥ n +1 x n +1 + y n+1 với n nguyên, n ≥ x, y ≥ Hướng dẫn giải a) Với n ∈ ¥ , n > , bất đẳng thức tương đương ( n + 1) ln n > n ln ( n + 1) ⇔ Xét f ( x) = n +1 n > ln ( n + 1) ln n x ln x − f ' x = >0 ( ) ln x ( 3;+∞ ) ln x Do f đồng biến ( 3;+∞ ) nên: n + > n > ⇒ f ( n + 1) > f ( n ) (đpcm) b) Với x = y = , bất đẳng thức Với xy > , bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với n +1 n x x n 1+  ÷ ≥ n +1 +  ÷  y  y f '( t ) = Xét f ( t) = t n−1 ( − t ) n +1 Ta có (1+ t ) n +1 n + n (1+ t ) n n −1 n n +1 1+ tn + t n+1 với t ∈ ( 0; +∞ ) ; f '( t ) = ⇔ t = BBT x f '( t ) +∞ + − f ( t) www.LuyenThiThuKhoa.vn 23 Phone: 094 757 2201 Suy f ( t) ≥1 với t ∈ ( 0; +∞ ) ⇒ đpcm Bài toán 4.43: Chứng minh bất đẳng thức sau với x > x a) e > x + ex > + x + b) x2 x2 ln ( + x ) > x − c) Hướng dẫn giải a) Xét hàm số liên tục b) Xét f ( x ) = e x − x − 1, x ≥ [ 0; +∞ ) f ( x) = ex − Theo câu a) f ' ( x ) = e x − > 0, ∀x > nên f đồng biến [ 0; +∞ ) : x > nên f đồng biến ⇒ f ( x ) > f ( 0) = ( 0; +∞ ) f : đpcm x2 − x − 1, x ≥ f '( x) = ex − x −1 f '( x ) > nên f đồng biến x > ⇒ f ( x ) > f ( 0) = [ 0; +∞ ) : đpcm x2 ln ( + x ) − x + > 0, ∀x > c) BĐT: x2 x2 f ( x ) = ln ( + x ) − x + , x ≥ 0, f ' ( x ) = ≥0 1+ x Xét f liên tục Do đó: [ 0;+∞ ) nên f đồng biến x > ⇒ f ( x ) > f ( 0) = [ 0;+∞ ) : đpcm Bài toán 4.44: Chứng minh:  π 4sin x + tan x > 23 x + , ∀x ∈  0; ÷  2 a) b) ex > x x − x + với x Hướng dẫn giải a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 4sin x + tan x ≥ 4sin x.2 tan x = 22 sin x + tan x + 2sin x + tan x + > 23 x + ⇔ 2sin x + tan x > x Ta cần chứng minh: Xét f ( x ) = 2sin x + tan x − x,0 ≤ x < www.LuyenThiThuKhoa.vn π 24 Phone: 094 757 2201 f ' ( x ) = 2cos x + 1 − > 2cos x + −3≥ 2 −3> cos x cos x  π : x > ⇒ f ( x ) > f ( 0) = 0; ÷  nên f đồng biến : đpcm b) Nếu x ≤ BĐT Nếu x > , x − x + > 0, ∀x nên BĐT ⇔ x2 − 2x + > x e x Xét f ( x ) = x − x + 2, x > f ' ( x ) = x − 2, f ' ( x ) = ⇔ x = Lập BBT f ( x ) = f ( 1) = x e x − xe x − x g ( x ) = x , x > 0, g ' ( x ) = = x ; g '( x ) = ⇔ x = e e2 x e Xét Lập BBT max g ( x ) = g ( x ) = e Vì f ( x ) > max g ( x ) ⇒ đpcm Bài toán 4.45: Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 e + cos x ≥ + x − , ∀x a) x b) ) ( e x − e − x ≥ 2ln x + + x , ∀x ≥ Hướng dẫn giải x2 f ( x ) = e + cos x − − x + , D = ¡ a) Xét hàm số x f ' ( x ) = e x − sin x − + x; f ' ( x ) = ⇔ x = f '' ( x ) = e x + − cos x > 0, ∀x nên f '( x ) đồng biến ¡ , ta có: f ' ( x ) < f ' ( ) = 0, ∀x; f ' ( x ) > f ' ( ) = 0, ∀x > BBT: x −∞ +∞ f '( x ) − + f ( x) x2 f ( x ) = e + cos x − − x + ≥ 0, ∀x Vậy x b) Xét hàm số ) ( f ( x ) = e x − e − x − 2ln x + + x , D = [ 0; +∞ ) www.LuyenThiThuKhoa.vn 25 Phone: 094 757 2201 f ' ( x ) = e x + e− x − + x2 2 x −x Vì e + e > + x Do f ( x) đồng biến : f '( x ) = ⇔ x = x nên ta có f ( y) > f ( x) hay y x − y > ln − 4x 1− y 1− x y − x > nên suy ra:  y x  − ln  ln ÷> ⇒ y − x  1− y 1− x  đpcm b a  a   b 1 2 + a ÷ ≤ 2 + b ÷    a > b > Bài toán 4.47: Cho Chứng minh  Hướng dẫn giải Với a > b > , bất đẳng thức tương đương b b b a  a +   4b +  a b  a ÷ ≤  b ÷ ≤ ( + 1) ≤ ( + 1)     ⇔ b.ln ( + 1) ≤ a.ln ( + 1) ⇔ a Xét f ( x) = b ln ( + x ) x ln ( + 4a ) a ≤ ln ( + 4b ) b ,x >  1  x ln f '( x ) =  x − ln ( + x ) ÷ = x.ln x − ( + x ) ln ( + x ) < x x  1+  x ( nên f nghịch biến: a > b > ⇒ f ( a) < f ( b) : www.LuyenThiThuKhoa.vn 26 ) đpcm Phone: 094 757 2201 Bài toán 4.48: Cho p > 1, q > thỏa p + q = pq a, b > a p bq ab ≤ + p q Chứng minh Hướng dẫn giải Xét hàm số f ( a) = f '( a ) = a Mà p −1 a p bq + − ab p q với a > − b, f ' ( a ) = ⇔ a p + = pq ⇒ ( p − 1) ( q − 1) = Lập BBT p −1 =b⇔a=b p −1 q −1 nên a = b f = f ( b q −1 ) = ⇒ đpcm Bài toán 4.49: Cho a, b > a + b = Chứng minh bất đẳng thức e ax +by ≤ a.e x + b.e y , ∀x, ∀y Hướng dẫn giải Ta có b = − a < a < nên BĐT: e ax + ( 1− a ) y ⇔ e y e Xét ≤ a.e x + ( − a ) e y a( x − y ) ≤ e y + a ( e x − y − 1) e a( x− y ) − a.e x − y + a − ≤ f ' ( t ) = a ( e at − et ) , f ' ( t ) ⇔ t = f ( t ) = e at − a.et + a − 1, t ∈ ¡ BBT x −∞ f' + f Suy f ( t ) ≤ 0, ∀t ⇒ +∞ 0 − đpcm Bài toán 4.50: Cho a, b, c > Chứng minh ( a + b) b) b a a) a + b > c + ( b + c) + ( c + a) > a b Hướng dẫn giải b a a) Nếu a ≥ b ≥ a + b > f ( x ) = ( + x ) − − α x, x > 0,0 < α < Nếu < a, b < Xét α www.LuyenThiThuKhoa.vn 27 Phone: 094 757 2201 f '( x ) = α ( + x ) α −1   −α = α  − ÷<  ( + x ) 1−α ÷   x > ⇒ f ( x ) < f ( 0) = ⇒ ( + x ) < + α x α nên Áp dụng a= 1 a +1 , x > ⇒ ab > = 1+ x + xb a + b + ab ba > Tương tự: b +1 = ⇒ ab + ba > 1 + ya a + b + ab b) Trong số a + b, b + c, c + a ( b + c) a (*) + ( c + a ) > b a + ab > có số, chẳng hạn a + b ≥ ( a + b) c ≥1 b suy đpcm Còn số bé dùng bất đẳng thức (*) BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 4.1: Thực phép tính −0,75 1 A = 27 +  ÷  16  B = ( −0,5 ) − 250,5 −4 −1  1 − 6250,25 −  ÷  4 + 19 ( −3 ) −3 Hướng dẫn Dùng quy tắc mũ Kết A = 12, B = 10 Bài tập 4.2: Rút gọn biểu thức: −2  ax3 − a x + ax  a a R= + + ÷ 1+  ÷ x x a − x ax   a) với a > 0, x > 0, a ≠ x a + a2 − b a − a2 − b S= ± 2 b) , với a, b > 0, a ≥ b Hướng dẫn  a R = ax 1 + ÷= a x  a) Kết b) Kết S= ( x+ a ) a + a2 − b a − a2 − b − 2 Bài tập 4.3: Tính gọn a) 4+2 − 4−2 = b) + 80 + − 80 = Hướng dẫn www.LuyenThiThuKhoa.vn 28 Phone: 094 757 2201 a) Viết bình phương đủ thức hay đặt ẩn phụ VT bình phương Kết 4+2 − 4−2 = b) Viết lập phương đủ thức hay đặt ẩn phụ VT lập phương Kết + 80 + − 80 =  a + 3 b Bài tập 4.4: Trong khai triển nhị thức:  21 b  ÷ b , tìm hệ số số hạng chứa a b có số mũ Hướng dẫn Dùng nhị thức Niutơn: Kết C21 = ( a + b) n = ∑ Cnk a n −k b k k =0 21! = 293 930 9!12! Bài tập 4.5: a) Tính log 50 theo log 15 = a,log 10 = b b) Tính ln 6, 25 theo c = ln 2, d = ln Hướng dẫn a) Đưa số Kết 2a + 2b − b) Đưa số e Kết 2d − 2c Bài tập 4.6: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) Nếu a + b = ab 2 log a+b = ( log a + log b ) ab + ( a − b ) = b) Nếu log12 18 = a,log 24 54 = b , Hướng dẫn a + b = ab ⇒ ( a + b ) = 9ab a) b) Đưa số 2: log = biến đổi tương đương điều cần chứng minh 2a − 3b − log = 3−b − a Bài tập 4.7: Tìm giới hạn sau: sin x 2x x a) x→0 e − lim b) lim x →0 1+ 2x − + x tan x Hướng dẫn a) Chia tử mẫu thức cho x Kết − ln www.LuyenThiThuKhoa.vn 29 Phone: 094 757 2201 b) Thêm bớt tử thức chia tử mẫu thức cho x Kết 12 Bài tập 4.8: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y = x + 1.log x b) y= ln ( x + 1) x Hướng dẫn y' = x2 + + ln x x2 + x log3 x a) Kết ln ( x + 1) y' = − x +1 x2 b) Kết  f ( x ) ≥ + x , ∀x, y ∈ ¡  f x + y ≥ f x f y ( ) ( ) ( ) f '( x )  Bài tập 4.9: Cho f liên tục ¡ :  Tính Dùng định nghĩa kẹp giới hạn Kết f '( x) = ex Bài tập 4.10: So sánh số: a) + 30 63 b) ( ) − 3−1 Hướng dẫn a) So trung gian Kết ( 3) b) Kết − < 3−1 + 30 > + 27 = = 64 > 63 Bài tập 4.11: a) Không dùng bảng số máy tính, so sánh: log 5+ log + log 2 b) Cho số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN K= 1 + + + 2ln ( + x ) − y + 2ln ( + y ) − z + 2ln ( + z ) − x Hướng dẫn a) Đặt a = log 5+ log + log b= 2 www.LuyenThiThuKhoa.vn 30 Phone: 094 757 2201 5+ = 10 a Suy Kết log = 10b + log + log > 2 b) Dùng bất đẳng thức AM-GM www.LuyenThiThuKhoa.vn 31 Phone: 094 757 2201 ... ex Bài tập 4.10: So sánh số: a) + 30 63 b) ( ) − 3−1 Hướng dẫn a) So trung gian Kết ( 3) b) Kết − < 3−1 + 30 > + 27 = = 64 > 63 Bài tập 4.11: a) Khơng dùng bảng số máy tính, so sánh: log 5+ log... 0,99 Bài toán 4.37: Hãy so sánh số: a) log8 27 > log 25 b) log > log 25 Hướng dẫn giải a) log8 27 > log8 25 > log 25 b) log = log = log 27 > log 25 Bài toán 4.38: 1000 a) So sánh hai số + + + ... 4.34: So sánh số: a) 13 23 b) + 15 10 + 28 Hướng dẫn giải a) 13 = 20 135 = 20 371293; 23 = 20 234 = 20 279841 Ta có 371293 > 279841 nên b) 13 > 23 + 15 < + = + < 10 + 28 Bài toán 4.35: So sánh