Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 49-2-0277-0297

olo gie z en tru m at 277 rar y.o rg/ ;w ww bi ZUR m '''immkmmi\nimmmimm.u\ ww bi od iv ers it ylib !H ibr ary htt p:/ /w VON He rita TECHNISCHEN UOCUSCIIULE K [N WIEN ow nlo ad f rom Th eB iod ive rsi ty llUK K ge L D" B IGEL, DOCKNT AN AM ]! LJlCUlOMÜläK IWl kt die Fortsetzunj;- meiner Arbeit' „Über ein AliliMndliinj;- Priiieip zur Erzeugung von Covarianteir' (C riilgende am b rid ge ,M A) ;O rig ina lD Vom.KI.lilJT IN DEli tiiTZUNü Zo olo ein für ive aufgestellt, ich gy System dreier binärer eubischer Formen zwei Systeme simultaner Covarianten von denen das eine neun von der zweiten Ordnung und vom vierten Grade, das andere neun von iiabe der sechsten Ordnung und om pa rat Daselbst vom achten Grade enthält Was das Letztere zeigte ich schon dort, dass sie sich betrifft, so führte mich der Umstand, dass eu m of C aus bereits bekannten Formen zusammensetzen Von dem Ersteren Mu s einerseits sechs derselben nur die Coefficienten je zweier Grundformen enthalten, dieselben also nur simultane of the Covarianten eines Systems von zwei cubisclien Formen sind, und dass andererseits zwei cubische Formen keine Lib r ary Covarianten von dieser Ordnung und diesem Grade besitzen, darauf, dass die Covarianten desselben ebenfalls Wie aber die Zerlegung durchzuführen tM ay r zerlegbar sein müssen Er ns simultane Covarianten eines Systems dreier eubischer Formen und ob auch die übrigen drei, welche sind, sich auf niedere Covarianten zurückführen Ebenso habe ich dort für dasselbe System von Formen vieruudachtzig zwölften Grade aufgestellt und auch von diesen konnte ich nur drei auf niedere Invarianten Un vom ard Invarianten ive rsi ty, lassen, konnte ich dort nicht ermitteln ist ist es mir durch eine andere Auffassung der dort zu Grunde gelegten the eine Lösung eines Theiles der erwähnten Fragen zu erlangen by Formen gelungen, Ha rv zurückführen Erst in der letzten Zeit Lösung die vollständige Durchführung der Zerlegung der sechs Covarian- tis ed Betreffs der Covarianten gibt die welche, wie schon erwähnt, einem System von nur zwei Grundformen angehören Von den übrigen drei, Dig i ten, welche simultane Covarianten eines Systems von drei Grundformen sind, konnte ich bis jetzt keine Gewissheit erlangen, ob dieselben in niedere Covarianten zerlegbar sind oder nicht Die Art der erwähnten Lösung scheint darauf zu führen, dass dieselben fundamentale Covarianten sind In Bezug der erwähnten vierundachtzig Invarianten gibt die Lösung von sechs derselben ihre Zurnckführnng auf niedere Invarianten und von den übrigen die Zerlegung gewisser Summen Denkscliiit'teu der matheiu.-uatunv Cl je dreier derselben Diese letzteren Beziehungen sind keineswegs als XLVI Ud : : 27S hjvi y; crscböpi't zu lictrachtcii, aber glaube, icli die Mctliode, welclie zu da.s.s etwa vorhandenen Bezieliungcn zu ermitteln Damit habe Schon an dieser Stelle will ich darauf Kürze das in icii ilincii getiiliil lial, liinicic-lit, aufmerksam machen, dass Resultate sich die geometrische Interpretation in lU der § ilie nocli Ziel folgender Arbeit gezeichnet Folge der in citirten Arbeit um als in dieser Arbeit erlangten unrichtig erweist Ich werde org /; w ww bio lo gie ze n tru m at darauf, wie sie in Wirklichkeit zu lauten hat, an anderer Stelle zurlickkommen ä ''T — 1) + 12 '''z _., "^ ''' , ' '^'^ + rsi t it{n "1 -""i ive = "u + J • • • + ".- + '-""4' '2 — n{n , '• /;'-'.rj+ Y 1") -Y72— ^'i'^'i , „ '•'''i+ ' • • man die Combinante: rom Th n binäre Formen der «ten Ordnung und bildet eB iod ive rsi V''l+ tag II = He ri ty ,, Ik^vh) eL ibr ary htt p ://w ww ) bio d II /, (''i '2 ylib rar y Sind >?"-'/, nlo ad f d"~^f\ MA ); O dx'l~' dx^"'' dx^' d"-'f dx'l-' dx'l-^dx^' ' dx'^-^ ' Ca m bri dg e, 1) d''->f, rig d'-'f, M= ina lD ow „./'„ mau auf beiden Seiten durch so folgt die Identität von 1) und 3) ww bi od iv Dividirt ers it ylib rt, Tg rar y.o + a^x^ b^x^ + b^x^ + b^|X^ + b^x^ rg/ ;w ww bi () f/y :r, x'^, • • • "„ bo b^ i„ ibr ary »2 by ge L rt, ive rsi ty He rita «„ htt p:/ /w Die Quadrate des Rechteckes: iod wir der Kürze wegen l)e/.eiclinen sind, ^2- /'„- '„-I (C am b rid /, /, ge ,M A) • tis ed by the Ha rv ard Un ive rsi ty, Er ns tM ay r Lib r ary of the Mu s eu m of C om pa rat ive Zo olo gy wir nun setzen • -^„j rig ina lD /',- l>^ ;O i„ Dig i die folgenden Buchstaben: rom ^D •^o; SO dass: Wenn diircli Th eB 71/ ow nlo ad f wi'lfhc die Coefficieuten von Ä /v, /;, , /;, 279 280 ist, B Ljrl so dass der Coefficieut vou x >'l«^i, Ä Es also z Summe und denselben Index, wie nniltiplicirt ist ist nicht iibereinstininit Es bleibt daher in jedem Coeffi- m at zurück, welches mit der Formen immer verschwindet, wenn der Producte seiner Adjnngirton in die Coi'lticienten der diese, hat bio lo Formen A sehr leicbt, dass das Aggregat der Producte eutsprecliendcn Coefficienten der J, in die der Index dieser Coefficienten mit demjenigen des cienten nnr ein man so sieht betrifft, tru der Adjungirteu irgend eines M gie ze n die übrigen Coefficienten von B der Coefficient vou •> \ ^Yl ,2 ^,1 , org /; w ww Was ylib rar y ist A^A„ r'i' in diesem Falle ausser A„ A,^ ein Product A^ A„ nicht möglich ist, liegt darin, dass der Coeffi- welches nicht verschwindet enthält, r.^.rj M- "n tis ed by the Ha rva rd Un iv ers ity ,E rns tM ay rL ibr a ry of the Mu se um of Co mp ara tiv eZ oo log y( Ca m bri dg e, MA ); O rig ina lD ow 5) i\^x,\, , nlo ad f c.^, Dig i ty ive nändich: eB iod Ist Th bewiesen Formen habe rom citirten Arbeit drei binären cubischen rsi Für den spcciellen Fall von He ri tag eL ibr ary cient vou bio d der erste Theil des Satzes bewiesen ://w ww ist Der Grund, warum bei geradem n eine solche Darstellung htt p Somit ive rsi t A^A„ x\ ich den obigen Satz in der schon oft tis Dig i ed by the Ha rv ard ive rsi Un ty, ay r tM ns Er ary Lib r of the eu m Mu s ive om pa rat of C gy Zo olo rom ow nlo ad f rig ina lD ;O A) ge ,M rid am b (C ive rsi ty iod Th eB ibr ary ge L He rita ww bi od iv /w p:/ htt ers it ylib rar y.o olo gie z rg/ ;w ww bi -3«, at en tru m Zur Theorie eines nimidtanen Systems dreier binarer cnhischer Formen 281 : > 282 c uacligewicscu liahe, y|(.'/i.'/2> Val^i.'/zl ?:)t//i.'/2) ^iCjilk) "^i^lIx'J-i^ -h^l/ith^ XlO/i.ya') 7.2 (//ly«) X:i(//i//2> eine sinniltane Covariaiitc der drei eubisclien Formen ist niimlich bio lo Es nun zeigen, dass dieselbe identisch verschwin- will Icli org /; w ww det m at wie ich tru ist, Ji/'l- gie ze n so B- ( //i y^ > U'-' Ui )ai + (20).,, y, //, P,P,(J,f,f,y\ Ist fi eine diesem Falle ,1/ der zwei Formen, aus denen die Jakobi'sche Covari:inte gebildet so verschwindet in und bleibt: a'P?/:'+ 31) Donksrhlifton ist, clor m;\lli.Mii.-na(uivv CI XLIX B.l ß' Pf J.if (/,).- Miliaiullimg.Mi vom Nichlraitglifaern lU : • B Igel: 290 Um mm formen als auch deu wo Fall, lineare Covariante bezeichne mit a die Überschiebung der Jakobi'sclien Covariaiite über eine der Grund- die zweite zu erledig-en wird, betraelitet Jakobi'sche Covariante als Form ferner die lineare Covariante mit iiihre , Ordnung zweiter folgende Bezeichnungen ein icii Ich betrachtet, so dass: ^ al a so dass: /;, !> f bcrschiebung von über !^l- also: J, nun die Aufgabe, die Symbole von ://w ww (/jl ,7)^75 aus: htt p entsteht und a durch die Symbole der Grmnlformen ausziuliiicUen Nun ,a ;4= (aci)^a,,.(a'y-Ya!,, =: n'.^, //, tag He ri ty rsi ô') (a a) (ô -J) ("' «' ()^(ao:)(a'od.(abY-ocl olo gie z (ixJfJl rg/ ;w ww bi 37) rar y.o so überhaupt fundamentale Covarianten sind Ich will nur noch aufmerksam machen auf die Ähnlichkeit der Formeln 31) und 38) und bemerken, dass iod Th eB auf die bestimmten Zahlen keine lUicksicht habe ow nlo ad f rom genommen ich bei denselben Formen: drei (C + (ri^r,^)xl •/., (^., •' ;».', X., + /.;,(;'; Zo olo om pa rat ive muss, da: ?A'^i\) y.i^''i-''2'l y.2{-''i-''i^ 'ft{-''i\) fs^J^'^'i^ eu m of C = of ary + >,,/„ + /j/,^ = Lib r X.Ij., tM ns y.z?2 Er =? Un demnach: / 7.3 ?:i •t':.7.:i Ha rv ard ist ive rsi ty, \ Es 7.3(.^'l'52') ay r bestehen, wo: ist, () Mu s die Identität the ist, iv;.;).qi gy = Ix, hz am b rid ge ,M A) ;O Zwischen den rig ina lD §.6 ^'1 the • r 'a:! \,T ^ -'S! -^i-^^.w ed by /„ Dig i tis X, oder ?2V.-l o'J) Ersetzt man ij durch x, so gehen: -ii.^)=^-^AiM B Igel 292 über, die Kelalioiicu in "J'.t) al.so in: Form tru die drei Untcrdctcrniiiuinten in folg:endcr (la,ss diir.sfcllbar sein niiis.sci gie ze n folgt, ist rsi t iV eine lineare Function ive wo ylib rar y org /; w ww bio lo Daraus m at 40) htt p ^'o ary «0^0 ://w ww bio d Die wirkliche Ausrccbnuug ergibt folgende Ausdrücke für die Unterdetermiuanle von Dig i tis ed by the Ha rva rd Un iv ers ity ,E rns tM ay rL ibr a ry of the Mu se um of Co mp ara tiv eZ oo log y( Ca m bri dg e, MA ); O rig ina lD ow nlo ad f rom Th eB iod ive rsi ty He ri tag eL ibr [f^%)=f 41) ?:: : : : Zur Mulliplieirt man r die in shnaUaiwn chh's Tltriirii' Kolouue mit ci'.stc bekommt mau letzteren zur ersten, so Sysfr/iis fJrricr hiitiinr t-itliisrlier 293 Fonneii die zweite und dritte resp mit t\.i\ und x^ ,»*, nud addirt die die bekannte Relation = An kann mau aber drei andere viel durchsichtigere setzen, denn aus der Entwick- olo gie z Stelle dieser Relation en tru m at f\J,,+f,J,,+f,J^, rg/ ;w ww bi lung von K folgt unmittelbar: rar y.o ('w/.-/,A +/.,/;, = ibr ary htt p:/ /w ww bi od iv ers it ylib 42) Jlit der vorigen Auseinandersetzungen können wir folgende Covariaute leicht in niedere Formen ive rsi ty Ililt'e He rita ge L Đ7 ist rom {J^^ H.^Y, { Jj, ow nlo ad f {J,,lf,Y, i/3 f, {J,,H,) (^23 ij, nämlicli A) ;O Es ^J,,H,Y, rig ina lD N= Th eB iod zerlegen ge ,M a,H,f-F,II„ yX,H^f-F^H„ (X,H,f-l\H, rid N= am b {X.,H^)'—P^H„ {X^H^f — P^H^, {X,H^Y — P^H^ (C 43) {X,H,)\ {X,H,y, iX,H,Y H, (X,B,Y {.X,H^) of C om pa rat ive Zo olo gy i,X,H,f-P,H„ (X,H,y-P,H„ {X,U,f-P,H, {X,H,Y H^ (X^H^f (X^H^) iX,H,y, {X,H,Y, {X,H,Y H, iX,H,f {X\H,) [X^H^Y (X^H,Y H^ {X.,H^Y (X^H^Y H^ Lib r ary {X^H^y H, {X,H,Y ay r of the Mu s eu m iX,H,Y, {X,H,Y, -P, ,X,H,Y (X,H,Y H, {X,H,Y H, {X,H,Y Un ive rsi ty, Er ns tM iX,H,Y H, [X,H,Y r, ist, folglicli bleibt, indem man zugleich sie in zwei Factoren zerlegbar die übrig bleibenden ist, 44) N- — H, Dig i tis ed by wickelt: (X,H,Y(X\H,)' \ ]' {X,H,)'{X\H,f {X,H,Y(X^Ky H, +P + (X,HJ\X,H,Y (^X^H^YiXtH^Y + (X^H,)^{X,H,\' a,H,Y{x,ii,)^ {X,H,y{X^HsY iX^H^)\XJI^? {X,H,Y(X,H,Y H., [X,JI.,\\X.,lL,f l\ + von denen einer Determinanten nach den the Form Ha rv ard Die erste Determinante verschwindet identisch, da die iX^H^Y{X^H,Y I\ (X^H,Y{X,H,Y {X,H,Y(.X^H^Y {X,H,Y{X,H^Y {X^H^Y(X,H,)' iX^H^YiX^H.,)' iX.,H,)^{Ä\H^Y l'; //, ent- 294 li B ^2 - 4- '^2 i;, ('i'lfi^ B, Co r ^2 C, ;r ?i ^z '^3