MỘT số ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PT vô tỉ p2

MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PT VÔ TỈ - PHẦN II Giải số phương trình vơ tỉ chứa bậc ba Cơ sở định hướng giải: Đối với học sinh lớp 10, 11 học sinh THCS khơng sử dụng đạo hàm, nên có kiến thức quan trọng hay thường sử dụng "Bình phương thiếu": A3 − B = ( A − B ) ( A2 + AB + B ) Như biểu thức A2 + AB + B không âm cộng thêm số dương ln dương Mở rộng giải số phương trình vơ tỉ ta định hướng đưa dạng hàm số f ( t ) = at + bt , ( a, b > ) bậc ba lẻ như: Nếu dùng đạo hàm hàm đồng biến f ( u) = f ( v) R Như nói, đưa phương trình sau chuyển vế đưa bình phương thiếu: ( u − v ) ( au + auv + av + b ) = ⇔ u = v Chúng ta lưu ý là: đưa hàm số kiểu trên! Các ví dụ giải tốn: Ví dụ 1: Giải phương trình x3 + = x − (1) Hướng phân tích: v = 2x − Ta thấy hệ số trước 2, hay nói ta đốn b = cịn av3 thiếu , mà hệ số vế trái x3 nên khả a = 1, ta thêm bớt để tạo v3 = x − Ta có (1) ⇔ x3 + x = (2 x − 1) + x − Hướng dẫn giải: Ta có (1) ⇔ x + x = (2 x − 1) + x − Đặt v = 2x − ta có phương trình: ⇔ x3 + x = v + 2v ⇔ ( x − v ) ( x + xv + v + ) = ⇔ x = v x = x − ⇔ x − x + = ⇔ x = 1, x = Thay trở 1− 1+ ,x = 2 Lưu ý 1: Khơng phương trình chứa bậc chuyển dạng bậc Ví dụ 2: Giải phương trình t t = ( t )3 x3 + x + x + = (3 x + 2) x + Hướng phân tích: Ta thấy hệ số 3, Như ta tách số biến đổi vế trái thành đẳng thức: PT ⇔ ( x + 3x + x + 1) + ( x + 1) = ( 3x + + 1) x + ⇔ ( x + 1)3 + ( x + 1) = ( x + 1) + x + phương trình: Đặt u = x + 1; v = 3x + ta có u + u = v3 + v ⇔ ( u − v ) ( u + uv + v + 1) = ⇔ u = v Lưu ý 2: Đối với số có để biến đổi Ví dụ 3: Giải phương trình sau: −2 x + 10 x − 17 x + = x x − x Hướng phân tích: Rõ ràng ta phát có dạng rồi, b = 2, gần giống ví dụ 1, vướng mắc x2 trước Ta nhận thấy x = nghiệm, nên chia hai vế cho x3, ta có: −2 + 10 17 − + = −1 x x x x t= Để cho gọn ta đặt 8t − 17t + 10t − = 5t − a ( 5t − 1) x ta có: Đến ta biến đổi vế trái thành đẳng thức bậc 3, vế phải cần thêm , hệ số a phụ thuộc t vế trái, nói khác có dạng: a ( 2t − ) + ( 2t − ) = a ( 5t − 1) + 5t − Như a = thử số ngoặc dấu ba ⇔ ( 2t − 1) + ( 2t − 1) = ( 5t − 1) + 5t − chấm 1, ta có PT Tiếp tục đặt u = 2t − 1; v = 5t − ta có ⇔ ( u − v ) ( u + uv + v + ) = ⇔ u = v ⇔ u + 2u = v3 + 2v x= ĐS: 17 ± 97 12 Lời bình: Đây khó qua hai lần ẩn phụ đưa phương trình cần giải Nhưng có dạng có hướng để mị Sau ta xét thêm số ví dụ mà người đề cố ý lái người giải phải mị Ví dụ 4: Giải phương trình sau: 24 x − 11 − 16 x x − − = (4) Hướng phân tich: Ta nhận thấy phương trình có chứa hai thức nên trước hết chuyển vế PT ⇔ 24 x − 11 = + 16 x x − sau cộng thêm lượng v3 xem ⇔ 24 x − 11 + ( 24 x − 11) = 16 x x − + 24 x − 10 căn: , ta cần giảm hệ số trước nên đưa bớt vào ⇔ 24 x − 11 + ( 24 x − 11) = ( x − + ) x − + 24 x − 10 , rõ ràng xuất số nên tách ⇔ 24 x − 11 + ( 24 x − 11) = ( x − + 3) x − + ( x − ) + x − + theo đẳng thức: Đặt v = 24 x − 11, u = x − + ta có phương trình: v3 + v = u + u Mò rồi! Lời giải: PT (4) ⇔ 24 x − 11 + ( 24 x − 11) = 16 x x − + 24 x − 10 = x x − + ( x − ) + ⇔ 24 x − 11 + ( 24 x − 11) = ( x − + + 1) x − + ( x − ) + = ( 8x − 4) 8x − + ( 8x − ) + 8x − + + 8x − + Đặt v = 24 x − 11, u = x − + ta có phương trình: ⇔ u = v ⇔ 24 x − 11 = x − + ta có Đặt 8x − = y ≥ y + = y + y + y + ⇔ y ( y + 3) = ⇔ y = x= Thay trở ta v + v = u + u ⇔ ( u − v ) ( u + uv + v + 1) = suy y2 +1 = y +1 lập phương hai vế nghiệm phương trình cho Như ta gặp hai khó gặm rồi! Sau ta xét dễ Ví dụ 5: Giải phương trình sau: x3 − 13 x + x = x + x − Hướng phân tích: Đặt x + 3x − = v trước hết ta cộng thêm hai vế lượng v3 xem sao: x3 − 13x + x + x + 3x − = v3 + 2v ⇔ x3 − 12 x + 10 x − = v + 2v ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) = v3 + 2v Bây ghép đẳng thức: x = 1, x = ĐS: Ví dụ 6: Giải phương trình sau: x − = 27 x3 − 27 x + 13 x − ± 89 16 Hướng phân tích: Đặt v = 2x −1 vế trái ta thử cộng thêm vào lượng v3 = x − vào hai vế, ta ⇔ v + 2v = x − + 27 x − 27 x + 13x − = 27 x − 27 x + 15 x − 3 có PT 2v 3 v + 2v = ( 3x − 1) + ( x − 1) = u + 2u ⇒ ⇒ u = v ⇒ u = v 3 Tiếp tục biến đổi vế phải Cuối ta phương trình bậc ba x Đs: Sau ta xét bậc chẵn thử xem Ví dụ 7: Giải phương trình sau: x + x + x + = ( 3x − 1) 3x − (5) x=0 Hướng phân tích: Để tạo đẳng thức vế trái hệ số nguyên ta nhân hai vế với 4, ta có: ⇔ x3 + 28 x + 20 x + 16 = ( x − 1) x − căn: để giảm bớt hệ số đưa vào ngoặc x + 28 x + 20 x + 16 = ( 12 x − ) 12 x − ta cần thêm vào vế trái lượng v Đặt 12 x − = v ≥ để xem thử: Đặt Thay trở ta có (*) ⇔ x + 28 x + 20 x + 16 + 12 x − = v + v3 ⇔ ( x + ) + ( x + ) = v + v 2x + = u > vế phải v3 (*) ⇔ u + u = v + v ⇔ ( u − v ) ( u + v + uv + u + v ) = ⇔ u = v x + = 12 x − ⇔ x + = x − ⇒ x − x + = (vô nghiệm) Nhận xét: Biểu thức chứa bậc ba (hoặc bậc hai) ẩn phụ đặt v = k Q( x) (Hoặc v = k Q( x) ) Trong k = 1; mà ta thêm vào (nhân thêm) Tiếp theo đưa vào hay (nếu có): v = k Q ( x )  ; v = k Q ( x )  Sau cộng thêm hai vế lượng av3 ; av để biến đổi vế trái (vế lại) theo au đẳng thức bậc ba, hệ số a hệ số Ví dụ 8: Giải phương trình sau: x − x + 12 x − = − x + x − 19 x + 11 Hướng phân tích: x3 Rõ ràng ta cộng thêm (- x ) vế trái triệt tiêu Ta nhân hai vế với cộng sau sử lí trường hợp Cụ thể là: PT ⇔ x − 12 x + 24 x − 14 = − x3 + x − 19 x + 11 = 2v Cộng thêm hai vế v3 ta có PT ⇔ x − 12 x + 24 x − 14 + ( − x3 + x − 19 x + 11) = v3 + 2v ⇔ x3 − x + x − = v + 2v ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) = v3 + 2v Việc cịn lại giải phương trình bậc ba: Đặt u = x −1 ⇒ u = v3 x3 − x + x − = − x3 + x − 19 x + 11 ⇔ x3 − x + 12 x − = Đs: x = Hỗ trợ Casio giải toán: Từ ví dụ nhận xét ta sử dụng Casio hỗ trợ giải toán Ta thấy 1 α = 1;2;3; ; Q x =αx + β = u ( ) phương trình dẫn đến: với ta tiến hành tìm nhanh u cách: Tìm X trước, sau tính Q( x) −α x = β (thử α tìm Trở q khứ xem Ví dụ 5: Giải phương trình sau: x3 − 13 x + x = x + x − Hướng phân tích: + Nhập phương trình X − 13 X + X = X + X − dùng Shift Solve ta tìm X = + Sửa thành X + 3X − − X bấm = kết -1 (đẹp) Nên u = 2x -1 (lấy số 2X từ 8X3 để thử cho nhanh) Ví dụ 6: Giải phương trình sau: x − = 27 x3 − 27 x + 13 x − Hướng phân tích: + Nhập phương trình X − = 27 X − 27 X + 13 X − dùng Shift Solve ta tìm X = + Sửa thành X −1 − 3X bấm = kết -1 (đẹp) Nên u = 3x -1 β ) Ví dụ 8: Giải phương trình sau: x − x + 12 x − = − x + x − 19 x + 11 Hướng phân tích: + Nhập phương trình X − X + 12 X − = − X + X − 19 X + 11 dùng Shift Solve ta tìm X = + Sửa thành − X + X − 19 X + 11 − X bấm = kết -1 (đẹp) Nên u = x -1 (Nhiệm vụ lại thêm bớt đển biến đổi vế trái theo u) Ví dụ 9: Giải phương trình  x3 − x  x + 3x  ÷ = 2x +   Hướng phân tích: Quy đồng số cho đẹp: (x − x ) = 16 x + 4 x3 + 12 x + Làm nháp ta dự đoán x3 − x = u (nếu không lũy thừa khai triển mệt lắm) Dễ thấy x = nghiệm, ta thử nghiệm khác (nếu có) (X − X ) = 16 X + 4 X + 12 X Shift Solve = kết 1.732 (bạn làm nhiều với đốn Sửa thành (X − X ) − X + 12 X + Trở phân tích ta có: Đặt ) bấm = ta có kết x3 − x = u , x3 + 12 x = v cộng hai vế với 4u ta có: u + 4u = 16 x + ( x3 − x ) + 4v ⇔ u + 4u = v + 4v ⇔ ( u − v ) ( u + uv + v + ) = ⇔ u = v + Thay trở x3 − x = x + 12 x , lại phương trình chứa bậc Nếu lập phương khử giải (Vì đốn nghiệm bước nháp) nhiên ta có cách sau: - Xét x = nghiệm x2 − = + - Xét x khác 0, chia hai vế cho x t −1 = + 12 x2 Đặt x2 = t > 12 ⇒ t ( t − 3t + 3t − 1) = 4t + 12 ⇒ t − 3t + 3t − 5t − 12 = t ta có phương trình ( t − 3) ( t + 3t + ) = ⇒ t = bậc có nghiệm t = nên ta có ĐS: x = 0, x = ± Lưu ý: Trên mẹo nhỏ để tìm u tính nghiệm cho việc giải sau này, áp dụng với số phương trình định Một số tốn khác: Phần trước ta giải phương trình vơ tỉ đưa dạng đa thức, ta xét phương trình "đa thức" để giải ta lại "khai căn"! Ví dụ 10: Giải phương trình sau: (x ) + = 81x − 27 Hướng phân tích: Rõ ràng phương trình đa thức bậc 9, ta hạ bậc cách khai bậc PT ⇔ x + = 81x − 27 = 3 3x − Đặt x − = v ⇒ x − = v3 (Đưa hệ số trái ngược VD 7) cộng vào hai vế ta có: ⇔ x + + x − = v + 3v ⇔ x + x = v + 3v ⇔ ⇔ x = v ⇔ x − x + = Giả sử phương trình có nghiệm 8sin α − 6sin α + = ⇔ sin 3α = Cho α ∈ [ 0; 2π ] x ∈ [ −2; 2] ta đặt x = 2sin α , α ∈ [ 0; 2π ] π k 2π 5π k 2π ⇒α = + ,α = + 18 18 α= có k = 0, 1, ta x = 2sin đa nghiệm nên PT có nghiệm là: π 13π 29π ; ; 18 18 18 có: phương trình bậc ba có tối π 13π 29π , x = sin , x = sin 18 18 18 Sau ta sử lí trường hợp b < ( 4x ) − x + − x3 = Ví dụ 11: Giải phương trình Hướng phân tích: ⇔ x3 − x + = x3 + PT x3 + Đặt = −t + TH1: x = t 3  ⇔ x − x = −2  x + ÷+ x + 2  ta có phương trình ⇔ x3 = t3 + TH2: Ta có hệ 3 ⇔ x = −( x + ) ⇔ x = − 2 Ta có ta ) S ≥ 4P ta có hệ  S − 3SP = −3 / 4 S − 3S = (*) ⇔    S − P = 1/  P = S − 1/ 1 2 ≤ S ⇒ S2 ≤ ⇒ S 0, có ∆ ' = 16 − 84 < ) u = v ⇔ u = v3 ⇔ x3 − 12 x + x − = x − x − x = 1, x = Mời bạn thực hành ĐS: ± 113 16 Sau ta lại xét ví dụ cần phải chia mà khơng phải quy đồng Ví dụ 14: Giải phương trình 3x3 + x − = x + x3 + x Hướng phân tích: Ta thấy có bậc cao nên nhận xét x khác chia hai vế cho x ta 3x + x − 3 = x + 2+ x x x3 + + Đặt =v x cộng hai vế với v3 ta có: x3 + x + x + = v + v ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = v + v Đặt x +1 = u ta có u + u = v3 + v x = −1, x = ĐS: Sau luyện tập bồi dưỡng cho học sinh Luyện tập: Bài 1: Giải phương trình Bài 2: Giải phương trình x + x = ( x + 2) x + x3 + = 3 3x − ± 3 2 x3 − = Bài 3: Giải phương trình Bài 4: Giải phương trình Bài 5: Giải phương trình Bài 7: Giải phương trình Bài 8: Giải phương trình Bài 9: Giải phương trình x +1 x3 = 6 x + + Bài 6: Giải phương trình x + = x3 − x − x3 − x − x + = x + x − x − 36 x + 53x − 25 = 3x − ( 4x + 1) x = ( − x ) − x x − 13 x + = x x(1 + x − x ) Bài 10: Giải phương trình Bài 11: Giải phương trình x − x + 12 x − = x − x + x + x + = x ( x + 5) + 3x2 + x + = Bài 12: Giải phương trình x3 + 12 x + x + 3x2 + x + CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG! HẸN GẶP LẠI TRONG BÀI VIẾT TIẾP THEO! ... việc giải sau này, áp dụng với số phương trình định Một số toán khác: Phần trước ta giải phương trình vơ tỉ đưa dạng đa thức, ta xét phương trình "đa thức" để giải ta lại "khai căn"! Ví dụ 10: Giải. .. phương trình cần giải Nhưng có dạng có hướng để mị Sau ta xét thêm số ví dụ mà người đề cố ý lái người giải phải mị Ví dụ 4: Giải phương trình sau: 24 x − 11 − 16 x x − − = (4) Hướng phân tich:... Bài 1: Giải phương trình Bài 2: Giải phương trình x + x = ( x + 2) x + x3 + = 3 3x − ± 3 2 x3 − = Bài 3: Giải phương trình Bài 4: Giải phương trình Bài 5: Giải phương trình Bài 7: Giải phương