MỘT số ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PT vô tỉ

MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PT VÔ TỈ - PHẦN I Giải phương trình đa thức bậc Sơ lược cách giải: Phương trình bâc dạng: ax  bx  cx  dx  e  (1), (a, b, c, d, e nguyên) Nhìn chung phương trình có hai nghiệm (trường hợp vơ nghiệm ta nói sau), mục tiêu thường hay làm đưa phương trình tích hai tam thức bậc hai:  1 �  mx  nx  p   m ' x  n ' x  p '  (2) Trong ta ý mm '  a, pp '  e số m, m’, p, p’ nguyên thường nhẩm để thử tính, kết hợp máy tính cầm tay Casio fx 570 ES, VN Đặc biệt hạn chế sử dụng máy tính Casio ta phân tích tự luận Nếu a khác ta chia hai vế cho a để đưa a = Phương trình (2) mục tiêu cuối để giải, bước M  N2  �  M  N  M  N  trung gian dựa vào đẳng thức x Cụ thể ta xét dạng sau:  Bx  C    Dx  E   2 Xét ví dụ  Ví dụ 1: Giải phương trình x  10 x  x  20  (1) Hướng phân tích: x Đầu tiên ta định hướng đưa dạng:  Bx  C    Dx  E   x Nhưng hệ số bậc nên B = 0, lại là: 2  C    Dx  E   2 (*) 2 Để ý số e = 20 ta có C  E  20 � E  � C  20 , ta chọn C để E hữu tỉ 11 � ; �5; � ; C � �E � 20 �4.47 nên chọn C hữu tỉ chẳng hạn 2 2 (đẹp) Hay C  �6 � E  �4 Bây ta thử trừ nhẩm trực tiếp: � �2 � � �x � �  x  10 x  x  20   Dx  E   �� � �2  x �6   x  10 x2  x  20  � Ta  Dx  E  2 � 1�  �x  � C � � ứng với Hướng dẫn giải: 2 9� � 1� 2  1 � � �x  � �x  � �  x  x    x  x    � 2� � 2� …  Ví dụ 2: Giải phương trình x  10 x  11x  x   (2) Hướng phân tích: Đầu tiên ta chia hai vế cho đưa a = 1, ta có: x4  5x3  11 1 x  x 0 2 2 �2 � x  x  C  Dx  E 0   � � � � Tiếp theo định hướng đưa phương trình sau: 1 e   � C2  E2   � E  � C2  2 Cho C hữu tỉ chạy để tìm E hữu tỉ, chẳng Để ý C � �E� 4 Ta trừ thử trực tiếp xem sao: hạn 2 � �2 � �4 11 1� � �Dx � � �x  x � � �x  x  x  x  � 4� � 4� � 2 � � 3� �1 C   �  Dx  E   � x  � 4 � �2 Ứng với Hướng dẫn giải: 2 � �1 3� 1� �2  2 � �  x  3x  1  �x  x  � � x  � � �x  x  � 4 � � � � � � PT … x  x  x  11x   (3)  Ví dụ 3: Giải phương trình Hướng phân tích: x Ở  x  C    Dx  E  2 ta thử chọn C = C2  E2  e �  E2  � E  � Nói cách khác  Dx  E  bình phương hay số ta thử trừ trực tiếp :  Dx  E    x  3x     x  x  x  11x   2 = x2  x   Hướng dẫn giải: x  x3  x  11x   �  x  x     2x   0  2x       �� x   x   �� x   x   � � �� � … Nhận xét : Cách làm khơng q khó khăn mà hạn chế hay cấm Casio phòng thi! Bài luyện tập: Bài 1: Giải phương trình x  10 x  x  20  Bài 2: Giải phương trình x – 25x  60 x – 36  Bài 3: Giải phương trình x + 8x  7x – 26 x   Xét trường hợp vô nghiệm: Từ cách giải phương trình có nghiệm ta có hướng khái qt trường hợp phương trình vơ nghiệm là:  Ax  Bx  C   A ' x  B ' x  C '  2 Trong A ' x  B ' x  C ' tam thức dương hai không đồng thời  Ví dụ 4: Giải phương trình x  x  15 x  10 x   (4) Hướng phân tích: Cũng ta nhẩm trừ trực tiếp: A ' x  B ' x  C '   x  x  15 x  10 x     x  x    x  x  Ta thấy số = – 22 = C’ cố định, để khỏi bình phương trừ lâu ta làm sau : x  A ' x  B '   x  x3  15 x  10 x     x  3x    Ta cho x = hai vế ta A ' B '  , cho x = ta có  A ' B '  � A ' B '  Và dễ dàng tìm A '  2; B '  2 Hướng dẫn giải: x  x3  15 x  10 x   �  x  3x    x  x   … Nhận xét : Các phương trình bậc vơ nghiệm gặp Phương trình bậc đa dạng nên ta khái quát nói hết Trên mẹo nhỏ để bạn tham khảo II Giải số phương trình vô tỉ chứa bậc hai Dạng 1: Ta để ý đến số phương trình áp dụng phép khai mở rộng: u  x � � � � u  x 2  Ví dụ 1: Giải phương trình x  x  12 x    Hướng dẫn giải: �  x �0 � 2x    x �� �� 2x   x  � PT � x + x  = � x  = –x � �� � �x  � x  1 � x  , x  1 Vậy phương trình có hai nghiệm  Ví dụ 2: Giải phương trình x  56 x  x 8  16  1 Hướng dẫn giải: PT Đặt  1 � x x  56  16 x   � x 8 8 x 8 8 (2) x   t �0 (2) � t  2t   �  t    t    � t  (vì t �0 ) Thay trở x  t  suy phương trình (1) có nghiệm x  24 Nhận xét: Có thể đặt điều kiện x �8 bình phương hai vế để khử theo phương pháp thông thường, đưa bậc 1.1 Luyện tập: Bài 4: Giải phương trình x   x   x  11  x  1 Bài 5: Giải phương trình  x  x   10  x  x  1 Bài 6: Giải phương trình x x 1  x a (với a > 0) Dạng 2: Do khơng có hướng dạng nên ta biến đổi theo Nghĩa phương trình có thức u  x ta biến đổi biểu thức theo hướng: ( u )2 , ( u )3, ( u )4, …đưa “dạng đa thức”  Ví dụ 3: Giải phương trình  x2  x x    x  x2 Hướng dẫn giải: Điều kiện:  x  x �0 � x � 1;3  D Bình phương hai vế ta phương trình  x  x x    x  x �  x    x    x     (*) Đặt x �� 5 t ,x D t 2 từ (*) ta có phương trình: t  5t  2t   �  t    t  4t  3  � t  (Vì t �2 ) Thay trở x  t  suy phương trình có nghiệm x = -  Ví dụ 4: Giải phương trình x  x  1  Hướng dẫn giải: Ở ta biến đổi trước đặt ẩn phụ sau x  x  1  �  x  x  1   x  1   x  1  Đặt (*) x   t �0 từ (*) ta có phương trình: t  2t   t   � t  t  2t  1  � t  t  1  t  t  1  1 (loại nghiệm t < ) � t  0, t  1, t  1 Thay trở x  t  suy phương trình có nghiệm x = - 1, x = 0, x = 2  Ví dụ 5: Giải phương trình x  x  2 x  Hướng dẫn giải: Ở ta thấy có hệ số nên nhân hai vế với biến đổi x  x  2 x  �  x  x  1   x  1   x  Đặt (*) x   t �0 từ (*) ta có phương trình: t  2t   8t � t  2t  8t   �  t  2t  1  t  2t    (Với t �0 ) � t  2t   � t   (loại t < 0) t2 1 x suy phương trình có nghiệm x =  Thay trở  Ví dụ 6: Giải phương trình 3x  3x  4x  12 Hướng dẫn giải: Nhân hai vế phương trình với ta có: 18 x  18 x  12 x  15 tiếp tục nhân hai 2 vế với 144 x  144 x  12 x  15 Đặt 12 x  15  t �0 � 12 x  t  15 ta có t phương trình:  15   12  t  15   8t � t  18t  8t  45  �  t  2t    t  2t    � t   1, t  10  (loại nghiệm âm) 4 2  10 t  15 x ,x  x 6 12 suy phương trình có nghiệm Thay trở Nhận xét: Việc giải phương trình bậc góp phần quan trọng giải phương trình vơ tỉ  Các ví dụ có dạng chung khái quát là: ax2 + bx + c = d px  q Nếu hướng giải theo cách bình phương để giải phương trình bậc phần I 2.2 Luyện tập: Bài 7: Giải phương trình x  x  5  Bài 8: Giải phương trình x  13 x   x   Bài 9: Giải phương trình 2x2  4x  x3 Dạng 3: Trong có chứa tam thức bậc hai khơng phải bình phương dạng Ngồi tam thức bậc hai, ta gọi đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Nhìn chung ta đưa phương trình  u  ax  b   u  cx  d  Tuy nhiên ta giải khác, xét ví dụ sau 2  Ví dụ 7: Giải phương trình x  x    x  1 x  x  Hướng dẫn giải: Dễ thấy PT xác định với x PT � x  x   2(2 x  1)   x  1 � x  x    x  1  x2  x    � x2  x   (a) �� x2  x   � � x  x   x  (b) x2  x  + Giải (a) ta nghiệm: x  1  2, x  1   15 x  x� , PT (b) � x  x   giải lấy nghiệm + Với Kết luận: phương trình có nghiệm x  1  2, x  1  , Nhận xét: Phương trình có dạng Ta x  15 ax  px  q   mx  n  ax  bx  c có PP khái quát: Trừ thêm vào hai vế biểu thức trước   mx  n  nhằm trục � ax  px  q    mx  n    mx  n  � ax  bx  c   � � � vế phải: PT � p m  b p b �  ,   n  q  c  � m Số  làm nháp thỏa điều kiện sau: �q   n  c   Ở Ví dụ có  62 2 2  Ví dụ 8: Giải phương trình x  x    x  1 x  Hướng phân tích: Làm nháp ta có  p b 20   m ta thử: PT PT � 2x2  2x   1�  x  1   x  1 � � x 1  � 2 �quy đồng số cho đẹp ta có � � x  x    x  1   x  1 � x    x  1 4x2  4x2     4x2   � x2    4x  � x2   x  … Lạy trời may mắn đến Nhận xét: Bình phương hai vế ta đưa phương trình bậc 4, nhiên biện pháp cuối Để củng cố ta xét thêm ví dụ 2  Ví dụ 9: Giải phương trình x  x  20  ( x  2) x  x  Hướng phân tích: Làm nháp ta có PT  p  b   2   6 m ta thử: � x  x  20   x    ( x  2)  x2  2x    � x  x  32  � x  x  32  ( x  2) �� x2  2x   � x2  x    x  … x  x  32 Ồ, may mắn lại đến lần nữa! 3.2 Luyện tập: 2 Bài 10: Giải phương trình x  x    x   x  2 Bài 11: Giải phương trình x  3x   ( x  2) x  2 Bài 12: Giải phương trình x    x  1 x  x  2 Bài 13: Giải phương trình x  x    x  1 x  x  2 Bài 14: Giải phương trình x  x    x  1 x  x  2 Bài 15: Giải phương trình x   x x  x Nhận xét: Qua ví dụ 7, ví dụ 8, ví dụ ta lại thấy: sau biến đổi xuất phương trình liên hệ thức biểu thức trước căn, dạng ban đầu là:  mx  n  ax  bx  c Sau biến đổi ax  bx  c  mx  n ' Hay n '  ax  bx  c  mx số hữu tỉ Kết hợp máy tính cho ta thêm hướng nhẩm nghiệm để phân tích thành nhân tử ! 2 + Xét phương trình x  x  20  ( x  2) x  x  Dùng máy tính tìm hai nghiệm phương trình: Như ta thử phương trình Nếu x nghiệm phép trừ + Xét phương trình x2  x   x  x    x  � x  x   x  (VN) x  x   x phải cho ta kết 4 x  x    x  1 x  x  Bằng máy tính ta tìm nghiệm: x = 2,29 ; x = -2,414 ; x = 0,414 Khơng cần gán, ta tính xấp sĩ xem sao: có x  x   x  1 �  x  x   x �0.9989 �1 ta  x2  x   x   nhân tử ứng với x = 2.29 Lưu ý: Nếu Hội đồng thi cấm sử dụng máy tính cách “tính bo” tốt Phương trình vơ tỉ đa dạng phong phú khơng bất đẳng thức Ngồi phương trình vơ tỉ khâu quan trọng thứ hai giải hệ phương trình Vì việc giải PT vô tỉ cần thiết trước giải hệ PT (nâng cao) HẸN GẶP LẠI TRONG BÀI VIẾT PHẦN TIẾP THEO! ... tốt Phương trình vơ tỉ đa dạng phong phú khơng bất đẳng thức Ngồi phương trình vơ tỉ khâu quan trọng thứ hai giải hệ phương trình Vì việc giải PT vơ tỉ cần thiết trước giải hệ PT (nâng cao) HẸN...   u  cx  d  Tuy nhiên ta giải khác, xét ví dụ sau 2  Ví dụ 7: Giải phương trình x  x    x  1 x  x  Hướng dẫn giải: Dễ thấy PT xác định với x PT � x  x   2(2 x  1)   x ... II Giải số phương trình vơ tỉ chứa bậc hai Dạng 1: Ta để ý đến số phương trình áp dụng phép khai mở rộng: u  x � � � � u  x 2  Ví dụ 1: Giải phương trình x  x  12 x    Hướng dẫn giải: