Chuyen de 06 BDT va GTLN GTNN

CHUYÊN ĐỀ - BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN-GTNN KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Các bất đẳng thức - Bất đẳng thức BECNULI   x  �1   x Nếu x  1  �1    x  �1   x Nếu x  1   �1  - Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân n n n � �ai � a , a , , a � n i  i 1 n Nếu Dấu xảy khi: a1  a2   an - Bất đẳng thức CAUCHY-SCHWARTZ Với hai dãy số thực: a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn �n � �n � �n � a b � a bi � � � � i i � � i � � � i  i  i  � � � � � � Dấu xảy a1  kb1 , , an  kbn - Bất đẳng thức thứ tự Cho hai dãy số tăng a1 �a2 � �an b1 �b2 � �bn ( n �2 ) Nếu 1 ,  , ,  n hoán vị dãy 1, 2, , n thì: n n n i 1 i 1 i 1 �aibn1i ��aibi ��aibi - Bất đẳng thức trung bình lũy thừa Nếu xi  0i  1, n p �q  p p �1 �1 q� p� �n �xi � ��n �xi � � i 1 � � i 1 � n n - Bất đẳng thức SHUR Cho a, b, c  0, r  thì: a r  a  b   a  c   b r  b  a   b  c   c r  c  a   c  b  �0 - Bất đẳng thức CHEBYCHEP Nếu hai dãy: a1 �a2 � �an www.LuyenThiThuKhoa.vn ; b1 �b2 � �bn Phone: 094 757 2201 �n � �n � n a bi ��n�ai bi � � i� � � i  i  � � � � i 1 thì: - Bất đẳng thức MIN-COP-XKI Với hai dãy: a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn n �  bi  � i 1 n �ai2  i 1 n �b i 1 i Dùng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức: - Nếu y  f  x f  x có y '  K đồng biến K: x  a � f  x  f  a ; x  b � f  x  f  b Đối với y '  ta có bất đẳng thức ngược lại Việc xét dấu y ' phải cần đến y '', y ''', xét dấu phận, chẳng hạn tử số phân số f ' x  f  x có mẫu dương,… Nếu y ''  y ' đồng biến từ ta có đánh giá ,… f  b  f  a f  b  f  a   f ' c  ba ba - Bất đẳng thức có biểu thức dạng dùng định lý Lagrange , tồn số c � a; b  hay giá trị f ' c  x � a; b  - Bất đẳng thức JENSEN: có đánh giá bất đẳng thức � a; b  i  1, n n �1 n � f a � f   � i �n �ai � f ''  x   0, x � a; b  n i  � i 1 � Nếu �1 n � n f � �ai �� �f   f ''  x   0, x � a; b  Nếu �n i 1 � n i 1 - Phương pháp tiếp tuyến: Cho n số thuộc K có tổng a1  a2   an  nb không đổi Bất đẳng thức có dạng f  a1   f  a2    f  an  �nf  b  Lập phương trình tiếp tuyến x  b : y  Ax  B Nếu f  x  �Ax  B Khi K, dấu xảy x  b f  a1   f  a2    f  an  �A  a1  a2   an   nB  Anb  nB  n  Ab  B   nf  b  Dấu xảy a1  a2   an  b Còn f  x  �Ax  B K, dấu xảy x  b có ngược lại www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 f  a1   f  a2    f  an  �nf  b  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Đối với hàm số y  f  x D Xét dấu đạo hàm y ' từ bảng biến thiên có kết luận GTLN, GTNN Nếu cần đặt ẩn phụ t  g  x y  f  x Nếu đồng biến đoạn với hàm nghịch biến Nếu y  f  x liên tục đoạn với điều kiện đầy đủ t  a; b  a; b thì: f  x   f  a  f ' x     f  a  ; f  b   2 max f  x   f  b  Ngược lại  a; b GTNN có nghiệm xi thì:  f  a  ; f  x  ; f  x  ; ; f  b   max f  x   max  f  a  ; f  x  ; f  x  ; ; f  b    max  f  a  ; f  b   a; b  Nếu f lồi đoạn  GTLN f  x   và f lõm đoạn Đối với đại lượng, chọn đặt biến x (hoặc t), kèm điều kiện tồn Dựa vào giả thiết, quan hệ cho để xác lập hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ CÁC BÀI TỐN Bài tốn 6.1: Chứng minh bất đẳng thức: �� x �� 0; � � 2� a) 2sin x  tan x  x với b) cos  x  y   y sin x 5 x  2y  x sin y với x  0, y  Hướng dẫn giải � � 0; � � f  x   2sin x  tan x  3x a) Hàm số liên tục nửa khoảng � �và: f '  x   2cos x  1   cos x  cos x  3  cos x cos x � � 0; � � �nên f  x   f    � Do hàm số f đồng biến b) Xét hàm số: Ta có f  t  f ' t   sin t 5 0t  t với t cos t  sin t cos t  t  tan t   t2 t2 www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 Nếu  tan t  t � f '  t   0t   �t � sin t �0 � f '  t   Nếu cos t �0 Nếu  t  5 5 f ' t  0,0  t    nên f hàm số cos t  0; tan t  t � f '  t   Do � 5 � 0; � � nghịch biến khoảng � �  x  x  2y  Từ giả thiết có sin  x  y  sin x 5 �  x  2y x Do x  x  y  nên từ có x sin  x  y   x sin x  y sin x � x.2cos  x  y  sin y  y sin x � đpcm (vì x  x  2y  5 5 �y � sin y  ) Bài toán 6.2: Chứng minh bất đẳng thức  �sin x � �� 0; � � � �cos x, x �� x �với  �3 � � � a) b)  x  1 cos    x cos  1, x � x 1 x Hướng dẫn giải �� sin x x �� 0; � 0 1 � �  sin x  x x a) Khi có nên �sin x � �� 0; � � ��cos x, x �� x 2� � � � Suy Xét hàm số Ta có F  x  F ' x   sin x ��  x, x �� 0; � cos x � 2� 2cos x  3cos x cos x  3cos x cos x Xét G  t   2t  3t t  1, t � 0;1 nên G t nghịch biến www.LuyenThiThuKhoa.vn   G '  t   t  t �0, t � 0;1 G  t  �G  1  0, t � 0;1 Phone: 094 757 2201 � � F '  x  �0, x �� 0; � �nên F  x  đồng biến � Suy � � F  x  �F    0, x �� 0; � � 2� Do � x sin b) BĐT � x sin   x  1    sin   cos  2sin 2 x  x  1 x  x  1 x 1  x  1   x  1   sin  sin 2 x  x  1 x  x  1  x  1 x� �0 Vì   x  1      x  1 x  x  1 sin   x  1   sin 0 x  x  1  x  1 � x sin Ta chứng minh: t Đặt Xét Vì  ,t  x  x  1    sin x  x  1  x  1   � x sin t  sin xt f  t   x sin t  sin xt , t �0, f '  t   x cos t  x cos xt  x  cos t  cos xt   t  xt  � f  t  � f ' t   với t  đồng biến  0; � � f  t   f    � đpcm Bài toán 6.3: Chứng minh bất đẳng thức với n nguyên dương: a) b) n x n  y n �n 1 x n1  y n 1 với n �2 x, y �0 x x3 xi x2n  x      1   �0 2! 3! i!  2n  ! với x Hướng dẫn giải a) Với x  y  , bất đẳng thức n Với xy  , BĐT: Xét hàm số f  t  n 1 �x � �x � n 1 � � �n1  � � �y � �y � n n 1 1 tn  t n 1 với t � 0; � www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 f ' t   t n 1   t  n 1 Ta có 1 t  n 1 n  n 1 t  n n 1 ; f ' t   � t  BBT x f ' t  � + − f  t Suy f  t  �1 với t � 0; � � đpcm i x x3 x2n i x f  x   1  x     1   , x �� 2! 3! i!  2n  ! b) Xét f  x  �1 �0 Với x  : Với x  2n thì: �x n �x � �x x � x n1 � f  x    �  x � �  �  � � n  !   n  1 ! � � �2! � �4! 3! � � � x x3 x n1    x     x      x  2n  �1 �0 2! 4!  2n  ! : 0;2n  Với �x �2n f liên tục đoạn  nên tồn giá trị bé x0 Nếu x0  hay x0  2n f  x  �f  x0  �1 �0 Nếu x0 � 0; 2n  f đạt cực tiểu x2 x n1 x2n f '  x   1  x      f  x 2!  2n  1 !  2n  ! x02 n  2n  ! f '  x0   �f  x0  Vì f  x f  x0  : Bài toán 6.4: Chứng minh bất đẳng thức sau: a) b) a  b  c  d  2abcd   a 2b  a 2c  a d  b 2c  b d  c 2d   27c  2a  9ab  a  3b  với số a, b, c, d dương với a, b, c số mà phương trình: x  ax  bx  c  có nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải a) Khơng tính tổng qt, giả sử a �b �c �d  www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 Xem vế trái hàm số f  a  , a �0 f '  a   4a  2bcd  2a  b  c  d  f ''  a   12a   b  c  d   f ' a  a � b  0;� : a  Vì f '  b   2b  b  c   2bd  c  d  �0 � f  a   f  0  f  x  nên f  a đồng biến : đpcm f  x   x3  ax  bx  c, D  �, f '  x   x  ax  b b) Đặt Vì f ' b   0;� : nên f ' đồng biến f ' x   có nghiệm phân biệt nên có nghiệm phân biệt: a  a  3b a  a  3b x1  , x2  3 với a  3b  Và hệ số cao f dương nên yC Ð  f  x1   f  x2   yCT  � ab �1 f  x   � x  a �f '  x    3b  a  x  c  � 9 �3 Ta có � f  xi   Từ ab 3b  a  xi  c   9 f  x1   � 2 a  3b   2a3  27c  9ab f  x2   � 2a  27c  9ab  2a  27c  9ab  Do vậy: a a  3b   3b  3 Bài toán 6.5: Chứng minh bất đẳng thức: x2 1 x   1 x  1 x , với x  a) b)  x2  1 y2 �  xy với x, y � 0;1 Hướng dẫn giải a) Xét hàm số f ' x   f  x  1 x  1 x 0;�  Ta có: 1  �0 f  x 0;� 2 1 x với x �0 nên đồng biến nửa khoảng  www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 Do f  x   f  0  với x �0 x2 g  x  1 x 1   0;� Xét hàm số g ' x   Ta có: 1 x 1   , g ''  x    �0 4 1 x 1 x 1 x g ' x   g '  0  đpcm Suy g đồng biến f  x  b) Giữ y cố định, xét hàm số f ' x   Ta có x 1 x  3/2 Như dấu f ' x    0;� nên 0;� nên g ' đồng biến  , g  x   g  0  với x � 0; � � 1    xy 1 x  y đoạn  0;1 y   xy  3/2 dấu x   xy   y   x    x  y   x  y  3x y  x y  3 Do x, y thuộc  0;1 nên thừa số thứ hai dương, y điểm cực đại, suy f  x  �f  y   f ' x  đổi dấu từ âm sang dương y, suy : đpcm Dấu xảy x  y Bài toán 6.6: Cho x, y , z �0 x  y  z  Chứng minh: �xy  yz  zx  xyz � 27 a) ��1 � �1 � �1 � � xyz � x �  � y �  � z �  � 1�� �y z � �z x � �x y � � 27 � b) Hướng dẫn giải �z � Ta có a) Giả sử z số bé T  xy  yz  zx  xyz  xy   z    x  y  z � xy  x  y  z �0 �x  y � T �� �  z    x  y  z � � Và có  1   z    z     z  z   2 z  z  1 4 www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 f  z   2 z  z  1,0 �z � Xét � 1� 0; � � f  z f '  z   6 z  z  z   z  �0 đồng biến � �, đó: �1 � T  f  z  �f � � �3 � 27 ��1 � �1 � �1 � � xyz � x �  � y �  � z �  � 1� ��y z � �z x � �x y � � b) Ta có:  x y  x z  y x  z x  z y  yz  xyz   x  y  z   xy  yz  zx   xyz  xy  yz  zx  xyz 1 x, y , z � z� Giả sử Vì x  y  z  �  số � S  x, y, z   xy  yz  zx  xyz  xy   z    x  y  z 2 1 z � 2 z  z  �x  y � � �� �  z    x  y  z  � �  z     z  z  �2 � �2 � Xét f  z  2 z  z  � 1� 3 z  z 0; f ' z  �0   � � � �thì � 1� 0; � � 3� �nên f đồng biến, �1 � max f  z   f � � �3 � 27 S  x, y , z  � xyz 27 dấu đẳng thức xảy Vậy Bài toán 6.7: Chứng minh bất đẳng thức: a) cos b  cos a �b  a b)   x  1  arctan với a, b tùy ý 1  x  x  1  x2 với x  Hướng dẫn giải a) Nếu a  b bất đẳng thức cos b  cos a �1 b  a a � b Nếu bất đẳng thức tương đương: Khơng tính tổng qt, giả sử b  a Hàm số f  x   cos x liên tục Theo định lý Lagrange, tồn www.LuyenThiThuKhoa.vn  a; b c � a; b  có đạo hàm f '  x    sin x cho: Phone: 094 757 2201 f  b  f  a  cos b  cos a  f ' c  �   sin c ba ba � cos b  cos a   sin c �1 ba : đpcm b) BĐT:   x  1 Hàm số  arctan  x  1  arctan x   x2  x  1  x f  x   arctan x liên tục Theo định lý Lagrange, tồn  x; x  1 c � x; x  1 có f ' x   1  x2 cho: f  b  f  a  arctan  x  1  arctan x  f ' c  �  ba  c2  x  1  x Vì c � x; x  1 nên   x  1  1  � 1 c  x2 đpcm Bài toán 6.8: Cho số thực dương Chứng minh a2 b2 c2 abc   � a) b  c c  a a  b 1 1 63    �a  b  c  d  với tổng a  b  c  d  b) a b c d Hướng dẫn giải a) Bất đẳng thức nên ta chuẩn hóa: a  b  c  Do a2 b2 c2 x2 f  x    �  a  b  c Xét hàm số  x với  x  f ' x   Ta có Vì f ''  x   6x  x2   x ; f ''  x    0;3 18   x nên f lõm, theo bất đẳng thức Jensen có �a  b  c �  f  a   f  b   f  c  �3 f � � � � VT 1 1 63    �a  b  c  d  b) Ta có a b c d � 1 1 63  a   b2   c2   d � a b c d www.LuyenThiThuKhoa.vn 10 Phone: 094 757 2201   12 y  1 xy x  12 y  x x M  2 � 12 y �  x  y  12 y 3� 4 � x � � 2  t 1 12 y M  f  t  t  ,t  3 t  4 x Đặt f ' t   Ta có  t  1 t  t  4  t www.LuyenThiThuKhoa.vn , f ' t   � t  23 Phone: 094 757 2201 BBT x � f' + f + 1/18 0 1 0M � �M � 18 Kết hợp 18 Do đó: Vậy max M  2 18 x  y , M  y  Bài toán 6.24: Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện: x3  y  z   3xyz 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z Hướng dẫn giải 3 Từ giả thiết x  y  z   3xyz �  x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   2� � �  x  y  z  �  x  y  z    x  y  z  � 2 � � Đặt t  x  y  z Khi t  Xét hàm f  t  x2  y  z  t2  3t t2  3t  0;�  t  2 4 f ' t   t   , f ' t   � t  2 3t 3t Ta có Lập BBT f  t   f t� 0; �  2  3 , đạt t  2 2 Ta có P �x  y  z � Dấu đẳng thức xảy x  2, y  z  Vậy P  , đạt x  2, y  z  Bài toán 6.25: Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x  y  x 1  y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức www.LuyenThiThuKhoa.vn 24 Phone: 094 757 2201 P  x  y   x  1  y  1   x  y Hướng dẫn giải Điều kiện x �y �1 Suy x  y �0  au  bv  Áp dụng bất đẳng thức  x  y   � a  b   u  v  x 1  y    ta có: x   y   �3  x  y  t � 0;3 Suy �x  y �3 Đặt t  x  y P   x  y    x  y     x  y    t  2t   t  2 Xét hàm f  t   t  2t   t  f '  t   2t   ; f ''  t    4t Suy f ' t  Do f '  t   f ' 0  Suy f  t Vậy đồng biến  4t  0 với t � 0;3  0;3 với đồng biến  0;3 t � 0;3  0;3 max P  max f  t   f  3  25  0;3 P  f  t   f    18  0;3 , đạt t  � x  2, y  , đạt t  � x  1, y  Bài toán 6.27: Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn: x  y2  y  x2  Hướng dẫn giải b  a � Ta có ab a2  b2 với a, b Áp dụng: x2   y y   x2 x  y2 � , y  x2 � 2 Suy  x  y  y  x �2 Do dấu đẳng thức xảy nên x   y y   x 2 Suy x, y �0 x  y  �t �  x  y   t  x  y Đặt Khi www.LuyenThiThuKhoa.vn 25 Phone: 094 757 2201   t � x2  y  Đặt t  x  y Khi t   x  y  �x  y  2 Mặt khác xy  Suy t �  x  y   x2  y2  Do � t �� � 2;2 � Suy P   x  y   12  x  y   12 xy  12  xy Ta có t2  1 �t � t2   x  y   12  x  y   12 �  1� 12  1 �2 � t2  t  6t  12t  1 Xét hàm f  t   t  6t  12t  f '  t   3t  12t  12  Vậy t2 1 � 2;2� � Ta có: � t �t � �  1� �2 � 0 , với max f  t   f    f  t   f � ;2 � � � ; � ;2� � � � t �� � 2; �    14 nên f  t � 2;2 � � đồng biến �  12 Bài toán 6.28: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  xy  yz  zx  Hướng dẫn giải �y  z   x � yz   x   x  Từ giả thiết ta có: � S �4 P �   x  �4 �  x   x � � �� 3x  x  �0 � ۣ Mà: x x3  y  z   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   3xyz   x  y  z �  3xyz �x  y  z    xy  yz  zx  � �   3xyz , nên P    3xyz  xy  yz  zx 20 20   15   15 xyz xyz x  x  5x www.LuyenThiThuKhoa.vn 26 Phone: 094 757 2201 � � ; 2� � f  x  x  4x  5x � � Xét hàm f '  x   x  x  5, f '  x   � x  1, x  �2 � �5 � 50 f  1  f    2, f � � , f � � �3 � 27 �3 � 27 � � x �� ; �  f  x  �2 �nên P �25 � Do với Dấu đẳng thức xảy x  2, y  z  hoán vị Vậy P  25 , đạt x  2, y  z  hoán vị Bài toán 6.29: Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P ab  a  2c   b  2c   16  a  b2  c2 Hướng dẫn giải 1 2  a2  b2  c2 �   a    b  c  �   a  b  c  2 Ta có: Suy ra: �  a  b2  c2  a  b  c Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: a  b a  2c  b  2c ab  a  2c   b  2c  � 2  1  a  b   a  b  4c    a  b   a  b  4c  12  a  b    a  b  4c  � � �   a  b  c � � 12 Suy ab  a  2c   b  2c  P� nên 27  a  b  c  �  a  b  c 32 1 a  b  c 27 32 P�  t t 1 Đặt t  a  b  c t  Xét hàm f  t  54 32 27 32  0; � , f '  t      t  t  1 t t  www.LuyenThiThuKhoa.vn 27 Phone: 094 757 2201 f '  t   �  t  3  16t  21t    � t  f  t   f  3  5 Lập BBT  0;� Do P �5 , dấu đẳng thức xảy a  b  c  Vậy giá trị nhỏ P −5, đạt a  b  c  Bài tốn 6.30: Tính giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y4 sin x 2 cos x  Hướng dẫn giải Đặt sin x  t ,0 �t �1 y '  4t ln  t y   1t  y'  �  t 1t Ta có 1t  ,0 �t �1 t 1 t2 22t 1t �  2t 1 t2 1 t2 2t 2u f  u   ,0  u  u Xét hàm số f ' u   Vì 1 Suy u u 2u ln  2u  u.ln  1  ; f '  u  �0 �  u � 2 u u ln 2 f  1  f    ln f  u  �2, u � 1;2 f  u   2, u � 0;1 22 t 1t �2   t : không thỏa mãn Giả sử �2t  2t f  u  0;1 nên phương trình Do  2t  Vì nghịch biến f  2t   f    t � 2t   t � t  �1 � y    9, y  1  8, y � � 5.4 �5� Ta có , so sánh y  , cos x  max y  5.4 , sin x  Bài toán 6.31: Cho số thực x, y, z thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ P3 x y 3 yz 3 zx  x2  y2  z www.LuyenThiThuKhoa.vn 28 Phone: 094 757 2201 Hướng dẫn giải z   x  y Ta có x  y  z  nên có số khơng âm khơng dương Do tính chất đối xứng ta giả sử xy �0 P  x  y  y  x  x  y  12  x  y  xy  Ta có Đặt 3 x y �3 x y �3 x y 3 yx  2.3  2.3 x y  3  12 �  x  y   xy � � � 2 x y , xét 3t  12 � �x  y   xy � � x y y x  x y t  x  y �0 f '  t   2.3 3 f  t   x y 3t  3t ln   � � �  � f đồng biến  0; � Mà  3 f  t f  0  3 3t ln  � � � �30  nên P �30   , dấu “=” xảy � x  y  z  Vậy P  Bài tốn 6.32: Cho số thực khơng âm a, b, c thỏa mãn điều kiện:  a  b  c   ab  bc  ca  12 a  b2  c2 P  ab  bc  ca abc Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Hướng dẫn giải Từ giả thiết a, b, c không âm thỏa mãn:  a  b  c   ab  bc  ca  12 Và ta có a  b  c  24   a  b  c  12 �3  a  b  c  � a  b  c �4 12 �3  a  b  c   a  b  c � a  b  c �3 Suy Đặt a  b  c � 3;4 t  24   a  b  c  P Do a  b2  c 24   a  b  c  www.LuyenThiThuKhoa.vn t � 2;3  12   a  b2  c  29 Phone: 094 757 2201 24  t   24  t � 24 � 12 5  12   � 3t  t  � t 5� t � Xét hàm f  t   3t  t  24 t  2;3 24 � 24 �   t  1  � 5t  � t � t � với t � 2;3 f '  t   6t   nên f đồng biến đoạn  2;3 max f  t   f  3  32;min f  t   f    22  2;3 Do  2;3 nên �P �4 Vậy max P  , đạt a  b  c  Min P  , đạt a  2, b  c  hoán vị 2 Bài toán 6.33: Cho số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức 2 �x  xy  z � �y  yz  x � �z  zx  y � P�   � � � � x 1 � � � y 1 � � z 1 � � � � � � rr r r r r u v �u v Với vectơ u , v ta có r r u  x; x ;1 , v  1; y ; z Chọn   x  xy  z   Hướng dẫn giải     x   x y  1.z  � x 2  x  1   y  z  �x  xy  z � �1  y  z � � � x 1 � � Do đó: � 2 �y  yz  x � �z  zx  y � �1  z  x ; � � � ��1  x  y � y 1 � � z 1 � � Tương tự � Nên P �3   x  y  z   x  y  z �6   x  y  z   12 Dấu đẳng thức xảy x  y  z  Vậy giá trị lớn P 12, dấu = x  y  z  Bài toán 6.34: Cho số thực x, y, z thuộc đoạn P  0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức: x3  y3  z    y  z2  x2  www.LuyenThiThuKhoa.vn 30 Phone: 094 757 2201 Hướng dẫn giải Vì a, b � 0;1 nên ta có: a3  a2  � b2 � �   a  3 � 1 � b2  b2  2 � b2  �  2 b2 a   a    2  b2  2 2 b2 �  a  3   a  3   a  b    a 2b 2 2 Dấu đẳng thức xảy a, b � 0;1 b3  2 2 � b c    b c 2 Tương tự: c  2 c3  3 �  c  a    c2a 2 a 2 2 9 P �   a 2b  b 2c  c a  � Suy Vậy giá trị lớn P , đạt ba số a, b, c có nhiều số 1, số lại Bài tốn 6.35: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện:  x  y  z   xyz P Tìm giá trị lớn biểu thức: 1    x  yz  y  zx  z  xy Hướng dẫn giải Ta có: Và: 3xyz   x  y  z  �4.3 xyz nên xyz �8  x  yz �2 2 x  yz �2 2 x yz  2 xyz yz �4 yz 1 1 �1 � � � � �  x  yz 4 yz � yz � � � Suy �1 1 � �3 � � �   � �  � �2 yz � �4 yz � 1 �3 � 1 �3 � � � � , � � � Tương tự:  x  yz �4 zx �2  x  yz �4 xy � www.LuyenThiThuKhoa.vn 31 Phone: 094 757 2201 �9 1 � �9 � P � �    � �  � �4 xy yz zx � �4 � Do Vậy max P  , x  y  z  Bài tốn 6.36: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y   x  x  21   x  3x  10 Hướng dẫn giải �  x  x  21 �0 � � 2 �x �5 �  x  x  10 � � Điều kiện Với 2  x  : y'  x   x  x  21   2x  Cho  2 x   x  x  10  x  x  10    x   x  x  21  x  x.21  x  x  10 y '  �   x   x  x  10    x   x  x  21 �   x    x  �0 � �� 2  x  x  x  10   x         x  4x  11 � � � �x  hay x  �� � x � 51x  104 x  29  � Ta có y  2   3; y  1  2; y    x 3 Vậy y  Bài toán 6.37: Cho hàm số f, xác định � thỏa mãn: f  cot x   sin x  cos x, x �� Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số g  x  f  x f   x đoạn  1;1 Hướng dẫn giải Đặt z  cot x f  z   f  cot x   sin x  cos x  z2  2z 1 z2 1 x2  x    x     x   g  x  x2   1 x 1 suy www.LuyenThiThuKhoa.vn 32 Phone: 094 757 2201 � 1� t �� 2; � x � 1;1 y   x t  xy 4� � Đặt Do nên ta có t  8t  g  x   h t t  2t  h ' t     5t  4t   t  2t   , h ' t   � t   34 �1 � max g  x   max h  t   h � � x� 1;1 � 1� �4 � 25 t�� 2; � � 4� Lập BBT thì: �2  34 � g  x   h  t   h � �  34 x� 1;1 � 1� t�� 2; � � � � 4� Bài toán 6.38: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện biểu thức P Ta có 32a  b  3c   32b3  a  3c    a  c   b  c   4c Tìm giá trị nhỏ a2  b2 c a �c b � �c � � �  a  c   b  c   4c � � �  1� �  1� � a b x  ;y  c c  x  1  y  1  Đặt � S  P  � P   S Do 3 � � x � � y �� 2 P  32 � � � � �� x  y � �y  � �x  �� � � �x y � 2 �8 �  � x  y �y  x  � � S  3S    S  � S � S  3S  P � S  8�  8� � � S   S    �3S  P  � � � 3 �S  5S  � S �S  � S  8�  8� � � �2 � � 2S  12 �   S  1  S , S �2 www.LuyenThiThuKhoa.vn 33 Phone: 094 757 2201 P '   S  1  0, S �2 Dấu “=” xảy chẳng hạn x  y  Vậy P  P     BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 6.1: Chứng minh bất đẳng thức: a) tan x  x  �� x3 x �� 0; � � 2� với b) b.tan a  a.tan b với 0ab  Hướng dẫn a) Xét b) Xét f  x   tan x  x  x3  ,0 �x  tan x  ,0  x  x f  x  Bài toán 6.2: Cho a, b, c số dương, đặt X  bc ca ,Y  abc abc 1  � 2 1 Y Chứng minh  X Hướng dẫn a  b  2c �1 abc , cố định X giảm giá trị Y vế trái bất đẳng thức tăng lên nên ta cần chứng minh X  Y  X Y  Bài toán 6.3: Chứng minh  a  b a) 8a ab  a  b �  ab � 8b với a �b   a  b  3c    a  c  3b    c  b  3a  2 2c   b  a  2b   c  a  2a   b  c  b) 2 � với a, b, c  Hướng dẫn a) Dùng định lý Lagrange x b) VT bậc Đặt a b c ,y  ,z   a  b  c  a  b  c  a  b  c Bài toán 6.4: Chứng minh www.LuyenThiThuKhoa.vn 34 Phone: 094 757 2201 a b  c a)  b  c  a2  b c  a  c  a  b2  c  a  b �  a  b  c2 với a, b, c  a b c 3   � a , b, c � a  b  c  b) a  b  c  10 với Hướng dẫn a) Chuẩn hóa: a  b  c  dùng tiếp tuyến x  b) Tiếp tuyến x x f  x  hàm số x 1 Bài toán 6.5: Chứng minh a) tan A B C  tan  tan � 2 với tam giác ABC n 1 2xn  x � xn  � � � � � n 1  x � � n x  với x  0, x �1, n �1, n �� b) Hướng dẫn x f  x   tan ,0  x   a) Dùng bất đẳng thức Jensen cho b) Chứng minh quy nạp Bài tập 6.6: Cho ABC tam giác có ba góc nhọn, cạnh a, b, c Chứng minh: a) �a b c �  a  b  c  � �   � �A B C � b)   a  b  c  �3  aA  bB  cC  Hướng dẫn a) Áp dụng bất đẳng thức Trebusep b) Áp dụng bất đẳng thức Trebusep Bài tập 6.7: Chứng minh bất đẳng thức: a) x y x y  � 2019  x 2019  y 2019  x  y với x, y �� a b c ab bc   �  1 b) b c a b  c a  b với a, b, c  Hướng dẫn a) Xét hàm số f  t  t , t �0 2019  t , �  a  b   b  c   a  b  b  c b) BĐT www.LuyenThiThuKhoa.vn 35 Phone: 094 757 2201 b2  a  b  cb  b  c  a 2c �  a  ab  ac   b  ab  c  bc b c a Bài toán 6.8: Chứng minh rằng: a)  cot x  cos x  � 0 x sin x với 2 a b bc c a � �   �� 1 � c a b � a, b, c � 1;2 � b) với Hướng dẫn a) Đặt t  tan x, t  Đưa t.ln t � t  1 ln t 1 b) Dồn biến với giả sử �a �b �c �1  Xét f  a  a  b   b  c   c  a  abc f ' a  Bài tập 6.9: Cho số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: a) a4 b4 c4 d4 abc d    � 2 2 2 2  a  b  a  b   b  c  b  c   c  d   c  d   d  a  d  a   a  b3  c    a  b  c   12abc � , a  b  c  b) Hướng dẫn a) Dùng BCS b) Đặt x  ab  bc  ca, y  abc 18 y  12 x  � Đưa chứng minh: Bài tốn 6.10: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f  x  1 f  x   sin x  cos x  a) b) sin x cos x  cos x sin x sin x  cos x Hướng dẫn a) Đặt t  cos x  sin x xét hàm f  Kết b) Kết 4 ; max f  8 8 max f  27 , f  Bài toán 6.11: Cho số dương có tổng www.LuyenThiThuKhoa.vn 36 Phone: 094 757 2201 a) Tìm GTNN  a  b3  c  d    a  b  c  d  1 b  c 1 c  a 1 a  b   2  a  b  c2 b) Tìm GTLN Hướng dẫn 1 abcd  a) Dùng phương pháp tiếp tuyến Kết b) Kết abc 10 Bài toán 6.12: Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S   x  y   y  3x   25 xy Hướng dẫn S  16 x y  12  x3  y   xy  25 xy  16 x y  12 �  34 xy  16 x y  xy  12  x  y   3xy  x  y  � � � Đặt t  xy , ta S  16t  2t  12  x  y �xy �  � 1� � t �� 0; � 4� � � 1� 0; � � f  t   16t  2t  12 4� � Xét hàm đoạn Kết max S  25 191 S  , 16 www.LuyenThiThuKhoa.vn 37 Phone: 094 757 2201 ... lớn nhất, nhỏ Đối với hàm số y  f  x D Xét dấu đạo hàm y ' từ bảng biến thiên có kết luận GTLN, GTNN Nếu cần đặt ẩn phụ t  g  x y  f  x Nếu đồng biến đoạn với hàm nghịch biến Nếu y ... a; b GTNN có nghiệm xi thì:  f  a  ; f  x  ; f  x  ; ; f  b   max f  x   max  f  a  ; f  x  ; f  x  ; ; f  b    max  f  a  ; f  b   a; b  Nếu f lồi đoạn  GTLN. .. �۳ �4 20 nên � 4 Vậy giá trị nhỏ S , đạt S 24 abc 44 Bài toán 6.23: Cho x  y tùy ý Tìm GTLN, GTNN M x  xy  y  x  x  12 y  Hướng dẫn giải Xét y  M  Xét y �0 thì: www.LuyenThiThuKhoa.vn