Giai PT vo ti cho hoc sinh lop 9

Hoc360.net - Tài liệu học tập miễn phí Giải phương trình vơ tỷ cho học sinh lớp A- Hệ thống hoá kiến thức liên quan bổ sung số kiến thức mở rộng Các tính chất luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng qt hố tính chất luỹ thừa bậc chẵn luỹ thừa bậc lẻ Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử , đẳng thức Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị tuỵêt đối Cách giải phương trình, bất phương trình bậc , bậc ẩn, cách giải hệ phương trình Bổ sung kiến thức để giải phương trình đơn giản: * = A * * B ⇔ A ≥  B ≥ A = B2  A ≥ A= B⇔ A = B A+ B =0⇔ A=B=0 B Cung cấp cho học sinh phương pháp thường dùng để giải phương ttrình vơ tỷ Phương pháp Nâng lên luỹ thừa để làm vế phương trình( thường dùng vế có luỹ thừa bậc) Ví dụ: Giải phương trình x − − x − = 3x − (1) + phương trình (1) hai vế có bậc hai, học sinh mắc sai lầm để nguyên hai vế bình phương hai vế để làm Vì giáo viên Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Hoc360.net - Tài liệu học tập miễn phí cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh mắc phải tức cần khắc sâu cho học sinh tính chất luỹ thừa bậc 2: a=b ⇔ a2 = b2 ( Khi a, b dấu ) Vì bình phương hai vế phương trình tương đương với phương trình ban đầu hai vế dấu phương trình (1), VP ≥ , vế trái chưa chuyển vế đưa phương trình có vế (1) ⇔ ≥ ≥ ta nên x − = x − + 3x − Đến học sinh bình phương hai vế: x − = x − + 3x − ⇔ (*) − x = 15 x − 13 x + 2 Ta lại gặp phương trình có vế chứa , học sinh mắc sai lầm bình phương tiếp vế để vế phải mà không để ý hai vế dấu hay chưa ⇔ − 14 x + 49x = 4(15 x − 13 x + 2) ⇔ 11 x − 24 x + = ⇔ (11 x − 2)( x − 2) =  x=  ⇔ 11  x = Và trả lời phương trình (*) có nghiệm : x1 = ; x2 = 11 Sai lầm học sinh gì? Tơi cho học sinh khác phát sai lầm : + Khi giải chưa ý đến điều kiện để thức có nghĩa nên sau giải khơng chiếu với điều kiện (1) : ĐK : x ≥1 x1 = 11 nghiệm (1) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Hoc360.net - Tài liệu học tập miễn phí + Khi bình phương hai vế phương trình (*) cần có điều kiện − 7x ≥ ⇔ x ≤ x2 = 2 không nghiệm (1) - Sau phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp , từ tơi cho học sinh tìm cách giải khơng phạm sai lầm phân tích C1: Sau tìm x= 11 x=2 thử lại (1) không nghiệm Vậy (1) vô nghiệm ( cách thử lại làm việc tìm TXĐ phương trình cho tương đối phức tạp )  x ≥   x ≥ ⇔ x ≥    x ≥ C2: Đặt điều kiện tồn thức (1) Sau giải đến (*) bình phương hai vế đặt thêm điều kiện mãn :  x ≤   x ≥ x≤ x thoả nên phương trình (1)vơ nghiệm C3: Có thể dựa vào điều kiện ẩn để xét nghiệm phương trình Điều kiện (1) : Vế trái 2x − + + 2x − − = ⇔ 2x − = ⇔ 2x − = x= (Không thoả mãn điều kiện) 2x − < ⇔ 19 ≤x≤ 2 2x − + − 2x − + = ⇔ 0x = Kết luận: 2x − − 2 x − ≥ 16 19  2x − − ≥ ⇔  ⇔x≥  x ≥ + Nếu Thì xét dấu vơ số nghiệm x thoả mãn 19 ≤x≤ 2 19 ≤x≤ 2 C2: ( Để giải (***) sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối A + B ≥ A + B dấu “=” xảy A.B 0) ≥ Giải: (***) 2x − + + ⇔ 2x − − = 2x − + + − 2x − = Ta có: Vậy: 2x − + + − 2x − ≥ 2x − + + − 2x − = 4 − x − ≥  ⇔ x ≥  2x − + + − 2x − = Khi Giải ra: ( )( ) 2x − + − 2x − ≥ 19 ≤x≤ 2 Bài tập tương tự: Giải phương trình a) x + 2− x − + x + −6 x − =1 b) (Nhân vế với x + 2x − + x − 2x − = xuất đẳng thức) Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ: Phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp hay mà tâm đắc , phương pháp dùng để giải nhiều phương trình phương pháp dùng cách đặt ẩn phụ để đưa dạng phương trình vô tỷ đơn giản Cách đặt ẩn phụ: + Đặt ẩn phụ + Đặt ẩn phụ + Đặt nhiều ẩn phụ 8 A) Cách đặt ẩn phụ : C1: Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình phương trình có ẩn ẩn phụ đặt Giải phương trình tìm ẩn phụ , từ tìm ẩn VD1:Giải phương trình: x2 +6x+12+ =9 (4) x + 3x + 2 -Nhận xét:+ phương trình bình phương vế đưa phương trình bậc mà việc tìm nghiệm khó + Biểu thức ngồi có mối liên quan : 2x2+6x+12=2(x2+3x+2)+8 Hướng giải:+ Đặt ẩn phụ y= x + 3x + + Chú ý: Đối với ĐK: x 2+3x+2 ≥0 giải với tốn mà biểu thức phức tạp tìm giá trị x thử lại xem có thoả mãn ĐK hay không Giải: ĐK: x2+3x + Đặt : ≥0 =y x + 3x + 2 PT (4) ⇔ ⇔( x+1) (x+2) ≥ ⇔ x ≤  x ≥ −1  ≥0 2y2+y+8=9 ⇔ 2y2+y -1=0 Giải ra:y1=1/2 ( Thoả mãn ĐK); y2=-1( Loại) Thay vào: =1/2 x + 3x + ⇔ x2+3x+2=1/4 Giải ra:x1= −3+ 2 Đối chiếu với ĐK: x= ; x2 = −3+ 2 −3− 2 thoả mãn nghiệm PT (4) VD2: Giải phương trình: x − x + x − 12 x + = Hướng dẫn : ĐK : x − 12 x + ≥ 0; ∀x Ta biến đổi để thấy mối quan hệ biểu thứctrong phương trình: x − x + 6( x − x) + = Đặt : x − 2x = a Ta có phương trình: 6a + = a (I) Giải(I) tìm a từ tìm x VD2: Giải phương trình: ( + x − 1)( − x + 1) = x HD: ta tìm mối liên hệ biểu thức cách đặt : 1+ x = u ; Rút x theo u thay vào biểu thức lại phương trình để đưa phương trình ẩn u Giải: ĐK : -1 ≤ x ≤1 ; C1: Đặt: 1+ x = u (0 ≤ u ≤ ) ⇒ x = u2 −1 (5) ⇔ (u − 1)( − u + 1) = 2(u − 1) ⇔ (u − 1)[ ( − u + 1) − 2(u + 1) 10 ] 10 u − = ⇔  − u + − 2(u + 1) = + Nếu : u − = ⇒ u = 1( thoả mãn) ⇒ x +1 = 1⇒ x = (Thoả mãn ĐK) − u + = 2(u + 1) 2u + ≥ ⇔ ⇔ 5u + 4u − = 2 2 − u = (2u + 1) Giải ra: Vậy u1 = −1( loại); 24 x = 0; x = − 25 thoả mãn điều kiện u2 = 24 1 ⇒ x =   −1 = − 25 5 nghiệm (5) c2:ở đặt : − x = a; + x = b ; Đưa hệ phương trình: ( a − 1)(b + 1) = a − b  a + b = C2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình ẩn: ẩn ẩn phụ, tìm mối quan hệ giưã ẩn ẩn phụ VD3: Giải phương trình: 2− x = 2− x (6) Nhận xét:- Nếu bình phương hai vế đưa phương trình bậc khó nhẩm nghiệm vơ tỷ.Vì ta đặt ẩn phụ chưa đưa phương trình chứa ẩn -Hãy tìm cách đưa hệ phương trình có ẩn ẩn ẩn phụ Tìm mối quan hệ ẩn ẩn phụ từ đ ưa phương trình đơn giản Giải: ĐK: 11 2 − x ≥  2 − x ≥ 11 Đặt: y = − x ⇒ x = − y2 ;Ta có hệ: 2 − x = y  2 − y = x Đây hệ phương trình đối xứng ⇒ ( y − x )( y + x − 1) = x = y ⇒ 1 − x = y + Nếu x=y ta có phương trình: 2− x = x + Nếu1-x=y ta có phương trình: giải − x = 1− x x =1 (thoả mãn điều kiện) giải ra: x= 1− ( Thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình (6) có nghiệm x1 = 1; x = 1− VD4: Giải phương trình: x + x + 2006 = 2006 Cách 1: Đặt x + 2006 = y  x + 2006 = y   x + y = 2006 giải ta có hệ phương trình  x + 2006 = − x x = − y x = y − ⇔    x + 2006 = x + từ sử dụng phương pháp để giải tiếp Chú ý : Cách thường sử dụng quan hệ ẩn ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng Cách 2: Đưa vế bậc: 12 12 x2 + x + 1 = x + 2006 − x + 2006 + 4 1  ⇔ x+  2   x + = ⇔ x + =  1  =  x + 2006 −  2  x + 2006 − − x + 2006 2 Đến tiếp tục giải theo phương pháp Bài tập tương tự : Giải phương trình a) b) x + = 23 x − ; HD: Đặt ẩn phụ 2x + 2x + = 4x + y = 2x − ; HD : Đặt ẩn phụ ta có hệ :  x + = y   y + = x y = x2 + x c) x + x + + x + x + = 15 B) Đặt ẩn phụ: dạng ta đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình ẩn phụ, giải hệ tìm giá trị ẩn phụ, từ từ mối quan hệ ẩn ẩn phụ đặt lúc đầu đưa phương trình đơn giản VD1: Giải phương trình: − x + x −1 = (7) Nhận xét: vế trái có bậc bậc nên việc nâng luỹ thừa vế để làm dấu khó + Hai biểu thức có mối quan hệ: − x + x −1 = (hằng số) + Đặt ẩn phụ: Sẽ đưa hệ phương trình khơng chứa giải Giải: ĐK: 13 x ≥1 Đặt: − x = u; x − = v 13 Ta có hệ phương trình: u + v =  3 u + v = Từ đó: giải x1 = 1; x = 2; x3 = 10 u1 = 0; u = 1; u = −2 ( thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình (7) có nghiệm: x1 = 1; x = 2; x3 = 10 VD2: Giải phương trình: x − + x +1 = ( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005) HD: Đặt x − = a; x + = b ; Ta có hệ: a + b =  a − b = −3 Giải ra:a=1; b=1 ; từ giải tìm x=3 Tổng qt: Đối với phương trình có dạng: n a − f ( x) + m b ± f ( x) = c Ta thường đặt: u = n a − f ( x) ; v = m b + f ( x) u + v = c  n m u + v = a + b Khi ta hệ phương trình: u + v = c  n m u − v = a − b Giải hệ tìm u, v sau dó tìm x VD3: Giải phương trình: ( 3x + 1) + ( 3x − 1) + (9 x − 1) = (9) Nhận xét: Nếu lập phương hai vế phức tạp khơng đưa dạng a.b=0 phương trình (2) x − = (3 x + 1)(3 x − 1) 14 Nên đặt ẩn phụ 14 Giải: Đặt u = 3x + (9) trở thành: v = 3x − Giải ra: u + v + uv =  u + v = u =  v = −1 ta có: 3 x + = ⇒x=0 3  x − = Vậy (9) có nghiệm x=0 Bài tập tương tự: Giải phương trình : a) 1 +x+ − x =1 2 x + a −3 x +b =1 b) Ngoài cách có số đặt ẩn phụ khơng đưa hệ PT ta tìm quan hệ ẩn phụ , thay vào hệ thức đặt lúc đầu để đưa phương trình đơn giản Như VD sau: VD4: Giải phương trình: (10) 2( x + 2) = x + Nhận xét: Nếu bình phương hai vế phương trình đưa phương trình bậc khó giải: Hướng dẫn: + Nhận xét biểu thức x3+1 ? có dạng HĐT: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1) + Tìm mối quan hệ x2+2 x3 +1 x2 +2 =(x2-x+1)+(x+1) + Từ ta đặt ẩn phụ: tìm mối quan hệ a, b từ a = x + 1; b = x − x + tìm x 15 15 Giải: ĐK : x ≥ −1 2( x + 1) = ( x + 1)( x − x + 1) Đặt a = x + 1; b = x − x + Ta có: a2=x+1 ; b2= x2-x+1 ; x2+2=a2+b2 Phương trình cho trở thành: 2( a + b ) = 5ab a = 2b ⇔ ⇔ (2a − b)( a − 2b) = b = 2a * Với a= 2b ta có: x +1 = x2 − x +1 ⇔ x − 5x − = ( Thoả mãn điều kiện)  + 37  x1 = ⇒  − 37  x2 =  + Với b=2a Ta có: Từ giải tìm x x − x +1 = x +1 ( dạng việc tìm mối quan hệ biểu thức hai vế quan trọng Vì trước giải phải quan sát nhận xét để tìm phương pháp giải phù hợp) VD5:Giải phương trình: 2(3x + 5) x + = x + x + 30 ( Đề thi vào Phan Bội Châu 2004-2005) HD : Hãy biểu diễn để thấy mối quan hệ biểu thức: [ 3( x + 3) + 1] 16 x + = 3( x + 9) + x + 16 Đặt: ; x + = a; x + = b Ta có PT: Giải ra: (3a + 1)b = a + 3b ⇔ (3b − 1)(b − a ) = b = a  x +9 =   b = ⇔   2 x + = x + ; Giải ra: x=0 VD5: Giải phương trình: x + 16 = 2( x + 8); ( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005) HD: Biến đổi 2( x + 2)( x − x + 4) = 2( x + 8) Mối liên hệ: x + = ( x − x + 4) + (2 x + 4) 2 ; Đặt: 2( x + 2) = a; x − x + = b Ta có phương trình: 5ab = 2(a + b ) ⇔ (2a − b)( a − 2b) = Từ tìm a,b, tìm x BT Tương tự: Giải phương trình a) 2( x − 3x + 2) = x + b) x + + x + = x + x + x + − 16 Hướng dẫn:Nhận xét: Đặt : (2 x + 3)( x + 1) = x + x + u = x + ≥ 0; v = x + ≥ ⇒ u + v = 3x + ⇒ 3x = u + v − 17 17 Nên ta có phương trình: u + v = u + v − 20 + 2uv ⇔ (u + v) − (u + v) − 20 = Đặt: u+v=t Ta có phương trình: t2-t-20=0 Giải ra: t = t = −4(loai )  Do đó: 2x + + x + = Đến dùng phương pháp để giải: x=3 C) Đặt nhiều ẩn phụ: VD1: Giải phương trình: x − + x − 3x − = x + x + + x − x + Nhận xét: + Phương trình nhìn phức tạp , nghĩ đến phương pháp bình phương vế đưa phương trình phức tạp + Việc đặt điều kiện để thức có nghĩa phức tạp , nên ta giải phương trình tìm x thử lại + Quan sát nhận xét biểu thức : (2 x − 1) − ( x − x − 2) = (2 x + x + 3) − ( x − x + 2) Nên nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ : Giải: Đặt x − = u; x − x − = v; x + x + = z; x − x + = t Ta có hệ : u + v = z + t  2 2 u − v = z − t Từ suy ra: Giải : x=-2 u = t ⇒ 2x − = 2x + x + 2 Thay vào thoả mãn phương trình cho , Vậy phương trình có nghiệm x=-2 ( Phương pháp thấy hay độc đáo , từ GV đặt nhiều đề tốn đẹp) Bài tập tương tự: Giải phương trình 2006 x − 2005 + 2005 x − x − 2004 = 2006 x + x − 2003 + 2005 x + x − 2002 Phương pháp 4: Đưa dạng : A2 + B2 = A.B=0 phương pháp ta sử dụng A2 + B2 = A = B = ; A.B =0 Khi A=0 B=0 18 18 Ví dụ: Giải phương trình: x + 4x + = 2x + Nhận xét: + Sử dụng phương pháp 1, 2, khó giải + Biến đổi đưa dạng A2 + B2 = Giải:Điều kiện: x≥− x + 4x + − 2x + = ⇔ ( x − x + 1) + (2 x + − 2 x + + 1) = ⇔ ( x + 1) + ( x + − 1) = x + =   2x + − = Giải x=-1 Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x + 2x + = 4x + Nhận xét: + phương trình ta đặt ẩn phụ y = x + x từ đưa hệ phương trình đối xứng:  y = x + x   x = y + y Từ suy ra: x = y  x = −2 − y  giải tìm x + Ta nhân vế phương trình với đưa dạng: x + ( x + − 1) = 2 Bài tập tương tự: a) 19 giải x=0 ( cách giải đơn giản hơn) Giải phương trình x − x + 26 = x + b) x+ y + z +4 = x−2 +4 y −3 +6 z −5 19 VD: Giải phương trình: x + x + − − x = −3 HD: Tìm mối quan hệ biểu thức: x + = 4( x + 1) − (1 − x) ; PT trở thành: (2 x + 1) − ( − x ) + x + + − x = ⇔ ( x + 1) − − x + = ⇔ ( x + 1) (5 x + − 1) = Giải ra: x=-24/25 ( TMĐK) Ngồi ta đặt: x + = a; − x = b a + b =  2 2a − b + 4a − b = ; ta có hê: ; Từ giải tìm a;b tìm x Bài tập tương tự : Giải phương trình x + − 3x − = HD: Nhận xét x+3 x + = ( x + 1) − ( x − ) Từ biến đổi đưa dạng :A.B =0 Phương pháp 5: Dùng bất đẳng thức Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức khơng chặt VD1: Giải phương trình: x 4x − Giải: ĐK: x> a=b Ta có: 4x − ⇔ x = 4x − Vậy (11) có hai nghiệm 20 4x − =2 x ;Sử dụng bất đẳng thức: x Do (11) + Giải ra: + a b + ≥2 b a (`11) với a, b > dấu “=” xảy 4x − ≥2 x x = 2± thoả mãn điều kiện x = 2± 20 VD2: Giải phương trình: (12) x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x 2 Nhận xét:+ở phương trình ta khơng nên bình phương hai vế + Xét biểu thức 3x2+6x+7 = 3(x+1)2 +4; 5x2+10x + 14 = 5(x+1)2 + 9; 4-2x-x2=-(x+1)2+5 từ có lời giải: Giải: VT: x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x ≥ + = VP: − x − x = − ( x + 1) ≤ Vậy vế 5, x + = ⇒ x = −1 Kết luận pt (12) có nghiệm x=-1 BT tương tự: Giải phương trình a) x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x b) x − x + 15 = x − x + 18 x − x + 11 VD3: Giải phương trình: x − + − x = x − 10 x + 27 Nhận xét: Nếu bình phương vế đưa phơng trình bậc 4, khó giải Hướng dẫn : Sử dụng BĐT so sánh vế Giải: ĐK: Ta thấy: 4≤ x≤6 x − 10 x + 27 = ( x − 5) + ≥ Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có 21 21 (1 x − + − x ) ≤ (1 2 ) + 12 ( x − + − x ) = 2.2 = ⇒ x−4 + 6− x ≤ Vậy ta suy ra: x2-10x+27=2 x−4 + 6− x = (1) (2) Giải (1) ta x=5 thay vào (2) ta thấy vế Vậy phương trình có nghiệm x=5 BT tương tự : Giải phương trình a) (HD: áp dụng BĐT si) 1− x + 1+ x + 1− x = 4 b) − x2 + − Đưa dạng: ( 1  = 4−x+  x x  )  1 − x + x +  − +  = x x  áp dụng BĐT Bunhiacopxki Tổng quát cách giải: + Biến đổi pt dạng f(x)=g(x) mà f ( x ) ≥ a; g ( x ) ≤ a với a số Nghiệm pt giá trị x thoả mãn đồng thời f(x)=a g(x) = a + Biến đổi pt dạng h(x) =m ( m số) mà ta ln có h(x) m h(x) m ≥ ≤ nghiệm pt giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy + áp dụng BĐT Côsi Bunhiacôpxki Phương pháp 6: Đốn nghiệm, chứng minh nghiệm Ví dụ: Giải pt: − x − 3x − = Nhận xét: Nếu sử dụng phương pháp khó giải nên suy nghĩ để tìm cách giải khác 22 22 Hướng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm pt + Chứng minh nghiệm Giải: Nhận thấy + Xét x >1 x =1 nghiiệm pt  − x < 5 − x < ⇒ ⇒ − x − 3x − <  3x − >  x − > nên pt vơ nghiệm + xét x ⇒ − x − 3x − >  3 x − < nên pt vô nghiệm Vậy pt có nghiệm x=-1 x=1 Ví dụ 2: Giải phương trình: x −1 + x + = −x3 + Giải: Nhận thấy x=0 nghiệm phương trình +Nếu x Vậy VP 1 nên phương trình vơ nghiệm + Nếu x>0 VP1 nên phươnhg trình vơ nghiệm Vậy x=0 nghiệm phương trình BT tương tự: Giải phương trình x + 28 + 23 x + 23 + x − + x = + Hướng dẫn: TXĐ: x ≥ Nhận thấy x=2 nghiệm Chứng tỏ: x2 phương trình vơ nghiệm 23 23 (ở phương trình phức tạp mà việc sử dụng phương pháp đến phương pháp khơng giải ta nghĩ đến phương pháp 5) Bài học kinh nghiệm Trên tơi trình bày cách nhận dạng phương pháp giải phương trình vơ tỷ Trước giải học sinh nhận xét thử biện pháp từ đễ đến khó để tìm phương pháp phù hợp để giải Sau học sinh giải tập tương tự dạng, tự đặt thêm số tập để khắc sâu thêm phương pháp giải Tôi nghĩ với vấn đề , chuyên đề toán học dạy theo dạng , sâu dạng tìm hướng tư ,hướng giải phát triển tốn Sau tập tổng hợp để học sinh biệt phân dạngvà tìm cách giải thích hợp cho chắn học sinh nắm vững vấn đề Và tin toán học niềm say mê với tất học sinh Với kinh nghiệm nho nhỏ xin trao đổi đồng nghiệp.Tơi mong góp ý chân thành đồng nghiệp thầy có nhiều kinh nghiệm giảng dạy 24 24 ... https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Hoc3 60.net - Tài liệu học tập miễn phí Giải ra: x1 = −1; x = ; Thay lại vào PT cho ta thấy nghiệm , nên nghiệm PT ban đầu Vậy (2) có nghiệm x1 =... nghiệm Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Hoc3 60.net - Tài liệu học tập miễn phí Sau tơi số tập tương tự cho học sinh trình bày lời giải Bài tập tương tự : Giải phương... triển tốn Sau tập tổng hợp để học sinh biệt phân dạngvà tìm cách giải thích hợp cho chắn học sinh nắm vững vấn đề Và tơi tin tốn học niềm say mê với tất học sinh Với kinh nghiệm nho nhỏ xin