MỘT số ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PT vô tỉ p5

MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PT VÔ TỈ PHẦN III Giải phương trình theo phương pháp trục thức bình phương Trường hợp nghiệm vơ tỉ: a Nhận xét ví dụ: Để giải phương trình có nghiệm số vô tỉ mà không dựa vào máy tính Casio vất vả Nếu khơng nắm nhiều dạng khác phương trình vơ tỉ trường hợp định với cách định mò nghiệm hay nhân tử x2 + 2x = 3x2 + 4x + -  Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x - Hướng dẫn giải: Điều kiện Viết lại x� x2 + 2x + 2x - = 3x2 + 4x + Bình phương hai vế ta x2 + 2x 2x - = x2 + tiếp tục bình phương hai vế ta có: ( ) x4 - 2x3 - x2 + 2x + = � x2 - x - = � x2 - x - = � x = Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm phương trình x= 1� 1+ Lời bình: Bài ta bình phương hai lần đưa phương trình đa thức bậc 4, sau chuyển phương trình bậc hai Bài may chuyển bình phương đơn giản Ở ta muốn nhấn mạnh: Phương pháp bình phương tỏ hiệu Chúng ta trục cồng kềnh Hướng phân tích: + Giới hạn khoảng nghiệm: Cho x= 15 = = VT < VP , cho x = VT = < VP = - 1, cho x = VT = < VP = 21 vế phải độ lệch hai vế ngày tăng Cho VT = 21 55 = VP (x - ( ) , khả phương trình có nghiệm kép! ( xem thêm phần ) ( 1;2) x = x0 x0 ) ax2 + bx + c = ( ax thành dạng hai vế gần nhau, cụ thể: 4) Nghiệm kép vô tỉ thuộc khoảng + Đối với nghiệm kép hữu tỉ x= , ta thấy vế trái ln nhỏ từ đa thức bậc ta phân tích thành dạng sau , nghiệm vơ tỉ ta khơng phân tích thành dạng trên., mà + bx + c = (là hệ số số nguyên) Từ ta mạnh dạn bình phương có cách giải  Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x + = 2x + + 6x + Hướng dẫn: (Đã giải phần 4) x �- Điều kiện có điều kiện 6x + = 4( x + 1) � 2x + = 6x + - 2x + � 6x + PT 6x -޳�+ Từ (*) kết hợp x 2x + = (*) Từ ta 6x + + 2x + = 2x + suy ra: 2x + + = x + � x2 - 2x - = Giải lấy nghiệm x = + Lời bình: Trong ví dụ nghiệm x = + xuất sau giải phương trình mà khơng phải ta dự kiến trước (đoán trước), nghĩa xuất sau phương pháp giải: xuất nghiệm hữu tỉ nghiệm vơ tỉ, phụ thuộc phương trình cuối: 6x + = x + Đối với nhiều tốn phương pháp khơng thành cơng, chẳng hạn phương trình: x + = (2x + 1) + x + Đây tốn khó khơng sử dụng máy tính Casio Trước hết ta giải lại ví dụ theo cách sau: Cách 2: Điều kiện x �- 1/ Bình phương hai vế rút gọn ta có phương trình: 2x - = 2x + 6x + Đến ta có điều kiện Bình phương hai vế lần rút gọn ta có (vì x� x2 � 1 x �x� , kết hợp suy ( ) x4 - 4x2 - 4x - = � x2 - 2x - ( x + 1) = 2 ) � x2 - 2x - = � x = + Vậy phương trình có nghiệm x = + �1 � � ;0� x �=D x ��2 � � � Cách 3: Điều kiện Xét thì: ( 2x + 1- ) ( 2x + + 1- ) ( 6x + = 2x + ) ( 2x + - + 1- ) 6x + �0 + 1- 2 VP nên phương trình có nghiệm thuộc � 1- 115 � � ;� � � � � � � + 115 3� � x = 2;x = � � Cho x = - 2;- 1;0;1 VT > VP, cho VT < VP nên Cho x= phương trình có nghiệm thuộc Viết lại phương trình ( 1;2) 2x - 3x2 + 38 = x2 + 5x + + x + bình phương hai vế ta có: - 2x2 - 2x + 14 = x2 + 5x + x + tiếp tục bình phương hai vế thu gọn ta có 4x4 + 7x3 - 61x2 - 82x + 172 = Giả sử nghiệm với bị loại 172 = ( - 4) ( - 43) ( ) x2 �- 3,5 � - 4;- suy ( ) x1 �1,5 � 1;2 nghiệm liên hợp x1 + x2 �- 2; x1x2 �- mà ta để ý nên nhân tử x + 2x - = Kết quả: ( )( ) 4x4 + 7x3 - 61x2 - 82x + 172 = � x2 + 2x - 4x2 - x - 43 = � x = - 1� 5, x = � 689 Đối chiếu điều kiện ta phương trình có hai nghiệm: x= 1- 689 , x = - 1+ Lời bình: � 115 Khi so sánh giá trị để xác định khoảng nghiệm ta gặp vấn đề số vô tỉ cồng kềnh, thay vào phương trình mà tính khó khăn lớn, nhiên ta khơng cần thay trực tiếp vế trái âm x= 4x2 + 24x + 35 -  Ví dụ 4: Giải phương trình: �5 � ;x �( - �;- 4� �� �2 � Hướng dẫn: ĐK x2 + 3x + = x2 + 7x + 12 (4) � �1;+�) 2� ��� � Thử giá trị x = - 5, x = - 4, x = - 1, x = 0, x = khơng thỏa mãn Dự đốn nghiệm thuộc khoảng �5 � - ;� � �2 � � 2� � � � Viết lại phương trình: 4x2 + 24x + 35 = x2 + 3x + + x2 + 7x + 12 bình phương hai vế ta có: 2x2 + 14x + 21 = x2 + 3x + x2 + 7x + 12 Đến ta bình phương lần thu phương trình bậc hy vọng phương trình có nghiệm hữu tỉ (loại), hai nghiệm vơ tỉ mà có nghiệm cần ( )( ) 4x4 + 56x3 + 280x2 + 588x + 441 = x2 + 3x + x2 + 7x + 12 ( ) � 16x3 + 140x2 + 388x + 345 = � ( 2x + 5) 8x2 + 50x + 69 = � x =- - 25 � 73 ,x = x =2 không nghiệm VT (4) < < VP(4) Dễ thấy Vậy phương trình có nghiệm x= - 25 + 73 Lời bình: � 5� p� q � - 2- � - � = � � x = �� � 2� � Độ dài khoảng nghiệm nhỏ, nghiệm có dạng  Ví dụ 5: Giải phương trình: 9x2 - 29x + 11 = x2 - 3x + x2 - 3x + Hướng phân tích: Điều kiện x �3 Với x = ta có VT > VP, với x = ta có VT < VP dự đốn phương trình có nghiệm x �( 3;4) Bình phương hai vế ta được: 4x2 - 14x + = x2 - 3x x2 - 3x + , bình phương lần ta có: ( ) 16x3 - 92x2 + 156x - 81 = � ( 2x - 3) 8x2 - 34x + 27 = Giải ta có nghiệm cần tìm phương trình x= 17 + 73 � Lời bình: Nhận xét 16x - 92x + 156x - 81 = khơng có nghiệm âm, nghĩa cịn có nghiệm x2 �( 1;2) ޳ -= 16 Kết hợp liên hợp với 2.8; = 81 x1 �( 3;4) 3.27 27 giả sử x1 � 3,5;x2 �1,5 � x1 + x2 � 4;x1x2 �5,25 hợp lý để phân tích nhân tử 8x - 34x + 27 2  Ví dụ 6: Giải phương trình: x + 3x + + x + = 9x + 23x + 19 Hướng phân tích: 4x2 + 9x + = 4( x + 1) x2 + 3x + Điều kiện x �� Bình phương hai vế ta có: (1) Ta có 4x + 9x + > 0, " x ��nên để x nghiệm từ (1) ta phải có x + > � x > - 4x2 + 9x + < 4x2 + 10x + = 2( x + 1) ( 2x + 3) + Nếu x > (*) Mặt khác 2x + < x + 3x + � < 12 (**) nên kết hợp (*) suy (1) vô nghiệm + Do ta phải có ( 1) � ( 4x x �( - 1;0) ) Nếu ta bình phương xuất nghiệm âm thứ hai, ta có: ( )( ) + 9x + = 16 x2 + 2x + x2 + 3x + (2) Cho x = - VT = VP nên x = - nghiệm, với x = - 1,5 VT < VP, với x = - �3 x �� - ;� � � VT > VP nên phương trình có thêm nghiệm Giả sử x1 = - , x2 = - � S = - ;P = 4 nên khả 8x2 + 14x + = Ta ý 16.3 - = 12 = 2.6 suy Ta có � � 1� � � � ( 2) � 8x � x = - 2, x = P = 8x + Sx + = ( ) + 31x2 + 36x + 12 = � ( x + 2) 8x2 + 15x + = - 15 � 33 - 15 + 33 x= 16 16 So sánh điều kiện ta lấy nghiệm Lời bình: Sau bình phương phương trình có nghiệm x = - , ngồi phương trình trở thành bậc nên dễ dàng Mặt khác ta giải (1) theo phương pháp đưa dạng tích phần Lưu ý 1: Trong q trình dị khoảng nghiệm mà ta phát phương trình có nghiệm ngun ta bình phương hay trục căn, tốn dễ tiến hành giải bình thường  Ví dụ 7: Giải phương trình: x3 - 3x2 + ( x + 2) - 6x = Hướng phân tích: Điều kiện x �- Với x = - ta có VT < VP, với x = - ta có VT > VP dự đoán phương x = 0;1 x �( - 2;- 1) trình có nghiệm Với VT > VP, x = nghiệm, với x = 3;4;5 ta có VT > VP nên x = nghiệm kép Ở ta lựa chọn trục căn: PT � � �= � x3 - 3x2 + + 2� x + 2) - 3x - 2� ( � � � � � � ( ) � � � � x - 3x + � 1+ � � � � � ( Với x = - không thỏa mãn � � � � � = 0� � � � � ( x + 2) + 3x + 2� � ) � x3 - 3x2 + = (a) � � �( x + 2) + 3x + = - (b) � � + Giải (a): � ( x - 2) ( x + 1) = � x = 2, x = - � � 4 � � - �x �- �x �� � � ( x + 2) = - 3x - � � �� 3 � � 2 � � x x 12 x = x + x 4x - = ( ) � � � � + Giải (b): ( ) � x = - So sánh điều kiện ta có nghiệm phương trình x = 2; x = -  Ví dụ 8: Giải phương trình: 5x2 + 4x - x2 - 3x - 18 = x Hướng phân tích: x = 6;7 Điều kiện x �6 Với ta có VT > VP, với x = ta có VT < VP dự đốn phương trình có nghiệm x �( 7;8) , x = nghiệm Chuyển vế bình phương ta được: 2x2 + 16x + = 5x 5x + � 2x2 - 19x + = 5x � x=9 � � ( x - 9) ( 2x - 1) = �� � ( 2x - 1) 5x + + � 25x ( x - 9) Giải (*) ( ( ) 5x + - ) 5x + + = 25x (*) � ( 2x - 1) 5x + = 11x + � 4x3 - 25x2 - 33x - = ( ) � ( 4x + 3) x2 - 7x - = � x = + 61 (Loại nghiệm âm) Vậy phương trình có hai nghiệm  Ví dụ 9: Giải phương trình: x = 9, x = + 61 5x2 + 14x + - x2 - x - 20 = x + Hướng dẫn: Điều kiện x �5 Với x = 5;6 ta có VT > VP, với x = ta có VT < VP dự đốn phương trình có nghiệm x �( 6;7) , ngồi x = nghiệm Chuyển vế bình phương ta được: ( ) 2x2 - 5x + = x2 - x - 20 ( x + 1) Bình phương lần rút gọn thành ( ) 4x4 - 45x3 + 33x2 + 505x + 504 = � ( x - 8) 4x3 - 13x2 - 71x - 63 = ( ) � ( x - 8) ( 4x + 7) x2 - 5x - = � x = 8, x = Vậy phương trình có hai nghiệm là: Lời bình: x = 8, x = + 61 (Loại nghiệm âm) + 61 Qua ví dụ 7, ví dụ 8, ví dụ ta thấy lựa chọn phương pháp bình phương hai bước đưa bậc hay bình phương bước trục lưu ý nêu Ngoài ta sử dụng phương pháp "Kim thiền xác" sau  Ví dụ 10: Giải phương trình: 3(9x2 - 20x + 9) = 6x2 - 11x + - x - Hướng phân tích: Điều kiện x �2 Với x = ta có VT < VP, với x = ta có VT > VP dự đốn phương trình có nghiệm x �( 2;3) Bình phương hai vế ta được: - 3x2 + 17x - 17 = 6x2 - 11x + x - Tiếp tục bình phương hai vế lần ta có 9x4 - 198x3 + 759x2 - 978x + 385 = Đến ta thấy phương trình xuất thêm nghiệm thứ hai x �( 0;1) tính x1 + x2 �2,5 + 0,5 = 3; x1x2 �1,25 385 = 5.7.11 dự � ( 3x2 - 9x + 5) ( 3x2 - 57x + 77) = x x + = đoán nhân tử kết PT Giải ta có nghiệm cần tìm phương trình x= + 21 � Lời bình: Ta bình phương sau trục dài dòng, chẳng hạn: 3x2 - 17x + 17 + 6x2 - 11x + x - = ( ) ( � 3x2 - 9x + + ) 6x2 - 11x + x - - 2x + = (với x �2 ) ( 6x 9x + 5) + ( � 3x - ) - 11x + ( x - 2) - ( 2x - 3) 6x2 - 11x + x - + 2x - =0 (với x �2) � � 4( 2x - 3) � � 3x2 - 9x + � + =0 � � � � x 11 x + x + x � � (với x �2 ) ( ) (vì x �2) � 3x2 - 9x + = � x =  Ví dụ 11: Giải phương trình: + 21 (Xem thêm PP "Kim thiền thoát xác" sau) x2 + x - + x - - 3x2 - 6x + 19 = Hướng phân tích: Điều kiện x �D = � 2; +�) � Cho x �D chạy phương trình đổi dấu hai lần ta đốn phương trình có hai nghiệm x1 + x2 = 23, x1x2 = 51 x1 �( 2;3) Chuyển vế thành ( ) Giả sử x x2 � 20;21 = 2,5; x2 = 20,5 ta có 3x2 - 6x + 19 = x2 + x - + x - Bình 2 phương hai vế ta có x - 8x + 17 = x + x - x - Ta có 17 - 9.6 = 235 = 5.47 nên dự đoán nhân tử x - 23x + 47 = Tiếp tục bình phương hai vế ta được: ( )( ) x4 - 25x3 + 98x2 - 209x + 235 = � x2 - 23x + 47 x2 - 2x + = � x - 23x + 47 = Giải ta có nghiệm cần tìm phương trình x= 23 � 341 � Lưu ý 2: (Phương pháp "Kim thiền xác") Đối với tam thức có hai nghiệm x + x - ta tráo đổi nghiệm với biểu thức khác x2 + x - x - = x2 + 2x - x - ta có phương trình: x2 - 8x + 17 = x2 + 2x - x - chia hai vế cho x + 2x - > 0, " x �2 ta 1- t= 10( x - 2) x + 2x - =3 x- x- x2 + 2x - Đặt x2 + 2x - = t �0 ta có 1- 10t = 3t suy x- 23 � 341 = � x2 + 2x - = 25x - 50 � x2 - 23x + 47 = � x = x2 + 2x - Phương pháp "Kim thiền xác" áp dụng với đa thức bậc cao 2  Ví dụ 12: Giải phương trình: x + + 3x + 5x - = 18x + 18x - Hướng dẫn "Kim thiền thoát xác": Điều kiện Điều kiện x� 2 Bình phương hai vế ta có: 15x + 9x - = x + 3x + 5x - (*) x� - + 501 30 Viết lại vế (*) cho ( *) � - x + 3x2 + 5x - = x + 3x2 + 2x - chia hai 3x2 + 2x - > 0, " x � - + 501 30 ta có x +2 x +2 =4 3x + 2x - 3x + 2x - Đặt x +2 =t > 3x + 2x - có - t = 4t x +2 � 3x2 + x - = � x = - � 37 3x + 2x - � t = 1= Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm cần tìm phương trình x= - + 37 � Lưu ý 3: Trong q trình dị khoảng nghiệm mà ta phát phương trình vơ nghiệm ta tiến hành giải bình thường.bằng phương pháp bình phương hay trục 2x2 - 3x - = 18x2 + 16x - 39 - x -  Ví dụ 13: Giải phương trình: Hướng phân tích: � 2x2 - 3x - �0 � � � 18x2 ޳�-+ 16x 39 � � � x - �0 � Điều kiện � x phương trình vô nghiệm Viết lại: Khi cho x = 2, x = 3, x = 4, ta có VT < VP nên khả 2x2 - 3x - + x - = 18x2 + 16x - 39 2 Bình phương hai vế ta có: 2x - 3x - x - = 8x - 3x - Tiếp tục bình phương hai vế: Cho x =- ( ) 25 2x2 - 3x - ( x - 1) = 64x4 - 48x3 - 87x2 + 36x + 36 ta có VT < VP, cho x = ta có VT > VP nên (*) có nghiệm thuộc (*) �1 � � � - ;0� � � � � �2 � nghiệm ( 0;1) bị loại bị loại Cho x = ta có VT < VP nên (*) có nghiệm �1 � � � x1 -޳-� x1 � ;0� � � �2 � � ( *) � 64x 0,4 x2 ޳� ( 0;1) - 98x3 + 38x2 + 11x - 14 = Kết là: x2 0,8 nên x1 + x2 � 0,5;x1x2 �- 0,5 (**) Các tỉ số sinh từ - 14 14 �=64 32 16 gần ( * *) � ( 2x )( ) - 2x + 32x2 - 17x - 14 = � 32x2 - 17x - 14 = � x = 17 � 2081 64 hai nghiệm loại Vậy phương trình cho vơ nghiệm Nhận xét 2: Ta sử dụng phương pháp trục trực tiếp, bình phương lần hay hai lần, đặt ẩn phụ, nghiệm vô tỉ ta cần cuối dẫn đến nghiệm phương trình bậc hai: ax + bx + c = * Nhìn chung ta thường gặp hệ số a,b,c �� đặc biệt ta chuyển a �� Phương trình xem giao điểm Parabol y = ax + bx + c với trục hoành Rõ ràng a lớn khoảng cách hai nghiệm xu hướng "một chảo", nghĩa Gọi ( a; b) , ( a '; b ') d = x2 - x1 d = x2 - x1 bé, ngược lại a = Parabol có lớn khoảng hữu tỉ gần để phương trình f ( x) = đổi dấu * + Nếu khoảng cách d = a '+ b '- a - b �5 nghiệm có dạng x = p � q, p ��,q �� lấy gần p� + Nếu tính gần a + b + a '+ b ' d , q� 4 p� p '� q a + b + a '+ b ' d = � ;� q� �x= 2 hay tương tự 2 2  Ví dụ 14: Giải phương trình: (x - 6x + 11) x - x + = 2(x - 4x + 7) x - Hướng phân tích: Điều kiện x �2 Với x = VT > VP, với x = VT < VP, với x = 4;5;6;7; VT < VP, với x = VT > VP ta đốn phương trình có hai nghiệm x1 �( 2;3) , x2 �( 7;8) Tính gần đúng: p� 2+ 3+ + + - 2- =5 q� = 2,5 � q = � x = 5� 4 nên nhân tử đoán x - 10x + 19 = Nếu bình phương hai vế dẫn đến phương trình bậc 5, ta sử dụng phương pháp trục làm sau: 2 Nhân hai vế với ta có: 3(x - 6x + 11) x - x + = 2(x - 4x + 7) 9x - 18 �� 3(x2 - 6x + 11) - 2(x2 - 4x + 7)�x2 - x + = 2(x2 - 4x + 7) � � ( ) � x - 10x + 19 x - x + = - ( )( ( ) x2 - 4x + x2 - 10x + 19 9x - 18 + x2 - x + 9x - 18 - ) x2 - x + Hướng dẫn giải: ( )( ) �4x2 - 7x + 2x2 - 4x + �0 �2 + 2� � � � � x � D = 1; �� 3;+�) � � � � � x � � � � � � Điều kiện: � ( 2x Lấy ) - 4x + ( x - 1) trừ vế ta có phương trình: )( ( 2x3 - 10x2 + 12x - = 2x2 - 4x + x - 1- ) 2x - ( ) ( � x2 - 4x + = � � 2 �� 2x2 - 4x + (*) x x + x x + 2 � � x - 4x + ( 2x - 2) = ( 2x - 2) = � x - 1+ 2x - x - + 2x - � ( ( ) Ta có ( 2x - 2) = ( 2x )( ) ) ) - 4x + x - + 2x - � ( 2x - 2) 2x - = - (Vơ nghiệm x �D ) Do (*) � x - 4x + = giải lấy nghiệm x = +  Ví dụ 18: Giải phương trình: x + + x2 + 4x + = (x + 2)3 (x ��) Hướng phân tích: Điều kiện x �- Nếu để ba để trục hay đánh giá phức tạp nên bình phương hai vế thu gọn ta có: 2( x + 1) x + = x3 + 5x2 + 7x + Tại x = - VT < VP, x = VT < VP, x = 1thì VT < VP hai vế ngày lớn Như ta đốn phương trình có nghiệm Chuyển vế lần ta có ( ) x � - 1; ( (nghiệm kép) ) 2( x + 1) x + - x3 + 5x2 + 7x + = cho x = - ta có VT = - có thêm điểm tiếp xúc liên hợp Tính p� Cho x = - ta có VT = -1, ( ) x � - 3; - - 3- 2- 0- - - 1+ + - 3� = q� = 2� q = x= 2 nên Nhân tử x + 3x + = Hướng dẫn giải: 2( x + 1) x + = x3 + 5x2 + 7x + Điều kiện x �- Bình phương hai vế thu gọn: (x ) ( + 3x + x + 2( x + 1) x + 2 � � 2( x + 1) � � x + = � x + 3x + � x+ =0 � � x + + x + 3� � � ) ( ) � x2 + 3x + = � �� 2( x + 1) 2( x + 1) � x+ =0 � x+ =0 � x + + x + � x + 2+ x + (*) Ta có (với - �x �0) � x2 + 4x + = - x x + � x4 + 7x3 + 17x2 + 16x + = ( ) � x2 + 3x + ( x + 2) = � x2 + 3x + = (**) Từ (*) (**) ta có x + 3x + = giải lấy nghiệm  Ví dụ 19: Giải phương trình: x= - 3+ 4x2 + x + = 4x - + x + HƯỚNG PHÂN TÍCH x �( - 1;0) Với x = - VT > VP, với x = VT < VP nên phương trình có nghiệm x >0 ta đốn phương trình bậc hai cịn có nghiệm liên hợp bị loại Để xác ta thử �1 � � x1 �� - ;0� � x =� � x >0 �2 � � VT > VP nên Để đoán ta viết lại thành: ( ) 2 4x + x + - x + - ( 4x - 2) = với x = VT > 0, với x= VT < nên � 5� � x2 �� 2; � � � � � 2� � phương trình có nghiệm Tính p� nghiệm + 2,5 - 0,5 - 2,5 + + 0,5 + =1 q� = 2,5 � q = dự đoán x= 2� 2 nhân tử 4x - 8x - = Hướng dẫn 1: � 12x2 + 32x + 47 + 28( 2x - 1) x + = Điều kiện x �- Bình phương hai vế thu gọn Dễ thấy x �1/ khơng nghiệm nên ta có - �x < 1/ Mặt khác trở phương trình đầu PT � ( ) ( ) 4x2 + x + - x + + 1- 2x - x + = � � � � � � 4x2 - 8x - � + =0 � � � � � � 4x + x + + x + 1- 2x + x + 1� ( ) � 4x - 8x - = giải lấy nghiệm Hướng dẫn 2: x= 2- Đặt x + = t �0 � x = t2 - 1, ta có phương trình: 4t ޳�-+=+7t 4t 7t - + 145 Bình phương hai vế ta có t 4t - 7t2 + = 16t + 56t + t - 84t + 36 � 12t + 56t + 8t - 84t + 27 = ( )( ) � 2t2 + 2t - 6t + 22t - = � t = Đối chiếu điều kiện ta lấy t= - 1� - 11 �5 ,t = - 1+ 2- �x= 2 Lời bình: � 12x2 + 32x + 47 = 14( - 4x) x + Khi lập luận - �x < 1/ tiếp tục bình phương để đưa bậc 4, chắn có nhân tử 4x - 8x - Đây tốn khó, bạn thử tìm cách giải khác xem độ phức tạp ? Bình phương để mở rộng tập xác định nhiều cần thiết để giải!  Ví dụ 20: Giải phương trình: 10x2 - 50x - = 2x2 - 5x + - x - Hướng phân tích: Điều kiện x� 25 + 655 2 10 Bình phương hai vế: - 4x + 27x - 20 = 2x - 5x + x - (*) 25 + 655 27 + 409 �x � 10 Điều kiện Tiếp tục bình phương ta được: 16x4 - 234x3 + 1024x2 - 1323x + 490 = (**) Đến ta thấy vấn đề vướng mắc phân tích đa thức bậc thành nhân tử Đối với tốn độc lập phương trình (**) nhiên khó, nhiên tốn (**) phương trình hệ ( - 4x (*) nên ta ý viết sau: ) ( ) + 27x - 20 - 2x2 - 5x + ( x - 5) = � � � � x2 �� ;1 � � � x �( 5;6) � � �nên ta Phương trình (*) có nghiệm ; phương trình (**) có thêm nghiệm suy p� + + 0,5 + + - 0,5 - �3 q� = 4,5 � q = 22 ta đốn nhân tử 2x - 12x + (và kết hợp 490 chia cho đẹp) kết là: ( * *) � ( 2x Lời bình: )( ) - 12x + 8x2 - 69x + 70 = Đáp số: x= + 22 � Trên khó phương trình bậc có hệ số lớn, địi hỏi tính kiên trì Hơn nghiệm bị kẹp đoạn vô tỉ cồng kềnh, nhiên sau bình phương để khử ta mở rộng đoạn thêm tí để đoạn hữu tỉ từ dự đốn nhân tử dễ Xem thêm PP "Kim thiền xác"  Ví dụ 21: Giải phương trình: ( ) 2x2 + 8x + + x2 - 4x - 9x + = ( x + 1) 7x + Phân tích: � 1� � � � x � ; � � x= � � 2� � ta có VT < VP nên phương trình có nghiệm Cho x = ta có VT > VP, cho Cho x = ta có VT < VP, cho x = ta có VT > VP nên phương trình có nghiệm Tính p� x2 �( 2;3) + + 0,5 + - 0,5 3� � q� = 2,25 � q = � x = 2 nhân tử x2 - 3x + = Nhiệm vụ trục thức để tao nhân tử Ta có: ( ) 2x2 + 8x + + x2 - 4x - 9x + = ( x + 1) 7x + ( ) � x2 + 5x + + x2 - 3x + 1- x - ( ( ) 9x + + x2 + 3x + - ( x + 1) 7x + = � x2 - 3x + 9x + + ( x + 2) x + - ) ( 9x + + ( x + 1) x + - ) 7x + = � � x +2 x +1 � � � � x2 - 3x + � x + + + =0 � � x �� � � x + + 9x + x + + 7x + 3� 7) (ĐK ( ) � x - 3x + = giải ta có hai nghiệm cần tìm x= 3�  Ví dụ 22: Giải phương trình: x - x - x + = 4x + + 6x + Phân tích: �3 � � � x � - ;0� � � x =1 � � � � x = Cho VT > VP, cho VT < VP nên phương trình có nghiệm Cho x = VT < VP, cho x = ta có VT > VP nên phương trình có nghiệm Tính p� + - 0,75 + + 0,75 �1 q� �1,5 � q = � x = � nhân tử 4 x2 - 2x - = Nhiệm vụ trục thức để tao nhân tử Ta có: x - x - x + = 4x + + 6x + ( x2 �( 2;3) ) ( � x3 - x2 - 4x - + x + 1- ) ( 4x + + x + - ) 6x + = � � � � � � x2 - 2x - � x + + + =0 � � x �� � � x + 1+ 4x + x + + 6x + 6� 4) (vì ĐK ( ) � x2 - 2x - = giải ta có hai nghiệm cần tìm x = � ( x + 2)  Ví dụ 23: Giải phương trình: 4x + + ( x + 1) 6x + = 2( x + 1) Phân tích: Cho �3 � � x1 �� - ;0� � � � �4 � � VT > VP, cho x = VT < VP nên phương trình có nghiệm x =- Cho x = VT < VP, cho x = ta có VT > VP nên phương trình có nghiệm Tính p� x2 �( 2;3) + - 0,75 + + 0,75 �1 q� �1,5 � q = � x = 1� nhân tử 4 x2 - 2x - = Nhiệm vụ trục thức để tao nhân tử ( x + 2) Ta có ( � ( x + 1) x - 4x + + ( x + 1) 6x + = 2( x + 1) = 2x2 + 4x + ) ( x + 1) ( x � ( 6x + + ( x + 2) x + 1- ) ( x + 2) ( x - 6x - x2 + x 6x + + ( 6x + 4) ) 4x + = + ) =0 - 2x - x + 1+ 4x + (với x �- 4) � � � � x + x + x + ( ) ( ) ( ) � � x2 - 2x - � + =0 � � 2 x + + x + � � x �x + x 6x + + ( 6x + 4) � � � � (với 4) ( ) � x2 - 2x - = giải ta có hai nghiệm cần tìm x = � 3  Ví dụ 24: Giải phương trình: x - 4x - + x - x = x - x + x + , x �� Phân tích: x �( - 1;0) Cho x = - VT > VP, cho x = VT < VP nên phương trình có nghiệm Cho � 5� � � x � 2; � � � x= � � � 2� VT > VP nên phương trình có nghiệm x = VT < VP, cho Tính gần p� - 1+ + + 2,5 + 2,5 + = 0,88 �1 q � �1,4 � q = 4 ; Như ta đoán nghiệm x = � nhân tử x - 2x - = Bây phân tích thành nhân tử: PT ( ) � x3 - 5x - + ( ) � x3 - 5x - + ( ( ) ( x2 - x - ) x2 - x - ( x +1 + x +1 � � � x2 - 2x - � x + 2+ � � � x2 - x + x + � ( ) x + 1+ Với x2 - x + x + ) x3 - x = x + + x + 1- >0 1và x + 1- ) x2 - x = � � � =0 � � � x - x + x + 1� (*) x +1 x +1 x2 - x + x + = x2 - x x2 - x + x + �0 Nên từ (*) suy x - 2x - = � x = �  Ví dụ 25: Giải phương trình: x4 - 5x3 + 11x2 - 12x + = (x )( ) - x + 2x2 - 4x + Phân tích: Cho x = VT > VP, cho x = VT < VP nên phương trình có nghiệm x1 �( 0;1) Cho x = VT < VP, cho x = VT > VP nên phương trình có nghiệm x2 �( 2;3) p� 1+ + + 3 + 3- 0- = q� �2 � q = 2; Như ta đốn nhân tử Tính gần x - 3x + = Bây ta giải phương trình: � � � � x2 - x + 2x2 - 4x + - x2 - x + � - x - 5x3 + 10x2 - 11x + = � � PT ( )( ) ( ) ( ) � � � x2 - x + � � � x - 3x + � - x + 2x - 3� =0 � � � � � 2x2 - 4x + + x2 - x + � � (*) ( ) x2 - x + Với 2x2 - 4x + + x2 - x + Nên từ (*) suy - x2 + 2x - < 1- x2 + 2x - = - 1- ( x - 1) < x2 - 3x + = � x =  Ví dụ 26: Giải phương trình: 3� 11x + 9x2 + 15x + = x2 + ( x + 2) 8x + , x �� Phân tích: Cho x = VT < VP, cho x = VT > VP nên phương trình có nghiệm x1 �( 0;1) Cho x = VT > VP, cho x = VT < VP nên phương trình có nghiệm x2 �( 3;4) Tính gần p� 1+ + + + - 0- =2 q � �1,5 � q = 4 ; Như ta đoán nghiệm x = � nhân tử x - 4x + = Bây ta giải phương trình: Ký hiệu 9x + 15x + = a với x �- � x2 - 4x + + 8x + � ( x + 2) � � PT ( ) ta có 8x + 3� + ( x + - a) = � � � � � � 8x + x +1 � � x - 4x + � 1+ + =0 � x + + 8x + 2� x + + x + a + a ( ) ( ) � � � � ( ) x �- (với 8) � x2 - 4x + = � x = �  Ví dụ 27: Giải phương trình: x - 3x - = 7x + - 9x + 14 , x �� Phân tích: � 6 x1 �� - ;� x =� �5 VT > VP, cho x = - VT < VP phương trình có nghiệm Cho � � 1� � � � � 9� � � x � 4; � � � x= � � � � VT > VP nên phương trình có nghiệm Cho x = VT < VP, cho Tính gần ta đoán nghiệm PT p� - 1,2 + - + + 4,5 + 4,5 + 1,2 + � q� �5,4 � q = 29 2; Như x= ( � 29 2 nhân tử x - 3x - = Bây phân tích thành nhân tử: ) ( ) ( 7x + + x2 - 3x - - x + - � x + 2- ) 9x + 14 = � � 1 � � � � x2 - 3x - � + =0 � � � � � x + + 7x + x + + 9x + 14� ( (với ) x �- � 29 � x2 - 3x - = � x = 7)  Ví dụ 28: Giải phương trình: 6x3 = 2x2 + 3x + ( x + 3) 3x + + x + x �� , Phân tích: Cho x = VT < VP, cho x = VT > VP nên phương trình có nghiệm x1 �( 1;2) Nếu ta dị tiếp khơng thành cơng, để đốn nghiệm thứ hai, ta chuyển vế thành: ( 6x ) 2 - 2x2 - 3x - x + - ( x + 3) ( 3x + 2) = 2 - 5) - ( - 1) 22 > - 2) - 2.32 < ( ( x = x = Thử , với phương trình có nghiệm x2 �( - 1;0) p� liên hợp với x1 �( 1;2) - 1+ + 1+ 1+ 2- + = q� �2 � q = 2; nhân tử Tính gần x2 - x - = Bây ta trục phân tích thành nhân tử: � � 1- 19 � �� 1+ 19 � � � � � � x �D = � ;0 � ; +� � � � � � � x �� � �� � � � � � � x x x > Trước hết ta có nên PT ( ) ( � 6x3 - 3x2 - 9x - + ( x + 3) x + 1- ) ( 3x + + x - ) x +1 = � � x+3 � � � � x2 - x - � x + + + = � x2 - x - M = � � � � � x + + 3x + x + x + 1� (*) ( ) ( ) � � 1- 19 � � x+3 - 3x + � � x �� ;0� - 1= >0 � � � � � � x + + x + x + + x + x + > + Nếu ; Và x + x + >0 suy M > � � + 19 � � � x �� ; +� � � � � � � � + Nếu dễ thấy M > Do ta ln có M > 0, " x �D nên từ (*) � x2 - x - = � x = 1+ Lời bình: Trên khó phải đánh giá biểu thức M Nếu ta khơng có điều kiện x �D mà có điều kiện ban đầu x= 1- x �- 2 x + x + chưa xác định ta không loại giá trị thỏa mãn 1- x= Đây sai lầm học sinh mà loại khơng có sở lấy làm nghiệm phương trình! x �- Phương trình vơ tỉ đa dạng phong phú, để kết thúc ta xét thêm vài ví dụ liên quan phần nêu, ta không nghiên cứu chủ đề đặt ẩn phụ hay lượng giác hóa, phương pháp hàm số vượt qua khả HS lớp 9, lớp 10 lớp 11 không chuyên Qua phần nêu: ta tiếp cận giải phương trình góc độ nhìn nhận phổ thơng tự nhiên  Ví dụ 29: Giải phương trình: x + = ( 2x + 1) + x + x �� , Phân tích: x + = t �0 ta có Trước hết đặt ẩn phụ: ( ) t2 = 2t - + t Điều kiện t� 2 � � � � � t � ;1 � � t= � � � � VT > VP, với t = VT < VP nên phương trình có nghiệm Với Ta cần dự đoán thêm nghiệm t2 liên hợp với t1 Nhận xét t3 = - nghiệm t =5 VT > VP, với VT < VP nên phương trình có nghiệm Với � 3� � t2 �� - ;- � � � � � 2� � t =- Tính gần p� - 1,5 - 1,8 + 0,5 + 1 + 0,5 + 1,8 + 1,5 =q� �2,4 � q = 2; Như ta đốn nghiệm phân tích thành nhân tử: ( ) ( t= )( � t - 2t - = 2t - PT � ( - 1� 2 nhân tử t + t - = Bây ta trục ) + t - � 1- t ( 2t = ) ) - ( 1+ t) 2+t +1 + t + ( 1- t ) = 2t2 - � ( 1- t) + t = 2t2 + t - ( �t < (với ) bình phương hai vế ta có: ) 4t + 4t - 7t2 - 4t + = 1- 2t + t2 ( t + 2) � 4t + 3t - 7t - t + = ( )( ) � 4t2 - t - t + t - = � t = t= � 33 - 1� ,t = Đối chiếu điều kiện ta lấy + 33 t +2 - 15 + 33 � x = t2 - = - = ( t - 2) � x = 4 32 Vậy phương trình có nghiệm x= - 15 + 33 32 Lời bình: Khi đốn nhân tử ta có cách khác sau: Trước hết đặt ẩn phụ: � � t 2+t = 2 t� x + = t �0 ta có t = ( 2t - 1) + t Điều kiện 2t - 2t 4t2 - 2t - + t 4t2 - t - � - 1= - 1� = t t t 2+ t 2+t � 4t2 - t - = 4t - t - � = �� 2t + + t + t = t t � 2+t � (*) 4t2 - t - ( 2t + 2+t ( 2t + Ta có ta ) 2+t ( ) ) + t = t � 2t + t + = 4t2 - t - = � t = (vơ nghiệm t� 2 ) Do từ (*) + 33 t� ) (vì Thay trở x = t - suy phương trình có nghiệm x= - 15 + 33 32 2  Ví dụ 30: Giải phương trình: x + x + = + 5x + 4x - 2x - x Phân tích: Dễ thấy phương trình có chứa đa thức bậc nên ta hướng đến đặt ẩn phụ để khử để giảm bậc ta chia đa thức 1+ 5x + 4x - 2x - x cho x + x + có đặt: ( + 5x + 4x2 - 2x3 - x4 = - + x + x2 ) ( ) + 1+ x + x2 - đến ta x2 + x + = t > ta 4t = - t + 7t - � t - 7t2 + 4t + = t =- VT > nên phương trình có nghiệm Cho t = - VT < 0, cho � 1� � � t �� ; � � � � 2� � Cho t = VT > 0, cho t = VT < � 1� � t1 �� - 1;- � � � � t2 �( 1;2) � 2� � Như phương trình có nghiệm Tính gần nghiệm t= p� + - 1- 0,5 1 + + + 0,5 � ; q� = 2,25 � q = 2 1� 2 nhân tử ta đoán t - t - = Kết quả: ( )( ) t - 7t2 + 4t + = � t2 - t - t2 + t - = giải lấy nghiệm � 1� - � 4t - � � x+ � = t � x = � � � � � 2� 1+ - + 21 t= ,t = 2 dương Ta có Từ phương trình có nghiệm x= - 1� + - � 19 - 21 ,x = 2 Lời bình: Ta nhận thấy phương trình t - 7t + 4t + = có hai nghiệm trái dấu hệ số ( )( ) t + mt - t + nt - = tự nên phân tích thành dạng đến � � m+n = m=- � �� � � � - 5m - n = � n =1 � ta cân hệ số bậc bậc � ta đến kết cần thiết Bài nói nghiệm "hai lần vô tỉ" Khi chuyển đa thức bậc "ta nhẹ nhiều" ( ) 8x2 + 3x - = 4x2 + x -  Ví dụ 31: Giải phương trình: x+4 Phân tích: Ta thấy phương trình có nghiệm x = ta trục để giảm bậc: ( )( � x = 4x + x - PT ) x +4- = ( x=0 ) �� � x 4x2 + x - x +4 +2 �2 4x + x - = x + ( *) � � Ta chuyển phương trình đơn giản giải (*) theo phương pháp phần phân tích thành nhân tử: ) ( ( 4x2 + x - = x + � 4x2 - x - + 2x - ( � 2x - ) x +4 = )( ) x + 2x + + x + = ; � x �0 � x �0 1+ 65 � � �� �x= � � 4x - x - = 2x = x + � � � � + TH1: � + TH2: � � � 2x + �0 x �- - 57 � � �� �x= � � � - 2x - = x + � � 4x2 + 3x - = � � � Vậy phương trình có nghiệm  Ví dụ 32: Giải phương trình: x = 0, x = + 65 - - 57 ,x = 8 x + - x = x2 - x - , (x ��) Phân tích: Điều kiện �x �3 Cho x = VT > VP, cho x = VT < VP nên phương trình có nghiệm x1 �( 2;3) ( Ta viết lại x + 3- x ) - (x ) 2 x- = đó: x �( 0;1) Cho x = VT < 0, cho x = VT > nên phương trình có nghiệm Tính gần p� 2+ 3+1 + 3- = ; q� = 2�q = 2 nghiệm 3� 2 nhân tử ta đoán x - 3x + = Bây ta giải theo phương pháp phần bình phương trục căn: x= ( ) ( 3x - x2 = x4 - 2x3 - 3x2 + 4x + � x4 - 2x3 - 3x2 + 4x - + 1- ) 3x - x2 = � � � � � � x2 - 3x + � x + x + =0 � � � 2 � � � 1+ 3x - x (*) Vì �x �3 � x + x - > nên ( ) x= (*) � x - 3x + = giải lấy nghiệm 3+ � 2x4 + x3 + 9x2 + 7x + = x3 + x2 + x x +x +3  Ví dụ 33: Giải phương trình: Phân tích: Do x = khơng nghiệm nên ta có điều kiện x > Ta viết lại: 2x4 + x3 + 9x2 + 7x + = 3( x2 + x + 3) x3 + x2 + x Cho x = VT > VP, cho x = VT < VP nên phương trình có nghiệm x1 �( 0;1) Cho x = ta có VT < VP, cho x = ta có VT > VP nên phương trình có nghiệm x2 �( 2;3) Tính p� 2+ 3+1 + 3- 3� = ; q� = 2� q= x= 2 nên ta đoán nghiệm nhân tử x - 3x + = Nhiệm vụ ta trục tạo nhân tử: Trừ hai vế với ( ) 6x x2 + x + ta có ( )( 2x4 - 5x3 + 3x2 - 11x + = x x2 + x + x2 + x + - x ) ( )( ) � x - 3x + 2x + x + = ( )( ) x x2 + x + x2 - 3x + x2 + x + + x � x2 - 3x + = � � �� x x2 + x + � 2x + x + = ( *) � x2 + x + + x � Với x > � x + x + + x > x ( ) � VP(*) < x2 + x + < VT (*) nên (*) vơ nghiệm Do ta có x2 - 3x + = � x = x= 3� Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm 3�  Ví dụ 34: Giải phương trình: ( )( ) x + - x + - x + = 2( x + 1) 2x - Phân tích: Điều kiện trình: ( t - 1) ( t x� Đổi biến để khử bớt thức: - 2t + 4) = 2t 2t2 - � t - 3t + 6t - = 2t 2t - Cho t = VT > VP, cho � 3� � t1 �� 1; � � � � � 2� � (t Viết lại ) t= 2 ta có phương (*) VT < VP nên phương trình có nghiệm ( ) - 3t2 + 6t - - 4t 2t2 - = nên phương trình có nghiệm q� x +1 = t � t2 �( - 4;- 3) t = - VT < 0, t = - VT > Tính p� + 1,5 - - �- 1; + 1,5 + + �2,3 � q = nên ta đoán nghiệm t = - � nhân tử ( *) � 2t ( ) 2t2 - - t + + t + t - 6t + = t + 2t - = Do đó: � 2t2 � � � ( t + 2t - 4) � +t � � 2t - + t - � � 1� =0 � � � , t� nên t2 + 2t - = � t = - + Thay trở x = t - ta có nghệm phương trình x = - ( 3x  Ví dụ 35: Giải phương trình: ) - 5x - - x = 3x2 - 6x - (x ��) , Phân tích: Đặt 2 � � - t2 - - t2 - 6)� t = - t2 - - t2 - � � - x = t �0 ta có � ( ) � ( 3t - 7t2 - 4) t = 3t - 6t2 - ( ) Điều kiện ( t �0;t2 � ) ( ) 3+ (*) Dễ thấy trừ vào hai vế lượng t trục có nhân tử: ( ) ( ) � 3t - 7t2 - t - t = 3t - 6t - - t � 3t - 7t2 - t = (*) 3t - 7t2 - 3t - 6t - + t � 3t - 7t - = � � 3t - 7t2 - = � � �� �� t= t 3t - 6t - = 1- t2 � � � � 3t - 6t - + t (**) Do điều kiện (*) nên từ (**) � 3t - 7t - = x = - t ta nghiệm phương trình � t2 = x= 5- + 109 thay trở 109 b Luyện tập: Bài Giải phương trình: x x + + - x = x + Bài Giải phương trình: ( ) ( ) 2x2 + + x2 - 2x ( ) 2x - = x3 + 5x Bài Giải phương trình: x - + x = 7x - 17x + Bài Giải phương trình: x2 + x - + x = 3x2 + 4x - 18 Bài Giải phương trình: x + x2 + x - = 5x2 + 9x - 10 3 Bài Giải phương trình: x + x + x - = 3x + 4x - 2 Bài Giải phương trình: 9x + 11x + = (x - x + 3) 3x - x + 8x + Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: 3x - + x2 - 2x + = 5x2 - 7x + 13 x2 + 4x + = ( x + 1) 8x + + 6x + CHÚC CÁC BẠN VUI VẺ VÀ THÀNH CÔNG! ... trị để xác định khoảng nghiệm ta gặp vấn đề số vô tỉ cồng kềnh, thay vào phương trình mà tính khó khăn lớn, nhiên ta không cần thay trực tiếp vế trái âm x= 4x2 + 24x + 35 -  Ví dụ 4: Giải phương... khó, bạn thử tìm cách giải khác xem độ phức tạp ? Bình phương để mở rộng tập xác định nhiều cần thiết để giải!  Ví dụ 20: Giải phương trình: 10x2 - 50x - = 2x2 - 5x + - x - Hướng phân tích: Điều... Đáp số: x= + 22 � Trên khó phương trình bậc có hệ số lớn, địi hỏi tính kiên trì Hơn nghiệm bị kẹp đoạn vô tỉ cồng kềnh, nhiên sau bình phương để khử ta mở rộng đoạn thêm tí để đoạn hữu tỉ từ