MỘT số ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PT vô tỉ p3

MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ - PHẦN 3 Định hướng khái quát giải lớp toán: a Đặt vấn đề:  Trước hết ta quan sát tốn sau: Giải phương trình +) x - = - x +) x  x   x x  +) 4x   (x  1) 6x  x  +) 2x - 6x - = 4x +  Nhận dạng phương trình: 2 +) x  x  12  (x  3) 10  x +) 9x  25  (x  1) 2x  5x  Ta thấy có khác căn, biểu thức trước Các phương trình có dạng: Ax  Bx  C   mx  n  A ' x2  B ' x  C ' với A A' không đồng thời  Phương pháp chung để giải phương trình bình phương đưa phương trình đa thức bậc Tuy nhiên việc giải phương trình bậc khơng đơn giản chút mà cịn dài Đơi phải hỗ trợ máy tính Casio, khơng việc giải vất vả, phương trình vơ nghiệm! Ưu điểm là: chủ động việc giải phương trình, dù khó khăn cực nhọc có hy vọng lớn để giải thành công  Nếu khơng đưa phương trình bậc tìm cách giải như: Đặt ẩn phụ hồn tồn hay khơng hồn tồn, chuyển hệ phương trình, nhân liên hợp trục kết hợp nhẩm nghiệm loại thiếu định hướng chung, phải loay hoay xoay kiểu làm Tuy nói đặt ẩn phụ đặt ngay, chuyển hệ chuyển ngay, nhân liên hợp trục ngay, Như có nghĩa phải nắm giữ "các dạng con" nhánh khác giải tốt được, khơng mò từ dạng sang dạng khác Nói cách khác: bị dạng phương trình chi phối, rơi vào bị động giải toán  Chính đặt là: có định hướng giải chung cho tất phương trình đồng thời khắc phục nhược điểm đó, hay nói cách khác: Phương pháp đưa phải thỏa mãn yêu cầu: + Dễ hiểu hay tương đối dễ hiểu + Không cồng kềnh + Dễ áp dụng hay tương đối dễ áp dụng + Có thể khơng cần sử dụng máy tính Casio Đây điều nói lên: Bạn sử dụng Casio quen rồi, thiếu cơng cụ dễ bị lúng túng Đặc biệt nghiệm vô tỉ! Phương pháp đưa phức tạp cồng kềnh khó nhớ, khó hiểu, khó áp dụng khơng mang lại ý nghĩa thực tế  Thứ hai ta xét phương trình sau: x  3x   x   3x  , ta viết lại phương trình thành: x  x   3x   x  (Sau đặt điều kiện) Bình phương vế thu gọn ta phương 2 trình mới: 10 x  x   2(3 x  1) x   Như ta lại chuyển dạng phương trình đầu, điều nói lên: coi phương trình đầu hệ phương trình khác việc định hướng giải chúng lại mang ý nghĩa lớn Nếu làm điều việc chuyển vế bình phương khơng cịn đáng ngại Nắm chủ động giải toán! Dưới ta xét cách giải vài ví dụ sau khái qt cách giải b Các ví dụ giải tốn: 2  Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x  3x   (x  6) 3x  2x  (1) Hướng phân tích: (Nhận xét: nhắc lại tí mà khơng làm theo cách trừ hai vế với 5(x + 6) trục vế phải) 2 Làm nháp: ta chuyển vế thành 3x  3x   (x  6) 3x  2x   (*)     * � ax  b  u cx  d  u  Mục tiêu ta là: (**) Bây ta lại phân tích ngược trở (nhân phá ngoặc không cần phá rời - Tách phần đa thức căn):  ** �  ax  b   cx  d   3x  x   �  a  c x  b  d � � �u  (***) a  c  1 � d  b  6; bd   � &� � ac   � ad  bc   Cân hệ số từ (***) (*) ta có hai hệ sau: � Ta chọn a = -1, c = hệ sau có nghiệm b  1, d  5 Hướng dẫn giải:  1 �   x   0 + TH1: Với x �۳ x   x  x  5  x  x   2 Ta có phương trình x   x  x  � x  x   � x  � (Thỏa mãn) + TH2:  x  x  � x  x  28  � x  Kết luận: nghiệm phương trình x  1� 3, x  � 85 1� 85 �  Ví dụ 2: Giải phương trình: x - = - x (2) Hướng phân tích: Làm nháp: ta chuyển vế thành - x + + - x = (*) Mục tiêu là:  * �  ax  b  u   cx  d  u   (**) Bây ta phân tích ngược trở về:  ** �  ax  b   cx  d    x  �  a  c x  b  d � � �u 0 (***) ac  � d  b  1; bd   � &� � ac  1 �ad  bc   Cân hệ số từ (***) (*) ta có hai hệ sau: � Ta chọn a = 1, c = -1 hệ sau có nghiệm b  0, d  Hướng dẫn giải:  2 �  x     x x 1  x  + TH1: Với x �0 Ta có phương trình :  x   x � x2  x   � x  1  21 (loại nghiệm dương) x Ta có phương trình: x    x x + TH2: Với �۳ � x2  x   � x   17 (loại nghiệm âm) Kết luận: phương trình có hai nghiệm x 1 21 1 17 , x � 2  PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NGƯỢC:  Để giải phương trình: Ax  Bx  C   mx  n  A ' x  B ' x  C ' ta thực theo phương pháp phân tích ngược sau:  Chuyển vế : Hoặc Ax  Bx  C   mx  n  A ' x2  B ' x  C '   Ax  Bx  C   mx  n  A ' x  B ' x  C '  Khi phân tích nhân tử dạng:  ax  b  u   cx  d  u    Làm nháp nhân phá ngoặc cân hệ số Đảm bảo hệ số có nghiệm  Ví dụ 3: Giải phương trình: 4x   (x  1) 6x  x  Hướng phân tích: Làm nháp: chuyển vế thành 4x   (x  1) 6x  x   (*) Mục tiêu là:  * �  ax  b  u   cx  d  u   (**) Bây ta phân tích ngược trở về:  ** �  ax  b   cx  d   x  x   �  a  c x  b  d � � �u  (***) d  b  1; bd   6 �a  c  � &� � ad  bc   4 Cân hệ số từ (***) (*) ta có hai hệ sau: �ac   � Ta chọn a = 3, c = -2 hệ sau có nghiệm b  0, d  1 Hướng dẫn giải:  * �  x    x  x  2 x   x  x   2 + TH1: Với 3x �0 Ta có phương trình : x  x  x  � x  x   (vô nghiệm) x�۳1 + TH2: Với  x � x2  5x   � x  1/ Ta có phương trình: x   x  x  (Thỏa mãn) (loại nghiệm -1) Kết luận: phương trình có nghiệm x � Nhận xét: Cách nhẩm chưa "ngon lành" chậm làm nháp, ưu điểm rèn luyện tư duy, có hướng để mị, ngồi lời giải tương đối ngắn gọn Hơn không q khó khơng q lệ thuộc máy tính Casio, chủ động giải toán dạng  Ví dụ 4: Giải phương trình: 6x + + (2x + 1) 15x + x + = Hướng phân tích: Làm nháp: Ta cần: ( ax + b) ( cx + d) + u + � ( a + c) x + b + d� � �u = ac  d  b  1; bd   � � &� � ac  15  � ad  bc   Ta có: � suy hệ có nghiệm: a  5, c  3, b  0, d  Hướng dẫn giải:    x   (2 x  1) 15 x  x   � x  15 x  x  3 x   15 x  x   + TH1: x �0 , ta có phương trình: + TH2: �۳ 3x 5 x  15 x  x  � 10 x  x   � x   10 2 ta có phương trình: 3x   15 x  x  � x  x   � x �� x Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  � 10  Ví dụ 5: Giải phương trình: x + 11 = (x + 3) 2x + 5x - (x ��) Hướng phân tích: � ( a + c) x + b + d� - x - 11+ (x + 3) 2x2 + 5x - = Ta cần: ( ax + b) ( cx + d) + u + � �u = � a +c = � � � ac = - � Ta có � � d + b = 3;bd - = - 11 � � a = 2,c = - 1,b = 4,d = - � � ad + bc + = � � Hướng dẫn giải: ( )( ) x + 11 = (x + 3) 2x2 + 5x - � 2x + + 2x2 + 5x - - x - + 2x2 + 5x - = -4 + TH1: 2x +� x , ta có phương trình: - 2x - = 2x2 + 5x - � 2x2 + 11x + 23 = � x �� x + TH2: �۳- x 1, ta có: Kết luận: Phương trình có nghiệm x + = 2x2 + 5x - � x = x= - + 41 - + 41 2  Ví dụ 6: Giải phương trình: 4x + 19x + = x 2x - 4x + (x ��) Hướng phân tích: 2 � ( ax + b) ( cx + d) + u + � u =0 ( a + c) x + b + d� � � Nháp: - 4x - 19x - + x 2x - 4x + = � � a +c = d + b = 0;bd + = - � � � � � � ac + = - ad + bc - = - 19 Ta có � � Hệ có nghiệm a = - 2, c = 3, d = 3, b = - Hướng dẫn giải: ( )( ) 4x2 + 19x + = x 2x2 - 4x + � - 2x - + 2x2 - 4x + 3x + + 2x2 - 4x + = � � - 2x - �0 x �- 3/ � � � � � x = - + 13 � � � � 2x2 + 16x + = 2x + = 2x2 - 4x + � � � + TH1: � � � 3x + �0 x �- - 11- 79 � � � � �x= � � 2 � � 7x + 22x + = - 3x - = 2x - 4x + � � � +TH2: � Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x = - + 13, x = - 11 + 79 � 2  Ví dụ 7: Giải phương trình: x - x - 12 = (x + 3) 10 - x Hướng phân tích: 2 � ( ax + b) ( cx + d) + u + � ( a + c) x + b + d� � �u = Nháp: - x + x + 12 + (x + 3) 10 - x = � � a +c = d + b = 3;bd + 10 = 12 � � � � � � ac - = - ad + bc = � � Ta có � � Hệ có nghiệm a = 1, c = 0, d = 1, b = Hướng dẫn giải: ( )( ) x2 - x - 12 = (x + 3) 10 - x2 � x + + 10 - x2 + 10 - x2 = � x �- � - x - = 10 - x � � � x = - � � 2x + 4x - = � � Kết luận: Phương trình có nghiệm x = - 2  Ví dụ 8: [Tốn Học & Tuổi Trẻ số 420] Giải phương trình: 4x + 14x + 11 = 6x + 10 Hướng phân tích: � ( ax + b) ( cx + d) + u + � ( a + c) x + b + d� � �u = Nháp: - 4x - 14x - 11+ 6x + 10 = � � a +c = d + b = 4;bd + 10 = - 11 � � � � � � ac = - ad + bc + = - 14 Ta có � � Hệ có nghiệm a = 2, c = - 2, d = - 3, b = Hướng dẫn giải: ( )( ) 4x2 + 14x + 11 = 6x + 10 � 2x + + 6x + 10 - 2x - + 6x + 10 = Vì 6x + 10 �0 � 2x + > 0nên Kết luận: Phương trình có nghiệm x= ( *) � 2x + = 6x + 10 � x = (*) - + 13 - + 13  Ví dụ 9: [Tuyển sinh lớp 10 Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2014] Giải phương trình: ( x + 1) 2x2 - 2x = 2x2 - 3x - Hướng phân tích: Nháp: u =0 2x2 - 3x - - ( x + 1) 2x2 - 2x = � ( ax + b) ( cx + d) + u + � ( a + c) x + b + d� � � � a +c = - � � � ac + = Ta có � � d + b = - 1;bd = - � � � ad + bc - = - � Hệ có nghiệm a = - 1, c = 0, d = 1, b = - Hướng dẫn giải: ( x + 1) ( )( � � x + �0 x �- � � � �� � � x = � 13 � � � x2 - 6x - = x + = 2x2 - 2x � � � � Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = � 13 2  Ví dụ 10: Giải phương trình: 4x - 11x + = (x - 1) 2x - 6x + Hướng phân tích: Nháp: ) 2x2 - 2x = 2x2 - 3x - � - x - + 2x2 - 2x + 2x2 - 2x = - 4x2 + 11x - + ( x - 1) 2x2 - 6x + = Ta cần: u =0 ( ax + b) ( cx + d) + u + � ( a + c) x + b + d� � � � a +c = � � � ac + = - Ta có � � d + b = - 1;bd + = - � � � ad + bc - = 11 � Hệ có nghiệm a = 3, c = - 2, d = 3, b = - Hướng dẫn giải: ( )( ) 4x2 - 11x + = (x - 1) 2x2 - 6x + � 3x - + 2x2 - 6x + - 2x + + 2x2 - 6x + = + TH1: � � 3x - �0 � x� - 11 � � � �x= � � � � - 3x + = 2x - 6x + � � 7x2 - 18x + 10 = � � � + TH2: �3 � - 2x + �0 � 3+ � � �x � �x= � �2 � � 2x - = 2x - 6x + � � 2x2 - 6x + = � � � Kết luận: Phương trình có nghiệm là: x= 9- 11 ,x = 3+  Ví dụ 11: Giải phương trình: 2x - 4x + = 3x 2x - Hướng phân tích: � ( ax + b) ( cx + d) + u + � ( a + c) x + b + d� � �u = Nháp: - 2x + 4x - + 3x 2x - = � a +c = � d + b = 0;bd - = - � &� � � � � ac = - ad + bc + = � Ta có: � suy hệ vơ nghiệm Vậy để hệ có nghiệm ta chia � � � d + b = 0;bd - = - a +c = � � & � � � � ad + bc + = - 1x2 + 2x - 1+ x 2x - = � � ac = - � � hai vế cho 2: có � thế: a = 2,c = - ,b = d = Hướng dẫn giải: �1 � � 2x2 - 4x + = 3x 2x - � 2x + 2x - � - x + 2x - 1� =0 � � x � � � �2 � Vì nên suy ra: ( ) x = 2x - � x2 - 8x + = � x = �2 (Thỏa mãn) Kết luận: Phương trình có hai nghiệm: x = �2 Chú ý 1: + Tại ta không nhân với 2; 3; 4; mà ta nhân với k ? Sau ta phân tích kỹ chút: a  c  km � � ac  A '  kA Lý ta chia (hay nhân) thêm số để điều chỉnh tích tổng � b  d  kn � � bd  C '  kC � Sao cho đảm bảo hệ có nghiệm thỏa mãn ad  bc  B '  kB b  d  0, bd   2k � � k ad  bc   k b = d = Cụ thể 2kx  4kx  2k  3kx x   với � ,   u + Nếu phương trình có dạng  x    khơng thể phân tích thành nhân tử Bởi định hướng phân tích khơng tham hy vọng q lớn để bao tồn tốn nói  Ví dụ 12: [Olympic 30/04/2013] Giải phương trình: (x + 3) - x - 8x + 48 = x - 24 Hướng phân tích: - 2x + 48 + (2x + 6) � a +c = � � � ac - = Ta có � � u =0 ( a + c) x + b + d� - x2 - 8x + 48 = � ( ax + b) ( cx + d) + u + � � � d + b = 6;bd + 48 = 48 � � � ad + bc - = - � Hệ có nghiệm a = 1, c = 1, d = 0, b = Hướng dẫn giải: (x + 3) - x2 - 8x + 48 = x - 24 � - 2x + 48 + (2x + 6) - x2 - 8x + 48 = ( x + 6+ -6 + TH1: x +� x )( ) - x2 - 8x + 48 x + - x2 - 8x + 48 = , ta có - x - = - x2 - 8x + 48 � 2x2 + 20x - 12 = � x = - + 31 2 + TH2: x �0, ta có - x = - x - 8x + 48 � 2x + 8x - 48 = � x = - - Kết luận: Phương trình có nghiệm x = - - 7, x = - - 31 (Ở khơng nhân thêm a + c = 1, ac = vô nghiệm! Vậy a = c = a + c = 2) 5x2 + x - = (1 + 3x) 2x2 -  Ví dụ 13: Giải phương trình: Hướng phân tích: 3 x + x - - ( + x) 2x2 - = � ( ax + b) ( cx + d) + u + � a + c) x + b + d�u = ( 2 � � Nháp: � � a +c = � � � � � ac + = � � Ta có � � � d + b = - ;bd - = � � 2 � � 1 � ad + bc = a = - 1, c = - , d = - 1, b = � � � 2 có nghiệm Hướng dẫn giải: � PT � � �1 � 3 2 � � � � � x + x - - ( + x) 2x2 - = � � x + + x x + x =0 � � � � � � � � 2 2 � � �2 � � �1 � � �x x + � - 1+ � � �� �x= � �2 � � � � - 4x2 - 4x + = 2x - = 2x2 - � � � + TH1: � �1 � � - �x - x - �0 �2 15 � � �� �x= �2 � � � 7x - 4x - = � � x + = 2x2 - � � � + TH2: Kết luận: Phương trình có nghiệm x= 6- �2 15 , x= � Lời bình: Qua ví dụ ta làm chủ loại toán này, chủ động giải toán cho dù thay đổi biểu thức hay căn, bậc hay bậc hai  Ví dụ 14: Giải phương trình: 5(8x + 11x) = 27(2x + 1) 3x - (x��) Hướng phân tích: Bài tổng hai số a + c = 54 lớn so với tích nên nhân hai vế với đặt 3x   u u =0 ( ax + b) ( cx + d) + u + � ( a + c) x + b + d� � � Ta cần: � � a + c = - 54 d + b = - 27;bd - 50 = � � � � � � ac = - 200 ad + bc + 75 = 275 Ta có � � có nghiệm a = - 4,c = - 50,d = - 25,b = - 200x2 + 275x - ( 54x + 27) 75x - 50 = Hướng dẫn giải: 5(8x2 + 11x) = 27(2x + 1) 3x - � 200x2 + 275x - ( 54x + 27) 75x - 50 = ( )( ) � - 4x - + 75x - 50 - 50x - 25 + 75x - 50 = + TH1: � � � - 4x - �0 x �27 � � �� � x = 2, x = � � 16 4x + = 75x - 50 � � � 16x2 - 59x + 54 = � � � + TH2: �1 � � - 50x - 25 �0 - �x � �� � �2 � � 10x + = 3x - � � 100x2 + 97x + 27 = � � � Kết luận: Phương trình có nghiệm x = 2, x = (Vơ nghiệm) 27 � 16 Chú ý 2: Câu hỏi đặt là: ta không nhân với 2; 4; 6; mà ta nhân với 5? Như nói: �d  b  27; a  c  54 � � � bd  2k  ac  40k � � nên ta chọn k để hai hệ có nghiệm đẹp tí Ta hình dung sau tách 54 = + 52 = + 50 = + 48 thử nhân cặp xem sao? Hay k ac 2.52 4.50    k  40 40 40 bd mà ta chọn tổng a + c âm? Như ta vừa chọn a, c, b, d vừa biết cần nhân để thử Để củng cố ta xét thêm vài ví dụ nhân thêm 2  Ví dụ 15: Giải phương trình: 15x + 12x + 12 = 10(2x + 1) x + (x ��) Hướng phân tích: Nếu để nguyên a + c = -20 ac = 14, tách -20 = -2 + -18 = -4 + -16 tích lại 36, 64, nhân thêm hai vế với k đưa vào k2x2 + 3k2 thế: ac + k2 = 15k thử tích 36 2 trước: 36 + k = 15k � k = Nên PT � 45x + 36x + 36 - (20x + 10) 9x + 27 =  ax  b   cx  d   u  �  a  c x  b  d � � �u  Ta cần d  b  10; bd  27  36 �a  c  20 � � � ad  bc  36 Nên �ac   45 � hệ có nghiệm a  2, c  18, d  9, b  1 Hướng dẫn giải: 2 PT � 45x + 36x + 36 - (20x + 10) 9x + 27 = ( )( ) � - 2x - 1+ 9x2 + 27 - 18x - + 9x2 + 27 = + TH1: � � - 2x - �0 � x �� � � �� � 2 � � 2 x + = x + 27 � � x x + 26 = � � � + TH2: � � - 18x - �0 � x �- 18 + 114 � � �� �x= � 2 � � 35 18x + = 9x + 27 � � 35x2 + 36x + = � � � Kết luận: Phương trình có nghiệm x= (Vơ nghiệm) - 18 + 114 35 2  Ví dụ 16: Giải phương trình: 3x + 2x + = 3(x + 1) x + (x ��) Hướng phân tích: Nếu để nguyên a + c = -3 ac = tách -3 = -2 + -1.và tích lại (đẹp), nhiên b+ d = -3, bd = 4, nhân hai vế với k đưa vào k2x2 + 3k2 thế: bd + 3k2 = 7k thử 2 tích thì: + 3k = 7k � k = Nên PT � 6x + 4x + 14 - (3x + 3) 4x + 12 =  ax  b   cx  d   u  �  a  c x  b  d � � �u  Ta cần a  c  3 d  b  3; bd  12  14 � � � � ac   � ad  bc  Nên � hệ có nghiệm a  2, c  1, d  1, b  2 Hướng dẫn giải: 2 PT � 6x + 4x + 14 - (3x + 3) 4x + 12 = ( )( ) � - 2x - + 4x2 + 12 - x - 1+ 4x2 + 12 = � - 2x - �0 � x �- � � � � � x =1 � � � � 2x + = 2x + = 4x2 + 12 � � + TH1: � � � - x - �0 x �- � � � � � � 2 � � 3x - 2x + 11 = x + = 4x + 12 � � � + TH2: � (Vơ nghiệm) Kết luận: Phương trình có nghiệm x  2  Ví dụ 17: Giải phương trình: 10x - 9x + - 8x 2x - 3x + = Hướng phân tích: Nếu để ngun a + c = -8 ac = 8, tách -8 = -2 + -6 = -4 + -4 tích lại 12, 16 , nhân thêm hai vế với k đưa vào 2k2x2 - 3k2x + k2 thế: ac + 2k2 = 10k thử tích 2 ac = 12 thì: 12 + 2k = 10k � k = , nên PT � 30x - 27x + - 8x 18x - 27x + = (*)  ax  b   cx  d   u  �  a  c x  b  d � � �u  Ta cần d  b  0; bd   �a  c  8 � � � ad  bc  27  27 hệ có nghiệm a  2, c  6, d  0, b  Nên �ac  18  30 � Hướng dẫn giải: 2 PT � 30x - 27x + - 8x 18x - 27x + = ( )( ) � - 2x + 18x2 - 27x + - 6x + 18x2 - 27x + = � � - 2x �0 x �0 3 � � � � � x = ,x = � � 2 � � 14x - 27x + = 2x = 18x - 27x + � � � + TH1: � � - 6x �0 � x �0 - + 17 � � � � �x= � � 2 � � 18x + 27x - = 6x = 18x - 27x + � � � + TH2: � 3 - + 17 x = ,x = ,x = Kết luận: Phương trình có nghiệm Chú ý 3: Chúng ta xét vài ví dụ mà phân tích thành hệ số vơ tỉ Các ví dụ khơng nhiều khơng có nghĩa khơng làm được, với lưu ý số p + q p - q có tổng 2p tích p - q số hữu tỉ 2  Ví dụ 18: Giải phương trình: x + 6x + 4x = x + Hướng phân tích: PT ( )( ) � x2 - x - 1+ 6x2 + 4x = � ax + b + u cx + d + u = � a = 5,c = - � � � � � a + c = b + d = ; bd = � 1+ � 1- &� � � � � b= ,d = � � ac + = ad + bc + = � � 2 Ta cần � Do đó: � + TH1: ( ( ) 5+3 = 0� x = � x2 - + x - + TH2: ( ) x+ 5- = 0� x = ( + TH2: )( 5- (loại) ) 5x ) 2- (Thỏa mãn ) =1 x +1 Hướng phân tích: 3x + ( x - 1) x2 + = ( )( ) 18x + ( 2x - 2) 9x2 + = � ax + b + u cx + d + u = � a +c = � b + d = - 2;bd = - � &� � � � ac = - � ad + bc = 18 � Xét hệ: � ta có + TH1: Quy đồng chuyển vế ta thu được: Nhân hai vế với ta có: ) 3x  Ví dụ 19: Giải phương trình: x �( 0;1) )( + 1� ( x+ Điều kiện: ( 5- 3- � 6x2 + 4x = 5x2 + + 52 6x2 + 4x = x + � x2 - 1- ) +1 3+ � 6x2 + 4x = 5x2 + + 5+ x 2 6x2 + 4x = - x - ) ( ) ( � a = 1- 10 � b = - 1+ 10 � � � &� � � � c = + 10 � d = - 1- 10 � � � � 9x2 + = ( 10 - ( x - 1) � x2 - 1- ) 9x2 + = ( 10 + ( 1- x) � x2 - + 10 x + = � x = 10 x + = ) (cả hai nghiệm loại) + 10 - 2 Vậy pt có nghiệm: x= ( )( 5- ) 2-  MỘT SỐ ỨNG DỤNG 30  Ví dụ 20: Giải phương trình: 2x + 7x - - = x + (x ��) Hướng phân tích: Điều kiện: 2x2 + 7x - - � 2 Từ PT suy 30 = (x + 1)( 2x + 7x - - 9) � - 9x - 39 + (x + 1) 2x + 7x - = (*) u =0 ( ax + b) ( cx + d) + u + � ( a + c) x + b + d� � � Ta cần Cân hệ số: � a +c = � � � ac + = � Ta có � Như � d + b = 1;bd - = - 39 � � � ad + bc + = - � � Hệ có nghiệm a = 2, c = - 1, d = - 5, b = ( *) � ( 2x + + )( ) 2x2 + 7x - - x - + 2x2 + 7x - = � � 2x + �0 x �- � � � � � � 2 � 2x + 17x + 45 = - 2x - = 2x + 7x - � � � � + TH1: � (Vô nghiệm) � � - x - �0 x �- � 145 � � � � �x= � � 2 � � x - 3x - 34 = x + = 2x + 7x - � � � + TH2: � , ( x � 4) Kết luận: Phương trình có nghiệm x= � 145 � 2  Ví dụ 21: Giải phương trình: 3x + 2x - + 3x + x = (x ��) Hướng phân tích: � 3x4 + x3 �0 � � - �x �� �x � � � - 3x - 2x + �0 � Điều kiện: � �x � � 2 3x + 2x - + 3x + x = � 3x + 2x - + x 3x + x = (*) + Nếu ax + b) ( cx + d) + u + � a + c) x + b + d�u = ( ( � � Ta cần Cân hệ số: � a +c = � � � ac + = Ta có � Nên ( *) � ( x - � d + b = 0;bd = - � � � ad + bc + = � Hệ có nghiệm a = 1, c = 0, d = 1, b = - )( ) 1+ 3x2 + x + 3x2 + x = � 1- x = 3x2 + x � x = - + 17 + Nếu - �x �- Ta cần 2 3x + 2x - + 3x + x = � 3x + 2x - 1- x 3x + x = (**) u =0 ( ax + b) ( cx + d) + u + � ( a + c) x + b + d� � � Cân hệ số: � a +c = - � � � ac + = Ta có � Nên ( * *) � ( - x + 1+ � d + b = 0;bd = - � � � ad + bc + = � Hệ có nghiệm a = - 1, c = 0, d = - 1, b = )( ) 3x2 + x - + 3x2 + x = � = 3x2 + x � x = Kết luận: Phương trình có hai nghiệm  Ví dụ 22: Giải phương trình sau: x= - 1- 13 - + 17 - 1- 13 ,x = x2 + 3x + + 2x2 - = 3x + Hướng phân tích: Điều kiện: 2x2 - �0, 2x2 - �3x + � - Ta viết lại phương trình thành: 1 �x �x� x2 + 3x + = 3x + 1- 2x2 - Bình phương vế thu gọn ta 2 phương trình mới: 10x + 3x - - (3x + 1) 8x - = (*) (đưa vào căn) Ta cần ( ax + b) ( cx + d) + u + � ( a + c) x + b + d� � �u = Cân hệ số: � a +c = - � � � ac + = 10 � Ta có � Như + TH1: � d + b = - 1;bd - = - � � � ad + bc = � � Hệ có nghiệm a = - 2, c = - 1, d = - 2, b = ( *) � ( - 2x + 1+ )( ) 8x2 - - x - + 8x2 - = � � - 2x + �0 � x� - 1+ � � � �x= � � 2 � 2x - = 8x - � � � 4x2 + 4x - = � � � � - x - �0 � x �- 2 �2 15 � � � � �x= � � 2 � 7x - 4x - = x + = 8x - � � � � + TH2: � Kết luận: Kết hợp điều kiện phương trình cho có hai nghiệm  Ví dụ 23: Giải phương trình sau: x + 1+ x - 4x + = x Hướng phân tích: x= - 1+ + 15 ,x = Điều kiện: x �0, x + �3 x Bình phương vế thu gọn ta phương trình mới: 2x2 - 11x + + (x + 1) 4x2 - 16x + = (*) Ta cần ( ax + b) ( cx + d) + u + � ( a + c) x + b + d� � �u = Cân hệ số: � a +c = � � � ac + = � Ta có � Như ( *) � ( 2x - � d + b = 1;bd + = � � � ad + bc - 16 = - 11 � � Hệ có nghiệm a = 2, c = - 1, d = 2, b = - )( ) + 4x2 - 16x + - x + + 4x2 - 16x + = � � 2x - �0 � x� � � � � � x = � � � 1- 2x = 4x2 - 16x + � � � 12x = � � � + TH1: (Thỏa mãn điều kiện) � � - x + �0 x �2 � � � � �x=4 � � 2 � � x 12 x = x = x 16 x + � � � + TH2: � (Thỏa mãn điều kiện) x = , x = 4 Kết luận: Phương trình có hai nghiệm  Ví dụ 24: Giải phương trình sau: x + - = 3x + 1- x + 1- x Hướng phân tích: Điều kiện: x �1 Viết lại x + - 1- x = 3x + 1+ 1- x Bình phương vế ta thu 2 phương trình mới: 8x - 6x - 18 + (6x + 18) 1- x = Nếu để nguyên a + c = 6, ac = nên a = c = 3, nhiên b + d = 18 3b + 3d = - (vô nghiệm) Nhân hai vế với - đưa vào để cân bậc hai , giảm bớt tổng b +d:  a c x  b d� � - 16x2 + 12x + 36 - (3x + 9) 16 - 16x2 = Ta cần  ax  b  cx  d  u  � � � u  Cân hệ số: a  c  3 d  b  9; bd  16  36 � � � � ac  16  16 � ad  bc  12 Ta có � Hệ có nghiệm a  3, c  0, d  4, b  5 Hướng dẫn giải: Điều kiện: x �1;4 1+ x �( + 3x) Viết lại: x + - 1- x = 3x + + 1- x Bình phương vế ta thu phương trình: 8x2 - 6x - 18 + (6x + 18) 1- x2 = � - 16x2 + 12x + 36 - (3x + 9) 16 - 16x2 = ( )( ) � - 3x - + 16 - 16x2 - + 16 - 16x2 = � � - 3x - �0 � x �3 � � �� � x =� � � 3x + = 16 - 16x � � 25x2 + 30x + = � � � Trường hợp 1: thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: = 16 - 16x � x = (thỏa mãn điều kiện) x   , x  Kết luận: Phương trình có hai nghiệm  Ví dụ 25: Giải phương trình sau: 2x + + - x = 9x + 16 Hướng phân tích: Điều kiện: Ta cần: x �2 2 Bình phương vế ta thu được: - 9x - 8x + 32 + 32 - 8x = ( ax + b) ( cx + d) + u + � ( a + c) x + b + d� � �u = Cân hệ số: � a +c = � � � ac - = - � � � d + b = 8;bd + 32 = 32 � � � ad + bc = - � � có nghiệm a = - 1, c = 1, d = 8, b = Hướng dẫn giải: Điều kiện: x �2 2 Bình phương vế ta thu được: - 9x - 8x + 32 + 32 - 8x = ( )( ) � - x + 32 - 8x2 x + + 32 - 8x2 = � � - x �0 x �0 � � � � �x= � � 2 � � 9x = 32 x = 32 - 8x � � � Trường hợp 1: � thỏa mãn điều kiện � x + �0 � x �- � � � � � � � � 9x2 + 16x + 32 = - x - = 32 - 8x2 � � � � Trường hợp 2: (Vơ nghiệm) Kết luận: Phương trình có nghiệm Nhận xét: x= Với cách làm kết hợp máy tính Casio việc phân tích thành nhân tử dễ dàng Hy vọng với cách làm giúp ích cho học sinh giải toán Ta thấy phần ý nghĩa thơng qua ví dụ từ 20 đến 25 Mặt khác thấy "khơng có chìa khóa vạn năng" hay nói cách khác khơng nên hy vọng có cơng thức đơn giản mà giải tốn khó! Sau luyện tập c Luyện tập: 2 Bài Giải phương trình: x + 3x = (3 - x) - x + x + Bài Giải phương trình: 8x + 16x - 20 = x + 15 2 Bài Giải phương trình: x + 1- (x + 1) x - 2x + = Bài Giải phương trình: x + 9x + = (2x + 7) 2x + Bài Giải phương trình: 9x + 25 = (x - 1) 2x + 5x - Bài Giải phương trình: 4x2 - 11x + 10 = ( x - 1) 2x2 - 6x + 2 Bài Giải phương trình: x - 8x + 26 = (x + 1) x - 6x - 2 Bài Giải phương trình: 4x + 9x + = (4x - 1) 8x - 3x - 2 Bài Giải phương trình: 4x + 23x + 23 = (x + 2) 2x + 6x + 12 2 Bài 10 Giải phương trình: 16x - 11x + = (x + 4) 4x + 18x - Bài 11 Giải phương trình: 2x - 6x - = 4x + 2 Bài 12 Giải phương trình: 2x + 2x - = (2x + 3) x + 5x + Bài 13 Giải phương trình: 4x + + = 2x2 + 8x + x +1 2 Bài 14 Giải phương trình: x + 4x + = (5x + 3) 5x + 6x + 2 Bài 15 Giải phương trình: 5x + = x 2x + x + Bài 16 Giải phương trình: 3x - 13x + 37 = 8(x - 3) x + 2 Bài 17 Giải phương trình: 3(x + 1) x + 12 = 9x + 20x - 2 Bài 18 Giải phương trình: 7x + x + = 7x x + x + Bài 19 Giải phương trình: 5x2 + 4x - x2 - 3x - 18 = x CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG! HẸN GẶP LẠI TRONG BÀI VIẾT KHÁC! ... hệ số vơ tỉ Các ví dụ khơng nhiều khơng có nghĩa không làm được, với lưu ý số p + q p - q có tổng 2p tích p - q số hữu tỉ 2  Ví dụ 18: Giải phương trình: x + 6x + 4x = x + Hướng phân tích: PT. .. đáng ngại Nắm chủ động giải tốn! Dưới ta xét cách giải vài ví dụ sau khái qt cách giải b Các ví dụ giải tốn: 2  Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x  3x   (x  6) 3x  2x  (1) Hướng phân tích: (Nhận... loại) + 10 - 2 Vậy pt có nghiệm: x= ( )( 5- ) 2-  MỘT SỐ ỨNG DỤNG 30  Ví dụ 20: Giải phương trình: 2x + 7x - - = x + (x ��) Hướng phân tích: Điều kiện: 2x2 + 7x - - � 2 Từ PT suy 30 = (x + 1)(