Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 20-2-0227-0297

C>0 bio log iez en tru m at li ww UMGEKEHRTE PROBLEM DAS od ive rsi tyl ibr ary or g/; w DER yh ttp ://w ww bi BRENNLINIEN Von STRAUCH W DER SITZUNG DER MATHEM NATURW CLASSE AM • 17 NOVEMBER 1859 He IN fro m Th eB iod ive rsi ty VORGELEGT rita ge Lib G rar Dr ;O rig ina 1- Đ Curve Lichtstrahlen zurỹckgeworfen oder gebrochen werden und einer stetigen Folge von Punkten schneiden; so wird dadurch eine neue ge ,M , rid diese sich hierauf in A) einer ebenen mb W enn von lD ow nlo ad Einleitung Curve erzeugt, welche man Brennlinie Ca und zwar Brennlinie durch Zurück werfung (linea catacaustica) oder Brennlinie durch Brechung (linea diacaustica) Die ursprünglichen Lichtstrahlen können entweder alle mit einander parallel sein, oder alle von einem leuchtenden Punkte herkommen; und eine Brennlinie kann entweder aus einer Curve of Co mp ara tiv eZ oo log y( (linea caustica) nennt, the einer Brennlinie liegt da, wo zweite der (zurückDer zweite Punkt einer Brenn- der erste und of Der erste Punkt Mu se um bestehen, oder sich in einen einzigen Punkt zusammenziehen tM ay rL ibr ary geworfenen oder gebrochenen) Lichtstrahlen sich schneiden linie liegt sodann da, wo der zweite und dritte der (zurückgeworfenen oder gebrochenen) Und so fort Er ns Lichtstrahlen sich schneiden ty, veranschaulicht, dass die Brennlinien von sämmtlichen (zurückgeworfenen rsi ist ive Hierdurch by einhüllenden Gränz-Curven sämmtlicher (zurückgeworfener oder gebrochener) ed als die the Ha rva rd Un oder gebrochenen) Lichtstrahlen berührt werden; und weil die Lichtstrahlen nur grade Linien sind, so ist diese Berührung auch nur eine der ersten Ordnung, d h die Brennlinien können können linien, Dig itis Lichtstrahlen definirt werden So oft aber die die einhüllenden Gränz-Curven welche sich nicht in eingehüllten Curven nur grade nicht auch grade Linien sein, Linien sind, d h alle einen einzigen Punkt zusammenziehen, können nur Linien sein (Man vergleiche den Nachtrag § 25 Brenn- krumme — 27.) Die Brennlinien machen also keine eigene Gattung von Curven aus; und es kann jede beliebige Curve als Brennlinie gelten, so dass man das Problem auch umkehren, und diejenige zurückwerfende oder brechende Curve aufsuchen kann, zu welcher irgend eine vorgeschriebene Curve sich als Katakaustika oder Diakaustika verhält dd * Strauch G W 228 Eine Katakaustika wie gesagt, diejenige Brennlinie, welche ist, entsteht, wenn von die einer Curve (Reflexions-Curve genannt) zurückgeworfenen Lichtstrahlen sich in stetig auf- Wenn man nun den Punkt der Reflexions-Curve, in wo bio log iez en tru m at einander folgenden Punkten schneiden und zurückgeworfen wird, die Normale zieht, so heisst der vom eintreffenden Lichtstrahle und von der Normale gebildete Winkel der Einfallswinkel, dagegen wird der vom zurückgeworfenen Lichtstrahle und von der Normale gebildete Winkel od ive rsi tyl ibr ary or g/; w ww ein Lichtstrahl eintrifft Ausfalls winkel genannt Bei jeder Lichtreflexion besteht aber das Gesetz, dass der Ausfallswinkel gleich ist dem Einfallswink el; und mit Hülfe dieses Gesetzes kann der zu jeder vorgeschriebenen Reflexions-Curve die zugehörige Katakaustika aufsuchen Sind nämlich die ursprünglichen Lichtstrahlen mit einander parallel; so richte yh ttp ://w ww bi man alle man das Coordinatensystem der vorgeschriebenen Reflexions-Curve so ein, dass ihre Abscissenaxe Kommen aber die ursprünglichen Lichtstrahlen rar ist Lib mit den Lichtstrahlen ebenfalls parallel von einem leuchtenden Punkte her; man ge rita das Coordinatensystem der vor- He alle so richte ive rsi ty geschriebenen Reflexions-Curve so ein, dass ihre Abscissenaxe durch den leuchtenden Punkt Th eB iod geht Bei solcher Einrichtung sei F{x,y) = ad fro m 1) bezogene Gleichung der vorgeschriebenen ow nlo die auf ein rechtwinkeliges Coordinatensystem und lD wenn man mit die auf dasselbe r; ina f rig Reflexions-Curve; und man bekanntlich zu folgenden Gleichungen: ,M A) ;O der gesuchten Katakaustika bezeichnet, so gelangt System bezogenen Coordinaten =x ge r + mb rid 2) £ log y( Ca und {up) =y + u (ôp) i das gebräuchliche Abkürzungszeichen Co mp p vom zurückgeworfenen die gonio- und von der Abscissenaxe gebil- die ursprünglichen Lichtstrahlen mit einander parallel sind, so ist the of •-••/ u tM die ursprünglichen Lichtstrahlen aber ty, Er ns wenn ay rL ibr ary 4) und u bedeutet um Wenn nun deten Winkels Lichtstrahle of metrische Tangente des statt -j-, se ist Mu Hier ara tiv eZ oo 3) u rsi 5) = 2Jx - von einem leuchtenden Punkte herkommen, so g) - p -t- (.r-rj) (1— p-) Un ive y.p ist wo g Ha rva rd die feste Abscisse des leuchtenden Punktes bedeutet gen mit by jetzt ed zweimal die der vorgeschriebenen Reflexions-Curve zugehörige differentiirt, und sodann itis = Dig F(x,y) the Wenn man 1), 2), 3) verbindet; so hat ~, eliminiren muss theile x, y, ~ man die zwei sich ergebenden Differentialgleichun- fünf Gleichungen, aus welchen Dadurch Gleichung man ergibt sich eine zwischen r die vier Bestand- und t) bestehende neue Gleichung 6) wodurch 8(M) die gesuchte Katakaustika bestimmt einer Katakaustika keine Integration nöthig ist = ist ; und man erkennt , dass zur Bestimmung Das umgekehrte Problem der §• ist durch eine Curve (Refractions-Curve genannt) hindurchgehen, und bei von ihrer ursprünglichen Richtung abgelenkt werden, dass Wenn man nun ander folgenden Punkten schneiden ein Lichtstrahl wenn Lichtstrahlen ihrem Durchgange so Brennlinie, welche entsteht, diejenige 1) (§ sie sich hierauf in stetig aufeinbio log iez en tru m at Eine Diakaustika 229 Brennlinien den Punkt der Refractions-Curve, in durchgeht und gebrochen wird, die Normale zieht, und auch wo die ursprüngliche od ive rsi tyl ibr ary or g/; w ww Richtung des Lichtstrahles verlängert; so heisst der vom eintreffendenLiehtstrahle und von der ty He rita ge Lib rar yh ttp ://w ww bi Normale gebildete Winkel der Einfallswinkel, der vom gebrochenen Lichtstrahle und von der Normale gebildete Winkel heisst der Brechungswinkel, und der von der Verlängerung des ursprünglichen Lichtstrahles und vom gebrochenen Lichtstrahle gebildete Winkel heisst der Ablenkungswinkel Bei jeder Lichtrefraction besteht aber das Gesetz, dass im ganzen Verlaufe der Refractions-Curve das Verhältniss, in welchem der Sinus des Einfallswinkels und der Sinus des Brechungswinkels zu einander stehen, constant bleibt Ist also tj der Einfallswinkel, und w der Brechungswinkel; so muss sich zwischen ihnen, wie sie sich auch immer ändern mögen, die Gleichung ive iod eB X u> Werth des wie gesagt, constant A, und das Brechungsverhältniss fro der ist, ad wo nlo stattfinden, m Th sin rsi ^= 7)' lD ow genannt wird man rig ina zu jeder vorgeschriebenen Refractions-Curve die ;O Mit Hülfe dieses Gesetzes kann ,M A) zugehörige Diakaustika aufsuchen alle mit einander parallel; so richte man mb rid ge Sind nämlich die ursprünglichen Lichtstrahlen y( Ca das Coordinatensystem der vorgeschriebenen Refractions-Curve so ein, dass ihre Abscissenaxe log Kommen tiv von einem leuchtenden Punkte her; so richte aber die ursprünglichen Lichtstrahlen man das Coordinatensystem der vor- ara alle ist eZ oo mit den Lichtstrahlen ebenfalls parallel of Co mp geschriebenen Refractionscurve so ein, dass ihre Abscissenaxe durch den leuchtenden Punkt Mu se um geht Bei solcher Einrichtung sei F{x,y) =Q ary of the 8) ibr Coordinatensystem bezogene Gleichung der vorgeschriebenen ay r und t) die auf dasselbe System bezogenen Coordinaten ns tM wenn man mit Er Refractions-Curve; und rL die auf ein rechtwinkeliges man bekanntlich zu folgenden Gleichungen: Un ive rsi ty, der gesuchten Diakaustika bezeichnet, so gelangt je = * + (»+*).-£ Ha rva rd 9) ed by the und Hier itis *=*-* (»+*).-£ Dig io) ist p wiederum das gebräuchliche Abkürzungszeichen goniometrische Tangente des deten Winkels 11) Wenn nun vom gebrochenen Lichtstrahle statt ~, und v bedeutet die und von der Abscissenaxe gebil- die ursprünglichen Lichtstrahlen mit einander parallel sind, so v— p + W-(i+p i-p-m(i-t-i>2)-i > ist — — 230 G W Strauch wenn von einem leuchtenden Punkte herkommen, die ursprünglichen Lichtstrahlen aber + ((*-*)+**) +^-y^ ((ô?!-# + y )-(i+i>ằ)i-((* g) + y-i'T zweimal differentiirt, 10) verbindet,- so hat 8), 9), —-, teile x, y, und dann man rar einer Diakaustika keine Integration nöthig hat Zusatz Die diakaustischen und i) bestehende und man erkennt, dass man auch zur Bestim- ist; Lib mung bestimmt = r die vier Bestand- yh ttp ://w ww bi g(r,t? ) 13) die gesuchte Diakaustika man ergibt sich eine zwischen neue Gleichung wodurch ergebenden Differentialgleichungen fünf Gleichungen, aus welchen Dadurch eliminiren muss -=-f die zwei sich ww = zugehörige Gleichung od ive rsi tyl ibr ary or g/; w F(x, y) der vorgeschriebenen Refractions-Curve die jetzt bio log iez en tru m at die feste Abscisse des leuchtenden Punktes bedeutet Wenn man mit ist ü 12) wo ^ so wenn man A =— setzt, in die rita ge Resultate gehen alle, rsi ty He katakaustischen über Gleichung 11) geht nämlich über in iod ive p+p 2.71 p* und ebenso geht Gleichung 12) über m Th eB p'2 nlo ad fro in ow — ((•»—: + y -p) -p +V {y — (*— g)-pf 2.fa—g).p ina lD 1) A) ,M ge und 2) (i-p ) = — u, und dabei wird dv = — du] und wenn rid und dv mb statt v Gleichungen die wird v + —y (*-*)• U-**) in die Gleichungen 9) und 10) setzt, so bekommt 3) mp ara tiv eZ oo man wieder setzt, so Ca A y( Wenn man also = — — man u und — du bezüglich ;O rig + y.p)+p.V(y-(*-9).pf log +({*-9) 2-** 4- um of Co Đ se kann man das Problem der Brennlinien auch umkehren, d h man kann auch die Brennlinien vorschreiben, und die zugehörige Reflexions- oder Refractions-Curve aufsuchen ibr nämlich durch die Gleichung tM ay rL Wenn ary of the Mu Jetzt S(r ; !?) = rsi ty, Er ns 14) Curve als Katakaustika oder Diakaustika vorgeschrieben Un ive eine bestimmte die betreffenden t) the und Ausdrücke man in 14) zu substituiren und man die weiter nichts zu thun, als Dadurch ergibt sich eine by statt £ Ha rva rd zugehörige Reflexions- oder Refractions-Curve sucht; so hat ist, itis ed Differentialgleichung der zweiten Ordnung, deren allgemeines Urintegral mit zwei Integration sDig Constanten versehen sein muss Durch ein mit zwei Integrations-Constanten versehenes Urintegral sind aber jedesmal unendlich viele Curven-Schaaren dargestellt später nachgewiesen werden wird, keine einzige von allen diesen sie Curven Es ist jedoch, wie so beschaffen, dass mehr als einen einzigen Punkt der vorgeschriebenen Brennlinien erzeugen könnte Dess- halb muss man sich noch umschauen, ob von den durch das allgemeine Urintegral dargestellten unendlich vielen Curven-Schaaren auch Gränz-Curven erzeugt werden; und diese sind alsdann die gesuchten Reflexions- oder Refractions-Curven Die Gränz-Curven selbst sind aber von Das umgekehrte Problem der zweierlei Art, je nachdem oder eine Berührung von Wenn Brennlinien 231 mit ihren Erzeugungs-Curven eine Berührung von sie grader Ordnung ungrader eingehen Gränz-Curve mit ihren Erzeugungs-Curven eine Berührung ungrader Ordnung eingeht, dann liegen die Erzeugungs-Curven mit allen ihren Punkten auf der nämlichen Seite der Gränz-Curve; und desshalb wird jede Gränz-Curve ungrader Ordnung eine einhülbio log iez en tru m at eine lende oder umfangende Curve, und die Erzeugungs-Curven selbst werden die eingehüllCurven genannt Wenn aber eine Gränz-Curve mit ihren Erzeugungs-Curven eine Berührung grader Ordnung eingeht, dann wird die Gränz-Curve von den Erzeugungs-Curven im Berührungs- kommt punkte geschnitten; und desshalb Curve schaft einer einhüllenden einer od ive rsi tyl ibr ary or g/; w ww umfangenen Gränz-Curve grader Ordnung nicht zu die Eigen- yh ttp ://w ww bi ten oder He Gränz-Curven der ersten Ordnung ty sind rsi gesetzt wurde, nur rita ge Lib rar Weil nun die gesuchten Refiexions- und Refractions-Curven jedesmal einer Differentialgleichung zweiter Ordnung geniigen müssen, so müssen dieselben auch Gränz-Curven der zweiten Ordnung sein, während die zugehörigen Brennlinien, wie schon (in § 1) auseinander m Th eB iod ive Das Problem der Brennlinien ist also dem Evolutionsproblem analog; denn auch die Evolventen sind Gränz-Curven der zweiten, und die Evoluten sind Gränz-Curven der ersten ow nlo ad fro Ordnung rig ina lD S c h u s s der Einleitung- fach singulare Integrale ,M A) ;O Die Keflexions- und Refractions-Curven werden, wie Man kann mb rid ge dargestellt zweiter später sehen wird, durch ein- aber die einfach singulären Integrale, Ordnung angehören, jedesmal durch y( Ca welche den Total- Differentialgleichungen man tiv mittels des (mit zwei Integrations-Constanten versehenen) allgemeinen Urintegrals; ara eZ oo log drei verschiedene Hülfsmittel aufsuchen; nämlich: Co mp mittels einer jeden der (mit nur einem Integrations-Constanten versehenen) zwei ersten um se Mu der ursprünglichen Total-Differentialgleichung zweiter Ordnung the mittels of Stammgleichungen; und ay rL ibr ary of So verschieden aber auch die Formen der durch diese dreierlei Hülfsmittel erlaubten Resultate sein mögen, so sind doch die allen diesen Formen entsprechenden Resultate ihrem die eine Form in die andere umgesetzt Er ns tM Wesen nach ganz gleichbedeutend, und jedesmal kann vorwärts auf die Gleichungen 44), 177), 229), 373), ive man nun Un Schaut rsi ty, werden wo sich diejenigen by the Ha rva rd Formen befinden, welche für die einfach singulären Integrale aus dem allgemeinen Urintegral gewonnen werden; so erkennt man, dass ich mein Problem auf eine einfache Rectification der itis ed vorgeschriebenen Katakaustika oder Diakaustika zurückgeführt habe Die Einfachheit und Dig Allgemeinheit meiner Lösung Um jetzt die lässt also nichts zu wünschen übrig vorliegende Abhandlung systematisch durchzuführen, mag sie in zwei Abtheilungen gebracht werden, deren erste sich mit Bestimmung der Reflexions-Curven, und deren zweite sich mit Bestimmung der Refractions-Curven befasst Jede dieser beiden Abthei- lungen zerfällt aber von selbst wieder in zwei Abschnitte, je nachdem die urspünglichen Licht- strahlen mit einander parallel sind, oder von einem leuchtenden Punkte herkommen Strauch G W 232 Katakaustika vorgeschrieben die für parallele Lichtstrahlen sucht diejenige Reflexions-Curve, bei welcher die parallel auf sie auffallenden Lichtrar zurückgeworfen werden, dass die Katakaustika sich in einen einzigen Punkt Lib so ge strahlen yh ttp ://w ww bi §.5 Man He rita (Brennpunkt) concentrirt dass- ihre rsi ty richte das Coordinatensystem der gesuchten Reflexions-Curve so ein, ive Man od ive rsi tyl ibr ary or g/; w Erster Abschnitt Bestimmung der Reflexions-Curven ist ww Bestimmung der Reflexions-Curven, während bio log iez en tru m at ERSTE ABTHEILUNG und wenn dabei Werthe g und h haben, so Abscissenaxe mit den Lichtstrahlen parallel eB iod ist; specialisiren sich für die- fro m Th geschriebenen Brennpunktes die festen die Coordinaten des vor- nlo ad selben die Gleichungen 2) und 3) bezüglich in ow =x + lD {u—p) £ g 16) i)=y + u.{u—p).^ ;O rig ina 15) log y( Ca mb rid ge ,M A) und (x — g) du -f- u dx — dy = durch Integration the folgt ary of und daraus Mu se um of Co mp ara tiv eZ oo und jede Curve, welche diesen beiden Differentialgleichungen zweiter Ordnung zugleich genügt, hat die in der Aufgabe geforderte Eigenschaft Gleichung 15) lässt sich umsetzen in (x— Q).u wo A tM ay rL ibr 17) Man —y + A= nun allerdings Stammgleichung zu Gleichung 15); ob jedoch Gleichung 17) auch der 16) genügt, muss noch besonders nachgewiesen werden Aus 17) folgt ist hat die erste rva rd Un ive rsi ty, Er ns ein Integrations - Constanter =A + (x—q) u by the Ha y itis ed und Dig p und wenn man für y und p = U+ (X—Q) die hier hergestellten £ Ausdrücke 16) sich auf 18) f) =A so dass 17) übergeht in 19) y — = (as— h g) u substituirt, so reducirt Gleichung Das umgekehrte Problem A man 233 nachdem der Integrations-Constante eine erste Stammgleichung, welche jetzt, den besonderen Werth b angenommen hat, wirklich so beschaffen Um (y-l)) f+ das Quadrat (x — g) (x-q) = (y— p — ( oder (>/—h)-p (x— g) + s g) ^ durch Integration He folgt rita Daraus ge Lib rar + 4) und addire sodann beider- b), = {y— W + x — + (»— s)) ((y— W -p u den Ausdruck $) bekommt man so ; für yh ttp ://w ww bi seits man in multiplicire bei dieser Gleichung alle Theilsätze mit (y den beiden bio log iez en tru m at zurückführen; und dabei geht 19) über Man sie 16) zugleich genügt aber die Aufgabe weiter durchführen zu können, muss 20) dass ww und Differentialgleichungen 15) ist, od ive rsi tyl ibr ary or g/; w Hiermit hat der Brennlinien =x+E ty (z-g) ä iod ive 4- rsi V(y-W ± 21) eB oder Th (y-W = + E).[x-«=^) fro m 2.(Q diesmal nur mit einem und nicht mit zwei Integrations-Constanten ow ist also lD Das Urintegral nlo ad 22) ina denn der erste Integrations-Constante A hat, damit den beiden Differentialangenommen gleichungen 15) und 16) zugleich genügt wird, den besonderen Werth A) ;O rig versehen; ge ,M f) durch 22) dargestellte Curvenreihe besteht aus konischen Parabeln, deren Parameter mb deren Scheitel bestimmt wird durch y Ca , ase in der Entfernung y y( ist = mit der Abscissenaxe parallel l) dem £t_ d h ist bei jeder konischen gleich -^i— ; und somit oder g die Entfernung des Brennpunktes von der Ordinatenaxe Alle durch um of 4- vierten Theile des Parameters, Nun Co £^— läuft und deren Haupt- mp Parabel die Brennweite gleich ist = b und x = ^^-, log E) eZ oo (g -f tiv ara =2 rid Die Brennpunkt mit einander gemein, h vorgeschriebenen d h the und von allen diesen unendlich of g Mu se 22) dargestellten unendlich vielen Parabeln haben also den durch die festen Coordinaten ibr rL eintreffen, nach einem und demselben Brennpunkte (g, b) reflectirt Er ns tM Richtung ary Parabeln werden die Lichtstrahlen, welche in einer mit der Hauptaxe parallelen ay vielen rd sucht diejenige Reflexions-Curve, bei welcher die rva Man Un ive rsi ty, §.6 werden , sie einfallenden dass ihr eine bestimmt vorgeschriebene Curve als the Ha Lichtstrahlen so zurückgeworfen parallel auf ed by Katakaustika zukommt strahlen parallel läuft; man itis hier richte Dig Auch das Coordinatensystem so ein, dass die Abscissenaxe mit den Licht- und wenn sich dann für die vorgeschriebene Katakaustika die bestimmte Gleichung = 23) und man bekommt gesuchte Reflexions-Curve folgende Differentialgleichung der zweiten Ordnung: ergibt, so hat die g (r, $ Ausdrücke 2) und 24) man für £ g und j(* t) + die (u-p) £),(* Denkschriften der mathem.-naturw Cl XX Bd Abhandl v + Nichtmitgliedern 3) einzufỹhren, ô (u-p) Ê)) = ee fỹr G W Strauch 234 Um bequem fortführen zu können das Verfahren setze , man M anstatt x + (u —p) -j- und A7" u -U 4- 11 11 (11 (u —p) r>\ -~ du bio log iez en tru m at N anstatt y Dabei kürzt Gleichung 24) sich ab in = % (M, N) bekommt man differentiirt, so wenn Dieser Gleichung wird aber genügt, entweder — ^.— — (u— v) — = du dx -Li * dlfi Lib ' rar 27) yh ttp ://w ww bi und wenn man nach allen x od ive rsi tyl ibr ary or g/; w ww 25) He rita ge oder wenn ty —u rsi u -lW + eB iod -dM ive 2Ö ) welche von der dritten Ordnung ist, und aus welcher das m Th Die Differentialgleichung 27), nlo ad fro der vorgelegten Differentialgleichung 24) entsprechende allgemeine Urintegral gewonnen liefert ina lD ow wird, lässt sich ohne weiters integriren, und + (u~p).^ = A Dabei geht Gleichung 24) über ge ein Integrations-Constanter ist Ca mb rid A wo ,M A) ;O rig x 29) %\A,(y log u (u-p) eZ oo + ^)\ Ausdruck tiv dieser Gleichung erkennt man, dass der ara An y( 30) (y in = -\- u (u —p) —^1 einen von x und um of Co mp von y unabhängigen Werth hat; und wenn man diesen Werth mit B bezeichnet, so bekommt man se 3i) B ô- (ôtp) Ê = ằ die ganz bestimmte Gleichung rL ibr ary und of A während zwischen + the Mu y ay %{A,B) = Er ns tM 32) rsi ty, Wenn man Gleichung 29) mit u multiplicirt und das , sich ergebende Product von ive stattfindet Ha rva rd Un 31) subtrahirt; so bleibt = (x—Ä).u (y—B) A B itis man eine erste Stammgleichung, in welcher Dig Hiermit hat ed by the 33) zwar zwei Integrations - Constanten und B in der durch 32) ausgesprochenen Abhängigkeit man entweder A oder B aus 33) eliminiren, und eine erste Stammgleichung mit nur einem Integrations-Constanten herstellen Um nun die Gleichung 33) weiter behandeln zu können, muss man für u den Ausdruck und vorkommen; weil aber A zu einander stehen, so kann 4) zurückführen 34) ; und dabei geht 33) über (y-B) f+ in (x-A) p = (y-B) Das umgekehrte Problem man Mit dieser Gleichung verfahre so ; bekommt man 235 wie im vorigen Paragraph mit Gleichun«- jetzt weiter, das Urintegral V{y—Bf + ± 35) (x — Af = x + E bio log iez en tru m at 20) der Brennlinien während Hier erscheinen sogar drei Integrations- Constanten A, B, E, Ordnung Differentialgleichung 24) nur eine von der zweiten Weil jedoch ist die A vorgelegte und B man Gleichungen 23) und 32) mit einander, so erkennt man, dass dieselbe Relation stattfindet, wie zwischen und t) Man kann also statt jetzt die B r A der Integrations-Constanten Coordinaten je und ± \/{y— $* + in =x + E (x-tf wenn man umformt, rita ge 36) He in rsi ty oder, auch die zur vorgeschriebenen Katakaustika gehörigen und dabei geht 35) über setzen; t) B und yh ttp ://w ww bi und rar A zwischen oder Lib Vergleicht in der A od ive rsi tyl ibr ary or g/; w ww durch 32) ausgesprochenen Abhängigkeit zu einander stehen, so kann man entweder B eliminiren, und eine Urgleichung mit nur zwei Integrations-Constanten herstellen ive = 2.(! + E).(x-^) Th eB iod (y-t) y 37) nlo ow deren Hauptaxen in der Entfernung y Parabeln gemeinschaftlichen ;O rid Ca die Coordinaten selbst hat ist vierten Theile des Parameters, die Entfernung des Brennpunktes r Nun bei jeder je und t) , d h alle d h gleich von der Ordinatenaxe, Brennpunkte der hier eZ oo und der Brennpunkt laufen mb ^— oder \) A) dem y( ist 1- log —^—; und somit — = mit der allen durch 37) dar- Abscissenaxe parallel konischen Parabel die Brennweite gleich k t) ,M gestellten = konischen bestimmt werden durch y rig ina , lD = ():-\-E) sind, deren Scheitel ge und x ad =2 Parabeln, deren Parameter -t— und fro m Alle hierdurch dargestellten unendlich vielen Curven-Schaaren bestehen sonach aus sich, wie am Schlüsse des § mp trifft auseinandergesetzt ist, bei jeder konischen Co Es ara tiv gefundenen unendlich vielen Parabel-Schaaren liegen in der vorgeschriebenen Katakaustika um of Parabel, dass, sobald die Lichtstrahlen parallel mit der Hauptaxe auffallen, die Katakaustika irgend einen Grade; so sind Punkt, und zieht of Katakaustika also im Umfange der vorgeschriebenen man durch diesen eine mit den Lichtstrahlen unendlich vielen konischen Parabeln, denen der eben besagte Brennpunkt und die eben besagte Grade als Hauptaxe zukommt, so beschaffen, die mit der Hauptaxe parallel eintreffenden Lichtstrahlen nach dem (im Umfange ibr alle ns Er ty, zweiten Katakaustika) gewählten Punkte Un der vorgeschriebenen rsi dass sie tM als ive Punkt ay rL parallele the Mu se Brennpunkt zusammenzieht Wählt man ary sich in den reflectiren Geht man zu einem Umfange der vorgeschriebenen Katakaustika diesen zweiten Punkt wiederum eine mit den Lichtstrahlen parallele Grade; so sind alle unendlich vielen konischen Parabeln, denen dieser zweite Punkt als Brennpunkt und diese zweite Grade als Hauptaxe zukommt, ebenfalls so beschaffen, dass sie die mit der Hauptaxe parallel eintreffenden Lichtstrahlen nach dem (im Umfange der vorgeschriebenen Katakaustika) gewählten zweiten Punkte reflectiren Und so fort Desshalb ist unter den gefundenen Parabeln keine einzige im Stande, von der vorgeschriebenen Katakaustika mehr als einen Punkt zu erzeugen, d h keine einzige dieser Ha rva rd (unmittelbar anliegenden) Punkte im the man durch Dig itis ed by über, und zieht Parabeln ist die gesuchte Reflexions-Curve Man muss daher untersuchen, ob unter diesen unendlich vielen Parabel-Schaaren solche Reihen stetig nebeneinander liegender Parabeln vor- kommen, die sich so schneiden, dass die dadurch entstandenen Durchschnittslinien auch noch 236 W Strauch G- der vorgelegten Differentialgleichung 24) genügen Weil aber diese Differentialgleichung eine der zweiten Ordnung ist, so muss jede Durchschnittslinie (§.4) eine solche Gränz-Curve Punkten mit irgend einer der sich schneidenden Parabeln eine Berührung der zweiten Ordnung eingeht Die Gränz-Curven der zweiten Ordnung werden aber, wie in der analytischen Geometrie noch näher nachgewiesen werden muss, durch das einfach singulare ) Urintegral dargestellt; und dieses kann bekanntlich auf drei verbio log iez en tru m at in allen ihren welche sein Wegen ermittelt werden Erste Methode Wenn man ww schiedenen ableiten will, so ist dessen in Gleichung dem allgemeinen od ive rsi tyl ibr ary or g/; w das einfach singulare Urintegral aus Form 36) aufgestellte Nun die bequemste beachte man, dass die Integrations-Constanten von x und von y unabhängig sind bei allen sich schnei- bekommt man _ ~ — (a-s ) + V(y-W + so (*~S) rar dy_ dx Lib (0 418) Erstens Lässt man Gleichung 418) gelten, He rita ge Lib = Vr—m 419) rar oder wenn bekommt man durch Integration ive rsi ty so iod = (x—A) u m Th eB iy—B) 420) nlo B folgende Relation ina lD und ow A Integrations-Constanten ad fro während, damit der vorgelegten Differentialgleichung 395) genügt wird, zwischen den beiden rig B — m.A 4- 2t ge rid mb jetzt nun die Differentialgleichung 420) nochmals integriren zu können, muss an unterscheiden ob die Lichtstrahlen parallel auf die gesuchte Reflexions- , y( man von Um Ca stattfinden muss ,M A) ;O 421) tiv § 6) Co mp Falle (nach eZ oo log oder von einem leuchtenden Punkte herkommen Dabei ergibt sich im ersten auffallen, ara Curve + {x—Äf ± Vijj—By —x+E se um of 422) und im zweiten Falle of the Mu ergibt sich (nach § 11) ary V(x—gf 4- tf 4- Man V(y— Bf + {x-Af = G ay rL ibr 423) tM wiederum die vorhin in der ersten Auflösung gefundenen zwei Gleichungen 404) und 412); und diese führen also auch wiederum zu dem Resultate, dass keine ReflectionsCurve existirt, welcher eine grade Linie als Katakaustika angehört rd Un ive rsi ty, Er ns hat hiermit die Gleichung 419) gelten, so by the Ha rva Zweitens Lässt man u =m d h u ist Dig itis ed 424) bekommt man constant Man muss aber vor Allem untersuchen, ob u singulären Urintegral 420) und 421) so bekommt man zu einem einfach man B aus 425) y — (m Diese Gleichung aber reducirt sich, 426) A ist, 4- 3t) y oder nicht; und zu diesem Ende eliminire = (x—A) m statt = m x 4- 51 wenn man = m die Differentialgleichung u u setzt, sofort auf Das umgekehrte Problem A Man = m nicht die Differentialgleichung zu einem einfach u dass folgt, man zum zweiten Male, Somit erkennt ist welch er eine grade Linie existirt, als von welcher sucht diejenige Refraetions-Curve, die Lichtstrahlen werden, dass ihr die durch folgende Gleichung 427) Wenn man 21 Diakaustika zukommt als (aus § 3) für r und Ausdrücke die t) so gebrochen yh ttp ://w ww bi vorgeschriebene Grade man = m.{+ \) dass keine K atakau st ika an gehört bio log iez en tru m at singulären Reflexion s-Curve Integral ww gefunden hat; und daraus ohne dass er irgend eine Bestimmung also weggefallen, ist od ive rsi tyl ibr ary or g/; w Der Integrations-Constante 291 der Brennluven und 10) 9) hier einführt, so (v+p) -g- = Th eB iod ive rsi ty • rita ge - mx — « — (»+«) y He 428) bekommt Ordnung Lib rar für die gesuchte Refractions-Curve folgende Differentialgleichung der zweiten nlo ow Gleichung direct zu integriren, multiplicire man mit sie r/r, und sie setzt ina um + dx -f m/v mx.dv v.dy A) m.dy -f- —y v dx -f dv 4- dv S J[ = Man mb rid ge 429) ;O rig in ,M sich letztere lD Um ad fro m Erste Auflösung x dv —v x dv weiter mp bekommt man {dy v -\- dx um + m) + x dv) — (y vx -j- — 21) dv = the Mu (v se 430) of Co so ara tiv eZ oo v log y( Ca addire die identische Differenz Diese Gleichung wird integrabel durch den Multiplicator +o ibr + m) (dy rL (v i