Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 20-2-0097-0198

od ive rsi tyl ibr ary or g/; w ALLGEMEINE TRANSFORMATION ww bio log iez en tru m at 97 yh ttp ://w ww bi DER ive rsi ty He rita ge Lib rar BESTIMMTEN DOPPEL- INTEGRALE fro m Th eB iod VON nlo ad D E ANTON WINCKLER, ow PROFESSOR DER HÖHERN MATHEMATIK AM JOANNEUM ZU GRATZ DER SITZUNG DER MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM rid IN JANNER 1859 eZ oo log y( Ca mb VORGELEGT ge ,M A) ;O rig ina lD ST ST mp ara tiv JLJoppelte und mehrfache Integrale, zwischen constanten oder durch gewisse Bedingungen Zu um ihrer praktischen häufigsten in Bedeutung Anwendung kommenden gesellt sich das Interesse, an sich der Betrachtung darbieten, und diesen beiden Umständen zusammen sind the sie of welches Mu se Partien der Integralrechnung am of Co bestimmten veränderlichen Grenzen gehören zu den Ha oben an; oder es wird vor Allem eine Transformation des gegebenen Differen- the Prof Dirichlet rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary wohl die zahlreichen neuen Erörterungen und die seltene Reihe scharfsinniger Kunstgriffe zuzuschreiben, mit welchen die Entwicklung jenes Gegenstandes weiter geführt worden ist In den hieher gehörigen Arbeiten kann man im Allgemeinen zweierlei Tendenzen unterscheiden: es wird entweder hauptsächlich auf eine einfachere Gestaltung der Grenzbedingungen hinzuwirken gesucht, und in dieser Hinsicht steht die so überaus schöne Methode des Herrn ed by tial-Ausdrucks angestrebt, und in dieser letzteren Beziehung bleibt, so ferne es sich bei InteDig itis gralen mit vorgeschriebenen Grenzen Alles zu wünschen übrig um irgend welche Allgemeinheit handelt, noch fast — Die so nahe liegende Frage nach der allgemeinen Transformation der bestimmten mehrfachen Integrale durch gleichzeitige Einführung mehrerer neuen Ver- änderlichen wurde nämlich bis jetzt nur Einen Schritt weit, nur bis zur Darstellung des zu integrirenden Elementes verfolgt Euler hat in der Abhandlung: bus duplicatis" in den „Novi Commentarii Acad Scient Petrop T „De formulis XIV, 1759" — integrali- für dop- welche also jetzt ihr erstes Jahrhundert feiert, pelte Integrale die betreffende Formel, entwickelt und hierdurch die erste Grundlage zu einer Theorie der doppelten Integrale Denkschriften der mathem.-naturw CI XX Bd Abhaudl v Nichtmltgliedern n Anton Winckler 98 dann Lagrange im Jahre 1773, dass die Transformation dreifacher Integrale nach einer Methode geschehen könne, welche sich auf vielfache Integrale im So umfassend nun durch diese und einige spätere Arbeiten Allgemeinen anwenden lässt die Frage, soweit sie die Transformation des Elements betrifft, gelöst ist, so sehr mangelt es bis jetzt selbst an jedem Versuche, den zweiten Theil der Frage, nämlich die explicite Darstellung des transformirten Doppel-Integrals, in der Art allgemein zu lösen, dass die Anzahl der neuen Doppel-Integrale, in welche das gegebene zerfällt und zugleich die Grenzen derIn Ermangelung einer solchen Lösung mochte man selben vollständig bestimmt wären sich nun allerdings damit beruhigen, dass die vollständige Ausführung der Transformation gegeben Wie bekannt zeigte bio log iez en tru m at — od ive rsi tyl ibr ary or g/; w ww — wenigstens in jedem einzelnen Falle sieh werde finden lassen, aber man darf nicht übersehen, dass selbst hierzu im Allgemeinen jeder Anhaltspunkt fehlt, und wohl worden sich auf ist, Complanation des dreiaxigen Ellipsoids Doppel-Integrale etc.) z was in B die beschränkt, bei welchen die Grenzen der neuen geometrischer Betrachtungen, oder durch Verfahrungsarten Lib rar mittelst Alles, wenige und sehr specielle Fälle (wie yh ttp ://w ww bi dieser Hinsicht erreicht darum welche derselben unmittelbar nachgebildet sind Dass sich daraus der in anderen Fällen einzuschlagende Weg oder der Charakter der allgemeinen Lösung nicht erkennen lassen konnte, versteht sich, wie ich glaube, ganz von selbst iod ive rsi ty He rita ge ermittelt werden, Th eB In der vorliegenden Materie wachsen allerdings die Schwierigkeiten mit jeder Verall- rig ina lD ow nlo ad fro m gemeinerung der Grenzbedingungen und mit der Anzahl der Integrationsveränderlichen sehr rasch, und es erscheint zweckmässig auch hier von dem verhältnissmässig Einfachen auszugehen, sich also zunächst auf Doppel-Integrale mit explicite gegebenen Grenzen ;O zu beschränken und selbst bei diesen gewisse Voraussetzungen festzuhalten, zugleich aber Rücksichtauch die möglichst allgemeinen Gesichtspunkte der Behandlung zu verfolgen rid ge ,M A) — Bemerkung glaube ich mich beispielsweise auf eine frühere, im 45 Bande y( Ca mb lich dieser letzten eZ oo log des mathematischen Journals von Crelle erschienene Arbeit beziehen zu können, worin ich Anzahl doppelter Integrale erörtert habe, welche sich mittelst einer einzigen neuen Veränderlichen auf Quadraturen zurückführen lassen Als wichtigeres Ergebniss jener auf Grundlage gewisser geometrischer Vorstellungen durchgeführten um of Co mp ara tiv die Transformation einer grössern drei andere doppelte Integrale erforderlich sind, obgleich es deren in besonderen of als ary mehr the Mu se Betrachtungen hebe ich hervor, dass zur Darstellung des transformirten Doppel-Integrals nie wenn man gewisse symmetrische Formen anstrebt, wohl auch können, die sich jedoch immer wieder auf diese Anzahl zurückführen lassen ay tM als drei sein ns mehr rL ibr Fällen auch weniger, oder Abhandlung nun werde die ich in allen Theilen vollständig rsi ty, Er In der vorliegenden Ha rva rd Un ive bestimmte Darstellung der Transformation des doppelten Integrals dx f{x,y) dy I itis ed by the / Dig unter der Voraussetzung herleiten, dass die Veränderlichen x, y gleichzeitig durch zwei andere X, /i ersetzt werden, welche mit jenen in dem durch die Gleichungen X — ^'(A, fCj J y = *(A y.) gegebenen Zusammenhange stehen Die Lösung dieser, wie man sieht, sehr geometrischem, noch auf analytischem allgemeinen Aufgabe Wege gelungen und ist es scheint weder auf der That auf bis jetzt auch in : Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale den ersten Anblick, dass 99 ohne vollständige Specialisirung der Grenzen und der Relationen sich, zwischen den alten und neuen Veränderlichen, eine erschöpfende Beantwortung der Frage werde finden nicht Der weitere Verlauf der lassen dass dies gleichwohl der Fall -vorliegenden Arbeit wird indessen zeigen, ist Form gegeben ww sind, als sie hier vorausgesetzt werden Indessen es nicht ist od ive rsi tyl ibr ary or g/; w allgemeinerer bio log iez en tru m at Ich werde hierbei den rein analytischen Weg verfolgen, theils weil dieser der Natur der Aufgabe am angemessensten zu sein scheint, theils weil sich auf jenem Wege das Verfahren erkennen lässt, welches zum Ziele führt, wenn die Grenzbedingungen in anderer, noch schwierig vielen Theilen der folgenden analytischen Darstellung eine geometrische Deutung dem Leser unterzulegen Ich glaube sie also ohne weitere Ausführung Anwendungen des allgemeinen Ergebnisses werden den yh ttp ://w ww bi Einige an sich bemerkenswerthe überlassen zu dürfen Schluss dieser Arbeit bilden, wobei ich nicht unterlassen werde die gelegentlich sich ergeben- jedem einzelnen Falle als solche zu rar den, meines Wissens bereits bekannten Resultate, in eB iod ive rsi ty He rita ge Lib bezeichnen Um fro m Th den folgenden Erörterungen eine völlig bestimmte Grundlage zu geben, müssen die Allgemeinheit übrigens nur wenig beeinträchtigende Voraussetzungen bis zu ihrer nlo ad einige, lD ina rig ;O und cp ^ A) ,M ge {x) (x)