HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN NÂNG CAO – ĐẠI SỐ LỚP 9 CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA. Nội dung gồm: 1. DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ THỰC, SO SÁNH SỐ THỰC. 2. DẠNG TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH. 3. DẠNG TOÁN RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC. 4. DẠNG TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. 5. DẠNG TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC. 6. MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC. 1. DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ THỰC, SO SÁNH SỐ THỰC. Bài 1. Chứng minh là số vô tỉ. Hướng dẫn giải: Giả sử là số hữu tỉ (tối giản). Suy ra (1). Đẳng thức này chứng tỏ m2 chia hết cho 7. Mà 7 là số nguyên tố nên m2 chia hết cho 7. Đặt m = 7k (k Z), ta có m2 = 49k2 (2). Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại có n2 chia hết cho 7. Vì 7 là số nguyên tố nên n chia hết cho 7. Như vậy m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số không tối giản, điểu này trái giả thiết. Vậy không phải là số hữu tỉ; do đó là số vô tỉ. Bài 2. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ: a) ; b) với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0. Hướng dẫn giải: a) Trước hết chứng minh là số vô tỉ (tương tự bài 1) Giả sử = m (m: số hữu tỉ) = m2 – 1 là số hữu tỉ (vô lí) b) Cũng có là số vô tỉ (Cm tương tự bài 1) Giả sử m + = a (a : số hữu tỉ) = a – m = n(a – m) là số hữu tỉ, vô lí. Bài 3. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ. Hướng dẫn giải: Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vô tỉ b là số hữu tỉ c. Ta có : b = c – a. Ta thấy, hiệu của hai số hữu tỉ c và a là số hữu tỉ, nên b là số hữu tỉ, trái với giả thiết. Vậy c phải là số vô tỉ. Bài 4. Chứng minh là số vô tỉ. Hướng dẫn giải: Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại số hữu tỉ r mà = r 3 + 2 + 5 = r2 . Dễ Cm vế trái là số vô tỉ (tương tự bài 1) Như vậy Vế trái là số vô tỉ, vế phải là số hữu tỉ, vô lí. Vậy là số vô tỉ. Bài 5. Chứng minh là số vô tỉ Hướng dẫn giải: Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử = a (a: hữu tỉ) 5 2 = a2 . Vế phải là số hữu tỉ, vế trái là số vô tỉ. Vô lí. Vậy là số vô tỉ. Bài 6. Cho 3 số x, y và là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số đều là số hữu tỉ Hướng dẫn giải: Đặt x – y = a ; (1) thì a và b là số hữu tỉ. Xét hai trường hợp : a) Nếu b ≠ 0 thì là số hữu tỉ (2). Từ (1) và (2) ta có: là số hữu tỉ ; là số hữu tỉ. b) Nếu b = 0 thì x = y = 0, hiển nhiên là số hữu tỉ. Bài 7. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : a) Hướng dẫn giải: a) Giả sử là số hữu tỉ (phân số tối giản). Suy ra 5 = . Hãy chứng minh rằng cả m lẫn n đều chia hết cho 5, trái giả thiết là phân số tối giản. b) Giả sử là số hữu tỉ (phân số tối giản). Suy ra : Thay m = 2k (k Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 4k3 = 3n3 + 6kn2. Suy ra 3n3 chia hết cho 2 n3 chia hết cho 2 n chia hết cho 2. Như vậy m và n cùng chia hết cho 2, trái với giả thiết là phân số tối giản. Bài 8. Chứng minh là số vô tỉ. Hướng dẫn giải: Giả sử là số hữu tỉ ( là phân số tối giản ). Suy ra : 3 = . Hãy chứng minh cả p và q cùng chia hết cho 3, trái với giả thiết là phân số tối giản. Bài 9. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) : a) b) c) d) Hướng dẫn giải: a) . Vậy < 7 b) . c) . d) Giả sử . Bất đẳng thức cuối cùng đúng, nên : . Bài 10. So sánh hai số: a) b) c) ; d) Hướng dẫn giải: a) Xét a2 và b2. Từ đó suy ra a = b. b) . Vậy hai số này bằng nhau. c) Giả sử a > b rồi biến đổi tương đương : . Vậy a > b là đúng. d) Bình phương hai vế lên rồi so sánh. Bài 11. So sánh và số 0. Hướng dẫn giải: Cách 1 : Đặt A = , rõ ràng A > 0 và A2 = 2 A = Cách 2 : Đặt B = B = 0. Bài 12. So sánh a và b, biết . Hướng dẫn giải: . Ta thấy . Nên a < b. Bài 13. So sánh: (n là số nguyên dương) Hướng dẫn giải: Ta có: . Mà . Bài 14. Trong hai số : (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ? Hướng dẫn giải: Thay vì so sánh ta so sánh và . Ta có : . Bài 15. Cho . Hãy so sánh S và . Hướng dẫn giải: Bất đẳng thức Cauchy viết lại dưới dạng : . Áp dụng ta có S > . Bài 16. Cho . Hãy so sánh A và 1,999. Hướng dẫn giải: Dùng bất đẳng thức Cauchy (a, b > 0 ; a ≠ 0). Bài 17. Cho , trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z. Hướng dẫn giải: Từ . Vậy x = y = z. Bài 18. Cho . Tính a7 + b7. Hướng dẫn giải: Ta có : a + b = 1 , ab = nên : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = 1 + . a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = ; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = 1 Do đó : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = . Bài 19. Cho . Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai Hướng dẫn giải: Viết . Vậy P = . Bài 20. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng có ít nhất hai số dương trong các số Hướng dẫn giải: Xét tổng của hai số: = . Điều này chứng tỏ trong 2 số của tổng có ít nhất một số dương. Tương tự xét tổng 2 số còn lại. Vậy có ít nhất hai số dương trong các số 2. DẠNG TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH. Lưu ý: Cách giải một số phương trình dạng sau: . Bài 1. Giải các phương trình sau: Hướng dẫn giải: a) Đưa phương trình về dạng : . b) Đưa phương trình về dạng : . c) Phương trình có dạng : . d) Đưa phương trình về dạng : . e) Đưa phương trình về dạng : | A | + | B | = 0 g, h, i) Phương trình vô nghiệm. k) Đặt = y ≥ 0, đưa phương trình về dạng : | y – 2 | + | y – 3 | = 1 . Xét dấu vế trái. l) Đặt : . Ta được hệ : . Từ đó suy ra : u = z tức là . Bài 2. Giải phương trình : . Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình dưới dạng: . Vế trái của phương trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải không lớn hơn 6. Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = 1. Bài 3. Giải phương trình: Hướng dẫn giải: Phương trình đã cho | 2x + 5 | + | x – 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 – x |
Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN NÂNG CAO – ĐẠI SỐ LỚP CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA -***** Nội dung gồm: DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ THỰC, SO SÁNH SỐ THỰC DẠNG TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TỐN RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC DẠNG TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC -***** DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ THỰC, SO SÁNH SỐ THỰC Bài Chứng minh số vô tỉ Hướng dẫn giải: Giả sử số hữu tỉ ⇒ = m (tối giản) n m2 Suy = hay 7n = m (1) Đẳng thức chứng tỏ m2 chia hết cho n Mà số nguyên tố nên m2 chia hết cho Đặt m = 7k (k ∈ Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) (2) suy 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại có n2 chia hết cho Vì số nguyên tố nên n chia hết cho Như m n chia hết phân số m không tối giản, điểu trái giả n thiết Vậy khơng phải số hữu tỉ; số vô tỉ Bài Chứng minh số sau số vô tỉ: a) 1+ ; b) m + Hướng dẫn giải: a) Trước hết chứng minh với m, n số hữu tỉ, n ≠ n số vô tỉ (tương tự 1) Giả sử + = m (m: số hữu tỉ) ⇒ = m2 – ⇒ b) Cũng có số vơ tỉ (C/m tương tự 1) Giả sử m + ⇒ số hữu tỉ (vơ lí) = a (a : số hữu tỉ) n =a–m ⇒ n = n(a – m) ⇒ số hữu tỉ, vô lí Bài Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ Hướng dẫn giải: Chứng minh phản chứng Giả sử tổng số hữu tỉ a với số vô tỉ b số hữu tỉ c https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba Ta có : b = c – a Ta thấy, hiệu hai số hữu tỉ c a số hữu tỉ, nên b số hữu tỉ, trái với giả thiết Vậy c phải số vô tỉ Bài Chứng minh + số vô tỉ Hướng dẫn giải: Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn số hữu tỉ r mà + = r ⇒ + 15 + = r2 ⇒ 15 = r2 − Dễ C/m vế trái số vô tỉ (tương tự 1) Như Vế trái số vô tỉ, vế phải số hữu tỉ, vơ lí Vậy + số vô tỉ Bài Chứng minh − số vô tỉ Hướng dẫn giải: Ta chứng minh phản chứng − a2 Giả sử − = a (a: hữu tỉ) ⇒ - = a ⇒ = Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ Vơ lí Vậy − số vô tỉ Bài Cho số x, y x + y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y số hữu tỉ Hướng dẫn giải: Đặt x – y = a ; x + y = b (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp : a) Nếu b ≠ x−y a = ⇒ x+ y b 1 a x− y= a số hữu tỉ (2) b 1 a y = b − số hữu tỉ 2 b Từ (1) (2) ta có: x = b + số hữu tỉ ; b b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên x , y số hữu tỉ Bài Chứng minh số sau số vô tỉ : a) Hướng dẫn giải: b) 2+34 m3 m (phân số tối giản) Suy = n n m Hãy chứng minh m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết phân số tối n a) Giả sử số hữu tỉ + số hữu tỉ giản b) Giả sử m3 = n3 ( 2+34 ) m (phân số tối giản) Suy : n m 6m = + 3 = + ⇒ m = 6n3 + 6mn (1) ⇒ m M2 ⇒ m M2 n n Thay m = 2k (k ∈ Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 ⇒ 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho ⇒ n3 chia hết cho ⇒ n chia hết cho https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba Như m n chia hết cho 2, trái với giả thiết m phân số tối giản n Bài Chứng minh 3 số vô tỉ Hướng dẫn giải: p p p3 ( phân số tối giản ) Suy : = q q q p Hãy chứng minh p q chia hết cho 3, trái với giả thiết phân số tối q Giả sử số hữu tỉ giản Bài So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính) : a) + 15 b) 17 + + 45 c) 23 − 19 d) 27 Hướng dẫn giải: a) + 15 < + 16 = + = Vậy + 15 < b) 17 + + > 16 + + = + + = = 49 > 45 c) 23 − 19 23 − 16 23 − 2.4 < = = = 25 < 27 3 d) Giả sử 2> ⇔ ( ) ( > ) ⇔ > ⇔ 18 > 12 ⇔ 18 > 12 Bất đẳng thức cuối đúng, nên : > Bài 10 So sánh hai số: +1 b) − 13 + c) a = 3 − b=2 − ; d) + a) a = + b= −1 +1 Hướng dẫn giải: a) Xét a2 b2 Từ suy a = b b) − 13 + = − (2 + 1) = − = − Vậy hai số c) Giả sử a > b biến đổi tương đương : 3 = > 2 − ⇔ 3 > 2 + ( ) ( ) ⇔ 3 > 2 + ⇔ 27 > + + ⇔ 15 > ⇔ 225 > 128 Vậy a > b d) Bình phương hai vế lên so sánh Bài 11 So sánh + − − − số https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba Hướng dẫn giải: Cách : Đặt A = + − − , rõ ràng A > A = ⇒ A = Cách : Đặt B = ⇒ B = + − − − ⇒ 2.B = + − − − = 2 Bài 12 So sánh a b, biết a = 1997 − 1996 ; b = 1998 − 1997 1 ,b= 1997 + 1996 1998 + 1997 Ta thấy 1997 + 1996 < 1998 + 1997 Nên a < b Hướng dẫn giải: a= Bài 13 So sánh: n + − n + n+1 − n (n số nguyên dương) Hướng dẫn giải: Ta có: n + − n +1 n + + n + = n+1 − n n + + n = ( Mà )( n + + n + > n + + n nên ) ( )( ) n+2 − n + < n + − n Bài 14 Trong hai số : n + n + n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? Hướng dẫn giải: Thay so sánh n + n + n+1 ta so sánh n + − n + n + − n Ta có : n + − n + < n + − n ⇒ n + n + < n + 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − 1998 Hãy so sánh S 1999 Bài 15 Cho S = Hướng dẫn giải: Bất đẳng thức Cauchy viết lại dạng : > ab a + b Áp dụng ta có S > 1998 1999 Bài 16 Cho A = 1 1 + + + + 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 Hãy so sánh A 1,999 Hướng dẫn giải: Dùng bất đẳng thức Cauchy > ab a + b https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm (a, b > ; a ≠ 0) Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba Bài 17 Cho x + y + z = xy + yz + zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z Hướng dẫn giải: Từ x + y + z = xy + yz + zx ⇒ ( x− y ) +( y− z ) +( z− x ) = Vậy x = y = z Bài 18 Cho a = −1 + −1 − ,b= Tính a7 + b7 2 Hướng dẫn giải: 1 nên : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = + = 2 17 a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = − = ; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - - = − 4 17 239 Do : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = − − − ( −1) = − 64 64 Ta có : a + b = - , ab = - Bài 19 Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai Hướng dẫn giải: Viết 40 = 2.5 ; 56 = 2.7 ; 140 = 5.7 Vậy P = 2+ 5+ Bài 20 Cho a, b, c, d > Chứng minh có hai số dương số 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd Hướng dẫn giải: Xét tổng hai số: ( 2a + b − cd ) + ( 2c + d − ab ) = ( a + b − ab ) + ( c + d − cd ) + a + c = ( a + c ) + ( a − b ) + ( c − d ) ≥ a + c > Điều chứng tỏ số 2 tổng có số dương Tương tự xét tổng số lại Vậy có hai số dương số 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd ************ https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba DẠNG TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Lưu ý: Cách giải số phương trình dạng sau: A ≥ (B ≥ 0) a) A = B ⇔ A = B B ≥ d) A = B ⇔ A = B A = −B Bài b) B ≥ A = B⇔ A = B A = c) A + B = ⇔ B = A = e) A + B = ⇔ B = Giải phương trình sau: a) x − x − − x − = b) x − + = x 2 d) x − x − 2x + = e) x + 4x + + x − = h) x − 2x + + x − 6x + = c) x − x + x + x − = g) x − + x − = −5 i) x + + − x = x − 25 k) x + − x − + x + − x − = l) 8x + + 3x − = 7x + + 2x − Hướng dẫn giải: a) Đưa phương trình dạng : A = B b) Đưa phương trình dạng : A = B c) Phương trình có dạng : A + B = d) Đưa phương trình dạng : A = B e) Đưa phương trình dạng : | A | + | B | = g, h, i) Phương trình vơ nghiệm k) Đặt x − = y ≥ 0, đưa phương trình dạng : | y – | + | y – | = Xét dấu vế trái l) Đặt : 8x + = u ≥ ; 3x − = v ≥ ; 7x + = z ≥ ; 2x − = t ≥ u + v = z + t Ta hệ : 2 2 u − v = z − t Từ suy : u = z tức 8x + = 7x + ⇔ x = Bài Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình dạng: 3(x + 1)2 + + 5(x + 1)2 + 16 = − (x + 1)2 Vế trái phương trình khơng nhỏ 6, vế phải khơng lớn Vậy đẳng thức xảy hai vế 6, suy x = -1 Bài Giải phương trình: 4x + 20x + 25 + x − 8x + 16 = x + 18x + 81 Hướng dẫn giải: Phương trình cho ⇔ | 2x + | + | x – | = | x + | = | 2x + + – x | https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba ⇔ (2x + 5)(4 – x) ≥ ⇔ -5/2 ≤ x ≤ Bài Giải phương trình : 2x − 8x − x − 4x − = 12 Hướng dẫn giải: x ≤ −1 Điều kiện tồn phương trình : x2 – 4x – ≥ ⇔ x ≥ Đặt ẩn phụ x − 4x − = y ≥ , ta : 2y2 – 3y – = ⇔ (y – 2)(2y + 1) = Bài Giải bất phương trình : Hướng dẫn giải: x − 16x + 60 < x − x − 16x + 60 ≥ (x − 6)(x − 10) ≥ Điều kiện : ⇔ ⇔ x ≥ x − ≥ x ≤ x ≥ 10 ⇔ x ≥ 10 x ≥ Bình phương hai vế : x2 – 16x + 60 < x2 – 12x + 36 ⇔ x > Nghiệm bất phương trình cho : x ≥ 10 Bài Tìm x cho : x − + ≤ x Hướng dẫn giải: Điều kiện x2 ≥ Chuyển vế : x2 − ≤ x2 – (1) Đặt thừa chung : x − (1 - x2 − = x −3) ≤ ⇔ ⇔ 1 − x − ≤ x = ± x ≥ x ≤ −2 Vậy nghiệm bất phương trình : x = ± ; x ≥ ; x ≤ -2 Bài Giải phương trình : x + + 2x − + x − − 2x − = 2 Hướng dẫn giải: Nhân vế pt với , ta được: 2x − + + 2x − − = ⇔ 5/2 ≤ x ≤ Bài Giải phương trình : x − − 5x − = 3x − Hướng dẫn giải: Điều kiện x ≥ ; x ≥ 1/5 ; x ≥ 2/3 ⇔ x ≥ Chuyển vế, bình phương hai vế : x – = 5x – + 3x – + 15x2 − 13x + (3) Rút gọn : – 7x = 15x − 13x + Cần có thêm điều kiện x ≤ 2/7 Bình phương hai vế : – 28x + 49x2 = 4(15x2 – 13x + 2) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba ⇔ 11x2 – 24x + = (11x – 2)(x – 2) = ⇔ x1 = 2/11 ; x2 = Cả hai nghiệm không thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài Giải phương trình : x + x − + x − x − = Hướng dẫn giải: Điều kiện x ≥ Phương trình biến đổi thành : x −1 +1+ x −1 −1 = ⇔ x −1 + x −1 −1 = * Nếu x > : x − + x − − = ⇔ x − = x = , không thuộc khoảng xét * Nếu ≤ x ≤ : x − + − x − + = Vô số nghiệm ≤ x ≤ Kết luận : ≤ x ≤ Bài 10 Giải phương trình: 3x + 21x + 18 + x + 7x + = Hướng dẫn giải: Điều kiện : x2 + 7x + ≥ Đặt x + 7x + = y ≥ ⇒ x2 + 7x + = y2 Phương trình cho trở thành: 3y2 – + 2y = ⇔ 3y2 + 2y – = ⇔ (y – 1)(3y + 5) = ⇔ y = - 5/3 (loại) ; y = Với y = ta có x + 7x + = ⇒ x2 + 7x + = ⇔ (x + 1)(x + 6) = ⇒ x = - 1, x = - Các giá trị x = - 1, x = - thỏa mãn x2 + 7x + ≥ nghiệm phương trình Bài 11 Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x Hướng dẫn giải: Vế trái : 3(x + 1)2 + + 5(x + 1)2 + ≥ + = Vế phải : – 2x – x2 = – (x + 1)2 ≤ Vậy hai vế 5, x = - Với giá trị hai bất đẳng thức trở thành đẳng thức Kết luận: x = - Bài 12 Giải phương trình sau : a) x − 5x − 3x + 12 = d) x − − x + = b) x − 4x = x − e) x − x − − x − = h) x + − x − + x + − x − = k) − x − x = x − m) x + = x − x − o) x − + x + + c) 4x + − 3x + = g) x + 2x − + x − 2x − = i) x + x + − x = l) 2x + 8x + + x − = 2x + n) x + + x + 10 = x + + x + ( x − 1) ( x − 3x + ) = − 2x https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba p) 2x + + x + + 2x + − x + = + x + q) 2x − 9x + + 2x − = 2x + 21x − 11 Hướng dẫn giải: a) (x − 3)2 + ( x − 3) = Đáp số : x = b) Bình phương hai vế, đưa : (x2 + 8)(x2 – 8x + 8) = Đáp số : x = + 2 c) Đáp số : x = 20 d) x − = + x + Vế phải lớn vế trái Vô nghiệm x − x − = + x − Bình phương hai vế Đáp số : x = 1 g) Bình phương hai vế Đáp số : ≤ x ≤ h) Đặt x − = y Đưa dạng y − + y − = Chú ý đến bất đẳng thức : e) Chuyển vế : y − + − y ≥ y − + − y = Tìm ≤ y ≤ Đáp số : ≤ x ≤ 11 i) Chuyển vế : x + − x = − x , bình phương hai vế Đáp : x = (chú ý loại x = k) Đáp số : 16 ) 25 16 25 l) Điều kiện : x ≥ x = - Bình phương hai vế rút gọn : 2(x + 1)2 (x + 3)(x − 1) = x − Bình phương hai vế: 8(x + 1)2(x + 3)(x – 1) = (x + 1)2(x – 1)2 ⇔ (x + 1)2(x – 1)(7x + 25) = x=− 25 loại Nghiệm : x = ± m) Vế trái lớn x, vế phải khơng lớn x Phương trình vơ nghiệm n) Điều kiện : x ≥ - Bình phương hai vế, xuất điều kiện x ≤ - Nghiệm : x = - o) Do x ≥ nên vế trái lớn 2, vế phải nhỏ Suy hai vế 2, x = 1, thỏa mãn phương trình p) Đặt 2x + + x + = y ; 2x + − x + = z (1) Ta có : y − z = + x + ; y + z = + x + Suy y – z = Từ z = x + (2) Từ (1) (2) tính x Đáp số : x = (chú ý loại x = - 1) q) Đặt 2x2 – 9x + = a ≥ ; 2x – ≥ b ≥ Phương trình : a + b = a + 15b Bình phương hai vế rút gọn ta : b = b = a Đáp số : https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm ;5 Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba x −1 = x−2 − x + x − 3x + + (x − 2) Bài 13 Giải phương trình : Hướng dẫn giải: Điều kiện : – x ≥ , – x ≥ nên x ≤ Ta có : x −1 =3 x−2 − x + (x − 1)(x − 2) − (x − 1)(x − 2) = ⇔ − x = ⇔ x = −8 − x + (x − 1)(x − 2) − x − ⇔ Bài 14 Giải phương trình : x + 2x − = + 4x + 2x Hướng dẫn giải: Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phương trình xác định với giá trị x Đặt x + 2x + = y ≥ 0, phương trình có dạng : y = y2 - y - 12 = ⇔ (y - )(y + 2 ) = ⇔ y = −2 (loai y ≥ Do x + 2x + = ⇔ x2 + 2x + = 18 ⇔ (x – 3)(x + 5) = ⇔ x = ; x = -5 ) ( Bài 15 Giải bất phương trình : x + x + a ≤ Hướng dẫn giải: Nhận xét : ( ( x+ x +a Do a ≠ nên : x2 + a2 + x )≤ )( 5a x2 + a2 5a x2 + a2 ) (a ≠ 0) x + a − x = a Do : ( (1) ⇔ x + x + a 2 )≤ ( x + a + x > x + x = x + x ≥ Suy : x2 + a2 + x )( x2 + a2 − x ) x2 + a2 x + a + x > , ∀x x ≤ Vì : (1) ⇔ x + a ≤ x + a − x ⇔ 5x ≤ x + a ⇔ x > 25x ≤ 9x + 9a x ≤ ⇔ ⇔ x≤ a 0 < x ≤ a 2+ x 2− x Bài 16 Giải phương trình + = 2 + 2+ x − 2− x ( ) Hướng dẫn giải: Điều kiện : ≤ x ≤ Đặt + x = a ≥ ; − x = b ≥ https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 10 Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba x x + +x−2 A x x 2x − − = (x − 2) ≤ = ≤ 2 - A ≤ 32 ⇒ A ≥ - 32 A = - 32 với x = Bài 51 Tìm giá trị lớn A = x − x Hướng dẫn giải: Điều kiện : x2 ≤ x2 x2 + + − x2 2 x x A = x (9 − x ) = (9 − x ) ≤ = 4.27 2 Vậy: max A = với x = ± Bài 52 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x(x2 – 6) biết ≤ x ≤ Hướng dẫn giải: a) Tìm giá trị lớn : Cách : Với ≤ x < A = x(x2 – 6) ≤ Với x ≥ Ta có ≤ x ≤ ⇒ ≤ x2 ≤ ⇒ ≤ x2 – ≤ Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x = Cách : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ max A = với x = b) Tìm giá trị nhỏ : Cách : A = x3 – 6x = x3 + (2 )3 – 6x – (2 )3 = (x + 2 )(x2 - 2 x + 8) – 6x - 16 = (x + 2 )(x2 - 2 x + 2) + (x + 2 ).6 – 6x - 16 = (x + 2 )(x - )2 - ≥ - Vậy A = - với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm : x3 + 2 + 2 ≥ 3 x3 2.2 = 6x Suy x3 – 6x ≥ - A = - với x = Bài 53 Một miếng bìa hình vng có cạnh dm Ở góc hình vng lớn, người ta cắt hình vng nhỏ gấp bìa để hộp hình hộp chữ nhật khơng nắp Tính cạnh hình vng nhỏ để thể tích hộp lớn Hướng dẫn giải: Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2 Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 54 Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba 4x + − 2x + − 2x 4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤ = max V = ⇔ 4x = – 2x ⇔ x = Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vng nhỏ dm Bài 54 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x − x + + x + x + Hướng dẫn giải: Do A tổng hai biểu thức dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: A = x2 − x +1 + x2 + x +1 ≥ x − x + x + x + = (x − x + 1)(x + x + 1) = x4 + x2 + ≥ x + x + = x − x + Đẳng thức xảy : ⇔ x = x + x + = Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A = ⇔ x = ( ) ) ( Bài 55 Tìm GTNN biểu thức : A = x + + x + + x + − x + Hướng dẫn giải: Đưa biểu thức dạng : A = x + + + x + − Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | Vậy: A = ⇔ -1 ≤ x ≤ Bài 56 Tìm giá trị nhỏ : P = x − 2ax + a + x − 2bx + b Hướng dẫn giải: Ta có : P = (x − a) + (a < b) ( x − b) = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b) Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥ ⇔ a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a ⇔ a ≤ x ≤ b Bài 57 Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = Hướng dẫn giải: Áp dụng BĐT cơsi ta có x + xyz + y + xyz + z + xyz + xyz https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 55 Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba x + xyz + xyz = x = x ( ( ) x + yz + yz = x ( x + z )( x + y ) + yz ) ( x ( x + y + z ) + yz + yz ) 3 x + y + x + z y + z 3 1 + x + = x+ 2 3 ≤ (Vì x + y + z =1) Chứng minh tương tự: y + xyz + xyz ≤ 3 1 y+ 3 z + xyz + xyz ≤ 3 1 z+ 3 5 x+ y+z ; Do A ≤ (1 + x + y + z ) + = = xyz ≤ = 3 3 3 Mà Vậy GTLN A = x = y = z = 3 Bài 58: Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x + xyz + y + xyz + z + xyz + xyz Hướng dẫn giải: Áp dụng BĐT cơsi ta có x + xyz + xyz = x = x ≤ ( ( ) x + yz + yz = x ( x + z )( x + y ) + yz ) ( x ( x + y + z ) + yz + yz ) 3 x + y + x + z y + z 3 1 + x + = x+ 2 3 (Vì x + y + z =1) Chứng minh tương tự: y + xyz + xyz ≤ 3 1 y+ 3 z + xyz + xyz ≤ 3 1 z+ 3 5 x+ y+z Do A ≤ (1 + x + y + z ) + = = ; xyz ≤ = 3 3 3 Mà Vậy GTLN A = x = y = z = 3 Bài 59: Cho a, b, c, d số không âm thỏa mãn a + b + c + d = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = ( a + b + c)(a + b) abcd Hướng dẫn giải: Áp dụng BĐT Cô-si cho số không âm (a + b + c) d ta có: https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 56 Hướng dẫn giải tốn nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba = (a + b + c) + d ≥ (a + b + c).d ⇒ = a + b + c + d ≥ 4(a + b + c).d ⇒ 1.(a + b + c) ≥ 4(a + b + c)(a + b + c).d => a + b + c ≥ 4(a + b + c) d ≥ (1) Lại áp dụng BĐT Cô-si cho số không âm (a + b) c ta có: (a + b) + c ≥ (a + b).c ⇒ (a+b+c)2 ≥ (a+b).c > (2) Vì (1) (2 ) chiều dương nên thay (2) vào (1) ta được: a + b + c ≥ (a + b + c)2.d ≥ 16 (a + b).c.d (a + b + c)(a + b) 16( a + b) cd 16( a + b) ≥ 64 (3) (Vì (a+b)2 ≥ 4ab Ta có A = ≥ = ab abcd abcd Dấu “ = “ xảy khi: (1); (2); (3) xảy dấu “=” a + b + c + d = a = b 1 Suy ra: a + b = c ⇔ a = b = ;c = ;d = a + b + c = d a + b + c + d = 1 Vậy A nhỏ 64 a = b = ; c = ; d = Bài 60 34 35 A = 3x + y + + 5x y Cho x, y số dương thỏa mãn x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hướng dẫn giải: - Ta có: + 5x y 1 5x y = x+ y+ + + + 2 5x y A = 3x + y + - Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta 5x 2.5 x 7x 8.7 x + ≥2 = 2; + ≥2 =4 5x x.2 7x x.2 34 34 17 - Vì x + y ≥ nên A ≥ + + = 35 35 35 5x 5x = 2 x= 7y - Dấu "=" xảy = ⇔ 7 y y = 34 x + y = 35 x= 17 - A đạt giá trị nhỏ 35 y = Bài 61 Cho x + 3y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = x + y https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 57 Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba Hướng dẫn giải: Do x + 3y ≥ , đặt x + 3y = + a với a ≥ ⇒ x = + a – 3y, thay vào biểu thức C: ⇒ C = 10y − 6ay − 6y + a + 2a + 1 C = 10 y − ( a + 1) + ( a + 2a ) + ≥ 10 10 10 10 ⇒ C = khi: 10 3 y= y − a + = y = y = ( ) ⇔ 10 10 ⇔ 10 ⇔ 10 a = a = x + 3y = x = 10 Bài 62 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x 10 y 10 16 Q = + + ( x + y 16 ) − (1 + x y ) 2 y x ĐK: x≠0, y≠0 Hướng dẫn giải: y 1x + + ( x 16 + y 16 ) − (1 + x y ) 2 y x 1 x 10 y 10 = + + + 1 + ( x 16 + y 16 + + 1) − (1 + x y ) − 2 y x Q= 10 10 Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có: x 10 y 10 + + + 1 ≥ x y ; ( x 16 + y 16 + + 1) ≥ x y 4 2 y x => Q ≥ x y + x y − − x y − x y − = − 2 Vậy giá trị nhỏ Q Q = – 5/2 x2 = y2 = Bài 63 Với x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x3 + x3 + y Q= 4y3 y + (x + y ) Hướng dẫn giải: Ta chứng minh hai bất đẳng thức: x3 x2 ≥ x3 + 8y3 x2 + y Thật BĐT (1) ⇔ BĐT (2) ⇔ y3 (1); y + (x + y ) x3 x4 ≥ x3 + 8y3 x2 + 2y2 ( y y + (x + y ) ≥ (x ) y4 2 2 y2 x2 + 2y2 (2) ⇔ x + y ≥ xy (đúng với x, y) ) 2 ( )( ) ⇔ x + y x + y ≥ y (x + y ) + 2y Do x + y = x + y + y ≥ y (x + y ) Nên (x + y )(x + y ) ≥ (x + y )2 y (x + y ) = y (x + y )3 2 ≥ Suy BĐT (2) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 58 Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba Từ (1) (2) ta Q ≥ ; Dấu “=” xảy x = y Vậy P = x = y Bài 64 Cho a, b, c > a + 2b + 3c ≥ 20 a Tìm giá trị nhỏ S = a + b + c + + Hướng dẫn giải: + 2b c Dự đoán a =2, b = 3, c = 12 18 16 12 18 16 + + = a + 2b + 3c + 3a + + 2b + + c + ≥ a b c a b c 20 + 3.2.2 + 2.2.3 + 2.4 = 52 ⇒ S ≥ 13 S = 4a + 4b + 4c + Bài 65 Cho x, y hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = ( x − y )(1 − xy ) 2 (1 + x ) (1 + y ) Hướng dẫn giải: x + y + + xy ( x − y )(1 − xy ) ≤ ( x + y )(1 + xy ) ≤ = ⇒ −1 ≤ P ≤ P = 2 2 (1 + x ) (1 + y ) (1 + x ) (1 + y ) ( x + y + + xy ) 4 Khi cho x=0 y= P = -1/4 Khi cho x=1 y = P = 1/4 Bài 66 Cho hai số a, b thỏa mãn: a ≥ 1; b ≥ a Tìm giá trị nhỏ tổng A = a + + b + b Hướng dẫn giải: a+ 1 15b b 15.4 17 21 ≥ 2; b + = + + ≥ + = ⇒ A ≥ a b 16 16 b 16 4 Bài 67 Cho x; y số thực dương.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= ( x + y + 1) xy + y + x + xy + y + x ( x + y + 1)2 Hướng dẫn giải: Đặt ( x + y + 1) = a; a > ⇒ A = a + xy + y + x a a Có A = a + = 8a a a 10 10 + ( + ) ≥ + = + = ⇒ A ≥ 9 a 9 a 3 3 Bài 68 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm + ≥ 23 x y 59 Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = 8x + + 18y + x y Hướng dẫn giải: 2 2 4 5 B = 8x + + 18y + = 8x + + 18y + + + ≥ + 12 + 23 = 43 x y x y x y 1 1 1 1 Dấu xảy ( x; y ) = ; Vậy Min B 43 ( x; y ) = ; 3 3 Bài 69 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ P = 1 + + 16 x y z Hướng dẫn giải: 1 1 1 y x z x z y 21 + + = ( x + y + z) + + = + + + + + + 16x y z 16x y z 16 x y 16 x z y z 16 y x z x z y + ≥ z=4x; + ≥ có =khi y=2x; + ≥ z = 2y 16 x y 16 x z 4y z P= =>P ≥ 49/16 Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 Bài 70 Cho a, b, c> a + b + c ≤ Tìm giá trị nhỏ S = a + 1 + b2 + + c + 2 b c a Hướng dẫn giải: S = a2 + 1 + b2 + + c + 2 b c a (12 + 42 )(a + Tương tự : 1 1 ) ≥ (1.a + )2⇒ a + ≥ (a + ) b b b b 17 b2 + 1 1 ≥ (b + ); c + ≥ (c + ) c c a a 17 17 Do đó: S≥ = 4 36 (a + b + c + + + ) ≥ (a + b + c + ) a b c a + b+c 17 17 17 17 135 (a + b + c + 4(a + b + c) ) + 4(a + b + c ) ≥ -************ https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 60 Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba MỘT SỐ DẠNG TỐN KHÁC Bài Tìm liên hệ số a b biết : a + b > a − b Hướng dẫn giải: Vì | a + b | ≥ , | a – b | ≥ , nên : | a + b | > | a – b | ⇔ a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2 ⇔ 4ab > ⇔ ab > Vậy a b hai số dấu Bài Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) Hướng dẫn giải: Viết đẳng thức cho dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = (1) Nhân hai vế (1) với đưa dạng: a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = (2) Do ta có:a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = Suy : a = b = c = d = Bài Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = Hướng dẫn giải: Đưa đẳng thức cho dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + = Bài Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức: (2x − y) + (y − 2) + (x + y + z) = Hướng dẫn giải: x = ; y = ; z = -3 Bài Tìm x, y, z biết : x + y + z + = x − + y − + z − Hướng dẫn giải: Đưa pt dạng : ( ) ( x − −1 + ) ( y−3 −2 + ) z − − = Bài Cho x + y + z = xy + yz + zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z Hướng dẫn giải: Từ x + y + z = xy + yz + zx ⇒ ( x− y ) +( y− z ) +( z− x ) = Vậy x = y = z Bài Tìm x y cho : x + y − = x + y − Hướng dẫn giải: Biến đổi : x + y − + = x + y Bình phương hai vế rút gọn, ta : 2(x + y − 2) = xy Lại bình phương hai vế rút gọn : (2 – y)(x – 2) = Đáp : x = , y ≥ , x ≥ , y = Bài Cho a = − a) Viết a2 ; a3 dạng m − m − , m số tự nhiên https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 61 Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba b) Chứng minh với số nguyên dương n, số an viết dạng Hướng dẫn giải: a) a = ( − 1)2 = − 2 = − a = ( − 1)3 = 2 − + − = − = 50 − 49 b) Theo khai triển Newton : (1 - )n = A - B ; (1 + )n = A + B với A, B ∈ N Suy : A2 – 2B2 = (A + B )(A - B ) = [(1 + )(1 - )]n = (- 1)n Nếu n chẵn A2 – 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 – 2B2 = - (2) Bây ta xét an Có hai trường hợp: * Nếu n chẵn : an = ( - 1)n = (1 - )n = A - B = A − 2B2 Điều kiện A2 – 2B2 = thỏa mãn (1) * Nếu n lẻ : an = ( - 1)n = - (1 - )n = B - A = 2B2 − A Điều kiện 2B2 – A2 = thỏa mãn (2) Bài Tìm phần nguyên số Hướng dẫn giải: + + + + (có 100 dấu căn) Kí hiệu a n = + + + + có n dấu Ta có : a1 = < ; a = + a1 < + = ; a3 = + a < + = a100 = + a99 < + = Hiển nhiên a100 > > Như < a100 < 3, [ a100 ] = Bài 10 Chứng minh [ 2x ] [ x ] [ x ] + Hướng dẫn giải: - Nếu ≤ x - [ x ] < ½ ≤ 2x - [ x ] < nên [ 2x ] = [ x ] - Nếu ½ ≤ x - [ x ] < ≤ 2x - [ x ] < ⇒ ≤ 2x – (2 [ x ] + 1) < ⇒ [ 2x ] = [ x ] + Bài 11 Tính tổng A = + + + + 24 Hướng dẫn giải: Ta có : ( ) ( ) ( ) ( A = + + + + + + + + 15 + 16 + + 24 ) Theo cách chia nhóm trên, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số Các số thuộc nhóm 1, số thuộc nhóm 2, số thuộc nhóm 3, số thuộc nhóm Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 Bài 12 Cho a = + Tính a) a Hướng dẫn giải: b) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm a 62 Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + )2 = + Ta có = 48 nên < < ⇒ 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + )2 x = + Xét biểu thức y = (2 - )2 y = - Suy x + y = 14 Dễ thấy < - < nên < (2- )2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13 b) Đáp số : [ a3 ] = 51 Bài 13 Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk: 1 1 + + + + =9 a1 a2 a3 a 25 Chứng minh 25 số tự nhiên tồn số Hướng dẫn giải: Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, khơng có hai số Khơng tính tổng qt, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1 ≥ , a2 ≥ , … 1 1 1 + + + ≤ + + + a1 a2 a 25 25 a25 ≥ 25 Thế : (1) 1 1 2 + + + + = + + + +1 < 25 24 25 + 25 24 + 24 2+ 2 2 < + + + + = 25 − 24 + 24 − 23 + + − + = 24 + 24 23 + 23 2+ Ta lại có: ( =2 ( ) 25 − + = ) (2) Từ (1) (2) suy : 1 + + + < , trái với giả thiết a1 a2 a 25 Vậy tồn hai số 25 số a1 , a2 , … , a25 Bài 14 Chứng minh : ( a) Số + ( ) b) Số + có chữ số liền sau dấu phẩy ) 10 có mười chữ số liền sau dấu phẩy Hướng dẫn giải: a) Đặt A = (8 + )7 Để chứng minh tốn, cần tìm số B cho A + B số tự nhiên 107 Chọn B = (8 - )7 Dễ thấy B > > Ta có + > 10 1 suy : < ⇒ 8−3 < 7 10 10 8+3 0 22 Với n ≥ 3, ta chứng minh (2) ⇔ ( n +1 n +1 ) n(n +1) < ( n) n n (1) Thật vậy, (1) ⇔ 3> n > n +1 n + n(n +1) ( 3) > ( ) 6 ⇔ (2) Thật : n n ⇔ (n + 1) < n n +1 (n + 1)n 1 ⇔ < n ⇔ 1 + < n n n n (3) n 1 Theo câu a ta có + < , mà ≤ n nên (3) chứng minh n Do (2) chứng minh https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 66 Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba Bài 22 Xác định số nguyên a, b cho nghiệm phương trình : 3x3 + ax2 + bx + 12 = + Hướng dẫn giải: Vì + nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có : 3(1 + )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn : (4a + b + 42) + (2a + b + 18) = Vì a, b ∈ Z nên p = 4a + b + 42 ∈ Z q = 2a + b + 18 ∈ Z Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q = Nếu q ≠ = - p , vơ lí Do q = từ p + q = ta suy p = q Vậy + nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = : 4a + b + 42 = Suy a = - 12 ; b = 2a + b + 18 = Bài 23 Cho biết x = nghiệm phương trình x3 + ax2 + bx + c = với hệ số hữu tỉ Tìm nghiệm lại Hướng dẫn giải: Thay x = vào phương trình cho : 2 + 2a + b + c = ⇔ (b + 2) = -(2a + c) Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phương trình cho : x3 + ax2 – 2x – 2a = ⇔ x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = ⇔ (x2 – 2)(x + a) = Các nghiệm phương trình cho là: ± - a Bài 24 Hãy lập phương trình f(x) = với hệ số nguyên có nghiệm : x= 33+ 39 Hướng dẫn giải: Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Từ x = 3 + Suy x3 = 12 + 3.3x ⇔ x3 – 9x – 12 = Bài 25 Cho số dương a, b, c, a’, b’, c’ Chứng minh : Nếu aa' + bb ' + cc ' = (a + b + c)(a '+ b '+ c ') Hướng dẫn giải: Biến đổi ta : ( a 'b − ab ' ) +( a 'c − ac ' a b c = = a' b ' c ' ) +( https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm b 'c − bc ' ) =0 67 Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba Bài 26 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác Hướng dẫn giải: Giả sử a ≥ b ≥ c > Theo đề : b + c > a Suy : b + c + bc > a ⇒ ( b+ c Vậy ba đoạn thẳng có độ dài ) > ( a) 2 ⇒ b+ c> a b , c , a lập thành tam giác Bài 27 Trong tất hình chữ nhật có đường chéo , tìm hình chữ nhật có diện tích lớn Hướng dẫn giải: Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x2 + y2 ≥ 2xy Nhưng x2 + y2 = (8 )2 = 128, nên xy ≤ 64 Do : max xy = 64 ⇔ x = y = Bài 28 Cho tam giác vng ABC có cạnh góc vng a, b cạnh huyền c Chứng minh ta ln có : c ≥ a+b Hướng dẫn giải: Với a, b ta ln có : a2 + b2 ≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên: c2 ≥ 2ab ⇔ 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab ⇔ 2c2 ≥ (a + b)2 ⇔ c ≥a+b ⇔ c≥ a+b Dấu đẳng thức xảy a = b -*********** https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 68 ... 199 7 − 199 6 ; b = 199 8 − 199 7 1 ,b= 199 7 + 199 6 199 8 + 199 7 Ta thấy 199 7 + 199 6 < 199 8 + 199 7 Nên a < b Hướng dẫn giải: a= Bài 13 So sánh: n + − n + n+1 − n (n số nguyên dương) Hướng dẫn giải: ... phương hai vế lên so sánh Bài 11 So sánh + − − − số https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408 296 -loc-tin-tai.htm Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba Hướng dẫn giải: .. .Hướng dẫn giải toán nâng cao – Đại số – Chương 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba Ta có : b = c – a Ta thấy, hiệu hai số hữu tỉ c a số hữu tỉ, nên b số hữu tỉ, trái với giả thiết Vậy c phải số vô