Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 CÁC PP TRỌNG TÂM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P4 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG PP HÀM SỐ - ĐÁNH GIÁ Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình ( x + 3) x − = 3 x − + Lời giải: ĐK: x ≥ , đặt a = x − ta có: ( a + ) a = 3 x − + ⇔ a + ( x − 3) + 3a + + 3a = x − + 3 x − ⇔ a + 3a + 3a + + 3a = x − + 3 x − ⇔ ( a + 1) + ( a + 1) = x − + 3 x − Xét hàm f ( t ) = t + 3t đồng biến R PT ⇔ a + = 3 x − ⇒ x − + = 3 x − Đặt t = 3 x − ⇒ x = t ≥ t3 + t3 + ⇒ − +1 = t ⇔ ⇔t =2⇒ x =4 3 t − = ( t − 1) Đáp số: x = nghiệm PT cho Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình ( x − 1) + x + = + x + + + x − Lời giải: DK: x ≥ −1 Khi ta có: PT ⇔ x − x + + x + = + x + + + x ⇔ x + x + + x + = (1 + x ) + + x + + + + x ⇔ ( x + 3) + x + = ( ) + 8x + + + 8x + Xét hàm số: f ( t ) = t + t ( t ≥ ) ta có: f ' ( t ) = 2t + [ 0; +∞ ) Khi ta có: f ( x + 3) = f ( ) t > ∀t > hàm số f ( t ) đồng biến + 8x + ⇔ x + = + 8x + ⇔ x + = + 8x x = ⇔ x2 − x + = ⇔ ( tm ) x = Vậy nghiệm PT là: x = 1; x = 21x − − x +1 x −1 Lời giải: x ( − 1) + ⇔ x − − = x − x − − 1 ĐK: x > ta có: PT ⇔ x − −1 = 8x − x +1 x +1 x −1 x −1 1 x2 + 2x + − − ( x + 1) = x − − − x − Xét hàm f ( t ) = t − − 3t ( t > ) x +1 t x −1 1 Ta có: f ' ( t ) = 2t + − = t + t + − ≥ − = , nên f ( t ) đồng biến ( 0; +∞ ) t t + 17 x > PT ⇔ f ( x + 1) = f x − ⇔ x + = x − ⇔ ⇔ x= x2 − 5x + = Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình x − x − = ( ) Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Vậy PT có nghiệm là: x = Facebook: LyHung95 + 17 7 + x3 + = 3x + x + x x Lời giải Điều kiện x ≠ Phương trình tương đương 7 7 x3 + + x3 + = x + 3x + 3x + + x + ⇔ x + + x + = ( x + 1) + ( x + 1) x x x x Xét hàm số f ( t ) = t + 4t ; t ∈ ℝ ⇒ f ′ ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ℝ Hàm số liên tục đồng biến tập hợp số thực nên thu 7 7 f x + = f ( x + 1) ⇔ x + = x + ⇔ x + = x3 + x + x + x x x x −1 = ⇔ = x3 + x + x ⇔ ( x − 1) ( x + x + ) = ⇔ ⇔ x =1 3 ( x + 1) = −1 Kết luận phương trình có nghiệm Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình x ( x − 1) + x x − = x Lời giải Điều kiện x ≠ Phương trình tương đương 1 1 x + x x3 − = x + ⇔ x3 + x3 − = x + ⇔ x3 − + x3 − = x3 + x x x x x x Xét hàm số f ( t ) = 2t + t ; t ∈ ℝ ⇒ f ′ ( t ) = 6t + > 0, ∀t ∈ ℝ Hàm số liên tục, đồng biến tập hợp số thực nên dẫn đến 1 1 f x3 − = f ( x ) ⇔ x − = x ⇔ x3 − = x3 ⇔ x = ⇔ x ∈ {−1;1} x x x Kết luận toán có hai nghiệm kể Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình x3 − x + 12 x − = − x + x − 19 x + 11 ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với ⇔ x3 − x + x − + ( x + 1) = − x + x − 19 x + 11 + − x + x − 19 x + 11 ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) = − x + x − 19 x + 11 + − x + x − 19 x + 11 Xét hàm số f ( t ) = t + 2t ta có f ′ ( t ) = 3t + > 0∀t ∈ ℝ ( ∗) Do hàm số f ( t ) liên tục đồng biến ℝ Khi ( ∗) ⇔ f ( x − 1) = f ( ) − x + x − 19 x + 11 ⇔ x − = − x + x − 19 x + 11 ⇔ x − 3x + 3x − = − x + x − 19 x + 11 ⇔ x − x + 11x − = ⇔ ( x − 1)( x − )( x − 3) = ⇒ x ∈ {1; 2;3} Thử lại ba giá trị thỏa mãn phương trình ban đầu Kết luận tập hợp nghiệm S = {1; 2;3} x3 + x − Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình = x2 + x2 − x2 + + Lời giải: x3 + x − ( x + 1) − Ta có: PT ⇔ = = x2 + − 2 x +3 x +1 + Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 ⇔ x3 + x − = ( x + 3) x + − ( x + 3) ⇔ x + x + x + = ( x + 3) x + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( ) x2 + + x2 + Xét hàm số f ( t ) = t + 2t có f ' ( t ) = 3t + > nên f ( t ) đồng biến R Ta có: f ( x + 1) = f ( ) x2 + ⇔ x + = x2 + ⇔ x = Vậy x = nghiệm PT cho Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình ( x − x − 1) + ( x − ) = ( x − ) x − + Lời giải: ĐK: x ≥ Khi đó: PT ⇔ ( x − x − 1) + x − x − = ( x − + ) x − ( ) ⇔ ( x − x − 1) + ( x − x − 1) = x − + x − 3 Xét hàm số f ( t ) = t + t ; f ' ( t ) = 3t + > f ( t ) đồng biến R ( ) ( ) Do f ( x − x − 1) = f x − ⇔ x − x − = x − ⇔ ( x − x − ) + 2 − x − = ⇔ ( x + 1)( x − ) + 5− x = ⇔ ( x − 5) x + − =0 + x −1 + x −1 2 + x −1 ≥ 2− = >0 + x −1 + x −1 + x −1 Do PT có nghiệm x = Do x ≥ nên x + − Ví dụ [ĐVH]: Giải phương trình 2− x + − x2 = + x 2x −1 − x2 Lời giải: 1 2x −1 x 0 Xét hàm số: f ( t ) = t − ( t > ) ta có: f ' ( t ) = t t t 1 2x −1 Khi ta có: f ⇔ 2− = ⇔ = f x x − x2 2− x − − x2 hàm số f ( t ) đồng biến với t > 1 + =2 x − x2 ⇔ x + − x2 = x − x2 t = −1 Đặt t = x + − x ta có: t = t − ⇔ t = x ≤ −1 −1 − Với t = −1 ⇒ − x = −1 − x ⇔ ⇔x= 2 x + x − = x ≤ Với t = ⇒ − x = − x ⇔ ⇔ x =1 x − 2x +1 = Vậy nghiệm PT x = 1; x = −1 − Ví dụ 10 [ĐVH]: Giải phương trình − x2 + x4 − x2 + = x2 − x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 ĐK: −1 ≤ x ≤ (*) Khi (1) ⇔ − x + x − + x − x + − ( x + 1) = Ta có ( − x2 + x ) (2) = + x − x2 ≥ ⇒ − x2 + x ≥ ⇒ − x2 + x − ≥ (3) x = Dấu " = " xảy ⇔ x − x = ⇔ x = ±1 Mặt khác ( x − x + 1) − ( x + 1) = ( x − x + 1) = ( x − 1) ≥ 2 ⇒ ( x − x + 1) ≥ ( x + 1) ⇒ x − x + ≥ x + ⇒ x − x + − ( x + 1) ≥ (4) Dấu " = " xảy ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = ±1 x = Từ (3) (4) ta có VT ( ) ≥ Dấu " = " xảy ⇔ x = ±1 ⇔ x = ±1 x = ±1 Thử lại x = ±1 thỏa mãn phương trình cho Đ/s: x = ±1 Ví dụ 11 [ĐVH]: Giải phương trình x x3 + + x − x + = x + + x + x3 + x − ( x ∈ ℝ) Lời giải ĐK: x ∈ ℝ (*) Ta có ( x − x + 1) − ( x + 1) = ( x − x + 1) = ( x − 1) ≥ 2 ⇒ ( x − x + 1) ≥ ( x + 1) ⇒ x − x + ≥ x + (2) Dấu " = " xảy ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = ±1 Lại có x3 ( x3 + 1) − ( x + x3 + x − 1) = x ( x − 1) − ( x − 1) = ( x − 1)( x − 1) = ( x − 1) ( x + 1) ≥ ⇒ x3 ( x + 1) − ( x + x3 + x − 1) ≥ ⇒ x ( x + 1) ≥ ( x + x + x − 1) ⇒ x x3 + ≥ x + x3 + x − Dấu " = " xảy ⇔ ( x − 1) ( x + 1) = ⇔ x = ±1 Từ (2) (3) ta có VT (1) ≥ VP (1) Dấu " = " xảy ⇔ x = ±1 Thử lại x = ±1 thỏa mãn phương trình cho Đ/s: x = ±1 Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 (3) Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài [ĐVH]: Giải phương trình ( x + 4) x+3 x+ x =x ( ) x +1 +1 ( Bài [ĐVH]: Giải phương trình − x + x + x − x = 4 x + − x + + Bài [ĐVH]: Giải phương trình 3x − + x − + x =3 x Bài [ĐVH]: Giải phương trình x (1 + x ) = ( − x ) − x ( ) ) 2x −1 −1 Bài [ĐVH]: Giải phương trình x + x + 11x + = 3 x − x + Bài [ĐVH]: Giải phương trình (125 x + 255 ) x + = x9 + x + 13 x3 + 10 Bài [ĐVH]: Giải phương trình x3 + x + x + + x − − 2 − x = Bài [ĐVH]: Giải phương trình x + x + 1 = + x + 54 + 14 x + x + + x +1 Bài [ĐVH]: Giải phương trình x3 − x + 11x − 15 = ( x + x + ) x + x + ( Bài 10 [ĐVH]: Giải phương trình + x + x + 10 )( ) x − x −1 = x +1 Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015