MỘT số ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PT vô tỉ p4

MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PT VÔ TỈ PHẦN III Giải phương trình theo phương pháp trục thức bình phương Đặt vấn đề: Trước hết ta xét ví dụ sau:  Ví dụ 1: Giải phương trình: x + = 4x + 8x + + 3x + (1) Hướng dẫn giải: � � 0= � ( 2x + 2) � PT(1) � � 1� + � ( 2x + ) x + = ( 2x + 3) ( 2x + 1) + 3x + - 3x + + x + � � = � 2x + = � x = � 3x + + x + � (Do ĐK nên ngoặc dương) 2x + + ( 2x + 1) � � � Phương trình có nghiệm x =- Lời bình: Trong ví dụ 1: Phương trình có nghiệm đơn nên ta trục lần xong  Ví dụ 2: Giải phương trình: 5x - + 12x - = x + x �2 Lời giải: Điều kiện: � 5( x - 1) 5x - + + Ta có 12( x - 1) - ( 2) � ( 5x - 1- ) +( (2) 12x - - 2) = x2 - ( x2 - 1) = 12x - - � � 12 � � � ( x - 1) � + - ( x + 1) � =0 � � � � � 5x - + � 12x - - � x - 1= � �� 12 � + - ( x + 1) = ( *) � �5x - + 12x - + ( *) phương trình bình thường tiếp tục Ta coi � � ( *) � � � � � 5x 3- � � � � � 12 � � � � - 1� +� � � � � � � � 1+ � 12x - + � 5x - 5x - + ( + ( 2- )- 3x - 12x - + 5( - x) )( + ) ( 5x - + + 5x - � � � � ( - x) � + � � � x + + 5x - � � ( (Vì ( )( )( ) ( + ) ( 5x - + + 5x - ( x - 2) = ( x - 2) = 4( - 3x) )( ) 12x - + 2 + 3x - - ( x - 2) = � � � � � + 1�= � � 12x - + 2 + 3x - � � )( )( ) ) 12x - + 2 + 3x - + 1> ) � x =2 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1, x = Lời bình: Trong ví dụ 2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt ta trục hai lần xong, rõ ràng trục lần thứ hai khó lần thứ Đối với nhiều toán ta trục lần hai gặp khó khăn lớn biểu thức chứa cồng kềnh, phức tạp,  Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 - x + x + = 3x - 2x + (3) Lời giải: Điều kiện: - �x �3 3- x - ( - x + 5) � + 2� x + - ( x + 4) � = 3( x ( 3) � � � � � � � � � � Ta có ) ( *) - x- 3- x - x + > 0; x + + x + > + Vì - �x �3 nên Do đó: ( *) � 2( - x2 + x + 2) - x2 + x + + = 3( - x2 + x + 2) 3- x - x + x + + x + � � � � � ( - x2 + x + 2) � + - 3� �= ( * *) � � � � � 3- x - x + x + + x + � � 3- x - x + �2; x + + x + �2 + Vì - �x �3 nên � + 3- x - x + 1 - 3� + - 3< 2 x +2 +x + � x =- + Do ( * *) � - x2 + x + = � � � x =2 � � Vậy phương trình có nghiệm x = - 1, x = Lời bình: Trong ví dụ 3: Phương trình có hai nghiệm phân biệt ta trục lần để nhâ chung tam thức bậc hai Cách trục phổ biến  Vấn đề quan tâm là: Có thể dự đốn phương trình có nghiệm để "biết đường" mà "liệu cơm gắp mắm"? Nếu áp dụng cách giải ví dụ vào ví dụ khơng ổn! Nếu áp dụng cách "trục dần dần" ví dụ gặp khó khăn lớn, mà cịn dài dịng! Nếu khơng dùng máy tính Casio câu hỏi nan giải  Như vậy: "dự đoán" hay chừng xem phương trình có nghiệm? Mà dự đoán phải "tương đối chuẩn" mang lại hiệu cao giải tốn Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỉ trục a Nhẩm nghiệm hữu tỉ:  Việc nghĩ đến nghiệm nguyên hay nghiệm hữu tỉ đẹp, lí do: phương trình phức tạp nghiệm đơn giản tí + Các bậc hai đẹp như: 0; 1; 4; 9; 16; 25; hay nghich đảo chúng? + Tìm x0 thử vào khác phương trình xem có phải nghiệm khơng?  Ví dụ 2: Giải phương trình: 5x - + 12x - = x + Hướng phân tích: + Thử x = hai số đẹp x = nghiệm phương trình + Thử x = hai số đẹp x = nghiệm phương trình  Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 - x + x + = 3x - 2x + Hướng phân tích: + Thử x = -1 hai số đẹp x = -1 nghiệm phương trình + Thử x = hai số đẹp x = nghiệm phương trình  Trên quan điểm đồ thị (bản chất): Phương trình ẩn x coi hoành độ giao điểm hai đường cong, từ dự đốn khoảng nghiệm số nghiệm phương trình Nhiều nghiệm vơ tỉ khó nhẩm nghiệm, dự đốn khoảng nghiệm số nghiệm góp phần quan trọng định hướng giải lập luận đánh giá Việc phác họa đồ thị không cần thiết HS lớp 9; 10, 11 Tuy nhiên cần "nhìn thấu chất" thử sơ lược giá trị để dự đoán khoảng nghiệm, nghiệm đơn -kép -hai nghiệm  Ví dụ 1: Giải phương trình: x + = 4x + 8x + + 3x + (1) Hướng phân tích: Điều kiện x �- Tại x = - VT(1) > VP(1) , x = VT(1) < VP(1) nên dự đoán nghiệm thuộc (- 1; 0) nghiệm hữu tỉ đẹp x = - 1/ Thử vào phương trình thỏa mãn Như qua ba ví dụ ta thấy việc nhẩm nghiệm khơng q khó khăn khơng phụ thuộc nhiều vào máy tính Casio (Trừ nghiệm vơ tỉ trình bầy riêng phần 5) b Định hướng trục thức: Chúng ta có hai hướng để trục thức là: + Hướng 1: Tìm biểu thức liên hợp với thức cho trục tạo nhân tử mà nhẩm nghiệm Theo hướng thực hai thức nên dài, đa số phải xét dấu nhiều trước trục sau trục + Hướng 2: Đặt điều kiện Bình phương hai vế đưa trường hợp thức, trục lần để tạo nhân tử mà nhẩm nghiệm Theo hướng này: vướng mắc nhỏ việc bình phương khơng cần lo lắng mà biết trước nhân tử 2  Ví dụ 4: Giải phương trình sau: x + + = 4x + 3x (4) Hướng phân tích: Điều kiện x �0 Với x = VT(4) > VP(4), với x = VT(4) < VP(4) nên dự đốn phương trình có nghiệm thuộc (0; 1) nghiệm hữu tỉ đẹp x = 1/2, thử vào thấy thỏa mãn Hướng dẫn giải: ( 4) � ( 4x Điều kiện x �0 Ta có ) ( - 1+ 3x - ) ( ) x + = � 4x2 - + � � 1 � � � � ( 2x - 1) � 2x + 1+ = � 2x - = � x = � � � � � � 3x + x + 1� (Vì 2x - 3x + x + =0 x �0 nên ngoặc thứ hai xác định dương) Vậy phương trình có nghiệm x= 3x + -  Ví dụ 5: Giải phương trình sau: - x + 3x2 - 14x - = Hướng phân tích: �1 � � ;6� x ��3 � � � Điều kiện PT có nghiệm x = Khả nghiệm đơn Hướng dẫn giải: �1 � � ;6� x ��3 � � � Điều kiện Ta có ( ) ( 3x + - + 1- ) - x + 3x2 - 14x - = � � � � � � ( x - 5) � + + x + = � x - 5= � x = � � � � � 3x + + + - x � Vậy phương trình có nghiệm x =  Ví dụ 6: Giải phương trình: 3x + 10x + 3x + = x + 26 + - 2x (6) Hướng phân tích: Điều kiện: - 1�x �5/ Thử x = hai số đẹp x = nghiệm phương trình Viết lại phương trình thành 3x + - - 2x = x3 - 3x2 - 10x + 26 (*) Với x = VT(*) < VP(*), với x = 5/2 VT(*) > VP(*) nên phương trình khả có nghiệm đơn x = Hướng dẫn giải: Điều kiện: - 1�x �5/ Ta có ( ) ( 3x + - + 1- ) ( ) - 2x - x3 - 3x2 - 10x + 24 = � � � � ( x - 2) � + + x + x =0 ( ) ( ) � � �3x + + 1+ - 2x � (6.1) - 1�x �5/ � Dễ thấy 3x + + + 1+ - 2x + ( x + 3) ( - x) > Nên từ (6.1) suy x = Vậy phương trình có nghiệm x =  Lưu ý 1: u x = a � u x = a3 ( ) ( ) + Đối với bâc 3: ta ký hiệu để gọn nhẹ, bớt cồng kềnh trục căn, x ẩn mà a có mặt phương trình khơng phải ẩn + Để giảm bậc hay giảm hệ số, ta đặt ẩn phụ hoàn toàn ẩn x sang ẩn t cần giới hạn cho t  Ví dụ 7: Giải phương trình: v( x) = t ta cần chuyển đổi x - + 2x2 + 3x = 5x - + Hướng phân tích: Ta nhẩm x = nghiệm, khả nghiệm nghiệm đơn Hướng dẫn giải: Điều kiện ( x� Ký hiệu ) x - = a ta có phương trình: ( ) 5x - - - ( a + 2) - 2x2 + 3x - = � 5( x - 1) 5x - + - a3 + - ( x - 1) ( 2x + 5) = a2 - 2a + � � � � � ( x - 1) � x = (*) � � x� � � � � 5x - + a - 2a + � nên ngoặc thứ hai âm Vì Do (*) � x - = � x = Vậy phương trình có nghiệm x = ( 8x Giải phương trình:  Ví dụ 8: ) - 6x + 4x2 + 21 + 16x4 - 12x2 + 2x = 21 Hướng phân tích: Ta nhẩm x = nghiệm, khả nghiệm đơn nhất, đặt t = 2x t = Hướng dẫn giải: Đặt 2x = t , ta có phương trình: (t ) - 3t + t + 21 + t - 3t2 + t = 21 )( ( ) t + 21 + t = 21 � t - 3t + = � t - 3t + ( t2 + 21 + t = t + 21 - t � � � t + 21 = � ( t - 2) � t + + =0 ( ) � � � t + + t + 21 � � � ( ) 21 ) � t - 3t - + t + - � t - = � t = � x = Vậy phương trình có nghiệm x = ( x - 6) x - + - 2x x - 3+ x -  Ví dụ 9: Giải phương trình: = 2x - - Hướng phân tích: Nhẩm nghiệm x = Để giảm độ phức tạp ta đổi biến x - = t �0 � x = t + Hướng dẫn giải: x - = t �0 � x = t + 1, ta có phương trình: Đặt (t ) ( t2 - + t � )= - t + - t2 + ( ) t2 + t - ( t - 3) t +t - +1= 2t2 + - t - 2t2 - 5t + 2t2 + - � + = +1 2 t2 + t - � � t =2 t �0,t �1 � � � � � t >1 �� ( t - 2) ( t + 2) � � � � � t = � � 2t + + � � � � 2t + = t - � 2t2 + + � � � ( t - 2) ( t + 2) � t = Thay trở x = t + ta có nghiệm phương trình x =  Ví dụ 10: ( 28 Giải phương trình: 4x3) 2x3 - 15 = 2x4 - 3x3 - 14x + 16 Hướng phân tích: Ta nhẩm x = nghiệm, khả nghiệm đơn nhất, ta đổi biến sang bậc để giảm bậc bên t x 3t Đặt x �-=-+=�+= 7;2x3 ( 15 2t t 1/ đó: ) 2x4 - 3x3 - 14x + 16 = x3 - x - 3( t + 7) + 16 = 2t t + - 3t - Hướng dẫn giải: Đặt x3 �-=-+=�+= t x 3t 7;2x3 15 2t - 4t 2t - = 2t t + - 3t - � 5( t - 1) + 2t ( t , ta có phương trình: ) t + - + 4t ( ) 2t - - = � � � � � ( t - 1) � 5+ � � � � � � ( � � � � 2t 8t � + = � t - 1= � t = � � � t + � t� t +7- +3 � � � ) (Vì ) Thay t = trở x = t + ta có nghiệm phương trình x =  Lưu ý 2: Trong số trường hợp phương trình có nghiệm ta cần sử lí tinh tế để tránh độ phức 2 tạp phép trục Như đưa A + B = bình phương hay đổi biến  Ví dụ 11: Giải phương trình: 2x2 + 3x + + 2x2 - 3x + = 3x Hướng phân tích: Ta nhẩm nghiệm x = Nếu ta biến đổi theo cách: ( � ( x - 4) + x + � ( x - 4) + ) ( 2x2 + 3x + + x + 1- - x2 + 3x + x + + 2x2 + 3x + + ) 2x2 - 3x + = - x2 + 5x - x + + 2x2 - 3x + =0 � � - 1- x 1- x � � � � ( x - 4) � + + =0 � � � 2 � � � x + + 2x + 3x + x + 1+ 2x - 3x + 5� Khi ta phải đánh giá biểu thức ngoặc khó khăn Hướng dẫn giải: Điều kiện x > Đặt t= >0 x , ta có phương trình: 5t2 + 3t + + 5t2 - 3t + = � � 5t2 + 3t + 5t2 + 3t + = 6t 5t + 3t + - 5t2 - 3t + = 2t Kết hợp 5t - 3t + =3 5t2 + 3t + + 5t2 - 3t + = suy 2t + 1 � 16t2 = � t = t = >0 (vì x ) � x = Vậy phương trình có nghiệm x = Cách khác 2 Điều kiện x > Bình phương hai vế ta có: 2x + 3x + 2x - 3x + = 5x - 10 (*) Vì x > nên ta có điều kiện x - > � x > Tiếp tục bình phương hai vế (*): ( ) 4� 4x4 + 20x2 + 25 - 9x2 � = 25x4 - 100x2 + 100 � 9x4 - 144x2 = � x2 = 16 � � � � Từ suy phương trình có nghiệm x =  Ví dụ 12: Giải phương trình: 2x + = 2x + + 6x + Hướng dẫn giải: (Tương tự ví dụ 11) Điều kiện x �- 4( x + 1) � 2x + = 6x + - 2x + � 6x + PT ta có điều kiện 6x + = 6x -�+ Kết hợp x 2x + = (*) Từ 6x + + 2x + = 2x + suy ra: 2x + + = x + � x2 - 2x - = Giải lấy nghiệm x = + Vậy phương trình có nghiệm x = +  Ví dụ 13: Giải phương trình: 4x + 3x + = 4x x + + 2x - Hướng phân tích: Ta nhẩm nghiệm x = Nếu ta biến đổi theo cách: ( ( ) � 4x2 - 5x + + 4x - ) ( x + + 1- ) 2x - = � � 4x � � � � ( x - 1) � x �= � � � � Khi ta phải đánh giá biểu thức + x + + 2x - 1� ngoặc khó khăn Ta biến đổi tiếp tục cồng kềnh phức tạp Thử x = 1/2 VT > VP, thử x = VT > VP nên khả Parabol y = 4x + 3x + nằm đường cong y = 4x x + + 2x - đốn nghiệm kép x = Hướng dẫn giải: (đưa nghiệm kép) Điều kiện ( � 2x - x� 4x2 + x + - 4x x + + x Ta có: ( ) x +3 + ) ( 2( x - 1) ) 2x - = � 2x - x + = � = 0� � � x =1 � x - 1= x + 2x - � � Vậy phương trình có nghiệm x =  Ví dụ 14: Giải phương trình: 2x + = x + 2x - Hướng phân tích: Thử x = 1/2 VT > VP, thử x = VT > VP nên khả đường thẳng y = 2x + nằm đường cong y = x + 2x - đốn nghiệm kép x = Hướng dẫn giải: (Tương tự ví dụ 13) Điều kiện � x� ( x - 1) x2 Ta có ( x + 2x - + ( x - 1) ) ( ) 2x - + x + 1- x = x + 1+ x = � x - 1= � x = (Vì x� ) Vậy phương trình có nghiệm x =  Ví dụ 15: Giải phương trình: 2x - 11x + 21 = 4x - Hướng phân tích: Nhận xét 2x - 11x + 21 > 0, " x � 4x - > � x > Nhẩm nghiệm đẹp x = Để bớt cồng kềnh ta ký hiệu 4x - = a , x = a = Mặt khác viết lại: 2x2 - 12x + 18 = - ( x + 3) + 33 4x - khả Parabol tiếp xúc với đường cong! Hướng dẫn giải: Dễ thấy 2x - 11x + 21 > 0, " x để phương trình có nghiệm 4x - > � x > Ký hiệu 4x - = a > , ta có phương trình 2x - 12x + 18 + ( x + 3) - 3a = � 2( x - ( x + 3) - ( 3a) 3) + ( x + 3) + 3a ( x + 3) + ( 3a) 2 � 2( x - 3) + =0 (Với x > 1,a > ) x3 + 9x2 + 27x + 27 - 27( 4x - 4) ( x + 3) + 3a ( x + 3) + ( 3a) =0 (Với x > 1,a > ) � � � � x + 15 � � ( x - 3) � 2+ = 0� x = 2 � � x + + a x + + a ) ( ) ( )� � � ( � (Vì x > 1,a > ) Vậy phương trình có nghiệm x = Lời bình:  Từ hướng phân tích ta giải phương trình theo phương pháp đánh giá ngắn gọn sau: Dễ thấy 2x - 11x + 21 > 0, " x để phương trình có nghiệm 4x - > � x > Viết lại phương trình: 2x2 - 12x + 18 = - ( x + 3) + 33 4x - 2( x - 3) �0 Ta có VT(*) = (*) Mà VP(*) = - ( x + 3) + 33 2.2.( x - 1) �- ( x + 3) + � + + ( x - 1) � =0 � � Dấu xảy x - = � x = Từ phương trình có nghiệm x =  Tương tự ta giải ví dụ 13, ví dụ 14 hay các toán nghiệm kép theo phương pháp đánh giá bất đẳng thức AM - GM, B.C.S, Chẳng hạn ví dụ 13, với x �1/ : 4x2 x + + 1.( 2x - 1) �4x2 + x + + 1+ 2x - = 4x2 + 3x +  Ví dụ 16: Giải phương trình: ( x + 1) 4x + + 2( x + 5) x + = 3x2 + 14x + 13 Hướng phân tích: Ta nhẩm nghiệm x = Nếu x = VT > VP, x = VT < VP nên khả x = nghiệm đơn Hướng dẫn giải: ĐK x �- 3x2 + 7x - 10 + ( x + 1) Ta có ( ) ( 4x + + 2( x + 5) - ) x+3 = � 4( x + 1) 2( x + 5) � � � � ( x - 1) � 3x + 10 =0 � � � + x + + x + � � �3x + 10 4x + + x + + 2( x + 5) � ( ) ( ) � � � ( x - 1) � = � ( x - 1) M = � � � + x + + x + � � (*) �3x + 10 4x + + x + + > x + > ( ) ( ) ( ) � � , " x �� � < + 4x + < + 4x + 12 = 2 + x + � � Ta có ( M > Suy ra: ( 4( x + 5) ) 2+ x + - 2( x + 5) 2+ x + = 0, " x �- ) Do (*) � x - = � x = Vậy phương trình có nghiệm x = Lời bình: Ví dụ ta gặp khó khăn đánh giá biểu thức M ngoặc vng Đây khó, ta đổi biến quy thức sau: Cách 2: Phương trình (x + 1) 4x + + 2(x + 5) x + = 3x + 14x + 13 � (4x + 4) 4x + + (4x + 20) 4x + 12 = 12x2 + 56x + 52 Đặt 4x + = t �0 � 4x = t2 - ta có phương trình: t(t2 - 1) + (t2 + 15) t2 + = t - + 14 t2 - + 52 ( ) ( ) � 3t - 4t + 26t2 + 4t + - 4(t2 + 15) t + = ( � 3t - 4t + 10t2 + 4t - 237 + 4(t2 + 15) - ) t2 + = � 4(t2 + 15) ( t + 3) � � � � ( t - 3) � 3t + 5t + 25t + 79 = � ( t - 3) M = � � � + t + � � (*) Ta có t �0 � 3t + 5t2 + 25t + 79 > t + 3t2 + 15t + 75 = (t2 + 15) ( t + 3) Kết hợp + t + > suy M > từ (*) ta có t - = � t = Thay trở x= t2 - ta có nghiệm phương trình x = Tuy giải độ phức tạp cồng kềnh không giảm Ta tiếp tục xét thêm vài ví dụ để thấy rõ đa dạng phương trình vơ tỉ trường hợp nhẩm nghiệm hữu tỉ ta tự tin giải tốn  Ví dụ 17: Giải phương trình: 3x 5x - + - 4x + 19x - 12 = 36x - 2x - 20x + Hướng phân tích: � � 5x - �0 � � � x ��;4� � � � - 4x + 19x - 12 �0 � � � � ĐK � Ta nhẩm x = VT < VP, với x = nghiệm Với x = VT < VP Như khả hai đường cong tiếp xúc x = Hướng dẫn giải: �x �4 Điều kiện Bình phương hai vế thu gọn ta có phương trình: 6x 5x - - 4x2 + 19x - 12 + 9x3 - 56x2 + 39x - 18 = � 6x ( ) ( ) 5x - - 4x2 + 19x - 12 - + 9x3 - 56x2 + 93x - 18 = � � 6x ( 20x + 1) � ( x - 3) � + x = 0� x = ( )� � � �5x - - 4x + 19x - 12 + � � � �x �4 (vì nên ngoặc vng dương) Vậy phương trình có nghiệm x = Cách khác: (Dùng phương pháp đánh giá) � � 5x - �0 � � � x ��;4� � � � - 4x + 19x - 12 �0 � � � � Ta có điều kiện � Bình phương hai vế thu gọn ta được: 3x.2 5x - - 4x2 + 19x - 12 + 9x3 - 56x2 + 39x - 18 = (*) Áp dụng bđt Cô si thì: ( ) 3x.2 5x - - 4x2 + 19x - 12 �3x 5x - + - 4x2 + 19x - 12 3x.2 5x - - 4x2 + 19x - 12 �- 12x3 + 72x2 - 54x Dấu có � � x = ��;4� � 3 � � � Từ suy ra: VT(*) �- 12x + 72x - 54x + 9x - 56x + 39x - 18 � � �- 3x3 + 16x2 - 15x - 18 = - ( x - 3) ( 3x + 2) �0, " x ��;4� � � � � VT(*) Từ suy phương trình (*) có nghiệm x = nghiệm phương trình cho Lời bình: Phương pháp bình phương bước làm cho toán ngắn gọn Các bạn thử giải theo cách để nguyên trục đánh khơng bình phương:? 2  Ví dụ 18: Giải phương trình: x + x + + - x = 11 + x - 3x Hướng phân tích: Điều kiện - �x � Tại x = - VT< VP, x = VT < VP, x = nghiệm Tại x = VT < VP nên dự đoán x = nghiệm kép Hướng dẫn giải: �x � Viết lại x + + - x2 = 11 + x - 3x2 - x Điều kiện - 2 Bình phương hai vế ta được: 10x - 5x - 55 + 16 x + - x + 6x 11+ x - 3x = (18) Áp dụng bđt Cô si: 4.2 x + - 4x2 �4( x + + - 4x2) = 44 + 4x - 16x2 (18a) 2 Suy ra: VT(18) �10x - 5x - 55 + 44 + 4x - 16x + 6x 11 + x - 3x VT(18) ( ) ( �- 9x2 + 11+ x - 3x2 - 6x 11+ x - 3x2 = - 3x - 11+ x - 3x2 Từ (18a) (18b) ta có dấu xảy khi: � x + = - 4x2 � � � x =1 � � 3x = 11 + x - 3x2 � � Vậy phương trình có nghiệm x = ) �0 (18b) x2 - + x2 = x 2x2 - x2 +  Ví dụ 19: Giải phương trình: Hướng phân tích: Điều kiện VP = 5- � x �2 �2 2;x �� � Nếu 1 = - x2 + 5 x �� x � nên phương trình khơng có nghiệm 2� � � x �� 2;2 2� � � � � Xét : Ta nhẩm nghiệm đẹp x = , x = hay x = 2 ta có VT < VP, nên khả x = nghiệm kép Nhân hai vế với 2x để khử mẫu thức Hướng dẫn giải (Cách phổ biến): Điều kiện VP = 5- � x �2 �2 2;x �� � Nếu 1 = - x2 + 5 x �� x � nên phương trình khơng có nghiệm 2� � � x �� 2;2 2� � � � � Xét , nhân hai vế với 2x ta có phương trình: 2x - x2 + 2x2 - = - 2x2 + 10x - ( ) ( � 2x2 - 8x + = 2x - - 2( x - 2) � 2( x - 2) = 2x2 - + - x - x2 2x - + 2x2 - + 2( x - 2) ( x + 2) ) + x - x2 � 2( x - 2) = � x = � � �� x + ( ) � 1= + (*) � 2 � x + x 4 + x x � ( x + 2) 2 > � x + > - x2 � ( x + 2) > 0, " x �� 2;2 2� � � � � Ta có + x - x nên (*) vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x = Lời bình: Để tránh trục hai thức biểu thức vế phải (*) ta giải theo phương pháp bình phương quen thuộc đưa bậc trục lần: x �� 2;2 2� � � � � Cách 2: Xét , nhân hai vế với 2x ta có phương trình: 2x - x2 + 2x2 - = - 2x2 + 10x - Bình phương hai vế thu gọn ta được: 2x - x2 2x2 - = 4x4 - 20x3 + 37x2 - 20x + ( ( ) ) � 4x4 - 20x3 + 33x2 - 20x + + 2x 2x - - x2 2x2 - = � � 4x ( x + 2) � � 2 � � ( x - 2) � = � ( x - 2) = � x = (�2x - 1) + 2x + - x2 2x2 - � � � � � Từ phương trình có nghiệm x = c Trường hợp hai nghiệm hữu tỉ: Nếu nhẩm hai nghiệm hữu tỉ mục tiêu ta trục lần để có nhân tử chung tam thức bậc hai Theo định lý Viet đảo: x - Sx + P =  Ví dụ 20: Giải phương trình: 3x + + 5x + = x + 6x + 13 Hướng phân tích: Ta thấy phương trình có hai nghiệm x = x = - 1, định hướng trục thức xuất nhân tử x + x Cách làm phổ biến là: � x2 + - 5a) x + 13 - 2b - 3d� + ax + b - 3x + + ax + d � ( � ( ) ( ) 5x + = Cho x = suy b = 2,d = 3;13 - 2b - 3d = Kiểm tra - 5a = 4a - = 6a - = � a = Cách giải phổ biến là: x �- Điều kiện: ( ) � x +x + ( ( ( ) ) x2 + x x + + 3x + + � � x + + 3x + � 1+ )� � � � x2 + x x2 + x + x + Ta có: ( ( ) x2 + x x + + 5x + + ) ( 3x + + x + - ) 5x + = =0 � � � = � x2 + x = � � x + + 5x + 9� Từ suy phương trình có hai nghiệm x = - 1, x = Lời bình: Đối với nhìn theo cách khơng có phức tạp hay cồng kềnh lời giải, nhiên theo cách làm ta phải tìm hai biểu thức liên hợp với hai thời gian Cách ngắn gọn bình phương ví dụ 19 Dùng phép chia đa thức hay lược đồ Hooc - ne để tìm thương phần dư Hướng dẫn giải (PP bình phương): Điều kiện x �- 4/ Bình phương hai vế ta có phương trình: 12 3x + 5x + = x4 + 12x3 + 62x2 + 99x + 72 ( ( ) � x4 + 12x3 + 62x2 + 51x + 12 4x + - ) 3x + 5x + = � � 12 � � x2 + x � x + 11 x + 51 + = � x2 + x = � � 4x + + 3x + 5x + 9� � ( ) Từ suy phương trình có hai nghiệm x = - 1, x = 2 Cách tìm biểu thức liên hợp chia đa thức x + 12x + 62x + 99x + 72 cho x + x ta tìm thương x + 11x + 51 dư 48x + 72 ghép vào Chúng ta kiểm chứng giải lại VD2 5x - + 12x - = x2 +  Ví dụ 2: Giải phương trình: Hướng phân tích: Thử x = x = nghiệm phương trình Nhân tử x - 3x + Hướng dẫn giải: Điều kiện x �2/ Bình phương hai vế ta có phương trình: 5x - 3x - = x4 + 6x2 - 17x + 18 ( ) ( � x4 + 6x2 - 33x + 26 + 4x - - ) 5x - 3x - = �2 � � � � x2 - 3x + � x + x + 13 + � �= � � � � 4x - + 5x - 3x - 2� ( ) � x2 - 3x + = � x = 1, x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x =  Ví dụ 21: Giải phương trình: 2x2 + x + + 2x2 - x + = x + Hướng phân tích: Ta dễ nhẩm nghiệm x = Khả nghiệm thứ hai x = a nên mục tiêu là: nhân tử sau trục có dạng ax + bx Giải theo PP bình phương: Điều kiện x �- Bình phương hai vế thu gọn ta có phương trình 3x2 - 8x - = - 2x2 + x + 2x2 - x + Cộng thêm hai vế với 4x2 + ta ( � 7x2 - 8x = 2x2 + - ) 2x2 + x + 2x2 - x + � � � � � � 7x2 - 8x � + = � x = 0, x = � � � 2 � � � 2x + + 2x + x + 2x - x + 1� ( ) Giải theo cách thông thường: Điều kiện x �- Nếu - �x �- suy VT � 15 + 11 > VP nên - �x �- nghiệm Do x > - PT ( ) ( ) � 2x2 + x + - x - + 2x2 - x + - x - = � � 1 � � � � � 7x - 8x � + = � x = 0, x = � � � � � 2x2 + x + + x + 2x2 - x + + x + 2� ( ) Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = Lời bình: PP bình phương ta khơng cần lập luận nhiều Bài ta đặt thêm điều kiện tiếp tục bình phương lần thứ hai Ngồi ta giải theo cách tương tự VD11, VD12 Theo phương pháp thứ hai ta cần tách hạng tử hợp lý xét mẫu thức khác để trục Đặc biệt ví dụ sau PP thơng thường khó khăn 2  Ví dụ 22: Giải phương trình: 2x - + x - 4x = 4x Hướng phân tích: Nhẩm nghiệm x = 1/2 x = Nhân tử cần 2x - 3x + Hướng dẫn giải: � 5� x �D = � ; � � 2� � � � � Điều kiện Bình phương hai vế ta có phương trình: 6x 2x - - 4x2 = 20x4 - 5x2 - 18x + , trừ hai vế lượng 6x(2x - 1) thuộc tập 6x xác định ta có phương trình: ( � 6x 2x - � 6x 2x - ( ) 2x - - 4x2 - 2x + = 20x4 - 17x2 - 12x + ) - 4x2 - 2x - = 20x4 - 17x2 - 12x + 2( 1- x) ( 2x + 3) - 4x + 2x - ( )( ) = 2x2 - 3x + 10x2 + 15x + � � 12( 2x + 3) � � ( x - 1) 2x - � x 10 x + 15 x + + =0 � � � � x + x � � ( ) � ( x - 1) 2x - = � x = , x = (Biểu thức ngoặc vng dương x �D ) Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = Chú ý: Bài ta "trục dần dần" phức tạp, cịn để ngun khơng bình phương mà muốn tạo nhân tử 2x - 3x + 1thì chưa biết nào? Tuy nhiên ta thử đổi biến để quy xem sao? Đặt ( ) 2x - = t �0 � 2x = t + ( ) ( ) 8x2 - 2x - - 2x - 4x2 = � t2 + - 6t - t2 + - t + = ( ) ( ) � 2t + 4t2 - 6t + - t2 + - t - 2t2 = lại ký hiệu t + = y ( (*) Để giảm cồng kềnh trục ta ) - t2 + - t - 2t2 = - y - y2 = y4 - 5y2 + + y - y2 Khi phương trình (*) trở thành: ( ) (*) � 2t ( t - 1) t2 + t + + ( y - 1) ( y - 2) ( y + 1) ( y + 2) = + y - y2 � t ( t + 1) ( y + 1) ( y + 2) � � � � t ( t - 1) � 2t + 2t + + =0 � � � + y y � � , t �0, y > suy ( ) t ( t - 1) = � t = 0,t = � x = , x = Mặc dù giải không giảm độ phức tạp! Tiếp tục ta xét ví dụ 23  Ví dụ 23: Giải phương trình sau: 2x2 + 16x + 18 + x2 - = 2x + Hướng dẫn: 2 Điều kiện: x - �0, x - �2x + � - �x �- x �1 Viết lại phương trình: 2x2 + 16x + 18 = 2x + - Bình phương vế thu gọn ta phương trình: x2 - 3( x2 - 1) - 2(2x + 4) x2 - = � x = �1 � � � x = � �x - = � �� ��2 � � - 32 �3 57 7x + 64x + 73 = � � x = x + x= � � � � � Kết hợp điều kiện ta có nghiệm phương trình x = �1, x = - 32 + 57 Lời bình: Theo phương pháp bình phương ta giải phương trình tương đối ngắn gọn, lý sau bình phương phương trình có nhân tử chung dễ dàng nhận x2 - x + + 19 - 3x = x2 + 2x +  Ví dụ 24: Giải phương trình: Hướng phân tích: Nhẩm nghiệm x = x = - Nhân tử ta cần x + x - Hướng dẫn giải (PP bình phương): � 19� x �D = � - 3; � � 3� � � Điều kiện Bình phương hai vế thu gọn ta có: x4 + 4x3 + 22x2 + 23x + 14 - x + 19 - 3x = ( ) ( � x4 + 4x3 + 22x2 + 15x - 42 + x + - ) x + 19 - 3x = � � 32 � � x2 + x - � x + x + 21 + =0 � � x + + x + 19 - 3x � � ( ) (Vì x �D nên ngoặc thứ hai dương) � x + x - = � x = - 2, x = Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = - 2, x = Cách phổ biến: ( ax + b) làm nháp x +3 a = ,b = 3 = cho x = x = - để tìm a, b Kết ( cx + d) Tương tự: biểu thức liên hợp Phương trình: � � 4� �x + � 3 � 19 - 3x = � �1 13 � x + 3� +� - x+ � � � � �3 � suy c=- 13 ,d = 3 � � 19 - 3x � +x +x - 2= � � � Mời bạn giải cách Lời bình: Có thể nói: phương pháp bình phương "dồn nghiệm" từ hai thức vào chung thức Tuy nói khơng phải ta áp dụng  Ví dụ 25: Giải phương trình: 2x2 - x + - 21x - 17 + x2 - x = Hướng phân tích: Nhẩm nghiệm x = x = Nhân tử ta cần x - 3x + Ta thấy có bậc 2 hai 2x - x + trừ x + 2x + có nhân tử cần tìm (đẹp rồi) Do khơng phải bình phương Hướng dẫn giải: Điều kiện ( x� 17 , x - x � 21x - 17 21 Phương trình tương đương với: ) ( ) 2x2 - x + - x - + 3x - 1- 21x - 17 + x2 - 3x + = � � � � � � x2 - 3x + � + + =0 � � � � � � 2x - x + + x + 3x - + 21x - 17 � ( biểu thức ( ) ngoặc thứ hai dương) � x - 3x + = � x = 1, x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = 2  Ví dụ 26: Giải phương trình: (x + 1) 3x + + x + 2x + = x - x + + 6x Hướng phân tích: Nhẩm nghiệm x = x = Nhân tử ta cần x - x Vì phương trình có bậc nên ta khơng bình phương mà cố gắng ghép hạng tử hợp lý Hướng dẫn giải: � x3 + 2x2 - 3x + 3x + � (x + 1) � � PT ( ) � 3x + � x - x � ( x + 3) + � x + + x + � � ( Ta có � x + > 0& ) � � =0 � x - x + + 1� � (*) ) x �- ( 3x + 1� = x2 - x + - � � 2 x - x +1+1 >0 Do từ (*) ta có x - x = � x = 0, x = Cách ghép 2: � 6x - x3 - 2x2 - 1- (x + 1)2 + � (x + 1)2 - (x + 1) 3x + 1� + x2 - x + = � � � � PT � 4x - x3 - 3x2 + ( x + 1) � (x + 1) � � ( ) ( ) 3x + 1� + x2 - x + - = � � � � x +1 � � � � x2 - x � x + + =0 � � � � � x + 1+ 3x + � x - x + + 1� (**) ( ) Ta có x �- - 4- x + � x + + 3x + �x + > 0; x2 - x + + > Suy x +1 x + 1+ 3x + + < - - x + 1+ = - 1- x < x2 - x + + Do (**) � x - x = � x = 0, x = x  Một lưu ý mà quan tâm là: Khơng làm cho thức trở thành số đẹp x nghiệm phương trình, nghiệm thay vào thức số vơ tỉ  Ví dụ 27: Giải phương trình ( 2x - 6) x + - ( x - 5) 2x + = 3( x - 1) Hướng phân tích: Thử x = 1, x = 3, x = nghiệm phương trình, bình phương hai lần ( x - 1) ( x - 3) ( x - 5) chuyển phương trình bậc chắn có nhân tử dài dòng Nhiệm vụ ta tách ghép hợp lý cho trục xuất nhân tử mà ta cần, đồng thời xét dấu mẫu giải phương trình cịn lại đơn giản mẫu thức lúc phức tạp Định hướng mẫu ta đơn giản u + v a + v Hướng dẫn giải: � ( 2x - 6) x + - ( 2x - - x + 1) 2x + = 3( x - 1) Điều kiện x �- 3/ PT � ( 2x - 6) � ( x +4- ( 2x - 6) ( 1- x) x + + 2x + ) ( ) 2x + = ( x - 1) - = ( x - 1) ( 6- 2x) + 2x + � ( 2x - 6) ( 1- x) = �� � � �x + + 2x + = + 2x + � = 2x + ( 1- x) ( 2x - 6) + 2x + � x =1 � � x=3 � � x=5 � � Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 3, x =  Ví dụ 28: Giải phương trình: 2x - + 2x + + - 2x = 4x + Hướng phân tích: Ta thấy phương trình xuất số tự nên hướng nhẩm nghiệm là: hai x = 0; x = Chúng ta lựa chọn phương vế trái số này, từ ta nhẩm hai nghiệm pháp trục hai lần trục lần phải xét mẫu thức phức tạp Hướng dẫn giải: + TH1: Xét x = nghiệm phương trình; �1 � � ;1� x �\ �2 � { } � � +TH2: Xét , chuyển vế: � 2x + + 1- 2x � ( - 2x + + + )( 2x + + - - 2x + ( ) ( 2x + - + = 2x - � ( - 2x - - 2x - 1+ - )( 2x + + ) = 4x2 - 2x 2x + ) - 2x + = 2x - � � 1 � � + � + 2x + - 2x + + 2x + � � = 2x - � ( 2x - 1) � + =0 � � - 2x + 2 x + + 2 x + � � � � � � � 2x - = � x = 1- 2x ) ( )( x = 0; x = Vậy phương trình có hai nghiệm d Luyện tập: x + + 2x - 10 = 2x - Bài Giải phương trình: 4x + - Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: 9( 4x + - 3x - = x+3 3x - 2) = x + x + = 2x2 - x - Bài Giải phương trình: 3x - - Bài Giải phương trình: x - + - x = 2x2 - 5x - Bài Giải phương trình: x - + - x - 2x2 + 7x + = Bài Giải phương trình: x + + x2 = 3x - + x + 2- x = 2x - Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: Bài 10 Giải phương trình: Bài 11 Giải phương trình: x- x + + x - = x2 - x - + 2x2 + 3x = 5x - + 3x + + x 3x - = 2x2 + Bài 12 Giải phương trình: x - x - 18 + (2x + 9) x + - 5x - = Bài 13 Giải phương trình: 4x2 + 5x + - x2 - x + = 9x - ) 2x - 11 - Bài 14 Giải phương trình: 2x2 - 16x + 28 = - x Bài 15 Giải phương trình: 3x - + x + 5x - = 16 Bài 16 Giải phương trình: Bài 17 Giải phương trình: Bài 18 Giải phương trình: Bài 19 Giải phương trình: x2 + = x - + 2x - 3 x + + 2x + + x2 + 8x + 13 = x3 + x2 - + 2x = x + x - 10 + x - + x2 = x + Bài 20 Giải phương trình: x + 2x = x 4x + + 3x + 2 Bài 21 Giải phương trình: x + x + 5x + = x + - 3x - Bài 22 Giải phương trình: x - 2x - Bài 23 Giải phương trình: x2 - 2x + = 4x + - 5x - 5x - + x + + x3 - 5x2 + 10x - 13 = Bài 24 Giải phương trình: 3x - 17x - 8x + + 3x - - 7- x = Bài 25 Giải phương trình: 3x - + x - + x4 - 5x3 + 12x2 - 15x + = Bài 26 Giải phương trình: 3x - + x + + x4 - 2x3 - 3x2 + 8x - = Bài 27 Giải phương trình: 3x - - 2(x + 1) x + = 3x - 8x - Bài 28 Giải phương trình: (5x - 4) 2x - - (4x - 5) 3x - = 2 Bài 29 Giải phương trình: (x + 1) x + + (x + 6) x + = x + 7x + 12 x- Bài 30 Giải phương trình: x + + x + 9- x x = 9x2 - 14x + 25 Bài 31 Giải phương trình: 3x + + 2x - = ( x - - 1)(2x - 4) x Bài 32 Giải phương trình: 2x - 3x + - 4x + = Bài 33 Giải phương trình: 3x - + 23 19x - 30 = 2x2 - 7x + 11 Bài 34 Giải phương trình: (x - 1) x - + - x = x - 2x + 2 Bài 35 Giải phương trình: x - 2x = 2x + - x2 + Bài 36 Giải phương trình: 3x + x - 8x + = 2x - - x 3x + 2 Bài 37 Giải phương trình: 2x + 2x - + x + = - x 2 Bài 38 Giải phương trình: (5x + 4x + 3) x = (x + 3) 5x + 4x Bài 39 Giải phương trình: Bài 40 Giải phương trình: - x + x + = x3 + x2 - 4x - + x + x - 3x - 2.(3x - 2) 2x - + = � 2x - + (2x - 1)3 CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG ! HẸN GẶP LẠI TRONG PHẦN 5! ... đường cong, từ dự đốn khoảng nghiệm số nghiệm phương trình Nhiều nghiệm vơ tỉ khó nhẩm nghiệm, dự đốn khoảng nghiệm số nghiệm góp phần quan trọng định hướng giải lập luận đánh giá Việc phác họa... nghiệm vơ tỉ trình bầy riêng phần 5) b Định hướng trục thức: Chúng ta có hai hướng để trục thức là: + Hướng 1: Tìm biểu thức liên hợp với thức cho trục tạo nhân tử mà nhẩm nghiệm Theo hướng thực...  Một lưu ý mà quan tâm là: Không làm cho thức trở thành số đẹp x nghiệm phương trình, nghiệm thay vào thức số vơ tỉ  Ví dụ 27: Giải phương trình ( 2x - 6) x + - ( x - 5) 2x + = 3( x - 1) Hướng