Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 39-2-0029-0040

en tru m at 29 ww ;w subsiiitionei IGEL MATHEMATISCH NATURVV1SSENSC:HAFTLK;HEN lEASSE AM 5.ITZUNEK - ty DEK 31 DECEMBER 1877 ad fro m Th eB iod ive rsi VI>KG1CI-E(.T IN He rita ge Lib rar yh ttp B ://w DR ww bi od ive rsi t ylib rar y.o rg/ mm mu fEmüDiii im; (inimiiiüNÄLEN «nii bio log iez URER lD ow nlo von einem System rechtwinkeliger Axen zu einem rig ina Die Transformation Oartesischer Puuktcoordinateu am = -ii-t-Aj, Aj-i-Aj3 Jlj of Co mp a folgende Relationen stattfinden: by the Ha rva rd Un ive rsi t y, Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se u m A||-|-A2,-|-A.,| itis ed l Dig WO zwischen den rat ive Zo olo gy ^'21 (C ^t I) bri dg e, MA ) ;O anderen Systeme rechtwinkeliger Axen geschieht bekanntlich durch die Formeln: 30 B Igel lind: Das ganz besonders wichtig en tru m (^= «,) 1, ;w ww dieser ausgehend, fanden sie Grund;;leichungcu zwischen den Substitutionscoefticienten dann die Eigenschaften der Sultstitutionen ableiteten Verfolgt rar y.o rg/ gang und sie man aber den obigen Gedanken- ganz besonders den eigenthümlichen Bau der Substitutionen beaclilet sie solche Substitutionen dass es viel einfacher anstatt von der Gleichung und 111), so sieht man, ://w ww bi od ive ist, in I) ylib welchen Mathematiker rsi t iius die bio log iez =1XJ Ix^ Von f'assten und suchten es algebraisch zu erweitern, indem auf, suchten, die die Identität hervorliriniien ist, at als das im ternären Gebiete aucli j;conietrisch evident letztere Resultat, ttp yh rar eine unter den Eigenschaften allgemeinen Substitutionen zu untersuchen, wobei sich diese Gleichung Setzen wir nämlich die Substitutionsgleichiingen ergibt ge als solclier Lib auszugehen, die Eigenschaften rita = «j, -i-ai„ = A,-Haj2 Aj-t- H = AJ-^-o„2 A^-i— —Ha„„ A„ = x^-ha^^ x„ = x^ x^-iX„ = a|„x^-^-a^„x,-^A',-f-a,j A'j-t- -+- A',j fljj ä^K «Kl ha->„ A'„ ive x.^ Th eB iod iy\ rsi ty He x^ ô,, A'j «jj -t-Agj t.\-i- -+- -i-a,ji ina -+- -t-an-> x,i ;O rig V) lD ow A', nlo ad fro m I dg e, MA ) -+- -+-«„„03,, (C am bri und multipliciren die Gleichungen IV) der Keihe nach mit a„i wegen V) ive so ergibt sich alle, mp a rat und addiren Zo olo gy O31 «ji «si Co Sa?, a,i = man the ferner die Gleichungen IV) der Reihe nach mit ary of Multiplicirt Mu se u m of ai2 =1 wegen V) Er ns tM so ergibt sich ^"22 • • •'^"^ ay rL ibr ^12 = rsi t y, 2a?^ man rva sofort, so erhält man ein System von >/^ Gleichungen von der Form the Ha Verfährt rd Un ive a,i a,:2 == Dig itis ed by ofi-t-af-a-H H-«?,, an «il -4-«,-2 «42-*- = = H-Om «An —^-^ Tl (jl Bevor wir zeigen, dass dieses Gleichungssystem es sich aui' 1^ I - reducirt, wollen wir zeigen, dass auch hinreicht, um von den Gleichungen IV) zu denen von V) überzugehen Zu diesem Behufe fassen wir das System VI) in eine Gleichung zusammen: ( a.l "41 -l-«i2 «4-'-t- -H -H-Cm «4k =^ für (0 =k /; Sr, „ i « - , Ä über die orthnfjonalev und einige ihnen verwandte Substitutinnen Aus IV) erhält mau n Gleiehungeu die VII) = A', den (ileichiingen IV) at in Tragen wir uuu diese = fikiO.!\^a.i> -!-«,-„«*„ rt'i.a-l- = (1 für /O „ ir=k bio log iez ^k en tru m dann ' ^ / k: ww es wild die A^t zu berechneu, setzen wir AMX^-\-A^,X^-^-^An^Xr, VII) ein, so eriialteu wir ylib rar y.o rg/ in ;w Um 31 so erhält in I\'), — man ww bi od ive die Gleifhiuigen: l"^!,,^« '='''21 x„ — + ^ja^E" '"i -h„^„ He ^2 ive X h ''„2 -^'2 eB ä'i iod -^~ ^ Th znr Abkiirzniii;' setzt: m wenn man rsi ty VIIO rita ge ^1 "^^11 '^i-^^^\t^i-^ ://w aus V) c, ttp diu VVertlie von yh man q d e \-n„iX„ i rar Hnljstitiiirt — Lib ^= a^iX^-^-a^iX^-\ A'i rsi t und somit fro = = ^2 h ow nlo ad -c,l rig ina lD -''t,/'2„ l»^„ bri "l1-^«22"l^-^- -'-«2»"i« am "21 dg e, MA ) ;O [cu"n\'^'ht",.i2-. l-a,„«„„= ^'21 = 6», Zo olo gy (C HCT,,, = ive 0„|-^"22"«2-+- ^-"2, «nn^t'i., Co mp a rat "21 se u m of i"«|"m~^".2"i2^ ^°"««1- of the Mu '''«1 "21-^"'-.2''22-^ -t-CT„„ffi2, -t-a.„ ^.1 ^'„2 />, dass die Determinante Er ns tM t'olj^l, ^22 B - • = ^'2„ ist the Ha rva rd Un ive rsi t y, Aus VIII) ay rL ibr ary 'mI = = = ^ôô d h die in Dig und zwar dadurch, dass itis ed by l''„2 Folge von VI) Elemente zu beiden Seiten -Ki\n I Durch AnflửsiiDg des Systems man erhält IJ- = A,j«,-HA„d?j-e -i-A„2.r„ Die Elememte bleiben dieselben und selbst entspreclienilen dessen muss die alfjeliraische in Folg:e ://w sicli ww bi od ive rsi t ylib : rar y.o rg/ %4 [II) ;w ww I) bio log iez en tru m at ^v—\,'l A _^A, rar yh ttp GleichimgLib A„ —— A„3 He A,, rita ge R Ai„ Th eB iod ive rsi ty IV) geben Bezeichnen wir die Determinanten von ow p I) und Illj mit B und li, und benutzen lD dieselben Wurzeln für nlo ad fro m A^,, MA ) ;O rig ina einen bekannten Determinantensatz, so erhalten II) und IV) folgende Gestalt olo die zweite Gleichung durch ]{„ so mlissen die Coeificienteu beider Gleichungen übereinstimmen; ive hat daher folgendes System von Relationen: mp a rat man man Zo dividirt gy (C am bri dg e, V) Co M S ßn—l the Mu se u m of 2Ä K„ ay rL ibr ary of 2Ä, SÄ, B„ B" V "= ^'^ by the Ha rva rd Un ive rsi t y, Er ns tM VI) nun offenbar den ersten Satz und itis ed letzte Relation gibt die übrigen Dig Die beweisen den zweiten allerdings nur für beweisen die Hauptminoren Ist aber der Satz für diese bewiesen, so lässt er sich leicht für alle Minoren Setzen wir nämlich nach einem bekannten Determinantensatze' B= B= VII) L c ^iI'Q ^in9 § nenksi'hrirteii dor nmthKin.-jiatiirw V\ iXXIX Bd Abliaiidiung von Nic-htmitglifidprii 34 B Igel wo V =^ m+2 ^», • • = 2:±Ay,A^5jA43 kann man die zweite Gleichung folgendevmassen schreiben: in VII) bio log iez so en tru m at n ^dl«r, m+1 R=r.Q.R"'^^'S.zWii' Summen dem der Produkte werden bekauiitlieh ans ersten Gliede, das die complimentiiren Hauptrar y.o rg/ Die minoren enthält, ;w ww VIII) indem man für/, g, h alle C'ombinationen von m verschiedene Nnmineru der f die jedesmal übrigen Nummern setzt, daraus folgt, dass jedes Glied in VIII) r, s, ww bi od ive '2 v, für Factor enthält, und dass dessen zweiter Factor das entsprechende Glied = l.sP.Q yh R rita ge Lib rar Somit sind die Sätze streng bewiesen ist in ://w 1, als ttp Reihe H"^~ rsi t ylib gebiliict, rsi ty He III Wir gehen nun zu eine iod ive einer Gattung von Substitutionen über, die mit den orthogonalen Substitutionen nlo «i «ül -+ «2:? >h +- «'" !/" ina rig MA ) ;O a„, y, -hcc„2y^-h -\-a„„y„ a,,a;,-(-5c,ja;^,-+- -Fa2i„j;„ am bri dg i'6'y, -+- lD !Ji e, ow = {x„ = = )^yt = = I) ad fro m Th eB grosse Ähnlichkeit haben Es seien folgende zwei Gleichnngssysteme gegeben «81 ^1 -t- ô22 *".; "- -- ô2" "''' olo gy (C II)